專題06等邊三角形的性質(zhì)(原卷版+解析)

2022-2023學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)壓軸題專題精選匯編專題06等邊三角形的性質(zhì)考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：100分姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三總分得分評(píng)卷人得分一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2021八上·嵩縣期末）如圖，是等邊三角形，是中線，延長至E，使，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．2．（2分）（2021八上·涼山期末）三角形中，最大角的取值范圍是（）A． B．C． D．3．（2分）（2021八上·遵義期末）點(diǎn)D、E分別是等邊三角形的邊、的中點(diǎn)，，F(xiàn)是AD上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）A．6 B．7 C．8 D．94．（2分）（2021八上·松桃期末）如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，延長BC交EF的反向延長線于點(diǎn)D，若EF=1，則DF的長為（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.55．（2分）（2021八上·灌陽期末）△BDE和△FGH是兩個(gè)全等的等邊三角形，將它們按如圖的方式放置在等邊三角形ABC內(nèi).若BC＝5，則五邊形DECHF的周長為（）A．8 B．10 C．11 D．126．（2分）（2021八上·河?xùn)|期末）如圖，過邊長為4的等邊的邊AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長線上一點(diǎn)，當(dāng)PA=CQ時(shí)，連PQ交AC邊于D，則DE的長為（）A． B．2 C． D．7．（2分）（2021八上·烏蘭察布期末）如圖所示，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），在同側(cè)分別作正和正，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接．以下四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④是等邊三角形．其中正確的是（）A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③8．（2分）（2021八上·江油期末）下列結(jié)論正確的是（）A．有兩個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形全等B．兩個(gè)等邊三角形全等C．一條斜邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等D．頂角和底邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形全等9．（2分）（2021八上·德陽月考）如圖所示，正方形ABCD的面積為16，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，使PD+PE的和最小，則最小值為()A．2 B．3 C．4 D．610．（2分）（2021八上·句容期末）如圖，邊長為5的等邊三角形中，M是高所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接.則在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過程中，線段長度的最小值是（）A．B．1C．2D．評(píng)卷人得分二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2021八上·豐臺(tái)期末）如圖，在等邊三角形中，，是邊的高線，延長至點(diǎn)，使，則BE的長為．12．（2分）（2021八上·本溪期末）如圖，和都是等邊三角形，連接AD，BD，BE，．下列四個(gè)結(jié)論中：①≌；②；③；④，正確的是（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）．13．（2分）（2021八上·延邊期末）如圖，正三角形ABC中，D是AB的中點(diǎn)，于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作與BC交于點(diǎn)F．若，則的周長為．14．（2分）（2021八上·道里期末）如圖，是等邊三角形，點(diǎn)E在AC的延長線上，點(diǎn)D在線段AB上，連接ED交線段BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作于點(diǎn)N，，，若，則AN的長為．15．（2分）（2021八上·鐵西期末）如圖，是等邊三角形，是邊上的高，是的中點(diǎn)，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)與的和最小時(shí)，度．16．（2分）（2021八上·延邊期末）如圖，是等腰直角三角形，AB是斜邊，以BC為一邊在右側(cè)作等邊三角形BCD，連接AD與BC交于點(diǎn)E，則的度數(shù)為度．17．（2分）（2021八上·灌云期中）如圖，等邊△ABC中，AD為BC邊上的高，點(diǎn)M、N分別在AD、AC上，且AM＝CN，連BM、BN，當(dāng)BM+BN最小時(shí)，∠MBN＝度.18．（2分）（2021八上·鐵東期中）如圖，在中，，，以BC為邊在BC的右側(cè)作等邊，點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，點(diǎn)P為CE上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP，BP．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的度數(shù)為．19．（2分）（2021八上·平陽月考）如圖，△ABC中，∠B=30°，∠C=90°，等邊三角形DEF的三個(gè)頂點(diǎn)分別落在AC，AB，BC上，若CD=4，BE=6，則AB的長為.20．（2分）（2020八上·江岸月考）如圖，等邊三角形ABC中，BD⊥AC于D，BC＝8，E在BD上一動(dòng)點(diǎn)，以CE為邊作等邊三角形ECP，連DP，則DP的最小值為.評(píng)卷人得分三．解答題（共7小題，滿分60分）21．（5分）（2021八上·鹽池期末）如圖，是等邊三角形，是中線，延長至E，使．求證：．22．（5分）（2021八上·建鄴期末）如圖，在中，，和都是等邊三角形，和交于點(diǎn)，求證：.23．（9分）（2021八上·覃塘期中）如圖，已知ABC是等邊三角形，點(diǎn)M，N分別在CB，BC的延長線上，且BM＝CN.（1）（4分）求證：AM＝AN；（2）（5分）在（1）的條件下，作∠AMN的平分線MF，MF與AB，AC，AN分別交于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若AD＝MD.求證：MF＝AC+CN.24．（13分）（2021八上·遵義期末）數(shù)學(xué)是一門充滿樂趣、奧妙、又極具探索的學(xué)科，對(duì)一個(gè)人的思維也是一種“挑戰(zhàn)”.幾何圖形更是變幻無窮，但只要我們借助圖形的直觀、特殊情形出發(fā)，逐步“從特殊到一般”進(jìn)行探索，思路和方法自然就會(huì)顯現(xiàn)出來.下面是一道探索幾何圖形中線段AE與DB數(shù)量關(guān)系的例子：已知，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長線上，且ED＝EC.小強(qiáng)的思路是：（1）（3分）（特例探索）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出結(jié)論：AEDB（選填“＞”、“＜”或“＝”）.（2）（5分）（特例引路）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E為AB邊上任意一點(diǎn)時(shí)，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出結(jié)論并加以理由說明，格式如：答：AE▲DB（選填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，過點(diǎn)E作EF∥BC交AC于點(diǎn)F.（請(qǐng)你將接下來的解答過程補(bǔ)充完整）.（3）（5分）（拓展延伸）在等邊三角形ABC中，當(dāng)點(diǎn)E在直線AB上（在線段AB外），點(diǎn)D在線段CB的延長線上時(shí)，同樣ED＝EC，若已知△ABC的邊長為1，AE＝2，則請(qǐng)你幫助小強(qiáng)求出CD的長.（請(qǐng)你畫出相應(yīng)圖形，并簡要寫出求CD長的過程）.25．（8分）（2019八上·同安期中）如圖，△ABC是邊長為10的等邊三角形，P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，由A向C運(yùn)動(dòng)（與A、C不重合）．（Ⅰ）如圖1，若點(diǎn)Q是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由C向B運(yùn)動(dòng)（與C、B不重合）．求證：BP＝AQ；（Ⅱ）如圖2，若Q是CB延長線上一動(dòng)點(diǎn)，與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由B向CB延長線方向運(yùn)動(dòng)（Q不與B重合），過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D，在運(yùn)動(dòng)過程中線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果發(fā)生改變，請(qǐng)說明理由．26．（10分）（2019八上·越秀期中）已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，以AC為邊作等邊三角形ACE，直線BE交直線AD于點(diǎn)F，連接FC．（1）（5分）如圖1，120°＜∠BAC＜180°，△ACE與△ABC在直線AC的異側(cè)，且FC交AE于點(diǎn)M．①求證：∠FEA=∠FCA；②猜想線段FE，AD，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）（5分）當(dāng)60°＜∠BAC＜120°，且△ACE與△ABC在直線AC的異側(cè)時(shí)，利用圖2畫出圖形探究線段FE，AD，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出你的結(jié)論．27．（10分）（2021八上·望花期末）已知，點(diǎn)P、點(diǎn)Q分別是等邊△ABC的邊AB、BC所在直線上的動(dòng)點(diǎn)（端點(diǎn)除外）．點(diǎn)P、點(diǎn)Q以相同的速度，同時(shí)從點(diǎn)A、點(diǎn)B出發(fā)，連接AQ、CP，直線AQ、CP相交于點(diǎn)M．（1）（5分）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在AB、BC邊上時(shí)，①求證：△ABQ≌△CAP；②當(dāng)點(diǎn)P、點(diǎn)Q分別在AB、BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠QMC的大小是否變化？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，求出它的度數(shù)；（2）（5分）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在AB、BC的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠QMC的度數(shù)．2022-2023學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)壓軸題專題精選匯編專題06等邊三角形的性質(zhì)考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：100分一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2021八上·嵩縣期末）如圖，是等邊三角形，是中線，延長至E，使，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．【答案】D【完整解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB＝60°，∵BD是AC上的中線，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∠ABD＝∠CBD＝30°，∵∠ACB＝∠CDE＋∠DEC＝60°，

又CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED＝30°，∴∠CBD＝∠DEC，∴DE=BD，∠BDE＝∠CDB＋∠CDE＝120°，故A、B、C均正確．故答案為：D．【思路引導(dǎo)】利用等邊三角形性質(zhì)得∠ABC=∠ACB＝60°，∠ADB＝∠CDB＝90°；∠ABD＝∠CBD＝30°，再利用三角形的外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可得到∠CDE＝∠CED＝30°，可對(duì)A作出判斷；由此可推出∠CBD=∠DEC，同時(shí)可求出∠BDE的度數(shù)，可對(duì)B作出判斷；利用等角對(duì)等邊可證得DE=DB，可對(duì)C作出判斷；不能證明DE=AB，可對(duì)D作出判斷.2．（2分）（2021八上·涼山期末）三角形中，最大角的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【完整解答】解：根據(jù)題意得：最大角，當(dāng)三角形為等邊三角形時(shí)，三角形的三個(gè)內(nèi)角相等，且，∴最大角a的取值范圍是.故答案為：D.【思路引導(dǎo)】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得α<180°，當(dāng)三角形為等邊三角形時(shí)，α=60°，據(jù)此可得α的范圍.3．（2分）（2021八上·遵義期末）點(diǎn)D、E分別是等邊三角形的邊、的中點(diǎn)，，F(xiàn)是AD上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【完整解答】解：連接CE，交AD于F，連接BF，則BF+EF最?。ǜ鶕?jù)兩點(diǎn)之間線段最短；點(diǎn)到直線垂直距離最短），∵E是AB的中點(diǎn)，△ABC是等邊三角形，由于C和B關(guān)于AD對(duì)稱，則BF+EF=CF，∵等邊△ABC中，BD=CD，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分線（三線合一），∴C和B關(guān)于直線AD對(duì)稱，∴CF=BF，即BF+EF=CF+EF=CE，∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，在△ADB和△CEB中，，∴△ADB≌△CEB（AAS），∴CE=AD=6，即BF+EF=6.故答案為：A.【思路引導(dǎo)】連接CE，交AD于F，連接BF，則BF+EF最小，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得CE⊥AB，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得BF+EF=CF，推出AD是BC的垂直平分線，得到CF=BF，則BF+EF=CF+EF=CE，證明△ADB≌△CEB，得到CE=AD=6，據(jù)此解答.4．（2分）（2021八上·松桃期末）如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，延長BC交EF的反向延長線于點(diǎn)D，若EF=1，則DF的長為（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.5【答案】C【完整解答】解：連接BE，∵△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，∴∠ABC=60°，∠ABE=∠CBE=30°，∵EF⊥AB，∴∠D=90°-∠ABC=30°，即∠D=∠CBE=30°，∴BE=DE，在Rt△BEF中，EF=1，∴BE=2EF=2，∴BE=DE=2，∴DF=EF+DE=3，故答案為：C.【思路引導(dǎo)】連接BE，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠ABC=60°，∠ABE=∠CBE=30°，易求∠D=30°，即得∠D=∠CBE，由等角對(duì)等邊可得BE=DE，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得BE=2EF=2，即得DE=2，從而得出DF=EF+DE=35．（2分）（2021八上·灌陽期末）△BDE和△FGH是兩個(gè)全等的等邊三角形，將它們按如圖的方式放置在等邊三角形ABC內(nèi).若BC＝5，則五邊形DECHF的周長為（）A．8 B．10 C．11 D．12【答案】B【完整解答】解：∵△GFH為等邊三角形，∴FH=GH，∠FHG=60°，∴∠AHF+∠GHC=120°，∵△ABC為等邊三角形，∴AB=BC=AC=5，∠ACB=∠A=60°，∵∠AHF=180°-∠FHG-∠GHC=120°-∠GHC，∠HGC=180°-∠C-∠GHC=120°-∠GHC，∴∠AHF=∠HGC，在△AFH和△CHG中，∴△AFH≌△CHG（AAS），∴AF=CH.∵△BDE和△FGH是兩個(gè)全等的等邊三角形，∴BE=FH，∴五邊形DECHF的周長=DE+CE+CH+FH+DF=BD+CE+AF+BE+DF，=(BD+DF+AF)+(CE+BE)，=AB+BC=10.故答案為：B.【思路引導(dǎo)】利用AAS證明△AFH≌△CHG，可得AF=CH，由于△BDE和△FGH是兩個(gè)全等的等邊三角形，可得BE=FH，由于五邊形DECHF的周長=DE+CE+CH+FH+DF=BD+CE+AF+BE+DF=(BD+DF+

AF)+(CE+BE)=AB+BC，據(jù)此計(jì)算即可.6．（2分）（2021八上·河?xùn)|期末）如圖，過邊長為4的等邊的邊AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長線上一點(diǎn)，當(dāng)PA=CQ時(shí)，連PQ交AC邊于D，則DE的長為（）A． B．2 C． D．【答案】B【完整解答】解：過P作，交AC于M，∵是等邊三角形，∴，，∴是等邊三角形，又∵，∴，∵，∴，，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案為：B．

【思路引導(dǎo)】過P作，交AC于M，得出是等邊三角形，推出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證出，推出，即可得出結(jié)論。7．（2分）（2021八上·烏蘭察布期末）如圖所示，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），在同側(cè)分別作正和正，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接．以下四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④是等邊三角形．其中正確的是（）A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③【答案】A【完整解答】解：和是正三角形，，，，，，，，故①符合題意，，故②符合題意；，，，故③符合題意；，，，．，，是等邊三角形，故④符合題意；故答案為：A．

【思路引導(dǎo)】根據(jù)三角形全等的判定、等邊三角形的性質(zhì)判斷各選項(xiàng)即可得出答案。8．（2分）（2021八上·江油期末）下列結(jié)論正確的是（）A．有兩個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形全等B．兩個(gè)等邊三角形全等C．一條斜邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等D．頂角和底邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形全等【答案】D【完整解答】解：A、∵兩個(gè)三角形全等至少有一條邊對(duì)應(yīng)相等，錯(cuò)誤；

B、兩個(gè)等邊三角形三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，但對(duì)應(yīng)邊不一定相等，∵兩個(gè)三角形全等至少有一條邊對(duì)應(yīng)相等，錯(cuò)誤；

C、一條斜邊對(duì)應(yīng)相等，且有一個(gè)直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，錯(cuò)誤；

D、頂角和底邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形全等，正確；

故答案為：D.【思路引導(dǎo)】三角形全等的判定定理有：邊角邊、角角邊、角邊角和邊邊邊定理，利用HL可證直角三角形，逐項(xiàng)分析即可判斷.9．（2分）（2021八上·德陽月考）如圖所示，正方形ABCD的面積為16，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，使PD+PE的和最小，則最小值為()A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【完整解答】解：設(shè)BE與AC交于點(diǎn)P'，連接BD，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴點(diǎn)B與D關(guān)于AC對(duì)稱，

∴P'D=P'B，

∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE最小，

∵正方形ABCD的面積為16，

∴AB=4，

∵△ABE是等邊三角形，

∴BE=AB=4，

∴PD+PE的最小值為4.

故答案為：C.

【思路引導(dǎo)】由于點(diǎn)B與D關(guān)于AC對(duì)稱，連接BE，與AC的交點(diǎn)即為P點(diǎn)，此時(shí)PD+PE=BE最小，根據(jù)正方形ABCD的面積為16，得出AB=4，根據(jù)等邊△ABE的性質(zhì)得出BE=AB，即可得出答案.10．（2分）（2021八上·句容期末）如圖，邊長為5的等邊三角形中，M是高所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接.則在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過程中，線段長度的最小值是（）A．B．1C．2D．【答案】A【完整解答】解：如圖，取BC的中點(diǎn)G，連接MG，∵旋轉(zhuǎn)角為60°，∴∠MBH+∠HBN=60°，又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，∴∠HBN=∠GBM，∵CH是等邊△ABC的對(duì)稱軸，∴HB=AB，∴HB=BG，又∵M(jìn)B旋轉(zhuǎn)到BN，∴BM=BN，在△MBG和△NBH中，，∴△MBG≌△NBH（SAS），∴MG=NH，根據(jù)垂線段最短，MG⊥CH時(shí)，MG最短，即HN最短，此時(shí)∵∠BCH=×60°=30°，CG=AB=×5=2.5，∴MG=CG=，∴HN=.故答案為：A.【思路引導(dǎo)】取BC的中點(diǎn)G，連接MG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角為60°可得∠MBH+∠HBN=60°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，推出∠HBN=∠GBM，易得HB=AB，則HB=BG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BM=BN，證明△MBG≌△NBH，得MG=NH，由垂線段最短可知：MG⊥CH時(shí)，MG最短，即HN最短，此時(shí)∠BCH=30°，CG=AB=2.5，據(jù)此求解.二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2021八上·豐臺(tái)期末）如圖，在等邊三角形中，，是邊的高線，延長至點(diǎn)，使，則BE的長為．【答案】3【完整解答】解：三角形是等邊三角形，BC＝AC＝2，又是邊的高線，DC＝，＝1，，故答案為：3.

【思路引導(dǎo)】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得CD=AC=1，所以CE=CD=1，再利用BE=BC+CE計(jì)算即可。12．（2分）（2021八上·本溪期末）如圖，和都是等邊三角形，連接AD，BD，BE，．下列四個(gè)結(jié)論中：①≌；②；③；④，正確的是（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）．【答案】①③【完整解答】解：和都是等邊三角形，，，，，故①符合題意；，在四邊形中，，，故②不符合題意；，，，，，故③符合題意；，，不一定等于，不一定成立，故④不符合題意；故答案是：①③．

【思路引導(dǎo)】由“SAS”可證，故①正確，由全等三角形的性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和定理可得，故②錯(cuò)誤，先求出∠ADB=90°，由勾股定理可得，故③正確，由∠ADC的大小無法確定，可得∠BED不一定為90°，故④錯(cuò)誤，即可求解。13．（2分）（2021八上·延邊期末）如圖，正三角形ABC中，D是AB的中點(diǎn)，于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作與BC交于點(diǎn)F．若，則的周長為．【答案】18【完整解答】解：是等邊三角形，，，，，為等邊三角形，，由于D是AB的中點(diǎn)，故，，，在中，，，，，故答案為：18．

【思路引導(dǎo)】由等邊三角形的性質(zhì)得出，，再由含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出，則，再證出為等邊三角形，即可求解。14．（2分）（2021八上·道里期末）如圖，是等邊三角形，點(diǎn)E在AC的延長線上，點(diǎn)D在線段AB上，連接ED交線段BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作于點(diǎn)N，，，若，則AN的長為．【答案】22【完整解答】解：作DG∥AC交BC于G，∵是等邊三角形，∴，∴∠DGB=∠ACB=60°，∠DGF=∠ECF，∵∠DFG=∠EFC，，∴△DFG≌△EFC，∴，∵∠DGB=∠ACB=60°，∴是等邊三角形，∴，∵，設(shè)，則，∵，∴，∴，∴，，，，則，，AN的長為27-5=22，故答案為：22．

【思路引導(dǎo)】作DG∥AC交BC于G，根據(jù)是等邊三角形，證出△DFG≌△EFC，得出，再證出是等邊三角形，得出，設(shè)，則，根據(jù)垂直的性質(zhì)得出a的值即可。15．（2分）（2021八上·鐵西期末）如圖，是等邊三角形，是邊上的高，是的中點(diǎn)，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)與的和最小時(shí)，度．【答案】30【完整解答】解：如圖，連接BE，與AD交于點(diǎn)P，此時(shí)PE+PC最小，∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴PC=PB，∴PE+PC=PB+PE≥BE，即BE就是PE+PC的最小值，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BCE=60°，∵BA=BC，AE=EC，∴BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠EBC=30°，∵PB=PC，∴∠PCB=∠PBC=30°，∴∠ACP=30°，故答案為：30．

【思路引導(dǎo)】連接BE，與AD交于點(diǎn)P，此時(shí)PE+PC最小，根據(jù)△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，得出PC=PB，即BE就是PE+PC的最小值，根據(jù)△ABC是等邊三角形，得出BE⊥AC，從而得出∠ACP的度數(shù)。16．（2分）（2021八上·延邊期末）如圖，是等腰直角三角形，AB是斜邊，以BC為一邊在右側(cè)作等邊三角形BCD，連接AD與BC交于點(diǎn)E，則的度數(shù)為度．【答案】75【完整解答】解：∵是等腰直角三角形，∴AC=BC，∠ABC=∠BAC=45°，∠ACB=90°，∵△BCD是等邊三角形，∴BC=CD，∠BCD=60°，∴AC=CD，∠ACD=90°+60°=150°，∴是等腰三角形，∴，∴，∴；故答案為：75．

【思路引導(dǎo)】結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)得出AC=CD，∠ACD=90°+60°=150°，進(jìn)而求解，再利用直角三角形的性質(zhì)及對(duì)頂角的性質(zhì)可求解。17．（2分）（2021八上·灌云期中）如圖，等邊△ABC中，AD為BC邊上的高，點(diǎn)M、N分別在AD、AC上，且AM＝CN，連BM、BN，當(dāng)BM+BN最小時(shí)，∠MBN＝度.【答案】30【完整解答】解：如圖1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，連接NH，BH.∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH，∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°，∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，∴△ABM≌△CHN（SAS），∴BM＝HN，∵BN+HN≥BH，∴B，N，H共線時(shí)，BM+BN＝NH+BN的值最小，如圖2中，當(dāng)B，N，H共線時(shí)，∵△ABM≌△CHN，∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45°，∵∠ABD＝60°，∴∠DBM＝15°，∴∠MBN＝45°﹣15°＝30°，∴當(dāng)BM+BN的值最小時(shí)，∠MBN＝30°，故答案為30.【思路引導(dǎo)】作CH⊥BC，使得CH＝BC，連接NH，BH，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得出有關(guān)角或邊相等，利用SAS證明△ABM≌△CHN，得出BM＝HN，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得出B，N，H共線時(shí)，BM+BN＝NH+BN的值最小，由△ABM≌△CHN，求出∠ABM=45°，然后由角的和差關(guān)系求出∠DBM＝15°，從而求出∠MBN的度數(shù)即可.18．（2分）（2021八上·鐵東期中）如圖，在中，，，以BC為邊在BC的右側(cè)作等邊，點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，點(diǎn)P為CE上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP，BP．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的度數(shù)為．【答案】15°【完整解答】解：連接PD、AD，設(shè)AD與CE交于點(diǎn)P1，∵△BCD是等邊三角形，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴∠CBD=∠BCD=∠BDC=60°，BC=CD，CE⊥BD，BE=DE，∴CE為線段BD的垂直平分線，∴PD=BP，∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，AP+BP=AP+PD，而AP+PD≥AD，∴當(dāng)點(diǎn)A、P、D共線時(shí)即點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到P1時(shí)，AP+BP有最小值，連接BP1，則BP1=DP1，∴∠P1BD=∠P1DB，又∠CBD=∠BDC，∴∠CBP1=∠CDP1，∵AC=BC=CD，∴∠CDP1=∠CAD，即延長AC至Q，∵∠ACB=90°，∠BCD=60°，∴∠DCQ=90°﹣60°=30°，又∠DCQ=∠CDP1+∠CAD=2∠CDP1，∴∠CDP1=15°，即∠CBP1=15°，∴當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，=15°，故答案為：15°．【思路引導(dǎo)】連接PD、AD，設(shè)AD與CE交于點(diǎn)P1，因?yàn)椤鰾CD是等邊三角形，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，得出CE為線段BD的垂直平分線，PD=BP，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，AP+BP=AP+PD，而AP+PD≥AD，當(dāng)點(diǎn)A、P、D共線時(shí)即點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到P1時(shí)，AP+BP有最小值，連接BP1，則BP1=DP1，得出∠CDP1=∠CAD，延長AC至Q，得出∠CBP1=15°，推出當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，=15°。19．（2分）（2021八上·平陽月考）如圖，△ABC中，∠B=30°，∠C=90°，等邊三角形DEF的三個(gè)頂點(diǎn)分別落在AC，AB，BC上，若CD=4，BE=6，則AB的長為.【答案】【完整解答】解：如圖，在EB上取一點(diǎn)G，使EG=AD，連接FG，∵∠A=90°-∠B=60°，

∵△DEF為等邊三角形，

∴∠DEF=60°，DE=EF，

∵∠FEG+∠AED=180°-∠DEF=120°，∠ADE+∠AED=180°-∠A=120°，

∴∠ADE=∠FEG，

在△AED和△GEF中，

AD=EG∠ADE=∠FEGDE=EF，

∴△AED≌△GEF（SAS），

∴∠FGE=∠DAE=60°，

∴∠GFB=∠FGE-∠B=30°，

∴∠B=∠GFB，

∴GB=GF，

設(shè)AD=EG=x，

∴BG=BE-EG=6-x，

∴AE=FG=GB=6-x，

∴AB=AE+EG+GB=2（6-x）+x=12-x，

∵AC=AD+CD=x+4，

∵∠B=30°，∠C=90°，

∵2AC=AB，

∴2（x+4）=12-x，

解得：x=，

∴AB=12-x=12-=.

故答案為：.

【思路引導(dǎo)】在EB上取一點(diǎn)G，使EG=AD，連接FG，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠DEF=60°，DE=EF，然后利用角的和差關(guān)系求出∠ADE=∠FEG，則可利用SAS證明△AED≌△GEF，得出∠FGE=∠DAE，AD=EG，通過三角形外角的性質(zhì)求出△FGB為等腰三角形，設(shè)AD=EG=x，然后把AC和AB用x表示出來，結(jié)合AB=2AC建立方程求解，即可求出AB長.20．（2分）（2020八上·江岸月考）如圖，等邊三角形ABC中，BD⊥AC于D，BC＝8，E在BD上一動(dòng)點(diǎn)，以CE為邊作等邊三角形ECP，連DP，則DP的最小值為.【答案】2【完整解答】解：如圖，連接AP，∵△ABC為等邊三角形，BD⊥AC，BC=8，∴BC=AC=AB=8，DA=DC=4，∠BCA=∠ABC=60°，∠CBE=30°，∵△CEP為等邊三角形，∴CE=CP，∠PCE=60°，∴∠PCE=∠ACB，∴∠BCE=∠ACP，∴在△BCE和△ACP中，∴△BCE≌△ACP（SAS），∴∠CBE=∠CAP=30°，AP=BE，∴當(dāng)DP⊥AP時(shí)，DP值最小，此時(shí)∠APD=90°，∠CAP=30°，DA=4，∴DP=2.故答案為：2.【思路引導(dǎo)】連接AP，由等邊三角形的性質(zhì)可得BC=AC=AB=8，DA=DC=4，∠BCA=∠ABC=60°，∠CBE=30°，CE=CP，∠PCE=60°，證明△BCE≌△ACP，得到∠CBE=∠CAP=30°，AP=BE，推出當(dāng)DP⊥AP時(shí)，DP值最小，據(jù)此求解.三．解答題（共7小題，滿分60分）21．（5分）（2021八上·鹽池期末）如圖，是等邊三角形，是中線，延長至E，使．求證：．【答案】證明：∵是等邊三角形，∴，．∵是中線，∴．∵，∴．∵，∴．∴．∴．【思路引導(dǎo)】對(duì)圖形進(jìn)行角標(biāo)注，由等邊三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠1=60°，∠2=∠ABC=30°，由等腰三角形的性質(zhì)得∠E=∠3，由外角的性質(zhì)得∠1=∠E+∠3=60°，故∠E=∠3=30°，則∠E=∠2=30°，據(jù)此證明.22．（5分）（2021八上·建鄴期末）如圖，在中，，和都是等邊三角形，和交于點(diǎn)，求證：.【答案】∵和都是等邊三角形；∴，∵，∴在中，∴【思路引導(dǎo)】由等邊三角形的性質(zhì)可得∠ACP=∠CBQ=60°，由角的構(gòu)成可求得∠BCP=30°，在三角形BCH中，由三角形的內(nèi)角和等于180°可求解.23．（9分）（2021八上·覃塘期中）如圖，已知ABC是等邊三角形，點(diǎn)M，N分別在CB，BC的延長線上，且BM＝CN.（1）（4分）求證：AM＝AN；（2）（5分）在（1）的條件下，作∠AMN的平分線MF，MF與AB，AC，AN分別交于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若AD＝MD.求證：MF＝AC+CN.【答案】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∵點(diǎn)M，N分別在CB，BC的延長線上，∴∠ABM＝∠ACN＝120°，又BM=CN，∴△ABM≌△CAN（SAS），∴BM=CN；（2）證明：∵M(jìn)F是∠AMN的平分線，∴∠AMF=∠CMF，∵AD=MD，∴∠AMF=∠MAB，∴∠AMF=∠MAB=∠CMF，又由（1）知：∠NAC=∠MAB，∠BAC=∠ACB=60°，∴∠MAB+∠BAC=∠CMF+∠ACB，即∠MAE=∠MEA，∴MA=ME，∵∠MAF=∠MAE+∠NAC=∠MAE+∠AMF=∠MEC，∴△MEC≌△MAF（ASA），∴MF=MC，又AC=BC，CN=BM，∴MF=AC+CN.【思路引導(dǎo)】（1）由題意用邊角邊可證△ABM≌△CAN，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可求解；

（2）由角平分線定義得∠AMF=∠CMF，結(jié)合等邊對(duì)等角得∠AMF=∠MAB=∠CMF，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)得∠MAE=∠MEA，由等角對(duì)等邊得MA=ME，由角的構(gòu)成可得∠MAF=∠MAE+∠NAC=∠MAE+∠AMF=∠MEC，用角邊角可證△MEC≌△MAF，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得MF=MC，于是MF=MC=BC+MB=AC+CN可求解.24．（13分）（2021八上·遵義期末）數(shù)學(xué)是一門充滿樂趣、奧妙、又極具探索的學(xué)科，對(duì)一個(gè)人的思維也是一種“挑戰(zhàn)”.幾何圖形更是變幻無窮，但只要我們借助圖形的直觀、特殊情形出發(fā)，逐步“從特殊到一般”進(jìn)行探索，思路和方法自然就會(huì)顯現(xiàn)出來.下面是一道探索幾何圖形中線段AE與DB數(shù)量關(guān)系的例子：已知，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長線上，且ED＝EC.小強(qiáng)的思路是：（1）（3分）（特例探索）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出結(jié)論：AEDB（選填“＞”、“＜”或“＝”）.（2）（5分）（特例引路）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E為AB邊上任意一點(diǎn)時(shí)，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出結(jié)論并加以理由說明，格式如：答：AE▲DB（選填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，過點(diǎn)E作EF∥BC交AC于點(diǎn)F.（請(qǐng)你將接下來的解答過程補(bǔ)充完整）.（3）（5分）（拓展延伸）在等邊三角形ABC中，當(dāng)點(diǎn)E在直線AB上（在線段AB外），點(diǎn)D在線段CB的延長線上時(shí)，同樣ED＝EC，若已知△ABC的邊長為1，AE＝2，則請(qǐng)你幫助小強(qiáng)求出CD的長.（請(qǐng)你畫出相應(yīng)圖形，并簡要寫出求CD長的過程）.【答案】（1）＝（2）解：＝；理由如下，過點(diǎn)E作EF//BC，交AC于點(diǎn)F，證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC=∠A=60°，AB=AC，∵EF//BC，∴AEF=∠ABC=60°，∴△AEF為等邊三角形，∴AE＝EF=AF，∴AB-AE=AC-AF，∴BE＝CF，∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD，∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，∴∠DEB＝∠ECF，在△DBE和△EFC中，DE=CE∠DEB=∠ECF∴△DBE≌△EFC（SAS），∴DB＝EF，則AE＝DB；（3）解：點(diǎn)E在AB延長線上時(shí)，如圖3所示，作EF//BC，交AC的延長線于點(diǎn)F，則△AEF是等邊三角形，∴AE＝EF＝2，BE=CF，∠ABC=∠DBE=∠F=60°，在△DBE和△EFC中，DE=CE∠DEB=∠ECF∴△DBE≌△EFC，∴DB＝EF＝2，BC＝1，則CD＝BC+DB＝3.【完整解答】解：（1）AE＝DB，理由如下：∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，∴∠ECD＝∠ACB＝30°，∴∠EDC＝30°，∵∠CBE=∠D+∠DEB=60°，∴∠D＝∠DEB＝30°，∴DB＝BE，∵AE＝BE，∴AE＝DB；故答案為：＝；【思路引導(dǎo)】(1)由E為等邊三角形AB邊的中點(diǎn)，由等腰三角形的性質(zhì)得出CE⊥AB，且CE為角平分線，由ED=EC，利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠EDC＝∠ECD=30°，再利用三角形外角的性質(zhì)求出∠DEB=30°，則可得出∠D=∠DEB，最后利用等腰三角形的性質(zhì)即可得證；(2)過點(diǎn)E作EF//BC，交AC于點(diǎn)F，由△ABC為等邊三角形，得到△AEF為等邊三角形，則可得出AE=EF=AF，BE=FC，再利用三角形外角的性質(zhì)和角的和差關(guān)系求出∠DEB＝∠ECF，結(jié)合ED=EC，利用SAS證明△DBE≌△EFC，得出DB=EF，即可得證；

(3)當(dāng)點(diǎn)E在AB延長線上時(shí)，同理可證△DBE≌△EFC，得出DB=EF，最后利用線段的和差關(guān)系求CD的長即可.25．（8分）（2019八上·同安期中）如圖，△ABC是邊長為10的等邊三角形，P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，由A向C運(yùn)動(dòng)（與A、C不重合）．（Ⅰ）如圖1，若點(diǎn)Q是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由C向B運(yùn)動(dòng)（與C、B不重合）．求證：BP＝AQ；（Ⅱ）如圖2，若Q是CB延長線上一動(dòng)點(diǎn)，與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由B向CB延長線方向運(yùn)動(dòng)（Q不與B重合），過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D，在運(yùn)動(dòng)過程中線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果發(fā)生改變，請(qǐng)說明理由．【答案】解：（Ⅰ）證明：如圖1中，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAP＝∠ACQ＝60°，∵AP＝CQ，∴△BAP≌△ACQ（SAS），∴BP＝AQ．（Ⅱ）解：當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長度不會(huì)改變．理由如下：作QF⊥AB，交直線AB的延長線于點(diǎn)F，連接QE，PF，又∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ＝∠AEP＝90°，∵點(diǎn)P、Q速度相同，∴AP＝BQ，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°，在△APE和△BQF中，∵∠AEP＝∠BFQ＝90°，∴∠APE＝∠BQF，∴在△APE和△BQF中，，∴△APE≌△BQF（AAS），∴AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF，∴四邊形PEQF是平行四邊形，∴DE＝EF，∵EB+AE＝BE+BF＝AB，∴DE＝AB，又∵等邊△ABC的邊長為10，∴DE＝5，∴當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長度不會(huì)改變．【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）證明△BAP≌△ACQ（SAS）即可解決問題．（Ⅱ）作QF⊥AB，交直線AB的延長線于點(diǎn)F，連接QE，PF，由點(diǎn)P、Q做勻速運(yùn)動(dòng)且速度相同，可知AP＝BQ，再根據(jù)全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF，可知四邊形PEQF是平行四邊形，進(jìn)而可得出EB+AE＝BE+BF＝AB，DE＝AB，由等邊△ABC的邊長為10可得出DE＝5，故當(dāng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段DE的長度不會(huì)改變．26．（10分）（2019八上·越秀期中）已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，以AC為邊作等邊三角形ACE，直線BE交直線AD于點(diǎn)F，連接FC．（1）（5分）如圖1，120°＜∠BAC＜180°，△ACE與△ABC在直線AC的異側(cè)，且FC交AE于點(diǎn)