北師版九年級數(shù)學 1.1菱形的性質(zhì)與判定（學習、上課課件）

1菱形的性質(zhì)與判定第一章特殊平行四邊形逐點導講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時講解1課時流程2菱形的定義菱形的性質(zhì)菱形的判定菱形的面積知識點菱形的定義知1－講1有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.如圖1-1-1，在ABCD中，若AB=BC(

或BC=CD或CD=DA或DA=AB)，則ABCD

是菱形.兩個條件缺一不可.知1－講知1－講特別提醒1.菱形的定義既是菱形的判定方法，又是菱形的性質(zhì).2.菱形是特殊的平行四邊形，但平行四邊形不一定是菱形.知1－練例1如圖1-1-3，在△ABC

中，CD

平分∠ACB，CD

交AB

于點D，DE∥AC，且DE

交BC于點E，DF∥BC，DF交AC于點F.四邊形DECF

是菱形嗎？為什么？解題秘方：緊扣菱形的定義中“兩個條件”進行判斷.知1－練解：四邊形DECF是菱形.理由如下：∵DE∥FC，DF∥EC，∴四邊形DECF

為平行四邊形.∵AC∥DE，∴∠2=∠3.∵CD平分∠ACB，∴∠1=∠2.∴∠1=∠3.∴

DE=EC.∴平行四邊形DECF

是菱形.1-1.如圖，在平行四邊形ABCD

中，點O

是AD

的中點，連接CO

并延長交BA

的延長線于點E，連接AC，DE.知1－練(1)求證：四邊形ACDE是平行四邊形；知1－練證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD.∴∠BEC＝∠DCE.∵點O是AD的中點，∴AO＝DO.又∵∠AOE＝∠DOC，∴△AEO≌△DCO(AAS)．∴AE＝DC.又∵AE∥DC，∴四邊形ACDE是平行四邊形．(2)若AB=AC，判斷四邊形ACDE

的形狀，并說明理由.知1－練解：四邊形ACDE是菱形．理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD.又∵AB＝AC，∴CD＝AC.又由(1)知四邊形ACDE是平行四邊形，∴四邊形ACDE是菱形．知2－講知識點菱形的性質(zhì)2菱形是一種特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質(zhì).菱形的性質(zhì)可以從邊、角、對角線、對稱性這四個方面來研究.總結(jié)如下表：知2－講圖形性質(zhì)數(shù)學表達式邊對邊平行∵四邊形ABCD

是菱形，∴AB∥CD，AD∥BC四條邊相等∵四邊形ABCD

是菱形，∴AB=BC=CD=AD角對角相等∵四邊形ABCD

是菱形，∴∠ABC=∠ADC，∠BCD=∠DAB知2－講圖形性質(zhì)數(shù)學表達式對角線對角線互相垂直∵四邊形ABCD

是菱形，∴BD⊥AC每條對角線平分一組對角(拓展)∵四邊形ABCD

是菱形，∴∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA，∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB知2－講圖形性質(zhì)數(shù)學表達式對稱性是軸對稱圖形，對稱軸是對角線所在的直線是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點知2－講特別提醒1.菱形的性質(zhì)可以用來證明線段相等、角相等以及直線的平行、垂直等關(guān)系.2.由菱形的性質(zhì)與勾股定理的聯(lián)系，可得對角線與邊之間的關(guān)系，即邊長的平方等于兩條對角線長一半的平方和.3.如果菱形的一個內(nèi)角為60°，那么菱形的兩條邊與較短的對角線構(gòu)成的三角形為等邊三角形.知2－練如圖1-1-4，菱形ABCD

的對角線相交于點O，延長AB至點E，使BE=AB，連接CE，∠E=50°，求∠BAO的度數(shù)．例2知2－練思路導引：知2－練解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=CD，AB∥CD.又∵

BE=AB，∴

BE=CD.∴四邊形BECD

是平行四邊形.∴BD∥CE.∴∠ABO=∠E=50°.又∵四邊形ABCD

是菱形，∴

AC⊥BD.∴∠AOB=90°.∴∠BAO=180°－∠AOB－∠ABO=40°．知2－練2-1.如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分線交對角線AC于點F，E

為垂足，連接DF，則∠CDF

的度數(shù)為________.60°知2－練如圖1-1-5，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD

相交于點O，AC=6，BD=8，點E

是邊AD

上一點，連接OE，若OE=DE，求OE

的長.例3知2－練

知2－練

知2－練

D知3－講知識點菱形的判定3知3－講元素判定文字語言符號語言圖形邊定義法有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形在ABCD

中，∵AB=BC，∴ABCD

是菱形定理四邊相等的四邊形是菱形∵AB=BC=CD=DA，∴四邊形ABCD

是菱形對角線定理對角線互相垂直的平行四邊形是菱形在ABCD中，∵AC⊥BD，∴

ABCD是菱形或AB=AD

或BC=CD或AD=CD，即一組鄰邊相等知3－講知3－講

知3－練【母題教材P7習題T1】如圖1-1-7，在平行四邊形ABCD

中，對角線AC，BD

相交于點O，過點O作直線EF⊥BD，分別交AD，BC于點E和點F，連接BE，DF.求證：四邊形BEDF

是菱形.例4解題秘方：緊扣對角線垂直這一條件，從判定平行四邊形入手判定菱形.知3－練證明：∵四邊形ABCD

是平行四邊形，∴OB=OD，AD∥BC.∴∠EDO=∠FBO，∠

OED=∠OFB.∴△OED≌△OFB(AAS).∴DE=BF.又∵DE∥BF，∴四邊形BEDF是平行四邊形.又∵EF⊥BD，∴四邊形BEDF

是菱形.知3－練4-1.[中考·永州]如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，其對角線相交于點O，OA=3，BD=8，AB=5.知3－練(1)△AOB

是直角三角形嗎？請說明理由.知3－練(2)求證：四邊形ABCD是菱形．證明：由(1)知∠AOB＝90°，∴AC⊥BD.∴平行四邊形ABCD是菱形．知3－練

解題秘方：連接BD，根據(jù)題意得出AM為線段BD

的垂直平分線，從而證得四條邊相等，進而判定菱形．例5知3－練證明：如圖1-1-8，連接BD.根據(jù)題意可得AM為線段BD

的垂直平分線，即BD⊥AE，BE=DE.∵AD∥BC，AB=AD，∴∠ADB=∠DBE，∠ABD=∠ADB.∴∠ABD=∠DBE.∵BD⊥AE，∴AB=BE.∴AD=AB=BE=DE.∴四邊形ABED為菱形.知3－練5-1.如圖，在△

ABC中，AB=AC，∠

B=60°，∠

FAC，∠ECA是△

ABC的兩個外角，AD

平分∠

FAC，CD平分∠ECA．求證：四邊形ABCD

是菱形.知3－練證明：∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形．∴∠BAC＝60°，∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC.∴∠FAC＝120°，∠ACE＝120°.又∵AD平分∠FAC，CD平分∠ECA，∴∠DAC＝60°，∠DCA＝60°.∴∠D＝60°.∴△ADC是等邊三角形．∴AD＝AC＝DC.∴AB＝BC＝AD＝DC.∴四邊形ABCD

是菱形．知4－講知識點菱形的面積4公式由來文字語言圖示符號語言菱形的面積公式菱形是平行四邊形菱形的面積=底×高S

菱形ABCD=BC·AE菱形的對角線互相垂直菱形的面積=對角線乘積的一半知4－講

拓展：對角線互相垂直的任意四邊形的面積都等于兩條對角線乘積的一半.知4－講知4－練【母題教材P8例3】如圖1-1-9，在菱形ABCD中，對角線交于點O，∠ABC

與∠BAD的度數(shù)比為1∶2，菱形ABCD

的周長是48.求：例6知4－練(1)菱形ABCD的兩條對角線的長度；解題秘方：根據(jù)題意及菱形的性質(zhì)得出AO，BO

的長即可得出答案；知4－練

知4－練(2)菱形ABCD

的面積.

解題秘方：直接利用菱形面積等于對角線乘積的一半，即可得出答案.知4－練方法總結(jié)：菱形面積的兩種計算方法1.一邊與這條邊上的高的乘積；2.兩條對角線乘積的一半.知4－練6-1.如圖，在菱形ABCD

中，對角線AC和BD

相交于點O