江蘇省南京市臨江高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

PAGE16-江蘇省南京市臨江高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）一?單項(xiàng)選擇題1.下表是離散型隨機(jī)變量X的分布列，則常數(shù)的值是（）X3459PA. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由隨機(jī)變量分布列中概率之和為1列出方程即可求出a.【詳解】，解得.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量分布列，屬于基礎(chǔ)題.2.已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】試題分析：∵，∴，∴在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，故選C.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算和幾何意義.3.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求得導(dǎo)函數(shù)，由此解方程求得的值.【詳解】依題意，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查乘法的導(dǎo)數(shù)，考查方程的思想，屬于基礎(chǔ)題.4.函數(shù)y=x2㏑x的單調(diào)遞減區(qū)間為A.（1,1] B.（0,1] C.[1，+∞） D.（0，+∞）【答案】B【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得（x>0）,令解得，因此函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為，故選B考點(diǎn)定位：本小題考查導(dǎo)數(shù)問題，意在考查考生利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，留意函數(shù)本身隱含的定義域5.函數(shù)在上的最大值為（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的極值，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較即可求出最大值.【詳解】，當(dāng)時(shí)，有，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，有，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，因此是函數(shù)在上的極大值點(diǎn)，極大值為，而，，因?yàn)?，所以在上的最大值?故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力.6.在的綻開式中的系數(shù)是()A. B. C. D.207【答案】C【解析】【分析】依據(jù)的產(chǎn)生過程，由二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)公式，即可簡(jiǎn)潔求得結(jié)果.【詳解】的通項(xiàng)公式為，故可得其的系數(shù)為，的系數(shù)為，故簡(jiǎn)潔得在的綻開式中的系數(shù)為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查由二項(xiàng)式定理求指定項(xiàng)的系數(shù)，屬基礎(chǔ)題.7.在學(xué)校的一次數(shù)學(xué)講題競(jìng)賽中，高一、高二、高三分別有2名、2名、3名同學(xué)獲獎(jiǎng)，將這七名同學(xué)排成一排合影，要求同年級(jí)的同學(xué)相鄰，那么不同的排法共有()A.12種 B.36種 C.72種 D.144種【答案】D【解析】【分析】將相鄰元素捆綁，對(duì)3個(gè)元素進(jìn)行排序，再進(jìn)行內(nèi)部排序，則問題得解.【詳解】將相鄰元素捆綁，對(duì)3個(gè)元素進(jìn)行排序，再進(jìn)行內(nèi)部排序，則共有種.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)潔排列問題的求解，屬基礎(chǔ)題.8.已知函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，對(duì)隨意實(shí)數(shù)都有，設(shè)則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵∴∵對(duì)隨意實(shí)數(shù)都有∴，即在上為單調(diào)減函數(shù)又∵∴∴不等式等價(jià)于∴不等式的解集為故選B點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實(shí)質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)探討對(duì)應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，而對(duì)應(yīng)函數(shù)須要構(gòu)造.構(gòu)造協(xié)助函數(shù)常依據(jù)導(dǎo)數(shù)法則進(jìn)行：如構(gòu)造，，構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造等.二?多項(xiàng)選擇題9.已知為虛數(shù)單位，則下面命題正確的是（）A.若復(fù)數(shù)，則．B.復(fù)數(shù)滿意，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則．C.若復(fù)數(shù)，滿意，則．D.復(fù)數(shù)的虛部是3．【答案】ABC【解析】【分析】干脆運(yùn)算可推斷A；由復(fù)數(shù)的幾何意義和復(fù)數(shù)模的概念可推斷B；由共軛復(fù)數(shù)的概念，運(yùn)算后可推斷C；由復(fù)數(shù)虛部的概念可推斷D；即可得解.【詳解】由，故A正確；由在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則，即，則，故B正確；設(shè)復(fù)數(shù)，則，所以，故C正確；復(fù)數(shù)的虛部是-3，故D不正確.故選：A、B、C【點(diǎn)睛】本題綜合考查了復(fù)數(shù)的相關(guān)問題，屬于基礎(chǔ)題.10.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋糠謱?duì)應(yīng)值如下表：0451221的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，關(guān)于的命題正確的是（）A.函數(shù)是周期函數(shù)B.函數(shù)在上是減函數(shù)C.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為0，1，2，3，4D.當(dāng)時(shí)，函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)【答案】BC【解析】【分析】先由導(dǎo)函數(shù)的圖象和原函數(shù)的關(guān)系畫出原函數(shù)的大致圖象，再借助與圖象和導(dǎo)函數(shù)的圖象，對(duì)五個(gè)命題，一一進(jìn)行驗(yàn)證即可得到答案.【詳解】由導(dǎo)函數(shù)的圖象和原函數(shù)的關(guān)系得，原函數(shù)的大致圖象可由以下兩種代表形式，如圖：

由圖得：A為假命題，函數(shù)不能斷定為是周期函數(shù)；B為真命題，因?yàn)樵谏蠈?dǎo)函數(shù)為負(fù)，故原函數(shù)遞減；C為真命題，動(dòng)直線與圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)可以為0、1、2、3、4個(gè)，故函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為0、1、2、3、4個(gè)；D為假命題，當(dāng)離1特別接近時(shí)，對(duì)于其次個(gè)圖，有2個(gè)零點(diǎn)，也可以是3個(gè)零點(diǎn)，故選：BC.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系,二者之間的關(guān)系是：導(dǎo)函數(shù)為正，原函數(shù)遞增；導(dǎo)函數(shù)為負(fù)，原函數(shù)遞減，考查了通過函數(shù)圖象探討零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，屬于中檔題.11.有6本不同的書，按下列方式進(jìn)行安排，其中安排種數(shù)正確的是（）A.分給甲?乙?丙三人，每人各2本，有90種分法；B分給甲?乙?丙三人中，一人4本，另兩人各1本，有90種分法；C.分給甲乙每人各2本，分給丙丁每人各1本，有180種分法；D.分給甲乙丙丁四人，有兩人各2本，另兩人各1本，有2160種分法；【答案】ABC【解析】【分析】選項(xiàng)，先從6本書中分給甲（也可以是乙或丙）2本；再從其余的4本書中分給乙2本；最終的2本書給丙.依據(jù)分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案.選項(xiàng)，先分堆再安排.先把6本書分成3堆:4本、1本、1本；再分給甲?乙?丙三人.依據(jù)分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案.選項(xiàng)，6本不同的書先分給甲乙每人各2本；再把其余2本分給丙丁.依據(jù)分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案.選項(xiàng)，先分堆再安排.先把6本不同的書分成4堆:2本、2本、1本、1本；再分給甲乙丙丁四人.依據(jù)分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案.【詳解】對(duì)，先從6本書中分給甲2本，有種方法；再從其余的4本書中分給乙2本，有種方法；最終的2本書給丙，有種方法.所以不同的安排方法有種，故正確；對(duì)，先把6本書分成3堆:4本、1本、1本，有種方法；再分給甲?乙?丙三人，所以不同的安排方法有種，故正確；對(duì)，6本不同的書先分給甲乙每人各2本，有種方法；其余2本分給丙丁，有種方法.所以不同的安排方法有種，故正確；對(duì)，先把6本不同的書分成4堆:2本、2本、1本、1本，有種方法；再分給甲乙丙丁四人，所以不同的安排方法有種，故錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查分步乘法原理和排列組合，考查學(xué)生的邏輯推理實(shí)力，屬于中檔題.12.對(duì)隨意實(shí)數(shù)，有.則下列結(jié)論成立的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】分析】依據(jù)題意，將整理為的表達(dá)式，得到的二項(xiàng)綻開式，從而可以依據(jù)二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)公式和賦值法，即可推斷正誤.【詳解】對(duì)隨意實(shí)數(shù)x，有，∴故A正確；故令，可得，故B不正確；令，可得，故C正確；令，可得，故D正確；故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理，考查了賦值法求和，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.三?填空題13.已知其中為虛數(shù)單位，則____．【答案】1【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的除法先對(duì)等式化簡(jiǎn)，然后依據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件可得關(guān)于的方程組，解出可得．【詳解】，即，由復(fù)數(shù)相等的條件，得，解得，∴.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法和復(fù)數(shù)相等的充要條件，屬基礎(chǔ)題．14.將四個(gè)不同的小球放入三個(gè)分別標(biāo)有1?2?3號(hào)的盒子中，不允許有空盒子的放法有______種(結(jié)果用數(shù)字表示).【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意，分析可得三個(gè)盒子中有1個(gè)中放2個(gè)球，分2步進(jìn)行分析：①、先將四個(gè)不同的小球分成3組，②、將分好的3組全排列，對(duì)應(yīng)放到3個(gè)盒子中，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；【詳解】解：依據(jù)題意，四個(gè)不同的小球放入三個(gè)分別標(biāo)有號(hào)的盒子中，且沒有空盒，則三個(gè)盒子中有1個(gè)中放2個(gè)球，剩下的2個(gè)盒子中各放1個(gè)，分2步進(jìn)行分析：①、先將四個(gè)不同的小球分成3組，有種分組方法；②、將分好的3組全排列，對(duì)應(yīng)放到3個(gè)盒子中，有種放法；則沒有空盒的放法有種；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)得，轉(zhuǎn)化條件為在區(qū)間內(nèi)恒成立，令，求導(dǎo)后求得即可得解.【詳解】，，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)恒成立，即在區(qū)間內(nèi)恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；又，，，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解實(shí)力與推理實(shí)力，屬于中檔題.16.已知在的綻開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則______.【答案】【解析】【分析】在二項(xiàng)式的綻開式的通項(xiàng)公式中，令，可得的次數(shù)為0，求得的值．【詳解】解：二項(xiàng)式的綻開式的通項(xiàng)公式為，令，可得，求得．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.四?解答題17.已知復(fù)數(shù).（1）當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，計(jì)算.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)得出其實(shí)部為零，虛部不為零，進(jìn)而可解得實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則可計(jì)算得出的值.【詳解】（1）復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，解得；（2）當(dāng)時(shí)，，.【點(diǎn)睛】本題考查利用復(fù)數(shù)類型求參數(shù)，同時(shí)也考查了復(fù)數(shù)的計(jì)算，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.18.已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線為.（1）求的值；（2）求函數(shù)的極值.【答案】（1）；（2）微小值為，無極大值.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用，可得．（2）由（1）可得函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的極值；【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線為.所以，解得（2）由（1）可得，所以，令解得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，令解得，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在處取得微小值，所以，無極大值.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程以及函數(shù)的極值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題．19.用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的數(shù)，問（1）能夠組成多少個(gè)五位奇數(shù)？（2）能夠組成多少個(gè)正整數(shù)？（3）能夠組成多少個(gè)大于40000的正整數(shù)？【答案】（1）；（2）；（3）；【解析】【分析】（1）首先排個(gè)位，從3個(gè)奇數(shù)中選1個(gè)排在個(gè)位，再將其余4個(gè)數(shù)全排列即可；（2）依據(jù)題意，按數(shù)字的位數(shù)分5種狀況探討，求出每種狀況下數(shù)字的數(shù)目，由加法原理計(jì)算可得答案；（3）大于40000的正整數(shù)，即最高位為4或5，其余數(shù)字全排列即可；【詳解】解：（1）首先排最個(gè)位數(shù)字，從1、3、5中選1個(gè)數(shù)排在個(gè)位有種，其余4個(gè)數(shù)全排列有種，依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得有個(gè)五位奇數(shù)；（2）依據(jù)題意，若組成一位數(shù)，有5種狀況，即可以有5個(gè)一位數(shù)；若組成兩位數(shù)，有種狀況，即可以有20個(gè)兩位數(shù)；若組成三位數(shù)，有種狀況，即可以有60個(gè)三位數(shù)；若組成四位數(shù)，有種狀況，即可以有120個(gè)四位數(shù)；若組成五位數(shù)，有種狀況，即可以有120個(gè)五位數(shù)；則可以有個(gè)正整數(shù)；（3）依據(jù)題意，若組成的數(shù)字比40000大的正整數(shù)，其首位數(shù)字為5或4，有2種狀況；在剩下的4個(gè)數(shù)，支配在后面四位，共有種狀況，則有個(gè)比40000大的正整數(shù)；【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步、分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．20.已知二項(xiàng)式的綻開式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列．(1)求的值；(2)設(shè)．①求的值；②求的值.【答案】(1)n＝8;(2)①,②.【解析】【詳解】（1）由題設(shè)，得，即，解得n＝8，n＝1（舍去）．(2)①,令，②在等式的兩邊取,得.【點(diǎn)睛】解決此類問題，要留意二項(xiàng)綻開式的系數(shù)和二次項(xiàng)系數(shù)不是一回事，要區(qū)分對(duì)待，解決二項(xiàng)綻開式的系數(shù)問題，通常用“賦值法”.21.已知某校有歌頌和舞蹈兩個(gè)愛好小組，其中歌頌組有4名男生，1名女生，舞蹈組有2名男生，2名女生，學(xué)校支配從兩愛好小組中各選2名同學(xué)參與演出.（1）求選出的4名同學(xué)中至多有2名女生的選派方法數(shù)；（2）記為選出的4名同學(xué)中女生的人數(shù)，求的分布列.【答案】（1）56種；（2）的分布列為：0123【解析】【分析】（1）依據(jù)組合的定義分別求出從兩愛好小組中各選2名同學(xué)參與演出的選派方法數(shù)、選出的4名同學(xué)中有3名女生的選派方法數(shù)，最終利用減法進(jìn)行求解即可.（2）的可能取值為，求出相應(yīng)的概率，列出分布列即可.【詳解】（1）從兩愛好小組中各選2名同學(xué)參與演出的選派方法數(shù)為：種，選出的4名同學(xué)中有3名女生的選派方法數(shù)為：種，因此選出的4名同學(xué)中至多有2名女生的選派方法數(shù)為種；（2）的可能取值為，，，，，所以的分布列為：0123點(diǎn)睛】本題考查了組合問題，考查了離散型隨機(jī)變量分布列，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力.22.已知函數(shù)．(I)探討的單調(diào)性；(II)若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ).【解析】【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過探討a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）通過探討a的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值，從而確定a的范圍即可．【詳解】解：(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?，①?dāng)時(shí)，，f(x)在上為增函數(shù).②當(dāng)a>0時(shí)，由得；由得,所以f(x)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).綜上所述，①當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)在上