期末難點特訓(三)和二次函數(shù)綜合有關(guān)的壓軸題(原卷版+解析)

期末難點特訓三（和二次函數(shù)綜合有關(guān)的壓軸題）1．如圖1，拋物線y=mx2﹣3mx+n（m≠0）與x軸交于點（﹣1，0）與y軸交于點B（0，3），在線段OA上有一動點E（不與O、A重合），過點E作x軸的垂線交直線AB于點N，交拋物線于點P．（1）分別求出拋物線和直線AB的函數(shù)表達式；（2）連接PA、PB，求△PAB面積的最大值，并求出此時點P的坐標．（3）如圖2，點E（2，0），將線段OE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)的到OE′，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），連接E′A、E′B，求E'A+E'B的最小值．2．如圖1，拋物線與軸交于點、（點在點左側(cè)），與軸交于點，連接，拋物線的對稱軸直線與交于點、與軸交于點．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，把繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，求證：點在拋物線上；（3）如圖3，在（2）的條件下，點是拋物線上的動點，連接、，當時，請直接寫出直線的解析式．3．在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）如圖1，點D為第四象限拋物線上一點，連接，交于點E，求的最大值；（3）如圖2，連接，，過點O作直線，點P，Q分別為直線l和拋物線上的點，試探究：在第一象限是否存在這樣的點P，Q，使．若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．4．如圖1，拋物線（）與軸交于點，與軸交于點，在線段上有一動點（不與，重合），過點作軸的垂線交直線于點，交拋物線于點．（1）分別求出拋物線和直線的函數(shù)表達式；（2）連接、，求面積的最大值，并求出此時點的坐標；（3）如圖2，點，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角為（），連接，，求的最小值．5．在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點A、B、C，已知A（﹣1，0），B（6，0），C（0，﹣6）．（1）求此拋物線的函數(shù)表達式；（2）若點D為第四象限內(nèi)拋物線上一動點，當△BCD面積最大時，求△BCD面積的最大面積；（3）在x軸上是否存在點M，使∠OCM+∠ACO＝45°，若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．6．如圖1，拋物線y＝x2+bx+c與x軸負半軸交于點A，與x軸正半軸交于點B，與y軸的負半軸交于點C，OC＝OB＝10．（1）求拋物線的解析式；（2）點P、Q在第四象限內(nèi)拋物線上，點P在點Q下方，連接CP，CQ，∠OCP+∠OCQ＝180°，設(shè)點Q的橫坐標為m，點P的橫坐標為n，求m與n的函數(shù)關(guān)系式；（3）如圖2，在（2）條件下，連接AP交CO于點D，過點Q作QE⊥AB于E，連接BQ，DE，是否存在點P，使∠AED＝2∠EQB，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．7．如圖，直線l：x＝3，拋物線G：y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+3的頂點為P，拋物線G與直線l交于點Q．（1）寫出拋物線G的頂點P的坐標（用m表示），點P的坐標所滿足的函數(shù)關(guān)系式為；（2）求點Q的縱坐標yQ（用含m的代數(shù)式表示），并求yQ的最大值；（3）隨m的變化，G會在直角坐標系中移動，求頂點P在y軸與l之間移動（含y軸與l）的路徑的長．8．如圖，拋物線與軸相交于點和點，與軸相交于點，作直線．（1）求拋物線的解析式；（2）在直線上方的拋物線上存在點，使，求點的坐標；（3）在（2）的條件下，點的坐標為，點在拋物線上，點在直線上，當以為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出點的坐標．9．已知拋物線與軸交于兩點，與軸交于點．（1）若時．①求三點的坐標；②如圖1，點是直線上方拋物線上一點，過點作軸交于點，若，請求出點坐標；（2）如圖2，將繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得，且使得點落在線段上．當時，請求出的值和的長．10．綜合與探究：如圖1，拋物線y＝x2+x+3與x軸交于C、F兩點（點C在點F左邊），與y軸交于點D，AD＝2，點B坐標為（﹣4，5），點E為AB上一點，且BE＝ED，連接CD，CB，CE．（1）求點C、D、E的坐標；（2）如圖2，延長ED交x軸于點M，請判斷△CEM的形狀，并說明理由；（3）在圖2的基礎(chǔ)上，將△CEM沿著CE翻折，使點M落在點M'處，請判斷點M'是否在此拋物線上，并說明理由．11．在平面直角坐標系中，我們定義直線y＝ax﹣a為拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的“夢想直線”；有一個頂點在拋物線上，另有一個頂點在y軸上的三角形為其“夢想三角形”．已知拋物線y＝﹣x2﹣x+2與其“夢想直線”交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與x軸負半軸交于點C．（1）填空：該拋物線的“夢想直線”的解析式為，點A的坐標為，點B的坐標為；（2）如圖，點M為線段CB上一動點，將△ACM以AM所在直線為對稱軸翻折，點C的對稱點為N，若△AMN為該拋物線的“夢想三角形”，求點N的坐標；（3）當點E在拋物線的對稱軸上運動時，在該拋物線的“夢想直線”上，是否存在點F，使得以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點E、F的坐標；若不存在，請說明理由．12．如圖①，拋物線與軸交于，兩點（點位于點的左側(cè)），與軸交于點．已知的面積是．（1）求的值；（2）在內(nèi)是否存在一點，使得點到點、點和點的距離相等，若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由；（3）如圖②，是拋物線上一點，為射線上一點，且、兩點均在第三象限內(nèi)，、是位于直線同側(cè)的不同兩點，若點到軸的距離為，的面積為，且，求點的坐標．13．如圖1，已知拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點.(1)求拋物線的解析式.(2)如圖2，直線：與軸交于點，點是軸上一個動點，過點作軸，與拋物線交于點，與直線交于點，當點、、、四個點組成的四邊形是平行四邊形時，求此時點坐標.(3)如圖3，連接和，點是拋物線上一個動點，連接，當時，求點的坐標.14．已知拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過A(?3，0)，B(?1，0)兩點(如圖1)，頂點為M.(1)a、b的值；(2)設(shè)拋物線與y軸的交點為Q(如圖1)，直線y=?2x+9與直線OM交于點D．現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點在直線OD上.當拋物線的頂點平移到D點時，Q點移至N點，求拋物線上的兩點M、Q間所夾的曲線MQ?掃過的區(qū)域的面積；(3)設(shè)直線y=?2x+9與y軸交于點C，與直線OM交于點D(如圖2).現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點在直線OD上.若平移的拋物線與射線CD(含端點C)沒有公共點時，試探求其頂點的橫坐標h的取值范圍.15．如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，頂點為，連接，，與拋物線的對稱軸交于點．（1）求拋物線的表達式；（2）點是第一象限內(nèi)拋物線上的動點，連接，，若，求點的坐標；（3）點是對稱軸右側(cè)拋物線上的動點，在射線上是否存在點，使得以點，，為頂點的三角形與相似？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，說明理由．16．拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的圖象與x軸交于點B（﹣3，0），C（1，0），與y軸交于點A．（1）求拋物線的表達式和頂點坐標；（2）拋物線上是否存在一點D（不與點A，B，C重合），使得直線DA將四邊形DBAC的面積分為3：5兩部分，若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；（3）點P是拋物線對稱軸上一點，在拋物線上是否存在一點Q，使以點P，Q，A，B為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．17．已知：如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點D（0，﹣6），直線y＝﹣x+2交x軸于點B，與y軸交于點C．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）拋物線上點E位于第四象限，且在拋物線的對稱軸的右側(cè)，當△BCE的面積為32時，過點E作平行于y軸的直線交x軸于Q，交BC于點F，在y軸上是否存在點K，使得以K、E、F三點為頂點的三角形是直角三角形，若存在，求出點K的坐標，若不存在，請說明理由；（3）如圖2，在線段OB上有一動點P，直接寫出DP+BP的最小值和此時點P的坐標．18．如圖，已知拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，直線與拋物線交于、兩點．（1）若，求拋物線的解析式；（2）在（1）的條件下，，點為直線上的動點，若的最小值為時，求的值；（3）取線段的中點，可能是等腰直角三角形嗎？若可能，求出的值；若不可能，請說明理由．期末難點特訓三（和二次函數(shù)綜合有關(guān)的壓軸題）1．如圖1，拋物線y=mx2﹣3mx+n（m≠0）與x軸交于點（﹣1，0）與y軸交于點B（0，3），在線段OA上有一動點E（不與O、A重合），過點E作x軸的垂線交直線AB于點N，交拋物線于點P．（1）分別求出拋物線和直線AB的函數(shù)表達式；（2）連接PA、PB，求△PAB面積的最大值，并求出此時點P的坐標．（3）如圖2，點E（2，0），將線段OE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)的到OE′，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），連接E′A、E′B，求E'A+E'B的最小值．【答案】（1），；（2）最大值為6，點P的坐標為(，)；（3）E'A+E'B的最小值為【分析】（1）把點（-1，0），B（0，3）代入，即可求得的值，得到拋物線的解析式令，求出拋物線與軸交點，根據(jù)待定系數(shù)法可以確定直線AB的解析式；（2）設(shè)點P的坐標為(，)，則點N的坐標為(，)，利用，得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）在y軸上取一點M使得OM′=，構(gòu)造相似三角形，可以證明AM′就是E'A+E'B的最小值．【詳解】（1）∵拋物線（m≠0）與x軸交于點（-1，0）與y軸交于點B（0，3），則有，解得：，∴拋物線的解析式為：，令，得到，解得：或，∴A（4，0），B（0，3），設(shè)直線AB解析式為，則，解得，∴直線AB解析式為；（2）如圖，設(shè)點P的坐標為(，)，∵PE⊥OA交直線AB于點N，交x軸于E，∴點N的坐標為(，)，∵，∴，∵，∴當時，有最大值，最大值為6，此時點P的坐標為(，)；（3）如圖中，在軸上取一點M′使得OM′=，連接AM′，在AM′上取一點E′使得OE′=OE．∵OE′=2，OM′?OB=，∴OE′2=OM′?OB，∴，∵∠BOE′=∠M′OE′，∴△M′OE′∽△E′OB，∴，∴M′E′=BE′，∴E'A+E'B=AE′+E′M′=AM′，此時E'A+E'B最?。▋牲c間線段最短，A、M′、E′共線時），最小值=AM′=．【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法、兩點間線段最短等知識，第(3)問解題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，找到線段AM′就是E'A+E'B的最小值．2．如圖1，拋物線與軸交于點、（點在點左側(cè)），與軸交于點，連接，拋物線的對稱軸直線與交于點、與軸交于點．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，把繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，求證：點在拋物線上；（3）如圖3，在（2）的條件下，點是拋物線上的動點，連接、，當時，請直接寫出直線的解析式．【答案】（1）；（2）見解析；（3）①；②【分析】（1）根據(jù)拋物線與軸交于點，可求出，然后根據(jù)拋物線的對稱軸直線為，可得，即可求解；（2）連接，作軸于點，令得方程，可得到，，從而求出直線的解析式為，進而可得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得，從而是等邊三角形，可得，在中，可得，，可得，然后代入拋物線解析式，即可求證；（3）過點M作GK⊥x軸，作DG⊥GK于點G，作KN⊥GK于點K，根據(jù)，，可得△BDE和△MDN是等腰直角三角形，可證得△DGM≌△MKN，得到點N，根據(jù)旋轉(zhuǎn)知識可得△BDN是等邊三角形，然后分兩種情況討論：當點P在點B的上方時；當點P在點B的下方，分別求出即可．【詳解】解：（1）∵拋物線過點，∴，∵對稱軸，∴，∴拋物線的解析式為；（2）如圖，連接，作軸于點，令，得方程，解得：，∴，，設(shè)直線的解析式為，把，代入，得：，解得：，∴直線的解析式為，當時，，∴，，∵繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴是等邊三角形，∴，，∴，在中，，，∴，對于當時，∴點在拋物線上；（3）如圖，過點M作GK⊥x軸，作DG⊥GK于點G，作KN⊥GK于點K，∵，，∴DE=2，OE=1，OB=3，∴BE=2，∴BE=DE，∵DE⊥x軸，∴△BDE是等腰直角三角形，∴△MDN是等腰直角三角形，∴DM=NM，∠DMN=90°，∴∠DMG+∠KMN=90°，∵∠DMG+∠GDM=90°，∴∠GDM=∠KMN，∵∠G=∠K=90°，∴△DGM≌△MKN，MK=DG，KN=GM，∵，∴MK=DG=，KN=GM=2-1=1，∴點N，∵繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴DB=DN，∠BDN=60°，∴△BDN是等邊三角形，∴∠BND=60°，當點P在點B的上方時，∵，∴∠DNP=，∴PN垂直平分BD，∵△BDE是等腰直角三角形，∴PN過點E，設(shè)直線PN的解析式為把點N，E（1，0）代入，得：，解得：，∴直線PN的解析式為；當點P在點B的下方，記作時，則∠DN=∠BND+∠BN=90°，設(shè)直線DN的解析式為，把點N，代入，得：，解得：，∴設(shè)直線DN的解析式為，∵，∴可設(shè)直線的解析式為：，將把點N代入，得：，解得：，∴直線的解析式為：，綜上所述，直線的解析式為或．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合運用，及一次函數(shù)的性質(zhì)，圖形旋轉(zhuǎn)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，利用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．3．在平面直角坐標系中，已知拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于點．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）如圖1，點D為第四象限拋物線上一點，連接，交于點E，求的最大值；（3）如圖2，連接，，過點O作直線，點P，Q分別為直線l和拋物線上的點，試探究：在第一象限是否存在這樣的點P，Q，使．若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，點P的坐標為或【分析】（1）把點的坐標直接代入函數(shù)解析式，計算即可；（2）用二次函數(shù)的解析式表示點D的坐標，用點D的表示線段的比值，構(gòu)造出二次函數(shù)，用二次函數(shù)的最值求解即可；（3）分點P在直線BQ的左右兩側(cè)求解即可．【詳解】解：（1）∵，,點，∴設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-4),∴-2=-4a,解得a=，∴y=(x+1)(x-4),∴．（2）過點D作軸于點G，交于點F，過點A作軸交的延長線于點K，∴，∴，∴設(shè)直線的解析式為，∴，解得∴直線的解析式為，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴．∴．∴當時，有最大值，最大值是．（3）符合條件的點P的坐標為或（．∵，∴直線l的解析式為，設(shè)，①當點P在直線右側(cè)時，如圖2，過點P作軸于點N，過點Q作直線于點M，∵，，，∴，，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，，∴，將點Q的坐標代入拋物線的解析式得，解得（舍去）或．∴．②當點P在直線左側(cè)時，由①的方法同理可得點Q的坐標為．此時點P的坐標為．綜合所述，存在這樣的點P，且坐標為為或（．【點睛】本題考查了二次函數(shù)解析式的確定，最值的應用，一次函數(shù)解析式的確定，平行線的意義，三角形的相似，存在性問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，靈活用點的坐標表示比值構(gòu)造二次函數(shù)，活用分類思想是解題的關(guān)鍵．4．如圖1，拋物線（）與軸交于點，與軸交于點，在線段上有一動點（不與，重合），過點作軸的垂線交直線于點，交拋物線于點．（1）分別求出拋物線和直線的函數(shù)表達式；（2）連接、，求面積的最大值，并求出此時點的坐標；（3）如圖2，點，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角為（），連接，，求的最小值．【答案】（1）拋物線，直線解析式為；（2）；（3）【分析】(1)用待定系數(shù)法即可求解；(2)由S=S△PNA+S△PNB=×PN×OA=×=-x2+6x，即可求解；(3)在y軸上取一點M使得0M′=，構(gòu)造相似三角形，可以證明AM'就是E'A+E'B的最小值.【詳解】解：（1）∵拋物線（）與軸交于點與軸交于點，則有，解得，∴拋物線，令，得到，解得：或，∴，，設(shè)直線解析式為，則，解得，∴直線解析式為；（2）如圖1中，設(shè)，則點，則設(shè)面積為，則，∵，故有最大值，當時，的最大值為6，此時；（3）如圖，在軸上取一點使得，連接，在上取一點使得OE′=OE．∵，，∴，∴，∵，∴∽，∴，∴，∴，此時最?。▋牲c間線段最短，，、共線時），最小值．【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查相似三角形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法、最小值問題等知識，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，找到線段AM'就是E'A+E'B的最小值，屬于中考壓軸題.5．在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點A、B、C，已知A（﹣1，0），B（6，0），C（0，﹣6）．（1）求此拋物線的函數(shù)表達式；（2）若點D為第四象限內(nèi)拋物線上一動點，當△BCD面積最大時，求△BCD面積的最大面積；（3）在x軸上是否存在點M，使∠OCM+∠ACO＝45°，若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y＝x2﹣5x﹣6；；（2）△BCD面積的最大值為27；（3）存在，點M坐標為（，0）或（﹣，0）．【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求解析式；（2）如圖1，過點D作DF⊥AB于F，交BC于E，先求出直線BC解析式，設(shè)點D坐標為（x，x2﹣5x﹣6），則點E（x，x﹣6），可求DE的長，由三角形的面積公式和二次函數(shù)的性質(zhì)可求解；（3）過點M作MN⊥BC，連接CM，分兩種情況討論，當點M在原點右側(cè)時，當點M'在原點左側(cè)時，點M與點M'關(guān)于原點對稱，然后通過證明△AOC∽△MNC，可得，即可求解．【詳解】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點A（﹣1，0），B（6，0），C（0，﹣6），∴，解得：，∴拋物線解析式為y＝x2﹣5x﹣6；（2）如圖1，過點D作DF⊥AB于F，交BC于E，、∵B（6，0），C（0，﹣6），∴直線BC解析式為y＝x﹣6，設(shè)點D坐標為（x，x2﹣5x﹣6），則點E（x，x﹣6），∴DE＝x﹣6﹣（x2﹣5x﹣6）＝﹣x2+6x，∵△BCD面積＝×DE×OB＝（﹣x2+6x）×6＝﹣3（x﹣3）2+27，∴當x＝3時，△BCD面積的最大值為27；（3）存在，理由如下：當點M在原點右側(cè)時，過點M作MN⊥BC，連接CM，如圖所示：∵B（6，0），C（0，﹣6），A（﹣1，0），∴OB＝OC＝6，OA＝1，∴∠OCB＝45°＝∠OBC，BC＝6，∵∠ACO+∠OCM＝45°，∴∠ACO＝∠BCM，∵MN⊥BC，∴∠MNC＝90°＝∠AOC，∴△AOC∽△MNC，∴，∵MN⊥BC，∠OBC＝45°，∴∠NMB＝∠MBN＝45°，∴MN＝BN＝BM＝（6﹣OM）＝，∴CN＝，∴，∴OM＝，∴點M（，0）；當點M'在原點左側(cè)時，點M與點M'關(guān)于原點對稱，如圖所示，∴點M'（﹣，0）；綜上所述：點M坐標為（，0）或（﹣，0）．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)與幾何綜合及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．6．如圖1，拋物線y＝x2+bx+c與x軸負半軸交于點A，與x軸正半軸交于點B，與y軸的負半軸交于點C，OC＝OB＝10．（1）求拋物線的解析式；（2）點P、Q在第四象限內(nèi)拋物線上，點P在點Q下方，連接CP，CQ，∠OCP+∠OCQ＝180°，設(shè)點Q的橫坐標為m，點P的橫坐標為n，求m與n的函數(shù)關(guān)系式；（3）如圖2，在（2）條件下，連接AP交CO于點D，過點Q作QE⊥AB于E，連接BQ，DE，是否存在點P，使∠AED＝2∠EQB，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）如圖1中，過點Q作QN⊥OC于N，過點P作PM⊥OC于M，利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建關(guān)系式即可；（3）如圖2中，作ET平分∠OED，交OD于T，過點T作TR⊥DE于R．證明△EOT≌△ERT（AAS），推出OT＝TR，EO＝ER＝m，設(shè)OT＝TR＝x，在Rt△DTR中，根據(jù)DT2＝TR2+DR2，構(gòu)建方程求出x，再利用相似三角形的性質(zhì)，構(gòu)建方程求出m的值即可．【詳解】解：（1）∵OC＝OB＝10，∴C（0，﹣10），B（10，0），把C，B兩點坐標代入y＝x2+bx+c，得到，解得，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣10；（2）如圖1中，過點Q作QN⊥OC于N，過點P作PM⊥OC于M．∵∠OCP+∠OCQ＝180°，∠OCP+∠PCM＝180°，∴∠QCN＝∠PCM，∵∠QNC＝∠PMC＝90°，∴△QNC∽△PMC，∴＝，∴＝，整理得m＝12﹣n；（3）如圖2中，作ET平分∠OED，交OD于T，過點T作TR⊥DE于R．由題意A（﹣4，0），P（n，n2﹣n﹣10），∴直線PA的解析式為y＝（n﹣10）x+n﹣10，∴D（0，n﹣10），∵m＝12﹣n，∴n=12－m，∴n－10=12－m－10=2－m，∴D（0，2﹣m），∴OD＝m﹣2，∵∠TEO＝∠TER，∠EOT＝∠ERT＝90°，ET＝ET，∴△EOT≌△ERT（AAS），∴OT＝TR，EO＝ER＝m，設(shè)OT＝TR＝x，在Rt△DTR中，∵DT2＝TR2+DR2，∴（m﹣2﹣x）2＝x2+（﹣m）2，∴x＝，∵∠OED＝2∠EQB，∠OET＝∠TED，∴∠OET＝∠EQB，∵∠EOQ＝∠QEB＝90°，∴△OET∽△EQB，∴＝，∴＝，整理，得=，兩邊平方并整理得：，∴，解得m＝8或﹣6（舍）或2（舍）或0（舍），∵m＝12﹣n，∴n＝4，∴P（4，﹣12）．【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，全等三角形的判定和性質(zhì)，分式方程的求解，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，具有相當?shù)碾y度，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．7．如圖，直線l：x＝3，拋物線G：y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+3的頂點為P，拋物線G與直線l交于點Q．（1）寫出拋物線G的頂點P的坐標（用m表示），點P的坐標所滿足的函數(shù)關(guān)系式為；（2）求點Q的縱坐標yQ（用含m的代數(shù)式表示），并求yQ的最大值；（3）隨m的變化，G會在直角坐標系中移動，求頂點P在y軸與l之間移動（含y軸與l）的路徑的長．【答案】（1）；（2）；的最大值為；（3）點P在y軸與l之間移動的路徑長為．【分析】（1）因為P為拋物線的頂點，所以求出拋物線的對稱軸并帶入拋物線，即可求出P點的坐標，進而可求出P滿足的函數(shù)關(guān)系式；（2）Q在直線l上，可知Q的橫坐標為x=3，將其代入拋物線方程y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+3可得到，開口向下，有最大值，求出其對稱軸即可得到的最大值；（3）先求出P的運動軌跡為y=x+3，分別求出P在y軸及l(fā)上時的坐標，根據(jù)兩點之間的距離公式即可求得路徑長．【詳解】解：（1）由題意知：拋物線對稱軸為，將代入拋物線解析式可得：，，∴P點的坐標為(m，m+3)，∵m+3-m=3，∴P點坐標滿足y-x=3，即P的坐標滿足的函數(shù)關(guān)系式為y-x=3，故答案為：(m，m+3)；y-x=3；（2）∵Q在直線l上，可知Q的橫坐標為x=3，∴將x=3代入拋物線得：，∴可看作開口向下的拋物線，有最大值，其對稱軸為，將代入中，得：，∴的最大值為；（3）由（1）知P的運動軌跡為y=x+3，∴P點在y軸上時，x=0，y=3，P的坐標為(0，3)，P點在直線l上時，x=3，y=6，P的坐標為(3，6)，∴路徑長為：，即點P在y軸與l之間移動的路徑長為．【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合知識，掌握二次函數(shù)解析式求法、最值及兩點間的距離公式是解題的關(guān)鍵．8．如圖，拋物線與軸相交于點和點，與軸相交于點，作直線．（1）求拋物線的解析式；（2）在直線上方的拋物線上存在點，使，求點的坐標；（3）在（2）的條件下，點的坐標為，點在拋物線上，點在直線上，當以為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出點的坐標．【答案】（1）；（2）點坐標為；（3），【分析】（1）將A、C點坐標分別代入拋物線中，聯(lián)立即可求得a和c的值，從而求出拋物線解析式；（2）過點作軸交拋物線于點，則，過點作交拋物線于點，設(shè)，借助，即可求得t的值，從而求得D點坐標；（3）先求出直線BC的解析式，設(shè)，分DF為邊和DF為對角線兩種情況討論，表示出M點坐標，代入拋物線中求得n的值，即可得出N點坐標．【詳解】解：（1）：拋物線經(jīng)過點，解得∴拋物線的解析式為（2）過點作軸交拋物線于點，則過點作交拋物線于點過點作于點，則設(shè)點的橫坐標為，則∵點是與軸的交點，解得的坐標為，解得（舍去），∴點的縱坐標為：則點坐標為（3）設(shè)直線BC的解析式為：，將C（0,3），B（4，0）分別代入得，，解得，∴直線BC的解析式為：，設(shè)，①當FD為平行四邊形的邊時，如圖，當N點在M點左側(cè)時，則即整理得，即,故，解得：，此時；同理當N點在M點右側(cè)時可得，故，解得，此時；①當FD為平行四邊形的對角線時，則,即故，整理得，該方程無解．綜上所述：，．【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合，分別考查了求二次函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)，和二次函數(shù)與平行四邊形問題．（1）中直接代入點的坐標即可，難度不大；（2）中能正確作輔助線，構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵；（3）中能分類討論是解題關(guān)鍵，需注意平行四邊形對邊平行且相等，可借助這一點結(jié)合圖象表示M點坐標．9．已知拋物線與軸交于兩點，與軸交于點．（1）若時．①求三點的坐標；②如圖1，點是直線上方拋物線上一點，過點作軸交于點，若，請求出點坐標；（2）如圖2，將繞原點順時針旋轉(zhuǎn)得，且使得點落在線段上．當時，請求出的值和的長．【答案】（1）①，；②；（2）．【分析】（1）①把代入解析式，分別令x=0和y=0即可求出三點的坐標；②先根據(jù)求出PF的值，再求出直線BC的解析式為，設(shè)，則，然后利用PF=3列方程求解即可；（2）先證明AB=BC=5，再根據(jù)勾股定理求出OC的長，即可求出a的值；過作，根據(jù)，可求出AH，然后利用即可求出CE的值．【詳解】解：（1）若時①原拋物線為，當時，，即，當y=0時，即時，∴(x+1)(x-4)=0，解得，即；②∵，∴，∵，，設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，把代入，得，∴，∴，設(shè)，則，，解得，當m=1時，-m2+3m+4=-1+3+4=6；當m=3時，-m2+3m+4=-9+9+4=4；；（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得．，，，，，即，∴．過作，則，∴，∴，．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，OA=OD，OC=OE，∴，∵∠AOD+∠COD=90°，∠COE+∠COD=90°，∴，，，∵，∴，當時，，即，當y=0時，即時，∴(x+1)(x-4)=0，解得，即；∴OA=1，OC=3，∴，∴．【點睛】本題考查了二次函數(shù)坐標軸的交點，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，解一元二次方程，銳角三角函數(shù)，以及形似三角形的判定與性質(zhì)，難度較大，屬中考壓軸題．10．綜合與探究：如圖1，拋物線y＝x2+x+3與x軸交于C、F兩點（點C在點F左邊），與y軸交于點D，AD＝2，點B坐標為（﹣4，5），點E為AB上一點，且BE＝ED，連接CD，CB，CE．（1）求點C、D、E的坐標；（2）如圖2，延長ED交x軸于點M，請判斷△CEM的形狀，并說明理由；（3）在圖2的基礎(chǔ)上，將△CEM沿著CE翻折，使點M落在點M'處，請判斷點M'是否在此拋物線上，并說明理由．【答案】（1）點C的坐標是（﹣4，0），點D的坐標是（0，3），點E的坐標是（﹣，5）；（2）△CEM的等腰三角形．理由見解析；（3）點M'不在此拋物線上．理由見解析.【分析】（1）結(jié)合拋物線解析式求得點C、D的坐標；設(shè)EA=a，根據(jù)已知條件BE=ED列出方程a2+22=（4-a）2，解方程即可求得a的值，易得點E的坐標；（2）△CEM的等腰三角形，利用全等三角形（△CBE≌△CDE）的性質(zhì)得到∠BEC=∠CED，由平行線的性質(zhì)和等量代換推知∠CED=∠ECM．所以EM=CM，證得△CEM的等腰三角形；（3）點M'不在此拋物線上．設(shè)M（m，0）．由相似三角形（△DOM∽△DAE）的對應邊成比例求得m的值，易得CM的長度，根據(jù)翻折的性質(zhì)知EM=EM′．易得四邊形CMEM′是菱形．由菱形的對邊相等的性質(zhì)可以求得點M′的坐標，將代入函數(shù)解析式進行驗證即可．【詳解】（1）如圖1所示，∵拋物線y＝x2+x+3與x軸交于C，當y＝0時，x2+x+3＝0．解得x1＝﹣，x2＝﹣4．∵點C在點F左邊，∴點C的坐標是（﹣4，0）．當x＝0時，y＝3．∴點D的坐標是（0，3）．∵AD＝2，D（0，3），∴OA＝5．∵點B坐標為（﹣4，5），∴BA∥x軸．在Rt△EAD中，設(shè)EA＝a，EB＝4﹣a．又BE＝ED，∴DE＝4﹣a．∴a2+22＝（4﹣a）2，得a＝．∴點E的坐標是（，5）．（2）如圖2所示，△CEM的等腰三角形．理由如下：由C（﹣4，0），D（0，3）知，OC＝4，OD＝3．由勾股定理求得CD＝5．又∵點B坐標為（﹣4，5），∴CB＝5，CD＝CB．又∵BE＝BD，∴△CBE≌△CDE（SSS）．∴∠BEC＝∠CED．又∵BE∥CM，∴∠BEC＝∠ECM，∴∠CED＝∠ECM．∴EM＝CM．∴△MCE是等腰三角形．（3）點M'不在此拋物線上．理由如下：如圖3所示，設(shè)點M的坐標是（m，0）．∵△DOM∽△DAE．，即解得m＝．∵CM＝4+＝．由翻折可知，EM＝EM′．∵CM＝EM，∴四邊形CMEM′是菱形．∴EM′＝CM＝．．∴點M′的坐標是（，5）．當m＝時，代入拋物線解析式y(tǒng)＝x2+x+3，得．∴點M′不在此拋物線上．【點睛】考查了二次函數(shù)綜合題．需要綜合運用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質(zhì)進行計算是解此題的關(guān)鍵．11．在平面直角坐標系中，我們定義直線y＝ax﹣a為拋物線y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的“夢想直線”；有一個頂點在拋物線上，另有一個頂點在y軸上的三角形為其“夢想三角形”．已知拋物線y＝﹣x2﹣x+2與其“夢想直線”交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與x軸負半軸交于點C．（1）填空：該拋物線的“夢想直線”的解析式為，點A的坐標為，點B的坐標為；（2）如圖，點M為線段CB上一動點，將△ACM以AM所在直線為對稱軸翻折，點C的對稱點為N，若△AMN為該拋物線的“夢想三角形”，求點N的坐標；（3）當點E在拋物線的對稱軸上運動時，在該拋物線的“夢想直線”上，是否存在點F，使得以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點E、F的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（﹣2，）；（1，0）；（2）N點坐標為（0，﹣3）或（，）；（3）存在；E（﹣1，﹣）、F（0，）或E（﹣1，﹣）、F（﹣4，）．【分析】（1）由夢想直線的定義可求得其解析式，聯(lián)立夢想直線與拋物線解析式可求得A、B的坐標；（2）當N點在y軸上時，過A作AD⊥y軸于點D，則可知AN＝AC，結(jié)合A點坐標，則可求得ON的長，可求得N點坐標；當M點在y軸上即，M點在原點時，過N作NP⊥x軸于點P，由條件可求得∠NMP＝60°，在Rt△NMP中，可求得MP和NP的長，則可求得N點坐標；（3）當AC為平行四邊形的一邊時，過F作對稱軸的垂線FH，過A作AK⊥x軸于點K，可證△EFH≌△ACK，可求得DF的長，則可求得F點的橫坐標，從而可求得F點坐標，由HE的長可求得E點坐標；當AC為平行四邊形的對角線時，設(shè)E（﹣1，t），由A、C的坐標可表示出AC中點，從而可表示出F點的坐標，代入直線AB的解析式可求得t的值，可求得E、F的坐標．【詳解】解：（1）∵拋物線，∴其夢想直線的解析式為，聯(lián)立夢想直線與拋物線解析式可得：，解得：或，∴A（﹣2，），B（1，0），故答案為：；（﹣2，）；（1，0）；（2）當點N在y軸上時，△AMN為夢想三角形，如圖1，過A作AD⊥y軸于點D，則AD=2，在中，令y=0可求得x=﹣3或x=1，∴C（﹣3，0），且A（﹣2，），∴AC==，由翻折的性質(zhì)可知AN=AC=，在Rt△AND中，由勾股定理可得DN===3，∵OD=，∴ON=﹣3或ON=+3，當ON=+3時，則MN＞OD＞CM，與MN=CM矛盾，不合題意，∴N點坐標為（0，﹣3）；當M點在y軸上時，則M與O重合，過N作NP⊥x軸于點P，如圖2，在Rt△AMD中，AD=2，OD=∴∠DAM=60°，∵AD∥x軸，∴∠AMC=∠DAO=60°，又由折疊可知∠NMA=∠AMC=60°，∴∠NMP=60°，且MN=CM=3，∴MP=MN=，NP=MN=，∴此時N點坐標為（，）；綜上可知N點坐標為（0，﹣3）或（，）；（3）①當AC為平行四邊形的邊時，如圖3，過F作對稱軸的垂線FH，過A作AK⊥x軸于點K，則有AC∥EF且AC=EF，∴∠ACK=∠EFH，在△ACK和△EFH中，∵∠ACK=∠EFH，∠AKC=∠EHF，AC=EF，∴△ACK≌△EFH（AAS），∴FH=CK=1，HE=AK=，∵拋物線對稱軸為x=﹣1，∴F點的橫坐標為0或﹣2，∵點F在直線AB上，∴當F點橫坐標為0時，則F（0，），此時點E在直線AB下方，∴E到y(tǒng)軸的距離為EH﹣OF=﹣=，即E點縱坐標為﹣，∴E（﹣1，﹣）；當F點的橫坐標為﹣2時，則F與A重合，不合題意，舍去；②當AC為平行四邊形的對角線時，∵C（﹣3，0），且A（﹣2，），∴線段AC的中點坐標為（﹣2.5，），設(shè)E（﹣1，t），F(xiàn)（x，y），則x﹣1=2×（﹣2.5），y+t=，∴x=﹣4，y=﹣t，代入直線AB解析式可得﹣t=﹣×（﹣4）+，解得t=﹣，∴E（﹣1，﹣），F(xiàn)（﹣4，）；綜上可知存在滿足條件的點F，此時E（﹣1，﹣）、F（0，）或E（﹣1，﹣）、F（﹣4，）．【點睛】本題為二次函數(shù)的綜合應用，涉及函數(shù)圖象的交點、勾股定理、軸對稱的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中理解題目中夢想直線的定義是解題的關(guān)鍵，在（2）中確定出N點的位置，求得ON的長是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出E、F的位置是解題的關(guān)鍵，注意分兩種情況．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度較大．12．如圖①，拋物線與軸交于，兩點（點位于點的左側(cè)），與軸交于點．已知的面積是．（1）求的值；（2）在內(nèi)是否存在一點，使得點到點、點和點的距離相等，若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由；（3）如圖②，是拋物線上一點，為射線上一點，且、兩點均在第三象限內(nèi)，、是位于直線同側(cè)的不同兩點，若點到軸的距離為，的面積為，且，求點的坐標．【答案】（1）-3；（2）存在點，使得點到點、點和點的距離相等；（3）坐標為【分析】（1）令，求出x的值即可求出A、B的坐標，令x=0，求出y的值即可求出點C的坐標，從而求出AB和OC，然后根據(jù)三角形的面積公式列出方程即可求出的值；（2）由題意，點即為外接圓圓心，即點為三邊中垂線的交點，利用A、C兩點的坐標即可求出、的中點坐標，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出線段的垂直平分線過原點，從而求出線段的垂直平分線解析式，然后求出AB中垂線的解析式，即可求出點的坐標；（3）作軸交軸于，易證，從而求出，利用待定系數(shù)法和一次函數(shù)的性質(zhì)分別求出直線AC、BP的解析式，和二次函數(shù)的解析式聯(lián)立，即可求出點P的坐標，然后利用SAS證出，從而得出，設(shè)，利用平面直角坐標系中任意兩點之間的距離公式即可求出m，從而求出點Q的坐標．【詳解】解：（1）令，即解得，由圖象知：，∴AB=1令x=0，解得y=∴點C的坐標為∴OC=解得：，（舍去）（2）存在，由題意，點即為外接圓圓心，即點為三邊中垂線的交點，，，、的中點坐標為線段的垂直平分線過原點，設(shè)線段的垂直平分線解析式為：，將點的坐標代入，得解得：∴線段的垂直平分線解析式為：由，，線段的垂直平分線為將代入，解得：存在點，使得點到點、點和點的距離相等（3）作軸交軸于，則∴、到的距離相等，設(shè)直線，將，代入，得解得即直線，∴設(shè)直線解析式為：直線經(jīng)過點所以：直線的解析式為聯(lián)立，解得：點坐標為又，，設(shè)AP與QB交于點G∴GA=GQ，GP=GB，在與中，，設(shè)由得：解得：，（當時，，故應舍去）坐標為．【點睛】此題考查的是二次函數(shù)的綜合大題，掌握求拋物線與坐標軸的交點坐標、利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、三角形外心的性質(zhì)、利用SAS判定兩個三角形全等和平面直角坐標系中任意兩點之間的距離公式是解決此題的關(guān)鍵．13．如圖1，已知拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點.(1)求拋物線的解析式.(2)如圖2，直線：與軸交于點，點是軸上一個動點，過點作軸，與拋物線交于點，與直線交于點，當點、、、四個點組成的四邊形是平行四邊形時，求此時點坐標.(3)如圖3，連接和，點是拋物線上一個動點，連接，當時，求點的坐標.【答案】(1)；(2)，，；(3)，.【分析】（1）把A、B、C三點坐標分別代入函數(shù)解析式得到三元一次方程組，解方程組即可；（2）設(shè)，則，，根據(jù)軸，可表示出GH的長，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)列方程解答即可；（3）分兩種情況討論：①在上方，證②在下方，設(shè)和軸交于點，過作，過作軸于，證【詳解】(1)將、、分別代入y=ax2+bx+c，得：，解得，，∴(2)設(shè)則，∵軸∴∵四個點、、、組成平行四邊形∴∴解得：，，∴，，(3)①在上方，如圖所示，過作，交于證明∵∴∴∴，此時在拋物線上，∴②在下方和軸交于點，過作，過作軸于證明∵∴∴設(shè)，則∴∴，解得∴∴表達式：聯(lián)立：，解得或(舍)∴【點睛】本題考查的是二次函數(shù)及其應用，能正確的作出輔助線把二次函數(shù)與幾何圖形結(jié)合是關(guān)鍵，要注意分類討論思想的應用.14．已知拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過A(?3，0)，B(?1，0)兩點(如圖1)，頂點為M.(1)a、b的值；(2)設(shè)拋物線與y軸的交點為Q(如圖1)，直線y=?2x+9與直線OM交于點D．現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點在直線OD上.當拋物線的頂點平移到D點時，Q點移至N點，求拋物線上的兩點M、Q間所夾的曲線MQ?掃過的區(qū)域的面積；(3)設(shè)直線y=?2x+9與y軸交于點C，與直線OM交于點D(如圖2).現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點在直線OD上.若平移的拋物線與射線CD(含端點C)沒有公共點時，試探求其頂點的橫坐標h的取值范圍.【答案】（1）a=1，b=4；（2）MQ掃過的面積為；（3）或【分析】（1）將A、B兩點的坐標代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)的值．（2）連接MQ、DN后，由圖可以發(fā)現(xiàn)曲線MQ掃過的面積正好是?MQND的面積；連接QD，則?MQND的面積是兩倍的△MQD的面積，所以這道題實際求的是△MQD的面積；由（1）的拋物線解析式，不難求出頂點M的坐標，聯(lián)立直線OM和直線CD的解析式可以求出點D的坐標；以O(shè)Q為底，M、D兩點的橫坐標差的絕對值為高即可得△MQD的面積，則此題可求．（3）在平移過程中，拋物線的開口方向和大小是不變的，即二次項系數(shù)不變；拋物線的頂點始終在直線OM上，根據(jù)直線OM的解析式（y=x）可表達出拋物線頂點的坐標（h，h），可據(jù)此先設(shè)出平移后的拋物線解析式；若求平移的拋物線與射線CD（含端點C）沒有公共點時頂點橫坐標的取值范圍，那么就要考慮到兩個關(guān)鍵位置：①拋物線對稱軸右側(cè)部分經(jīng)過C點時，拋物線頂點橫坐標h的值；②拋物線對稱軸左側(cè)部分與直線CD恰好有且只有一個交點時，h的值；【詳解】解：（1）將A（-3，0），B（-1，0）代入拋物線y=ax2+bx+3中，得：，解得：a=1、b=4．（2）連接MQ、QD、DN，由圖形平移的性質(zhì)知：QN∥MD，即四邊形MQND是平行四邊形；由（1）知，拋物線的解析式：y=x2+4x+3=（x+2）2-1，則點M（-2，-1），當x=0時，y=3，∴Q（0，3）；設(shè)直線OM的解析式為y=kx，∴-2k=-1，∴k=，∴直線OM：y=x，聯(lián)立直線y=-2x+9，得：，解得．則D（）；曲線QM掃過的區(qū)域的面積：S=SMQND=2S△MQD；（3）由于拋物線的頂點始終在y=x上，可設(shè)其坐標為（h，h），設(shè)平移后的拋物線解析式為y=（x-h）2+h；①當平移后拋物線對稱軸右側(cè)部分經(jīng)過點C（0，9）時，有：h2+h=9，解得：h=（依題意，舍去正值）②當平移后的拋物線與直線y=-2x+9只有一個交點時，依題意：，消去y，得：x2-（2h-2）x+h2+h-9=0，則：△=（2h-2）2-4（h2+h-9）=-10h+40=0，解得：h=4，結(jié)合圖形，當平移的拋物線與射線CD（含端點C）沒有公共點時，h＜或h＞4．【點睛】該題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖相與性質(zhì)，二次函數(shù)的平移，一次函數(shù)與二次次函數(shù)交點坐標的求法，一元二次方程根的判別式等知識；（2）題中，要通過觀察圖形找出曲線掃過的面積和平行四邊形的面積之間的聯(lián)系；最后一題中，要注意“射線CD”這個條件及分類思想的運用．15．如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，頂點為，連接，，與拋物線的對稱軸交于點．（1）求拋物線的表達式；（2）點是第一象限內(nèi)拋物線上的動點，連接，，若，求點的坐標；（3）點是對稱軸右側(cè)拋物線上的動點，在射線上是否存在點，使得以點，，為頂點的三角形與相似？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）的坐標為或；（3）在射線上存在點，使得以點，，為頂點的三角形與相似，點的坐標為或或．【分析】（1）直接將A（-1，0）和點B（4，0）代入，解出a，b的值即可得出答案；（2）先求出點C的坐標及直線BC的解析式，再根據(jù)圖及題意得出三角形PBC的面積；過點作軸，交軸于點，交于點，設(shè)，則，根據(jù)三角形PBC的面積，列出關(guān)于t的方程，解出t的值，即可得出點P的坐標；（3）由題意得出三角形BOC為等腰直角三角形，然后分MN=EM，MN=NE，NE=EM三種情況討論結(jié)合圖形，得出邊之間的關(guān)系，即可得出答案．【詳解】（1）∵拋物線過點和點，∴，解得，∴拋物線的解析式為；（2）如圖1，過點作軸，交軸于點，交于點，當時，，∴，設(shè)直線的解析式為，將，代入得：，解得：，∴直線的解析式為，設(shè)，則，∴，∵，∴，∴，即，解得，，∴的坐標為或；（3）存在；如圖，∵，，，∴，∴為等腰直角三角形，∵拋物線的對稱軸為，∴點的橫坐標為，又∵點在直線上，∴點的縱坐標為，∴，∵點是對稱軸右側(cè)拋物線上的動點，點在射線上，∴設(shè)（），①當，時，如圖2，，則，解得或（舍去），∴此時點的坐標為；②當，時，如圖3，，則，解得或（舍去），∴此時點的坐標為；③當，時，如圖4，，過點N作于點H，∴是等腰直角三角形，由（1）知點H的坐標為，∵，，，∴HE=MH，∴點H為EM的中點，∵，∴，∴，∴點M的縱坐標為，∴點的坐標為，故在射線上存在點，使得以點，，為頂點的三角形與相似，點的坐標為或或．【點睛】本題是一道綜合題，涉及到二次函數(shù)的綜合、相似三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識點，綜合性比較強，解答類似題的關(guān)鍵是添加合適的輔助線．16．拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的圖象與x軸交于點B（﹣3，0），C（1，0），與y軸交于點A．（1）求拋物線的表達式和頂點坐標；（2）拋物線上是否存在一點D（不與點A，B，C重合），使得直線DA將四邊形DBAC的面積分為3：5兩部分，若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；（3）點P是拋物線對稱軸上一點，在拋物線上是否存在一點Q，使以點P，Q，A，B為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y＝x2+2x﹣3，頂點坐標為（﹣1，﹣4）；（2）存在，點D的坐標是（﹣4，5）或（﹣8，45）；（3）點Q的坐標為（2，5）或（﹣4，5）或（﹣2，﹣3）．【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求拋物線的表達式，利用配方法可得頂點坐標；（2）解法一：設(shè)D(m，m2+2m﹣3)，求出直線AD的解析式，再求出與x軸的交點坐標，根據(jù)直線DA將四邊形DBAC的面積分為3：5兩部分，分兩種情況，列方程解出即可求出對應的點D的坐標；解法二：確定E點分BC為3：5兩部分，進而求E點坐標和AE解析式，直線AE再與拋物線求交點即可；（3）分三種情況，正確畫圖，并根據(jù)坐標平移的特點可得點Q的坐標．【詳解】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的圖象與x軸交于點B(﹣3，0)，C(1，0)，∴，解得：，∴該二次函數(shù)的解析式是y＝x2+2x﹣3，∵y＝x2+2x﹣3＝(x+1)2﹣4，∴頂點坐標為(﹣1，﹣4)；（2）解法一：如圖1，將x＝0代入y＝x2+2x﹣3中得：y＝﹣3，∴A(0，﹣3)，設(shè)D(m，m2+2m﹣3)，設(shè)直線AD的解析式為：y＝kx+n，則，解得：，∴直線AD的解析式為：y＝(m+2)x﹣3，∴直線AD與x軸的交點E的坐標為(，0)，∴＝＝＝＝＝，①當＝時，，解得：m＝﹣4，m2+2m﹣3＝5，∴D(﹣4，5)；②當＝時，＝，解得：m＝﹣8，m2+2m﹣3＝45，∴D(﹣8，45)；綜上，點D的坐標是(﹣4，5)或(﹣8，45)；解法二：∵直線DA將四邊形DBAC的面積分為3：5兩部分，∴＝或＝，①當時，CE=BC=,∴OE=，∴E(﹣，0)，設(shè)直線AE的解析式為：y=kx+b，把A(0，﹣3)，E(﹣，0)，代入得，∴，∴y＝﹣2x﹣3，∴x2+2x﹣3＝﹣2x﹣3，解得：x1＝0（舍），x2＝﹣4，∴D(﹣4，5)；②當＝時，同理得：D(﹣8，45)；綜上，點D的坐標是(﹣4，5)或(﹣8，45)；（3）分三種情況：①如圖2，以AB為邊時，四邊形ABPQ是平行四邊形，∵拋物線的對稱軸是：x＝﹣1，∴P的橫坐標為﹣1，∵A(0，﹣3)，B(﹣3，0)，∴Q的橫坐標為2，當x＝2時，y＝22+2×2﹣3＝5，∴Q（2，5）；②如圖3，以AB為邊時，四邊形ABQP是平行四邊形，同理得Q(﹣4，5)；