第2章軸對稱圖形章末復(fù)習(xí)培優(yōu)卷-《講亮點》2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊教材講練（蘇科版）

第2章軸對稱圖形章末復(fù)習(xí)培優(yōu)卷注意事項：本試卷滿分130分，考試時間120分鐘，試題共28題。答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置選擇題（10小題，每小題3分，共30分）1．下列由數(shù)字組成的圖案中，屬于軸對稱圖形的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，進行分析即可．【詳解】解：選項A、B、C不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形，選項D能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形，故選：D．【點睛】此題主要考查了軸對稱圖形，關(guān)鍵是正確確定對稱軸位置．2．如圖，在中，是的垂直平分線．若，的周長為8，則的周長為（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案．【詳解】解：解：是的垂直平分線，，，，的周長為8，，的周長，故選：D．【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．3．如圖，已知，，則點O是（

）A．三條邊垂直平分線的交點 B．三條角平分線的交點C．三條中線的交點 D．三條高的交點【答案】A【解析】【分析】根據(jù)線段垂直平分線的判定定理解答．【詳解】解：∵OA=OB，∴點O在線段AB的垂直平分線上，∵OB=OC，∴點O在線段BC的垂直平分線上，∴點O為△ABC的三條邊的垂直平分線的交點，故選：A．【點睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．此題比較簡單，注意熟記定理是解此題的關(guān)鍵．4．如圖，長方形紙片中，AB，DC邊上分別有點E，F(xiàn)，將長方形紙片沿EF翻折至同一平面后，點A，D分別落在點G，H處．若，則∠DFE的度數(shù)是（

）A．75° B．76° C．77° D．78°【答案】B【解析】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠AEF=∠GEF，再由，可得∠AEF+∠GEF=∠AEF+∠BEF+∠BEG=208°，從而得到∠AEF=104°，然后根據(jù)AB∥CD，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：∠AEF=∠GEF，∠AEF+∠BEF=180°，AB∥CD，∵，∴∠AEF+∠GEF=∠AEF+∠BEF+∠BEG=208°，∴∠AEF=104°，∵AB∥CD，∴∠DFE=180°∠AEF=76°．故選：B【點睛】本題主要考查了圖形的折疊，平行線的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．如圖，△ABC中，AB的垂直平分線DG交∠ACB的平分線CD于點D，過D作DE⊥AC于點E，若AC＝10，CB＝4，則AE＝（）A．2 B．3 C．6 D．7【答案】B【解析】【分析】由角平分線的性質(zhì)得出．證明，得出，同理，得出，進而得出答案．【詳解】解：連接、，作于，如圖所示：點在的垂直平分線上，點在的平分線上，，，．在和中，，，，同理：，，，，，，；故選：B．【點睛】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)．6．如圖，是一鋼架，，為使鋼架更加牢固，需在其內(nèi)部添加一些鋼管，，，…，添加的鋼管長度都與的長度相等，則最多能添加的鋼管根數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．無數(shù)【答案】A【解析】【分析】因為添加的鋼管長度都與OE相等，且∠AOB＝18，所以∠EFO＝18，∠FEG＝36，

∠FGO＝∠FEG＝36，依次類推，第4個等腰三角形的底角為72，第5個等腰三角形的底角為90，則第5個等腰三角形不存在．因此，最多添加4根．【詳解】

如圖∵△OEF中，OE＝EF，∠AOB＝18∴∠EFO＝∠EOF＝18

∴∠FEG＝∠EFO＋∠EOF＝36∵FE＝FG∴∠FGO＝36∴∠GFH＝∠GOF＋∠FGH＝54∵GF＝GH∴∠GHO＝54∴∠HGM＝∠GOH＋∠GHO＝72∵HG＝HM∴∠HMO＝72∴∠MHB＝∠MOH＋∠HMO＝90此時，不能再添加了，因此最多添加4根，故選：A．【點睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角定理．熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．7．用一條寬相等的足夠長的紙條，打一個結(jié)，如圖1所示，然后輕輕拉緊、壓平就可以得到如圖2所示的正五邊形，其中（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式和正五邊形每個內(nèi)角都相等可得，再根據(jù)等腰三角形和三角形外角可得.【詳解】解：∵正五邊形ABCDE內(nèi)角和為：,∴，∵，∴，，∴，∴.故選：C.【點睛】本題主要考查正五邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，解決本題的關(guān)鍵是要熟練運用正五邊形和等腰三角形的性質(zhì).8．如圖，在四邊形ABCD中，，，，，，則CD的長為（

）．A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解析】【分析】先延長AD、BC交于E，根據(jù)已知證出△EDC是等邊三角形，設(shè)CD=CE=DE=x，根據(jù)AD=8，BC=2和30度角所對的直角邊等于斜邊的一半，求出x的值即可．【詳解】解：延長AD、BC交于E，∵∠A=30°,∠B=90°，∴∠E=60°，∵∠ADC=120°，∴∠EDC=60°，∴△EDC是等邊三角形，設(shè)CD=CE=DE=x，∵AD=8，BC=2，∴2(2+x)=x+8，解得；x=4，∴CD=4，故選：C【點睛】本題考查30度角所對的直角邊等于斜邊的一半，等邊三角形的判定，熟練掌握含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．9．如圖，在△ABC中，∠B、∠C的平分線交于點F，過點F作DE∥BC交AB于點D，交AC于點E，下列結(jié)論：①△BDF，△ADE都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周長等于AB＋AC；④BF＝CF；⑤若∠A＝80°，則∠BFC＝130°，其中正確的有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【解析】【分析】由平行線得到角相等，由角平分線得角相等，根據(jù)平行線的性質(zhì)及等腰三角形的判定和性質(zhì)．【詳解】∵∠B、∠C的角平分線交于點F，∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF，設(shè)∠DBF＝∠CBF＝α，∠ECF＝∠BCF＝β，∵，∴∠DFB＝∠CBF＝α，∠EFC＝∠BCF＝β，∴∠DBF＝∠DFB，∠EFC＝∠ECF，∴DB＝DF，EF＝EC，∴△BDF與△CEF為等腰三角形，∴DE＝DF＋EF＝BD＋CE，△ADE的周長為AD＋AE＋DE＝AD＋AE＋BD＋CE＝AB＋AC，∵只有當(dāng)△ABC是等腰三角形時，△ADE是等腰三角形，且BF＝CF，∴②③正確，①④不正確，∵∠A＝80°，∴∠FBC＋∠FCB＝＝50°，∴∠BFC＝180°－50°＝130°，故⑤正確．故選：B．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)；題目利用了兩直線平行，內(nèi)錯角相等，及等角對等邊來判定等腰三角形的；等量代換的利用是解答本題的關(guān)鍵．10．如圖，△ABC中，∠A=30°，BC=3，△ABC的面積9，點D、E、F分別是三邊AB、BC、CA上的動點，則△DEF周長的最小值為（

）A．5 B．6 C．8 D．10【答案】B【解析】【分析】作點關(guān)于的對稱點，作點關(guān)于的對稱點，連接，交于點，交于點，連接，，，當(dāng)時，最短，此時的周長最小，最小值為的長．【詳解】解：作點關(guān)于的對稱點，作點關(guān)于的對稱點，連接，交于點，交于點，連接，，，如圖所示：由對稱性可知，，，的周長，，，，，，，當(dāng)時，最短，此時的周長最小，，的面積9，，的周長最小值為6，故選：B．【點睛】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握軸對稱求最短距離的方法，等邊三角形的性質(zhì)，三角形面積公式是解題的關(guān)鍵．二、填空題（8小題，每小題3分，共24分）11．如圖，在中，，，CD是的高，且，則AD的長是______【答案】3【解析】【分析】根據(jù)直角三角形的兩銳角互余可證出∠BCD=∠A=30°，根據(jù)直角三角形中30°角所對直角邊是斜邊一半的性質(zhì)，即可求得AB的長，即可解題．【詳解】解：∵∠ACB=90°，∠B=60°，CD是△ABC的高，∴∠BCD=∠A=30°，∵BD=1，∴BC=2，∴AB=4，∴AD=ABBD=3．故答案為：3．【點睛】本題考查了直角三角形中30°角所對直角邊是斜邊一半的性質(zhì)，本題中求得AB的長是解題的關(guān)鍵．12．將一張紙按如圖的方式折疊，BC、BD為折痕，則的度數(shù)為__________．【答案】90°【解析】【分析】根據(jù)折疊前后兩圖形全等可得到，，再根據(jù)平角為180°即可求出．【詳解】解：如下圖所示，設(shè)圖中四個角分別為，∵BC、BD為折痕，∴，，∵∴∴=故答案為：90°．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對應(yīng)角相等，也考查了平角的定義．13．如圖，中，，將沿折痕對折，點恰好與的中點重合，若，則的長為______．【答案】6【解析】【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得∠A=∠ABE，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠ABE=∠CBE，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計算即可．【詳解】解∶根據(jù)題意得：∠BDE=∠C=90°，∠ABE=∠CBE，∵點D為AB的中點，∴DE垂直平分AB，∴AE=BE=4，∴∠A=∠ABE，∴∠ABC=2∠A，∵∠C=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∴∠A=30°，∴∠ABE=∠CBE=30°，∴，∴AC=4+2=6．故答案為：6【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．如圖,在中,邊的垂直平分線分別交于點,邊的垂直平分線分別交于點,若,則的周長為________【答案】10【解析】【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，，進而求得的周長．【詳解】的垂直平分線分別交于點，，的垂直平分線分別交于點，，的周長為，故答案為：10．【點睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，掌握垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．如果等腰三角形一條邊上的高等于這條邊長的一半，那么這個等腰三角形的頂角的度數(shù)是_____________________．【答案】30°，90°，150°【解析】【分析】三種情形①BD是腰上的高．②AD是底邊上的高，分別求解即可．③△ABC是鈍角三角形．【詳解】①如圖1中，∵AB=AC，BD⊥AC，BD=AC=AB，∴∠A=30°；②如圖2中，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∵AD=BC，∴AD=DB=DC，∴∠DAB=∠DAC=45°，∴∠BAC=90°；③如圖，AB=AC，BD⊥AC，BD=AB，則∠BAD=30°，∠BAC=150°，∴等腰三角形的頂角為30°或90°或150°．故答案為：30°或90°或150°．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、30°直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．16．如圖，C為線段AB上一動點（不與點A、B重合），在AB的上方分別作△ACD和△BCE，且AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE，AE、BD交于點P．有下列結(jié)論：①②；③當(dāng)時，；④PC平分∠APB．其中正確的是___．（把你認為正確結(jié)論的序號都填上）【答案】①②③④【解析】【分析】根據(jù)SAS證明△ACE≌△DCB可判斷①；由三角形的外角性質(zhì)可判斷②；由AC=DC，AC=BC，BC=EC，可得AC=DC=BC=EC，運用等腰三角形的性質(zhì)即可判斷③正確；由△ACE≌△DCB可知AE=BD，根據(jù)全等三角形的面積相等，從而證得AE和BD邊上的高相等，即CH=CG，最后根據(jù)角的平分線定理的逆定理即可證得∠APC=∠BPC，故可判斷④．【詳解】解：①∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠BCE，∴∠ACE=∠DCB，在△ACE和△DCB中，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE=DG，故①正確；②∵∠APB是△APD的外角，∴∠APD=∠ADP+∠DAP由①得△ACE≌△DCB∴∠CAE=∠CDB∵AC=DC∴∠CAD=∠CDA∴∠APD=∠ADC+∠DAC=2∠ADC，故②正確；③∵AC=DC，AC=BC，BC=EC，∴AC=DC=BC=EC，∴∠CAE=∠CEA，∠CDB=∠CBD，∵∠CAE=∠CDB，∴，，，，所以③正確；④如圖，分別過點C作CH⊥AE于H，CG⊥BD于G，∵△ACE≌△DCB，∴AE=BD，S△ACE=S△DCB，∴AE和BD邊上的高相等，即CH=CG，∴∠APC=∠BPC，故④正確；故答案為：①②③④．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角的平分線定理及其逆定理，三角形的外角的性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是借助三角形的面積相等求得對應(yīng)高相等．17．如圖，在中，，的平分線交于點，的平分線交于點，點在邊上，，連接，則________．【答案】90°##90度【解析】【分析】設(shè)BD、EF交于點G，先證明BD⊥EF，則有∠AFE=90°+∠ABC，再證明2∠BDE=∠BDC=90°∠ABC，即可求解．【詳解】設(shè)BD、EF交于點G，如圖，∵BF=BE，∴△BEF是等腰三角形，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，BD⊥EF，∴∠BGE=∠BGF=90°，∵∠AFE=∠BGF+∠ABG，∴∠AFE=90°+∠ABC，∵DE平分∠BDC，∴2∠BDE=∠BDC，∵∠C=90°，∴∠BDC+∠DBC=90°，∴∠BDC+∠ABC=90°，∴2∠BDE=∠BDC=90°∠ABC，∵，∴，∴，故答案為：90°．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知識，證明BD⊥EF，是解答本題的關(guān)鍵．18．如圖，AP，BP分別平分△ABC內(nèi)角∠CAB和外角∠CBD，連接CP，若∠ACP＝130°，則∠APB＝___．【答案】【解析】【分析】根據(jù)平分，平分，可得，，再根據(jù)外角的性質(zhì)可得，，化簡得；過作于點，于點，延長線于點，易得，可得平分，即有，根據(jù)，可得，，則有，再根據(jù)求解即可．【詳解】解：∵平分，平分，∴，，又∵，，∴∴∴如圖示，過作于點，于點，延長線于點，∵平分，平分，∴，，即∴平分，∴又∵∴∴∴∴故答案是：．【點睛】本題主要考查了角平分線的判定與性質(zhì)，外角的性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題（10小題，共76分）19．已知：如圖，在中，，是的中點，，，，分別是垂足，求證：．【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)AB=AC，等邊對等角，得到∠B=∠C；由D點是BC中點，可知BD=CD；DE⊥AB，DF⊥AC，得到，進而得到△BDE≌△CDF．【詳解】證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE⊥AB，DF⊥AC，，∵D是的中點，∴BD=CD，在和中∴△BDE≌△CDF∴BE=CF，∵AB=AC，∴ABBE=ACCF即AE=AF．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形全等的判定．通過全等三角形對應(yīng)邊相等，得到線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．20．如圖，已知△ABC，AB＞AC，∠B＝45°．請用尺規(guī)作圖法，在AB邊上求作一點P，使∠PCB＝45°．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】答案見解析【解析】【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖法，作一個角等于已知角，在邊上求作一點，使，根據(jù)可知,即為的垂直平分線與的交點．【詳解】解：作法：以、為圓心，以為半徑畫弧，分別交于、兩點，連接交于，連接，即?！军c睛】本題考查了作圖——基本作圖．解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法．21．圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，每個小正方形的邊長均為1，點A、B、C均在格點上．在圖①、圖②、圖③中，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，不要求寫出畫法，保留作圖痕跡．(1)在圖①中，畫△ABC的高線AD．(2)在圖②中，畫△ABC的中線BE．(3)在圖③中，畫△ABF，使△ABF的面積為6【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格線即可知，AD和BC互相垂直，AD即為△ABC的高線；（2）根據(jù)矩形的對角線互相平分可知點E為AC的中點，BE為△ABC的中線；（3）因為根據(jù)S?ABF=，即可得出S?ABF面積為6；(1)如圖①，AD為△ABC的高線；(2)如圖②，BE為△ABC的中線；(3)如圖③，△ABF的面積為6；【點睛】本題考查了網(wǎng)格中應(yīng)用與設(shè)計作圖，用到了三角形高，中線，和三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是正確掌握三角形面積求法，靈活應(yīng)用所學(xué)知識解決問題．22．如圖，是上一點，點，分別在兩側(cè)，，且，．(1)求證；(2)連接，若，，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）由平行線的性質(zhì)，結(jié)合條件可證明，即可得出；（2）證明是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)可得出答案．(1)證明：∵，∴，在和中，，∴，∴；(2)解：由（1）知，，又∵，∴是等邊三角形，∵，∴．∴的長為．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)．掌握全等三角形的判定方法，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．23．如圖，在和中，，，，垂足為M，連接EA．(1)與全等嗎？為什么？(2)若，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)全等，理由見解析(2)，理由見解析【解析】【分析】（1）先證明，，可得，再利用AAS證明三角形全等即可；（2）先證明，可得，結(jié)合，可得，從而可得結(jié)論．(1)解：，理由如下：因為，，，所以，所以，所以，在和中，所以；(2)，理由如下：在和中，所以，所以，又因為，所以，所以．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的定義與性質(zhì)，熟練的運用AAS，ASA證明三角形全等是解本題的關(guān)鍵．24．已知：如圖，△ABC中∠BAC的平分線與BC的垂直平分線交于點D，DE⊥AB于點E，DF⊥AC的延長線于點F．(1)求證：BE＝CF；(2)若AB=16，CF=2，求AC的長．【答案】(1)見解析(2)12【解析】【分析】（1）連接BD，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得DE=DF，DC=DB，利用HL可證Rt△DCF≌Rt△DBE，從而證出結(jié)論；（2）利用HL可證Rt△ADF≌Rt△ADE，利用全等三角形的性質(zhì)即可求解．(1)連接DB，∵點D在∠BAC的平分線上，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∵點D在BC的垂直平分線上，∴DB=DC，在Rt△DCF與Rt△DBE中，DE=DF，DB=DC，∴Rt△DCF≌Rt△DBE（HL），∴CF=BE；(2)∵CF=BE=2，AB=16，∴AE=ABBE=162=14，在Rt△ADF與Rt△ADE中，DE=DF，AD=AD，∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），∴AF=AE=14，∴AC=AFCF=142=12．【點睛】此題考查的是角平分線的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定及性質(zhì)是解題關(guān)鍵．25．如圖①，在等邊中，點D、E分別是BC、AB上的點，，CE與AD交于點O．(1)填空：______度；(2)如圖②，以AO為邊作等邊，BF與CO相等嗎？并說明理由；(3)如圖③，若點G是AC的中點，連接BO、GO，判斷BO與GO有什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【答案】(1)60(2)，理由見解析(3)OB=2OG，理由見解析【解析】【分析】（1）證明△EBC≌△DCA（SAS），由∠COD=∠CAD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=60°，即可求解；（2）證明△FAB≌△OAC（SAS），即可得出結(jié)論；（3）△BFO≌△OCR（SAS），即可得出結(jié)論．(1)如圖①中，∵△BCA是等邊三角形，∴BC=CA，∠B=∠ACD=60°，在△EBC和△DCA中，，∴△EBC≌△DCA（SAS），∴∠BCE=∠CAD，∴∠COD=∠CAD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=60°，∴∠COD=60°．故答案為：60(2)如圖2中，∵△FAO，△BAC都是等邊三角形，∴AF=AO，AB=AC，∠FAO=∠BAC=60°，∴∠FAB=∠OAC，在△FAB和△OAC中，，∴△FAB≌△OAC（SAS），∴BF=CO，(3)如圖③中，延長OG到R，使得GR=GO，連接AR，CR．在△AGO和△CGR中，，∴△AGO≌△CGR（SAS），∴AO=CR=OF，∠GAO=∠GCR，BF=CO，∴AO∥CR，∵△FAB≌△OAC，∴∠BFA=∠COA=120°，∵∠AFO=∠AOF=60°，∴∠BFO=∠AOF=60°，∴BF∥AO，∴BF∥CR，∴∠BFO=∠RCO，在△BFO和△OCR中，，∴△BFO≌△OCR（SAS），∴OB=OR，∵OR=2OG，∴OB=2OG，【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．．26．在中，，點D是BC邊上一點，將沿AD折疊后得到，射線AE交射線CB于點F．(1)當(dāng)點D在線段BC上時，①如圖1，若，說明；②如圖2，若，請判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)①見解析；②，證明見解析(2)或【解析】【分析】（1）①根據(jù)平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)即可證得；②利用互余的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可證；（2）分兩種情況：（?。┤酎c在線段上；若點在延長線上，利用翻折變換的性質(zhì)進行求解即可．(1)①∵，∴．∵，∴．由折疊可得，∴，∴，即．②．理由：∵，∴，即，由折疊可得，∴．∵，，∴．由折疊可得，∴，化簡得，，即．(2)解：∵，∴．∵，∴，．（?。┤酎c在線段上，由折疊可得，∵，∴．∵，，∴．∴．由折疊可得．（ⅱ）若點在延長線上，由折疊可得，∴．∵，∴．∴，由折疊可得．綜上所述，或．【點睛】本題考查了翻折變換，等腰三角形的性質(zhì)，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．27．（1）如圖①，已知：在中，，，點A在直線m上，直線m，直線m，垂足分別為點D，E．證明：．（2）如圖②，將（1）中的條件改為：在中，，D，A，E三點都在直線m上，并且有，其中a為任意銳角或者鈍角．請問結(jié)論是否仍成立？若成立，請你給出證