專題12先證切線再求線段長(原卷版+解析)

專題12先證切線再求線段長1．如圖，A、B、C是圓O上的三個(gè)點(diǎn)，AB＝AC，過點(diǎn)C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于點(diǎn)D，連接AD交BC于點(diǎn)E，連接BD，延長DC至點(diǎn)F，使CF＝AC，連接AF．(1)求證：AF是⊙O的切線；(2)若AE＝3，DE＝5，求AB的長．2．如圖，在中，，與，分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，平分，連接OA．(1)求證：是的切線；(2)若，的半徑是2，求圖中陰影部分的面積．3．如圖，點(diǎn)C在⊙O的直徑AB的延長線上，點(diǎn)P是⊙O上任意一點(diǎn)，且滿足∠BPC=∠A．(1)求證：PC與⊙O相切；(2)若圓的半徑為，tan∠BPC=，求切線CP的長．4．如圖，在中，，E是BC的中點(diǎn)，以AC為直徑的與AB邊交于點(diǎn)D，連接DE．(1)求證：DE是的切線；(2)若，求直徑的長．5．如圖，AB是⊙O的直徑，N是⊙O上一點(diǎn)，M是的中點(diǎn)，連接AN，BM，交于點(diǎn)D．連接NM，OM，延長OM至點(diǎn)C，并使∠CAN＝2∠N．AN與OC交于點(diǎn)E．(1)求證：AC是⊙O的切線；(2)若DM＝10，，求⊙O的半徑．6．如圖，在中，，在上取點(diǎn)，以為圓心，為半徑作圓，若該圓與相切于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)（異于點(diǎn)）．(1)求證：平分；(2)若的長為，，求的半徑．7．在中，弦平分圓周角，連接，過點(diǎn)作DE//AB交的延長線于點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)若，且是的中點(diǎn)，的直徑是，求的長．8．如圖，在中，點(diǎn)O在斜邊上，以O(shè)為圓心，為半徑作圓，分別與BC，AB相交于點(diǎn)D，E，連接．已知．(1)求證：是的切線．(2)若，求的半徑．9．如圖，以BC為直徑的半圓O上有一動(dòng)點(diǎn)F，點(diǎn)E為弧CF的中點(diǎn)，連接BE、FC相交于點(diǎn)M，延長CF到A點(diǎn)，使得AB＝AM，連接AB、CE．(1)求證：AB是⊙O的切線；(2)若tan∠ACB＝，BM＝10．求EC的長．10．如圖，在中，，以邊為直徑作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)若，且，求線段的長．11．如圖，⊙O是ABC的外接圓，AB是的直徑，D是AB延長線上的一點(diǎn)，連接DC，∠DCB＝∠A，CE⊥AB于點(diǎn)E．(1)求證：DC是⊙O的切線；(2)若AC＝4，tan∠BCE＝，求DC的長；(3)在（2）的條件下，若M是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，求OM+AM的最小值．12．如圖，以△ABC的邊BC為直徑作⊙O，點(diǎn)A在⊙O上，點(diǎn)D在線段BC的延長線上，AD＝AB，∠D＝30°．（1）求證：直線AD是⊙O的切線；（2）過點(diǎn)O作OE∥AB交AC與點(diǎn)E，若直徑BC＝4，求OE的長．13．如圖，是的直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)是延長線上一點(diǎn)，，是的弦，．（1）求證：直線是的切線；（2）若，求的半徑；（3）若于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，，，請找出，，之間的關(guān)系，并證明．14．已知：如圖，是的直徑，，是上兩點(diǎn)，過點(diǎn)的切線交的延長線于點(diǎn)，，連接，．（1）求證：；（2）若，，求的半徑．15．如圖，在中，，以為直徑的分別與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．（1）求證：直線是的切線；（2）求證：；（3）若的半徑為2，，求圖中陰影部分的面積．16．如圖，BC是的直徑，A為上一點(diǎn)，連接AB、AC，于點(diǎn)D，E是直徑CB延長線上一點(diǎn)，且AB平分．（1）求證：AE是的切線；（2）若，，求EA．17．如圖，是的直徑，平分，．（1）求證：是的切線．（2）若，，求的半徑．18．如圖，在中，，點(diǎn)O在上，，點(diǎn)D在上，以點(diǎn)O為圓心，為半徑作圓，交的延長線于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，．（1）求證：為⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為3，，求的長．專題12先證切線再求線段長1．如圖，A、B、C是圓O上的三個(gè)點(diǎn)，AB＝AC，過點(diǎn)C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于點(diǎn)D，連接AD交BC于點(diǎn)E，連接BD，延長DC至點(diǎn)F，使CF＝AC，連接AF．(1)求證：AF是⊙O的切線；(2)若AE＝3，DE＝5，求AB的長．【答案】(1)見解析(2)AB=【分析】（1）連接OA，由∠CAF=∠CFA知∠ACD=∠CAF+∠CFA=2∠CAF，結(jié)合∠ACB=∠BCD得∠ACD=2∠ACB，∠CAF=∠ACB，據(jù)此可知AFBC，從而得OA⊥AF，從而得證；（2）由AB=AC知∠ABC=∠ACB，結(jié)合∠ACB=∠BCD，推出∠BCD=∠ADC，得到ED=EC=5，同理可得EA=EB=3，可證得△BAE∽△BCA，再利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．（1）證明：如圖，連接OA，∵AB=AC，∴，∴OA⊥BC，∵CA=CF，∴∠CAF=∠CFA，∴∠ACD=∠CAF+∠CFA=2∠CAF，∵∠ACB=∠BCD，∴∠ACD=2∠ACB，∴∠CAF=∠ACB，∴AFBC，∴OA⊥AF，∴AF為⊙O的切線；（2）解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠ACB=∠BCD，∠ABC=∠ADC，∴∠BCD=∠ADC，∴ED=EC=5，同理可得EA=EB=3，∵∠BAE=∠BCD=∠BCA，∠ABE=∠CBA，∴△BAE∽△BCA，∴，即，∴AB=(負(fù)值已舍)．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、切線的判定、平行線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握切線的判定定理和相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在中，，與，分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，平分，連接OA．(1)求證：是的切線；(2)若，的半徑是2，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，根據(jù)切線的性質(zhì)和角平分線的定義即可證明△OBD≌OBE，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)分別交于點(diǎn)，連接，根據(jù)切線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)先證明四邊形是矩形，再由勾股定理求出AB的長度，利用“HL”證明，即可求出，根據(jù)圖中陰影部分的面積為，利用三角形的面積公式和扇形的面積公式求解即可．（1）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，與相切于點(diǎn)，，平分，，在和中，，∴△OBD≌OBE（AAS），，是的半徑，又，是的切線；（2）如圖，設(shè)分別交于點(diǎn)，連接，的半徑是2，，與相切于點(diǎn)，，，四邊形是矩形，，，，，在和中，，，，，，則圖中陰影部分的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)和判定，角平分線的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，扇形的面積公式，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．3．如圖，點(diǎn)C在⊙O的直徑AB的延長線上，點(diǎn)P是⊙O上任意一點(diǎn)，且滿足∠BPC=∠A．(1)求證：PC與⊙O相切；(2)若圓的半徑為，tan∠BPC=，求切線CP的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）要證明OP為圓的切線，只要證明∠1+∠2=90°即可；（2）先求得PB=2，AP=4，證明△CPB∽△CAP，利用相似三角形的性質(zhì)得到，設(shè)BC=x，則PC=2x，AC=4x，利用AC=AB+BC，列方程，即可求解．(1)證明：連接PO，∵AB為直徑，∴∠APB=∠2+∠3=90°，又∵OA=OP，∴∠A=∠3，∵∠1=∠A，∴∠1+∠2=90°，即OP為圓的切線；(2)解：∵∠1=∠A，tan∠1=，∴在Rt△ABC中，AB=2，tan∠A=，即=，設(shè)PB=a，則AP=2a，∵AB2=PB2+AP2，∴(2)2=a2+(2a)2，解得a=2，∴PB=2，AP=4，又∵∠C=∠C，∠1=∠A，∴△CPB∽△CAP，∴，設(shè)BC=x，則PC=2x，AC=4x，又∵AC=AB+BC，∴4x=2+x，∴x=．∴PC=2x=．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．4．如圖，在中，，E是BC的中點(diǎn)，以AC為直徑的與AB邊交于點(diǎn)D，連接DE．(1)求證：DE是的切線；(2)若，求直徑的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接OD，先證明∠BDC=90°，，再由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半推出，從而推出，即可證明結(jié)論；（2）先求出BC的長，從而求出BD的長，然后證明△ABC∽△CBD得到，據(jù)此求解即可．(1)解：連接OD，為圓O的直徑，，∴∠BDC=90°，，，在中，為BC中點(diǎn)，，，，即，，是圓O的切線；(2)解：在中，為BC中點(diǎn)，，，，為直徑，，又，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線，直徑所對的圓周角是直角等等，熟知圓的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．5．如圖，AB是⊙O的直徑，N是⊙O上一點(diǎn)，M是的中點(diǎn)，連接AN，BM，交于點(diǎn)D．連接NM，OM，延長OM至點(diǎn)C，并使∠CAN＝2∠N．AN與OC交于點(diǎn)E．(1)求證：AC是⊙O的切線；(2)若DM＝10，，求⊙O的半徑．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，先根據(jù)圓周角定理可得，從而可得，再根據(jù)圓周角定理可得，從而可得，然后根據(jù)圓的切線的判定即可得證；（2）連接，先在中，解直角三角形可得，再在中，解直角三角形可得，然后利用勾股定理可得的長，由此即可得．（1）證明：如圖，連接，是的中點(diǎn)，，，，，，由圓周角定理得：，，即，，又是的直徑，是的切線．（2）解：如圖，連接，由（1）已得：，，在中，，解得，又由（1）已得：，，在中，，解得，，則的半徑為．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、圓的切線的判定、解直角三角形等知識點(diǎn)，熟練掌握圓周角定理和圓的切線的判定是解題關(guān)鍵．6．如圖，在中，，在上取點(diǎn)，以為圓心，為半徑作圓，若該圓與相切于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)（異于點(diǎn)）．(1)求證：平分；(2)若的長為，，求的半徑．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，先證明，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可證，進(jìn)而可得平分．（2）連接，根據(jù)和等量代換可得，設(shè)，則，由勾股定理得，求出a的值，進(jìn)而可求出半徑的長．(1)證明：如圖1中，連接．∵是的切線，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴平分．(2)如圖2中，連接．∵為的直徑，∴∵且∴，∴，∴∵為的直徑，∴∴∵，，∴設(shè)，則，由勾股定理得，得，∴，∴，∵，∴，∴，∴的半徑為．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，平行線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)的知識，熟練掌握圓的有關(guān)性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．7．在中，弦平分圓周角，連接，過點(diǎn)作DE//AB交的延長線于點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)若，且是的中點(diǎn)，的直徑是，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，，，根據(jù)圓周角定理先說明，即可得出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，即可證得結(jié)論；（2）連接，，，OB，過點(diǎn)作于點(diǎn)，構(gòu)建直角三角形，設(shè)，，利用勾股定理，得，求出線段長度即可求解；(1)證明：如圖，連接交于點(diǎn)，連接，，，平分，，，，，，，，是的切線．(2)如圖，連接，，，OB，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示：，，，，，∴設(shè)，，的直徑是，，，，解得：，，，，是的中點(diǎn)，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，已知正切求邊長，勾股定理，綜合運(yùn)用以上知識是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在中，點(diǎn)O在斜邊上，以O(shè)為圓心，為半徑作圓，分別與BC，AB相交于點(diǎn)D，E，連接．已知．(1)求證：是的切線．(2)若，求的半徑．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）如圖，連結(jié)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠ODB=∠B，由∠CAD=∠B可得∠ODB=∠CAD，根據(jù)直角三角形兩銳角互余及平角的定義可得∠ADO=90°，即可證明AD是的半徑；（2）設(shè)的半徑為，在Rt△ABC中，根據(jù)tanB=可求出AC的長，利用勾股定理可求出AB的長，可用r表示出OA的長，在Rt△ACD中，根據(jù)∠CAD=∠B可利用∠B的正切值求出CD的長，利用勾股定理可求出AD的長，在Rt△ADO中，利用勾股定理列方程求出r的值即可得答案．（1）證明：連接OD，∵OB＝OD，∴∠3＝∠B，∵∠B＝∠1，∴∠1＝∠3，在Rt△ACD中，∠1+∠2＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∴∠4＝180°﹣（∠2+∠3）＝90°，∴OD⊥AD，則AD為圓O的切線；（2）解：設(shè)圓O的半徑為r，在Rt△ABC中，AC＝BCtanB＝4，根據(jù)勾股定理得：AB＝，∴OA＝﹣r，在Rt△ACD中，tan∠1＝tanB＝，∴CD＝ACtan∠1＝，根據(jù)勾股定理得：AD2＝AC2+CD2＝，在Rt△ADO中，OA2＝OD2+AD2，即（﹣r）2＝r2+，解得：r＝，∴⊙O的半徑為．【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用及銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．9．如圖，以BC為直徑的半圓O上有一動(dòng)點(diǎn)F，點(diǎn)E為弧CF的中點(diǎn)，連接BE、FC相交于點(diǎn)M，延長CF到A點(diǎn)，使得AB＝AM，連接AB、CE．(1)求證：AB是⊙O的切線；(2)若tan∠ACB＝，BM＝10．求EC的長．【答案】(1)見解析(2)12【分析】（1）根據(jù)AB=AM，可得∠ABM=∠AMB=∠EMC，再由同弧或等弧所對的圓周角相等可得∠EBC=∠ECM，然后由BC為直徑，可得∠EMC+∠ECM=90°，從而得到∠ABM+∠EBC=90°，即可求證；（2）根據(jù)tan∠ACB＝，可設(shè)AB=5x，則BC=12x，AM=5x，再由△CEM∽△BEC，可得，即可求解．（1）證明：∵AB=AM，∴∠ABM=∠AMB=∠EMC，∵點(diǎn)E為弧CF的中點(diǎn)，∴∠EBC=∠ECM，∵BC為直徑，∴∠BEC=90°，∴∠EMC+∠ECM=90°，∴∠ABM+∠ECM=90°，∴∠ABM+∠EBC=90°，∴∠ABC=90°，∴AB是⊙O的切線；（2）解：∵，可設(shè)AB=5x，則BC=12x，AM=5x，∴AC=13x，∴CM=AC-AM=8x，∵∠EBC=∠ECM，∠BEC=∠CEM=90°，∴△CEM∽△BEC，∴，∵BM＝10．∴，∴，，∴，∴EC=12．【點(diǎn)睛】此題屬于圓的綜合題，涉及了等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形、三角形相似的知識，綜合性較強(qiáng)，解答本題需要我們熟練各部分的內(nèi)容，對學(xué)生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學(xué)知識貫穿起來．10．如圖，在中，，以邊為直徑作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)若，且，求線段的長．【答案】(1)見解析(2)8【分析】（1）連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可證，從而可得，即可解答；（2）在中，根據(jù)題意設(shè)，，從而求出，再在中，求出，然后根據(jù)，進(jìn)行計(jì)算求出，，最后在中利用勾股定理求出，即可解答．(1)證明：連接，，，，，，，，，，是的半徑，是的切線；(2)解：在中，，設(shè)，，，在中，，，，，，，，，，線段的長為．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．11．如圖，⊙O是ABC的外接圓，AB是的直徑，D是AB延長線上的一點(diǎn)，連接DC，∠DCB＝∠A，CE⊥AB于點(diǎn)E．(1)求證：DC是⊙O的切線；(2)若AC＝4，tan∠BCE＝，求DC的長；(3)在（2）的條件下，若M是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，求OM+AM的最小值．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）連接OC，通過角之間的互余關(guān)系推出∠OCD＝90°，從而證明DC是⊙O的切線；（2）根據(jù)題意易得Rt△ABC～Rt△CBE，利用相似三角的性質(zhì)解得三角形的各邊長，又可由Rt△DCE～Rt△DOC推出DC與BD之間的關(guān)系，最后在Rt△DOC中運(yùn)用勾股定理得DC2+OC2＝OD2，將相關(guān)線段代入求解即可；（3）如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)的最小值為的長，根據(jù)菱形的面積公式求解即可．(1)證明：如圖，根據(jù)題意連接OC，則有OC＝OA，∴∠A＝∠OCA＝∠BCD，∵AB是圓的直徑，∴∠ACB＝90°，即∠OCA+∠OCB＝90°，∴∠BCD+∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∴DC是⊙O的切線．(2)由（1）可知∠A+∠ABC＝90°，∠ECB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠ECB，∴Rt△ABC～Rt△CBE，∴＝，∵AC＝4，tan∠BCE＝，∴＝＝，解得BC＝2，∴AB＝＝2，∴OC＝OB＝，∵＝，即，解得BE＝，∴CE＝，∵Rt△DCE與Rt△DOC有公共角∠D，∴Rt△DCE～Rt△DOC，∴＝，即DC2＝DO?DE＝（+BD）（+BD），在Rt△DOC中有：DC2+OC2＝OD2，即（+BD）（+BD）+＝（+BD）2，解得BD＝，∴DC＝＝．(3)如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)CE⊥AB，是直徑當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)的最小值為的長的長即為所求，四邊形是菱形故OM+AM的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)，軸對稱求最短線段問題，垂線段最短，第三問中轉(zhuǎn)化線段是解題的關(guān)鍵．12．如圖，以△ABC的邊BC為直徑作⊙O，點(diǎn)A在⊙O上，點(diǎn)D在線段BC的延長線上，AD＝AB，∠D＝30°．（1）求證：直線AD是⊙O的切線；（2）過點(diǎn)O作OE∥AB交AC與點(diǎn)E，若直徑BC＝4，求OE的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)題意利用等腰三角形等邊對等角和三角形外角性質(zhì)與直角三角形兩銳角互余得出∠OAD=90°即可求證；（2）根據(jù)題意利用直徑所對圓周角為直角得∠BAC=90°，進(jìn)而由勾股定理求得，最后根據(jù)平行線性質(zhì)以及點(diǎn)E是AC中點(diǎn)，OE是△ABC的中位線即可求出答案.【詳解】解：（1）連接OA∵AD=AB且∠D=30°∴∠OBA=30°∵OA=OB∴∠OAB=∠OBA=30°∴∠AOD=60°∵∠D+∠AOD=90°∴∠OAD=90°∴OA⊥AD∵OA是⊙O的半徑∴AD是⊙O的切線；（2）∵BC是⊙O直徑∴∠BAC=90°∵∠ABC=30°且BC=4∴AC=2,由勾股定理可求：∵BC是⊙O直徑∴O是BC中點(diǎn)∵OE∥AB∴點(diǎn)E是AC中點(diǎn)，OE是△ABC的中位線∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的判定和圓周角定理，注意掌握等腰三角形等邊對等角和三角形外角性質(zhì)與直角三角形兩銳角互余以及證明切線時(shí)，連接過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．13．如圖，是的直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)是延長線上一點(diǎn)，，是的弦，．（1）求證：直線是的切線；（2）若，求的半徑；（3）若于點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，，，請找出，，之間的關(guān)系，并證明．【答案】（1）見解析；（2）3；（3），理由見解析【分析】（1）先求出∠BAD＝120°，再求出∠OAB，進(jìn)而得出∠OAD＝90°，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出△AOC是等邊三角形，得出AC＝OC，再判斷出AC＝CD，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出∠CAP＝∠CEM，進(jìn)而得出△ACP≌△ECM（SAS），進(jìn)而得出CM＝CP，∠APC＝∠M＝30°，再判斷出，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖，連接，，，，，，，，，點(diǎn)在上，∴直線是的切線；（2）解：如圖1，連接，由（1）知，，，，是等邊三角形，，，，，，即的半徑為3；（3），理由：如圖，，，連接，延長至，使，連接，，為的直徑，，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，，，過點(diǎn)作于，，在中，，，，，，，即．【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，主要考查了切線的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和勾股定理，構(gòu)造出直角三角形是解本題的關(guān)鍵．14．已知：如圖，是的直徑，，是上兩點(diǎn)，過點(diǎn)的切線交的延長線于點(diǎn)，，連接，．（1）求證：；（2）若，，求的半徑．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)，已知條件可得，進(jìn)而根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)圓周角定理可得，等量代換即可得證；（2）連接，根據(jù)同弧所對的圓周角相等，可得，進(jìn)而根據(jù)正切值以及已知條件可得的長，勾股定理即可求得，進(jìn)而即可求得圓的半徑．【詳解】（1）連接，如圖，是的切線，，，，，，，．（2）連接是的直徑，，，，，，，，，．即的半徑為．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，正切的定義，同弧所對的圓周角相等，勾股定理，理解題意添加輔助線是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在中，，以為直徑的分別與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．（1）求證：直線是的切線；（2）求證：；（3）若的半徑為2，，求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）連接OD，由DF⊥AC，證明OD∥AC即可；（2）連接AD，由△ADC∽△DFC，可得＝，即CD2＝CF?AC，再證明CD＝BC即可；（3）連接AD，OE，根據(jù)已知求出∠AOE＝90°，從而可得S扇形AOE和S△AOE，即可得到答案．【詳解】解：（1）連接，如圖：，，，，，∥，，，∴直線是的切線；（2）連接，如圖：為直徑，，，，∵，，，即，，，，；（3）連接，如圖：，，，，，的半徑為2，，．【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線判定、圓周角定理，扇形面積公式，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是恰當(dāng)連接輔助線，熟練掌握運(yùn)用圓的相關(guān)性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．16．如圖，BC是的直徑，A為上一點(diǎn)，連接AB、AC，于點(diǎn)D，E是直徑CB延長線上一點(diǎn)，且AB平分．（1）求證：AE是的切線；（2）若，，求EA．【答案】（1）見解析；（2）2【分析】（1）連接OA，根據(jù)角平分線定義和直角三角形兩個(gè)銳角互余即可證明從而可得結(jié)論；（2）根據(jù)直徑所對圓周角是直角可以證明∠C=∠BAD，所以tan∠C=tan∠BAD，再證明△ABE∽△CAE，可得，進(jìn)而可得結(jié)果．【詳解】證明：（1）連接∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，∵AB平分∠EAD，∴∠BAD=∠BAE，∴∠ABD+∠BAE=90°，∵OA=OB，∴∠ABD=∠OAB，∴∠OAB+∠BAE=90°，∴∠OAE=90°，∴OA⊥AE，而OA是半徑，∴AE是⊙O的切線；（2）解：∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC=90°，∴∠C+∠ABC=90°，∵∠ABC+∠BAD=90°，∴∠C=∠BAD，∴tan∠C=tan∠BAD，∵AD=2BD，∴，為的切線，為的直徑，而∵∠E=∠E，∴△