專題11三角形基礎(含等腰三角形、勾股定理)-5年(2018~2022)中考1年模擬數(shù)學分項匯編(北京專用)(原卷版+解析)

專題11三角形基礎（含等腰三角形、勾股定理）一、填空題1．（2022·北京·中考真題）如圖，在矩形中，若，則的長為_______．2．（2019·北京·中考真題）把圖1中的菱形沿對角線分成四個全等的直角三角形，將這四個直角三角形分別拼成如圖2，圖3所示的正方形，則圖1中菱形的面積為______．3．（2019·北京·中考真題）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則＝_____°（點A，B，P是網(wǎng)格線交點）.4．（2018·北京·中考真題）下圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，________．（填“”，“”或“”）5．（2018·北京·中考真題）如圖，在矩形中，是邊的中點，連接交對角線于點，若，，則的長為________．二、解答題6．（2022·北京·中考真題）在中，，D為內(nèi)一點，連接，，延長到點，使得(1)如圖1，延長到點，使得，連接，，若，求證：；(2)連接，交的延長線于點，連接，依題意補全圖2，若，用等式表示線段與的數(shù)量關系，并證明．7．（2021·北京·中考真題）《淮南子?天文訓》中記載了一種確定東西方向的方法，大意是：日出時，在地面上點處立一根桿，在地面上沿著桿的影子的方向取一點，使兩點間的距離為10步（步是古代的一種長度單位），在點處立一根桿；日落時，在地面上沿著點處的桿的影子的方向取一點，使兩點間的距離為10步，在點處立一根桿．取的中點，那么直線表示的方向為東西方向．（1）上述方法中，桿在地面上的影子所在直線及點的位置如圖所示．使用直尺和圓規(guī)，在圖中作的中點（保留作圖痕跡）；（2）在如圖中，確定了直線表示的方向為東西方向．根據(jù)南北方向與東西方向互相垂直，可以判斷直線表示的方向為南北方向，完成如下證明．證明：在中，______________，是的中點，（______________）（填推理的依據(jù)）．∵直線表示的方向為東西方向，∴直線表示的方向為南北方向．8．（2021·北京·中考真題）在平面直角坐標系中，的半徑為1，對于點和線段，給出如下定義：若將線段繞點旋轉(zhuǎn)可以得到的弦（分別是的對應點），則稱線段是的以點為中心的“關聯(lián)線段”．（1）如圖，點的橫?縱坐標都是整數(shù)．在線段中，的以點為中心的“關聯(lián)線段”是______________；（2）是邊長為1的等邊三角形，點，其中．若是的以點為中心的“關聯(lián)線段”，求的值；（3）在中，．若是的以點為中心的“關聯(lián)線段”，直接寫出的最小值和最大值，以及相應的長．9．（2020·北京·中考真題）在中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中點．E為直線上一動點，連接DE，過點D作DF⊥DE，交直線BC于點F，連接EF．（1）如圖1，當E是線段AC的中點時，設，求EF的長（用含的式子表示）；（2）當點E在線段CA的延長線上時，依題意補全圖2，用等式表示線段AE，EF，BF之間的數(shù)量關系，并證明．10．（2018·北京·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動點（不與點A、B重合），連接DE，點A關于直線DE的對稱點為F，連接EF并延長交BC于點G，連接DG，過點E作EH⊥DE交DG的延長線于點H，連接BH．（1）求證：GF=GC；（2）用等式表示線段BH與AE的數(shù)量關系，并證明．11．（2018·北京·中考真題）如圖，在四邊形中，AB//DC，，對角線，交于點，平分，過點作交的延長線于點，連接．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，，求的長．一、填空題1．（2022·北京四中模擬預測）如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，∠CAD＝45°，則∠BOC＝_____°．2．（2022·北京房山·一模）如圖，點A，B，C在⊙O上，若∠OCB=20°，則∠A度數(shù)為_________．3．（2022·北京市燕山教研中心一模）是平面直角坐標系中的兩點，線段長度的最小值為____________．4．（2022·北京門頭溝·一模）石拱橋是中國傳統(tǒng)橋梁四大基本形式之一，如圖，已知一石拱橋的橋頂?shù)剿娴木嚯xCD為8m，橋拱半徑OC為5m，求水面寬AB＝_____m．5．（2022·北京師大附中模擬預測）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，點E在邊BC上，DF⊥AE，垂足為F，若DF＝6，則線段EF的長為_____．6．（2022·北京房山·一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線MN交AC于D點．若BD平分∠ABC，則∠A＝________________

°．7．（2022·北京朝陽·模擬預測）已知如圖，在ABC中，BAE=CAE,BEAE于點E，若ABC=3ACB,則AB,AC,BE之間的數(shù)量關系____________．8．（2022·北京十一學校一分校一模）如圖，PA，PB分別切半徑為1的⊙O于A，B兩點，BC為直徑，若，則PB的長為_____．9．（2022·北京通州·一模）如圖，PA，PB是的切線，切點分別為A，B，連接OB，AB．如果，那么∠P的度數(shù)為______．10．（2022·北京房山·二模）如圖，點在直線外，點、、、均在直線上，如果，只需添加一個條件即可證明，這個條件可以是________（寫出一個即可）．11．（2022·北京市燕山教研中心一模）如圖，在中，點D、E分別、上的點，與交于點O．給出下列三個條件：①；②；③．利用其中兩個條件可以證明是等腰三角形，這兩個條件可以是____________．12．（2022·北京順義·一模）如圖，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，將矩形ABCD繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到矩形EFCG，連接AE，取AE的中點H，連接DH，則_______．13．（2022·北京昌平·模擬預測）已知三角形三邊長分別為6，8，10，則此三角形的面積為__________．14．（2022·北京·中國人民大學附屬中學分校一模）如圖，在矩形ABCD中，點E在邊CD上，將矩形ABCD沿AE所在直線折疊，點D恰好落在邊BC上的點F處．若AB=8，DE=5，則折痕AE的長為________．15．（2022·北京·模擬預測）勘測隊按實際需要構建了平面直角坐標系，并標示了A，B，C三地的坐標，數(shù)據(jù)如圖（單位：km）．筆直鐵路經(jīng)過A，B兩地．（1）A，B間的距離為______km；（2）計劃修一條從C到鐵路AB的最短公路l，并在l上建一個維修站D，使D到A，C的距離相等，則C，D間的距離為______km．16．（2022·北京·二模）在平面直角坐標系xOy中，已知點Q（5，2），Z（5，3），⊙Q的半徑為1，直線l：y＝ax，給出下列四個結論：①當a＝1時，直線l與⊙Q相離；②若直線l是⊙Q的一條對稱軸，則；③若直線l與⊙Q只有一個公共點T，則；④若直線l上存在點Y，⊙Q上存在點C，使得∠ZYC＝90°，則a的最大值為．其中所有正確結論的序號是_____．二、解答題17．（2022·北京平谷·一模）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，點D為AB邊中點，過D點作AB的垂線交BC于點E，在直線DE上截取DF，使DF＝ED，連接AE、AF、BF．(1)求證：四邊形AEBF是菱形；(2)若cos∠EBF＝，BF＝5，連接CD，求CD的長．18．（2022·北京東城·一模）如圖，在中，，以AB為直徑作，交BC于點D，交AC于點E，過點B作的切線交OD的延長線于點F．(1)求證：；(2)若，，求AE的長．19．（2022·北京豐臺·一模）《周髀算經(jīng)》中記載了一種確定東南西北方向的方法．大意是：在平地上點A處立一根桿，記錄日出時桿影子的長度AB，并以點A為圓心，以AB為半徑畫圓，記錄同一天日落時桿影子的痕跡與此圓的交點C，那么直線CB表示的方向就是東西方向，∠BAC的角平分線所在的直線表示的方向就是南北方向．(1)上述方法中，點A，B，C的位置如圖所示，使用直尺和圓規(guī)，在圖中作∠BAC的角平分線AD（保留作圖痕跡）；(2)在圖中，確定了直線CB表示的方向為東西方向，根據(jù)南北方向與東西方向互相垂直，可以判斷直線AD表示的方向為南北方向，完成如下證明．證明：∵點B，C在⊙O上，∴AB＝．∴△ABC是等腰三角形．∵AD平分∠BAC，∴AD⊥BC（）（填推理的依據(jù)）．∵直線CB表示的方向為東西方向，∴直線AD表示的方向為南北方向．20．（2022·北京市燕山教研中心一模）如圖，在三角形中，，，是邊的高線，將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接交于點F．(1)依題意補全圖形，寫出____________°(2)求和的度數(shù)；(3)用等式表示線段之間的數(shù)量關系，并證明．21．（2022·北京門頭溝·一模）如圖，在等邊中，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段．連接，作的平分線，交于．(1)①根據(jù)題意，補全圖形；②請用等式寫出與的數(shù)量關系，并證明．(2)分別延長和交于點，用等式表示線段，，的數(shù)量關系，并證明．22．（2022·北京朝陽·一模）在中，D是的中點，且，將線段沿所在直線翻折，得到線段，作交直線于點E．(1)如圖，若，①依題意補全圖形；②用等式表示線段之間的數(shù)量關系，并證明；(2)若，上述結論是否仍然成立？若成立，簡述理由：若不成立，直接用等式表示線段之間新的數(shù)量關系（不需證明）．23．（2022·北京市廣渠門中學模擬預測）如圖，AB是的直徑，弦，垂足為H，E為上一點，過點E作的切線，分別交的延長線于點F，G連接AE，交CD于點P．(1)求證：；(2)連接AD，若，求半徑．24．（2022·北京東城·一模）對于平面直角坐標系中的點C及圖形G，有如下定義：若圖形G上存在A，B兩點，使得為等腰直角三角形，且，則稱點C為圖形G的“友好點”．(1)已知點，，在點，，中，線段OM的“友好點”是_______；(2)直線分別交x軸、y軸于P，Q兩點，若點為線段PQ的“友好點”，求b的取值范圍；(3)已知直線分別交x軸、y軸于E，F(xiàn)兩點，若線段EF上的所有點都是半徑為2的的“友好點”，直接寫出d的取值范圍．專題11三角形基礎（含等腰三角形、勾股定理）一、填空題1．（2022·北京·中考真題）如圖，在矩形中，若，則的長為_______．【答案】1【解析】解：在矩形中：，，∴，，∴，∴，故答案為：1．2．（2019·北京·中考真題）把圖1中的菱形沿對角線分成四個全等的直角三角形，將這四個直角三角形分別拼成如圖2，圖3所示的正方形，則圖1中菱形的面積為______．【答案】12【解析】解：如圖1所示：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，設OA=x，OB=y，由題意得：，解得：，∴AC=2OA=6，BD=2OB=4，∴菱形ABCD的面積=；故答案為12．3．（2019·北京·中考真題）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則＝_____°（點A，B，P是網(wǎng)格線交點）.【答案】45【解析】解：延長AP交格點于D，連接BD，則PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，∴PD2+DB2=PB2，∴∠PDB=90°，即△PBD為等腰直角三角形，∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°，故答案為：45．4．（2018·北京·中考真題）下圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，________．（填“”，“”或“”）【答案】>【解析】解：如下圖所示，是等腰直角三角形，∴，∴．故答案為另：此題也可直接測量得到結果．5．（2018·北京·中考真題）如圖，在矩形中，是邊的中點，連接交對角線于點，若，，則的長為________．【答案】【解析】解：∵四邊形是矩形，∴，//，，在中，，∴，∵是中點，∴，∵//，∴，∴．故答案為：．二、解答題6．（2022·北京·中考真題）在中，，D為內(nèi)一點，連接，，延長到點，使得(1)如圖1，延長到點，使得，連接，，若，求證：；(2)連接，交的延長線于點，連接，依題意補全圖2，若，用等式表示線段與的數(shù)量關系，并證明．【答案】(1)見解析(2)；證明見解析【解析】(1)證明：在和中，，∴，∴，∴，∵，∴．(2)解：補全后的圖形如圖所示，，證明如下：延長BC到點M，使CM＝CB，連接EM，AM，∵，CM＝CB，∴垂直平分BM，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴．7．（2021·北京·中考真題）《淮南子?天文訓》中記載了一種確定東西方向的方法，大意是：日出時，在地面上點處立一根桿，在地面上沿著桿的影子的方向取一點，使兩點間的距離為10步（步是古代的一種長度單位），在點處立一根桿；日落時，在地面上沿著點處的桿的影子的方向取一點，使兩點間的距離為10步，在點處立一根桿．取的中點，那么直線表示的方向為東西方向．（1）上述方法中，桿在地面上的影子所在直線及點的位置如圖所示．使用直尺和圓規(guī)，在圖中作的中點（保留作圖痕跡）；（2）在如圖中，確定了直線表示的方向為東西方向．根據(jù)南北方向與東西方向互相垂直，可以判斷直線表示的方向為南北方向，完成如下證明．證明：在中，______________，是的中點，（______________）（填推理的依據(jù)）．∵直線表示的方向為東西方向，∴直線表示的方向為南北方向．【答案】（1）圖見詳解；（2），等腰三角形的三線合一【解析】解：（1）如圖所示：（2）證明：在中，，是的中點，（等腰三角形的三線合一）（填推理的依據(jù)）．∵直線表示的方向為東西方向，∴直線表示的方向為南北方向；故答案為，等腰三角形的三線合一．8．（2021·北京·中考真題）在平面直角坐標系中，的半徑為1，對于點和線段，給出如下定義：若將線段繞點旋轉(zhuǎn)可以得到的弦（分別是的對應點），則稱線段是的以點為中心的“關聯(lián)線段”．（1）如圖，點的橫?縱坐標都是整數(shù)．在線段中，的以點為中心的“關聯(lián)線段”是______________；（2）是邊長為1的等邊三角形，點，其中．若是的以點為中心的“關聯(lián)線段”，求的值；（3）在中，．若是的以點為中心的“關聯(lián)線段”，直接寫出的最小值和最大值，以及相應的長．【答案】（1）；（2）；（3）當時，此時；當時，此時．【解析】解：（1）由題意得：通過觀察圖象可得：線段能繞點A旋轉(zhuǎn)90°得到的“關聯(lián)線段”，都不能繞點A進行旋轉(zhuǎn)得到；故答案為；（2）由題意可得：當是的以點為中心的“關聯(lián)線段”時，則有是等邊三角形，且邊長也為1，當點A在y軸的正半軸上時，如圖所示：設與y軸的交點為D，連接，易得軸，∴，∴，，∴，∴；當點A在y軸的正半軸上時，如圖所示：同理可得此時的，∴；（3）由是的以點為中心的“關聯(lián)線段”，則可知都在上，且，則有當以為圓心，1為半徑作圓，然后以點A為圓心，2為半徑作圓，即可得到點A的運動軌跡，如圖所示：由運動軌跡可得當點A也在上時為最小，最小值為1，此時為的直徑，∴，∴，∴；由以上情況可知當點三點共線時，OA的值為最大，最大值為2，如圖所示：連接，過點作于點P，∴，設，則有，∴由勾股定理可得：，即，解得：，∴，∴，在中，，∴；綜上所述：當時，此時；當時，此時．9．（2020·北京·中考真題）在中，∠C=90°，AC＞BC，D是AB的中點．E為直線上一動點，連接DE，過點D作DF⊥DE，交直線BC于點F，連接EF．（1）如圖1，當E是線段AC的中點時，設，求EF的長（用含的式子表示）；（2）當點E在線段CA的延長線上時，依題意補全圖2，用等式表示線段AE，EF，BF之間的數(shù)量關系，并證明．【答案】（1）；（2）圖見解析，，證明見解析．【解析】（1）∵D是AB的中點，E是線段AC的中點∴DE為的中位線，且∴，∵∴∵∴∴四邊形DECF為矩形∴∴則在中，；（2）過點B作AC的平行線交ED的延長線于點G，連接FG∵∴，∵D是AB的中點∴在和中，∴∴，又∵∴DF是線段EG的垂直平分線∴∵，∴在中，由勾股定理得：∴．10．（2018·北京·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動點（不與點A、B重合），連接DE，點A關于直線DE的對稱點為F，連接EF并延長交BC于點G，連接DG，過點E作EH⊥DE交DG的延長線于點H，連接BH．（1）求證：GF=GC；（2）用等式表示線段BH與AE的數(shù)量關系，并證明．【答案】（1）證明見解析；（2）BH=AE，理由見解析【解析】（1）證明：連接．∵，關于對稱．∴．．在和中，∴，∴．∵四邊形是正方形，∴．，∴，∴，∴，∵，，∴．在和中．∴≌，∴．（2）．證明：在上取點使得，連接．∵四這形是正方形．∴，．∵≌，∴．同理：，∴∵，∴，∴，∴．∴．∵，∴．∵，∴，∴．∵，，∴．在和中，∴≌，∴，在中，，．∴，∴．11．（2018·北京·中考真題）如圖，在四邊形中，AB//DC，，對角線，交于點，平分，過點作交的延長線于點，連接．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，，求的長．【答案】（1）證明見解析；（2）OE=2．【解析】（1）證明：∵AB//CD，∴，∵平分，∴，∴，∴，又∵，∴，又∵∥，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴是菱形．（2）解：∵四邊形是菱形，對角線、交于點，∴，，，∴，在Rt△AOB中，，∴，∵，∴，在Rt△AEC中，，為中點，∴．一、填空題1．（2022·北京四中模擬預測）如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，∠CAD＝45°，則∠BOC＝_____°．【答案】45【解析】解：∵⊙O的直徑AB垂直于弦CD，∴CE＝DE，∴AB垂直平分CD∴AC＝AD∴△ACD是等腰三角形∴∠BAC＝∠CAD＝×45°＝22.5°∴∠BOC＝2∠BAC＝45°，故答案為：45．2．（2022·北京房山·一模）如圖，點A，B，C在⊙O上，若∠OCB=20°，則∠A度數(shù)為_________．【答案】70°【解析】解：∵OB＝OC，∠OCB＝20°，∴∠OBC＝∠OCB＝20°，∴∠BOC＝180°―∠OBC―∠OCB＝180°﹣20°﹣20°＝140°，∴∠A＝∠BOC＝70°故答案為：70°3．（2022·北京市燕山教研中心一模）是平面直角坐標系中的兩點，線段長度的最小值為____________．【答案】3【解析】解：∵A（a，0），B（5，3），∴，當，即時，線段AB的長度的值最小，此時，故答案為：3．4．（2022·北京門頭溝·一模）石拱橋是中國傳統(tǒng)橋梁四大基本形式之一，如圖，已知一石拱橋的橋頂?shù)剿娴木嚯xCD為8m，橋拱半徑OC為5m，求水面寬AB＝_____m．【答案】8．【解析】連結OA，拱橋半徑OC為5cm，cm，m，cm，mm，故答案為：8．5．（2022·北京師大附中模擬預測）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，點E在邊BC上，DF⊥AE，垂足為F，若DF＝6，則線段EF的長為_____．【答案】3【解析】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝10，，∴∠AEB＝∠DAF，∴△AFD∽△EBA，∴，∵DF＝6，∴，∴，∴AE＝5，∴EF＝AF－AE＝8－5＝3，故答案為：3．6．（2022·北京房山·一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線MN交AC于D點．若BD平分∠ABC，則∠A＝________________

°．【答案】36【解析】∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵AB的垂直平分線MN交AC于D點．∴∠A＝∠ABD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠C＝2∠A＝∠ABC，設∠A為x，可得：x+x+x+2x＝180°，解得：x＝36°，故答案為36．7．（2022·北京朝陽·模擬預測）已知如圖，在ABC中，BAE=CAE,BEAE于點E，若ABC=3ACB,則AB,AC,BE之間的數(shù)量關系____________．【答案】【解析】【分析】延長BE交AC于點F，證明AF=AB，得AC-AB=CF，再證明CF=BF=2BE即可得到結論．【詳解】如圖，延長BE交AC于點F，∵AE⊥BE，∴∠AEB=∠AEF=90?，在△AEB中，∵∠ABE+∠BAE+∠AEB=180?，∴∠ABE=90?-∠BAE，同理，∠AFE=90?-∠FAE，∵∠BAE=∠FAE，∴∠ABE=∠AFE，∴AB=AF，∵AE⊥BE，∴BF=2BE，∴AC-AB=AC-AF=CF，∵∠AFB是△BCF的外角，∴∠AFB=∠FBC+∠C∵∠ABC=3∠C∴∠ABC=∠ABF+∠CBF=∠AFB+∠CBF，∴3∠C=∠AFB+∠CBF=2∠CBF+∠C∴∠CBF=∠C∴BF=CF∴AC-AB=BF=2BE，即故答案為：．8．（2022·北京十一學校一分校一模）如圖，PA，PB分別切半徑為1的⊙O于A，B兩點，BC為直徑，若，則PB的長為_____．【答案】【解析】解：連接OP，OA，如圖：∵PA，PB是⊙O的切線，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，∵，∴，，故答案為：．9．（2022·北京通州·一模）如圖，PA，PB是的切線，切點分別為A，B，連接OB，AB．如果，那么∠P的度數(shù)為______．【答案】40°【解析】解：∵PA、PB是⊙O的切線，∴OB⊥BP，PA=PB，∴∠OBP=90°，∵，∴∠ABP=70°，∵PA=PB，，∴∠BAP=∠ABP=70°，∴∠P=180°-∠BAP-∠ABP=180°-70°-70°=40°，故答案為：40°10．（2022·北京房山·二模）如圖，點在直線外，點、、、均在直線上，如果，只需添加一個條件即可證明，這個條件可以是________（寫出一個即可）．【答案】∠A＝∠B【解析】解：條件是∠A＝∠B理由是：∵∠A＝∠B∴PA＝PB在和中，∴（SAS）故答案為：∠A＝∠B11．（2022·北京市燕山教研中心一模）如圖，在中，點D、E分別、上的點，與交于點O．給出下列三個條件：①；②；③．利用其中兩個條件可以證明是等腰三角形，這兩個條件可以是____________．【答案】①③或②③【解析】當、時在和中∴∴，∵，∴在和中∴∴是等腰三角形，即①③可以證明是等腰三角形；當、時在和中∴∴，，∵，∴在和中∴∴是等腰三角形，即②③可以證明是等腰三角形；故答案為：①③或②③．12．（2022·北京順義·一模）如圖，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，將矩形ABCD繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到矩形EFCG，連接AE，取AE的中點H，連接DH，則_______．【答案】【解析】如圖，延長DH交EF于點k，∵H是的中點又則故答案為：13．（2022·北京昌平·模擬預測）已知三角形三邊長分別為6，8，10，則此三角形的面積為__________．【答案】24【解析】∵62+82=102，∴此三角形為直角三角形，∴此三角形的面積為：．故答案為：24．14．（2022·北京·中國人民大學附屬中學分校一模）如圖，在矩形ABCD中，點E在邊CD上，將矩形ABCD沿AE所在直線折疊，點D恰好落在邊BC上的點F處．若AB=8，DE=5，則折痕AE的長為________．【答案】【解析】解：∵四邊形ABCD是長方形，∴∠C=90°，AB=CD，AD=BC，由折疊的性質(zhì)可得：EF=DE=5，AD=AF，∴CE=CD-DE=3，在Rt△CEF中，CF=．∴設AD=BC=AF=x，則BF=x-4，∴在Rt△ABF中，，解得：x=10，∴在Rt△ADE中，AE=．故答案為5．15．（2022·北京·模擬預測）勘測隊按實際需要構建了平面直角坐標系，并標示了A，B，C三地的坐標，數(shù)據(jù)如圖（單位：km）．筆直鐵路經(jīng)過A，B兩地．（1）A，B間的距離為______km；（2）計劃修一條從C到鐵路AB的最短公路l，并在l上建一個維修站D，使D到A，C的距離相等，則C，D間的距離為______km．【答案】

20

13【解析】（1）由A、B兩點的縱坐標相同可知：AB∥x軸，∴AB=12﹣（﹣8）=20；（2）過點C作l⊥AB于點E，連接AC，作AC的垂直平分線交直線l于點D，由（1）可知：CE=1﹣（﹣17）=18，AE=12，設CD=x，∴AD=CD=x，由勾股定理可知：x2=（18﹣x）2+122，∴解得：x=13，∴CD=13．故答案為（1）20；（2）13．16．（2022·北京·二模）在平面直角坐標系xOy中，已知點Q（5，2），Z（5，3），⊙Q的半徑為1，直線l：y＝ax，給出下列四個結論：①當a＝1時，直線l與⊙Q相離；②若直線l是⊙Q的一條對稱軸，則；③若直線l與⊙Q只有一個公共點T，則；④若直線l上存在點Y，⊙Q上存在點C，使得∠ZYC＝90°，則a的最大值為．其中所有正確結論的序號是_____．【答案】①②③④【解析】解：如圖：①當a＝1時，直線l為y＝x，如圖，直線l與⊙Q相離，則①正確；②若直線l是⊙Q的一條對稱軸，則一定過圓心，故將Q（5，2）代入y＝ax，可得，則②正確；③若直線l與⊙Q只有一個公共點T，則直線l與⊙Q相切，如圖中由題意得與⊙Q相切⊙Q的半徑為1則③正確；④若直線l上存在點Y，⊙Q上存在點C，使得∠ZYC=90°，并使y=ax中a取得最大值，則如圖，則YZ∥x軸，YC∥y軸，即Y（4，3），代入y=ax，得a=則a的最大值為④正確；故答案為：①②③④．二、解答題17．（2022·北京平谷·一模）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，點D為AB邊中點，過D點作AB的垂線交BC于點E，在直線DE上截取DF，使DF＝ED，連接AE、AF、BF．(1)求證：四邊形AEBF是菱形；(2)若cos∠EBF＝，BF＝5，連接CD，求CD的長．【答案】(1)見解析(2)【解析】(1)解：∵D是AB的中點，∴AD=BD，∵DE=DF，∴四邊形AEBF是平行四邊形，∵EF⊥AB，∴四邊形AEBF是菱形；(2)解：∵四邊形AEBF是菱形，∴，AE=BF=BE=5，∴∠AEC=∠EBF，∵∠ACB=90°，∴，∴CE=3，∴，BC=CE+BE=8，∴，∵D是AB的中點，∠ACB=90°，∴．18．（2022·北京東城·一模）如圖，在中，，以AB為直徑作，交BC于點D，交AC于點E，過點B作的切線交OD的延長線于點F．(1)求證：；(2)若，，求AE的長．【答案】(1)見解析(2)【解析】(1)證明：(2)解：如圖：連接BE是的直徑，AB=4，是的切線又又，解得19．（2022·北京豐臺·一模）《周髀算經(jīng)》中記載了一種確定東南西北方向的方法．大意是：在平地上點A處立一根桿，記錄日出時桿影子的長度AB，并以點A為圓心，以AB為半徑畫圓，記錄同一天日落時桿影子的痕跡與此圓的交點C，那么直線CB表示的方向就是東西方向，∠BAC的角平分線所在的直線表示的方向就是南北方向．(1)上述方法中，點A，B，C的位置如圖所示，使用直尺和圓規(guī)，在圖中作∠BAC的角平分線AD（保留作圖痕跡）；(2)在圖中，確定了直線CB表示的方向為東西方向，根據(jù)南北方向與東西方向互相垂直，可以判斷直線AD表示的方向為南北方向，完成如下證明．證明：∵點B，C在⊙O上，∴AB＝．∴△ABC是等腰三角形．∵AD平分∠BAC，∴AD⊥BC（）（填推理的依據(jù)）．∵直線CB表示的方向為東西方向，∴直線AD表示的方向為南北方向．【答案】(1)見解析(2)AC；等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線，底邊上的高相互重合【解析】(1)解：如圖所示，射線AD即為∠BAC的角平分線；(2)解：證明：∵點B，C在⊙O上，∴AB＝AC．∴△ABC是等腰三角形．∵AD平分∠BAC，∴AD⊥BC（等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線，底邊上的高相互重合）（填推理的依據(jù)）．∵直線CB表示的方向為東西方向，∴直線AD表示的方向為南北方向．故答案為：AC；等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線，底邊上的高相互重合20．（2022·北京市燕山教研中心一模）如圖，在三角形中，，，是邊的高線，將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接交于點F．(1)依題意補全圖形，寫出____________°(2)求和的度數(shù)；(3)用等式表示線段之間的數(shù)量關系，并證明．【答案】(1)圖見解析，°(2)，(3)，證明見解析【解析】(1)解：如圖分別以A，C為圓心，以AC為半徑作弧，兩弧交于點E，連接BE交AD于點F，則∠CAE=60°；(2)解：∵，是邊的高線，∴，∵線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，又，∴，在中，，∴∴又∵是邊的高線，∴∵∠BFD=∠BAF+∠ABF，∴．(3)解：如圖，在EF上取點M，使EM=BF，連接AM，∵AB=AE，∠ABF=∠AEM，BF=EM，∴△ABF≌△AEM（SAS），∴AF=AM，∠BAF=∠EAM，∵∠DAC=∠BAF，∴∠DAC=∠EAM，∵∠CAE=60°，∴∠FAM=60°，∴△AFM是等邊三角形，∴FM=AF，∴AF+BF=EF；21．（2022·北京門頭溝·一模）如圖，在等邊中，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段．連接，作的平分線，交于．(1)①根據(jù)題意，補全圖形；②請用等式寫出與的數(shù)量關系，并證明．(2)分別延長和交于點，用等式表示線段，，的數(shù)量關系，并證明．【答案】(1)①見解析，②∠BAD＝2∠BCD，證明見解析；(2)＝＋，證明見解析．【解析】(1)解：①補全圖形如圖1，②∠BAD＝2∠BCD證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AD＝AC，∠CAD＝，∴△ADC是等腰三角形∴∠ADC＝∠ACD＝（180°－∠CAD）＝（180°－）＝90°－∵△ABC是等邊三角形∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC＝AD∴∠BCD＝∠ADC－∠ACB＝（90°－）－60°＝30°－∵∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝60°－＝2（30°－）∴∠BAD＝2∠BCD(2)解：＝＋，理由如下：如圖2，連接GF，在AF上截取FG＝DF，∵AE平分∠BAD∴∠BAF＝∠DAF＝∠BAD∵AB＝AC，AC＝AD∴AB＝AD又∵AF＝AF∴△ABF≌△ADF（SAS）∴BF＝DF∵∠BAD＝2∠BCD∴∠BCD＝∠BAD∴∠BCD＝∠BAF＝∠DAF∵∠BAF＋∠ABC＋∠AEB＝180°，∠BCD＋∠CFE＋∠CEF＝180°，∠AEB＝∠CEF∴∠CFG＝∠ABC＝60°∴∠AFB＝∠AFD＝60°∴∠BFC＝∠AFB＋∠AFD＝120°∵FG＝DF∴△DFG是等邊三角形∴DG＝DF＝BF，∠DGF＝60°，∴∠AGD＝180°－∠DGF＝120°∴∠AGD＝∠CFB在△BCF和△DAG中，∴△BCF≌△DAG（AAS）∴CF＝AG∴AF＝AG＋FG＝CF＋DF即AF＝CF＋DF22．（2022·北京朝陽·一模）在中，D是的中點，且，將線段沿所在直線翻折，得到線段，作交直線于點E．(1)如圖，若，①依題意補全圖形；②用等式表示線段之間的數(shù)量關系，并證明；(2)若，