高考數(shù)學一輪復習專項訓練：復數(shù)（含解析）

考點10復數(shù)一高考數(shù)學一輪復習考點創(chuàng)新題訓練

,則在復平面內，復數(shù)亍所對應的點位于（)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知集合N={z|z=i"+，，〃eN*},則Z的元素個數(shù)為（）

A.lB.2C.3D.4

x2&=」-烏貝1J

3.已知方程％3_1=0的根分別為再=1,

22322

D.-2101

4.著名的歐拉公式是e1r=cosx+isinx,則e'在復平面內的（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.已知集合Z={z|z=i"+，，〃eN*},則Z的元素個數(shù)為（）

A.lB.2C.3D.4

6.歐拉恒等式1+1=0（i為虛數(shù)單位，e為自然對數(shù)的底數(shù)）被稱為數(shù)學中最奇妙的公式.它

是復分析中歐拉公式e"=cosx+isinx的特例：當自變量時，e'x=COSTT+isin7t=-1,得

*+1=0.根據(jù)歐拉公式，復數(shù)z=e31在復平面上所對應的點在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7.在復數(shù)范圍內方程必-2x+2=0的兩個根分別為E，/，則|再+2%2卜（）

A.lB.V5C.V7D.V10

8.在復平面內，復數(shù)Z對應的點在第三象限，則復數(shù)Z.（l+i）23對應的點在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

9.（多選）已知復數(shù)Zo=l-i,z=x+yi（x,yeR）,則下列結論正確的是（）

A.方程|2-z0|=2表示的z在復平面內對應點的軌跡是圓

B.方程|z-Zo\+\z-z0|=2表示的z在復平面內對應點的軌跡是橢圓

C.方程I2-Zo\-\z-z0卜1表示的Z在復平面內對應點的軌跡是雙曲線的一支

1——

D.方程I2+5(2。+z。)1=12-Z0|表示的Z在復平面內對應點的軌跡是拋物線

10.(多選)若復數(shù)2滿足z(l-i)=i2025(其中i是虛數(shù)單位)，復數(shù)Z的共輾復數(shù)為彳，則下

列說法正確的是()

A.2的虛部是一萬BN=—萬+萬]C.|z|=~~~D.z-z=—

11.已知平面直角坐標系X。中向量的旋轉和復數(shù)有關，對于任意向量1=(。/)，對應復數(shù)

z=a+bi,向量I逆時針旋轉一個角度。，得到復數(shù)k=(a+Ai)(cos9+isin6?)=acos6-

6sin9+i(asin9+bcos。),于是對應向量x'=(acos0-bsin0,asin0+bcos0^.這就是向量的旋轉

公式.已知正三角形Z8C的兩個頂點坐標是2(1,4),8(3,2),根據(jù)此公式，求得點。的坐標是

.(任寫一個即可)

12.已知關于2的方程卜2-4z+5)(z2+az+9)=0(?eR)有四個互不相等的根,若這四個根在復

平面上對應的點共圓，則。的取值范圍是.

13.已知復數(shù)z=x+yi(x/eR),則復平面內滿足|z-l+i|=機的點Z的集合圍成的圖形面積

為16兀，則實數(shù)加=.

14.設。為坐標原點，向量。4、。?2、。?3分別對應復數(shù)馬、z1、Z3,且4=/+(2-a)i,

z2=-l+(3-2tz)i,Z3=2—加i(a,meR).已知4+Z2是純虛數(shù).

(1)求實數(shù)。的值；

(2)若Z-Z2,Z3三點共線，求實數(shù)機的值.

15.通過平面直角坐標系，我們可以用有序實數(shù)對表示向量.類似的，我們可以把有序復數(shù)對

(馬修乂馬弓右。看作一個向量，記5=(4/2),則稱1為復向量.類比平面向量的相關運算法

則，對于1=(Z],Z2),&=(z3,z4),4、Z2、Z3、Z4、2eC,我們有如下運算法則：

①=（2]士Z3/2±24）;（2）2a=（2Z1,2Z2）；

③彳=4Z3+Z2Z4；(4)|G|=Ja-a.

⑴設@=(iJ+i),b=(2,2-i),求9+B和晨B.

(2)由平面向量的數(shù)量積滿足的運算律，我們類比得到復向量的相關結論：

?a-b=b-a

@a-(b+c)-a-b+a-c(3)(2a)-b-a-(Ab).

試判斷這三個結論是否正確，并對正確的結論予以證明.

⑶若@=(2i,l),集合C={萬忸=(xJ)/=2x+l,x,yeC},BeQ.對于任意的己e。，求出滿足

條件伍己)=0的B,并將此時的B記為反，證明對任意的BeQ,不等式可布_同

恒成立.

根據(jù)對上述問題的解答過程，試寫出一個一般性的命題(不需要證明).

答案以及解析

1.答案：C

/1.、Z.VZ.Z.Z-\Z.VZ.J

解析：因為Z==+：=12。22+(—產(chǎn)=?/=_1+3所以復數(shù)彳對應

的點(-1,-1)在第三象限.

2.答案：C

2

解析：當〃=1時，z=i+』=i-i=O,當〃=2時，z=i+^-=-1-1=-29當〃=3時，

11

z=i3+^-=-i--=0,當〃=4時，z=i4+^=l+l=2,當〃=5時，z=i5+^-=i+-=i-i=O,

11111

當〃=6時，z=i6+^-=i2+^-=-l-l=-2,當〃=7時，2=，+3=『+!=-1—1=0,當〃=8

11111

時，Z=i8+"=i4+*=l+l=2,…，可知以上四種情況循環(huán)，故集合4={0,—2,2},4的元素

個數(shù)為3.故選：C.

3.答案：A

vq

50

解析：(l-Gi)——1+(4i)

2J

_2100-l+V^i

=0.故選：A.

―2

4.答案：B

解析：由題意知，e"cos3+isin3,又cos3<0,sin3〉0,所以該復數(shù)在復平面所對應的點的

坐標為(cos3,sin3),為第二象限的點.故選：B

5.答案：C

解析：當〃=1時，z=i+』=i-i=0,當〃=2時，z=i?+二=一1一1二一2,

11

當〃=3時，2=『+!=——1=0,當〃=4時，2=1+]=1+1=2,

111

當〃=5時，z=i5+^-=i+-=i-i=0,當〃=6時，z=i6+^-=i2+^-=-l-l=-2,

1111

當〃=7時，z=i7+^-=i3+-^-=-i--=0,當〃=8時，z=i8+^-=i4+-^-=1+1=2,

11111

…，可知以上四種情況循環(huán)，故集合4={0,-2,2},4的元素個數(shù)為3.故選：C

6.答案：B

jr

解析：由題意得2=叱3+15池3,X-<3<71,所以cos3<0,sin3〉0,所以復數(shù)2=6"在復平

面內對應的點為(cos3,sin3),位于第二象限.故選B.

7.答案：D

解析：根據(jù)題意可得(x-l)2=T=i?,x-1=±i,即x=l±i,當再=1-i,X2=l+i時，

22

Xj+2X2=3+i,+2X2J=Vl+3=V10,當X]=l+i,X2=l-i時，xx+2x2=3-i,

77

.-.|X1+2X2|=V1+3=VT0,綜上，忖+2司=而.故選：D.

8.答案：C

解析：因為(1+嚴4+=(方看=謬任戶=*,且復數(shù)Z對應的點在第三象限,

則z.(l+i)2024=21012.Z對應的點也在第三象限.故選：C

9.答案：AC

解析：|2-2。|=2表示復平面內點(》/)與點(1,-1)之間的距離為定值2,則2在復平面內對應

點的軌跡是圓，故A正確；

|z-Zo|+|z-%=2表示復平面內點(XJ)到點a-1)和(1,1)的距離之和為2又2=匕-/不

滿足橢圓的定義2?！祙月乙|,故B不正確；

\z-z0\-\z-z0|=1表示復平面內點(x,y)到點和(1,1)的距離之差為1,又2=匕―01,滿

足雙曲線的定義2a<|大8故C正確；

1——_

對于D,|z+5(Zo+Zo)|=|z-ZoI可化為|z+l|=|z-ZoI，表不復平面內點(X,y)到點(-1,0)和

(1,T)的距離相等，軌跡是直線，故D不正確.

10.答案：CD

解析：由—==i得：z=^——2=一'+匕,

朽例mV7[可1-i(l-i)(l+i)222

所以z的虛部是。，故A是錯誤的；

由"弓弓i'故B是錯誤的；

由目=-J+Ji=+；'故C是正確的；

1122\442

,1

由z?三=回一=5，故D是正確的；故選：CD.

11.答案：(2+6,3+6)(答案不唯一)

解析:設點C的坐標為(/Jo),點幺(1,4),3(3,2),則48=(2,-2),AC=(x0-l,y0-4),

從而在對應的復數(shù)為z=2-2i,若"由方逆時針旋轉60。得到，就對應的復數(shù)為

z,=(2-2i)(cos60°+isin60°)=V3+1+(73-1)i,因止匕〃=(x0-1,%—4)=(百+1,百—1),解

得XO=2+G,y0=3+^3,則C的坐標是(2+G,3+G)；

若就由方逆時針旋轉300。得到，就對應的復數(shù)為

z,=(2-2i)(cos3000+isin300°)=l-V3-(l+V3)i,

因止匕元=(%一1/0-4)=(1一G,—1—百)，解得XO=2—G,A=3—VL則點。的坐標是

12.答案：(-6,6)U{-7}

解析：因為Z2-4Z+5=0,即(z-2)2=-1=(±i)2,解得z=2±i,

設所對應的兩點分別為4B,則42,1)、5(2,-1),

設z?+az+9=0的解所對應的兩點分別為C、。，記為。(國,必),。伍必)，

當△<(),即/一36<0,解得一6<a<6,即一6<a<6時，

因為2、8關于x軸對稱，且C、。關于x軸對稱，

則以Z、B、C、。為頂點的四邊形為矩形或等腰梯形，所以2、B、C、。四點共圓;

當A〉0,即a>6或a<—6時，此時。(為0),D(x2,0),且五產(chǎn)=一玉％=9,

故此圓的圓心為。J-￡。［,半徑r=區(qū)二引=Y1三H,

12；22

又圓心a到N的距離|。/|=『2+9+12=r,解得a=—7,

綜上可得加?-6,6)U{-7}.故答案為:(-6,6)U{-7}.

13.答案：4

解析：復平面內滿足|z-l+i|=%的點Z的集合圍成的圖形為以為圓心，以機半徑的圓,

復平面內滿足|z-l+i|=機的點Z的集合圍成的圖形面積為16兀,

則兀乂布=16兀，解得加=4(負值舍去).故答案為：4.

14.答案:(1)a=-l

(2)m=-2

解析：(1)由題意可得1+4=/-1+(1-a)i,

—_]=0

由于復數(shù)馬+Z2是純虛數(shù)，則i_aw0，解得。=-1；

(2)由⑴可得2]=l+3i,z2=-l+5i,則點Z](l,3),Z2(—1,5),點Z3Q—m)

所以，存=(—2,2),存=(1,一加一3)

因Z-Z2,Z3三點共線，所以裟〃刎，所以(-2)x(-機-3)=lx2,所以加=-2.

15.答案：+B=(2+i,3),晨B=l+5i;

⑵①③錯誤，②正確，證明見解析；

⑶證明見解析，答案見解析

解析：⑴因為2=(i』+i),3=(2,2—i),

所以1+B=(i,l+i)+(2,2—i)=(2+i,3),

=2i+(l+i)(2+i)=2i+2+i+2i+i2=l+5i

(2)a=(z],z2),b—,c=,Zg,2]、z?、Z3、z《、z$、、XeC,

則展B=ZA+Z2Z4,b-a=z3z1+z4z2,故①展B=B.1不成立，

+c=(z3+z5,z4+z6),a-b=Z[Z3+z2z4,a?c=Z1z5+z2z6

a-(b+c)=ZjZ3+z5+z2z4+z6,

因為Z3+Z5=23+Z5,Z4+Z6=Z4+Z6,

所以鼠(B+5)=Z](Z3+Z5)+Z2「4+Z6)

=2逐3+425+22Z4+2226=2逐3+?224+