2025屆福建省漳平市第一中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2025屆福建省漳平市第一中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知不等式的解集為，關(guān)于x的不等式的解集為B，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.2．雙曲線：的實(shí)軸長(zhǎng)為（）A. B.C.4 D.23．已知四棱錐，底面為平行四邊形，分別為，上的點(diǎn)，，設(shè)，則向量用為基底表示為（）A. B.C. D.4．直線與圓相交與A，B兩點(diǎn)，則AB的長(zhǎng)等于（）A3 B.4C.6 D.15．若方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.6．已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為A. B.C. D.7．已知命題：；：若，則，則下列判斷正確的是（）A.為真，為真，為假 B.為真，為假，為真C.為假，為假，為假 D.為真，為假，為假8．已知等比數(shù)列滿足，則（）A.168 B.210C.672 D.10509．圓和圓的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)含 B.內(nèi)切C.相交 D.外離10．已知呈線性相關(guān)的變量x與y的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：若其回歸直線方程是，則（）x24568y34.5m7.59A.6.5 B.6C.6.1 D.711．給出下列判斷，其中正確的是（）A.三點(diǎn)唯一確定一個(gè)平面B.一條直線和一個(gè)點(diǎn)唯一確定一個(gè)平面C.兩條平行直線與同一條直線相交，三條直線在同一平面內(nèi)D.空間兩兩相交的三條直線在同一平面內(nèi)12．氣象臺(tái)正南方向的一臺(tái)風(fēng)中心，正向北偏東30°方向移動(dòng)，移動(dòng)速度為，距臺(tái)風(fēng)中心以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響，若臺(tái)風(fēng)中心的這種移動(dòng)趨勢(shì)不變，氣象臺(tái)所在地受到臺(tái)風(fēng)影響持續(xù)時(shí)間大約是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線方程為_(kāi)____14．已知直線與曲線，在曲線上隨機(jī)取一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離不大于的概率為_(kāi)_________.15．已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P是其一條漸近線上的一點(diǎn)，且以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，則的面積為_(kāi)__________.16．已知圓錐底面半徑為1，高為，則該圓錐的側(cè)面積為_(kāi)____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C：過(guò)兩點(diǎn)（1）求C的方程；（2）定點(diǎn)M坐標(biāo)為，過(guò)C右焦點(diǎn)的直線與C交于P，Q兩點(diǎn)，判斷是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由18．（12分）某高校自主招生考試分筆試與面試兩部分，每部分考試成績(jī)只記“通過(guò)”與“不通過(guò)”，兩部分考試都“通過(guò)”者，則考試“通過(guò)”，并給予錄取.甲、乙兩人在筆試中“通過(guò)”的概率依次為，在面試中“通過(guò)”的概率依次為，筆試和面試是否“通過(guò)”是獨(dú)立的，那么（1）甲、乙兩人都參加此高校的自主招生考試，誰(shuí)獲得錄取的可能性大？（2）甲、乙兩人都參加此高校的自主招生考試，求恰有一人獲得錄取的概率.19．（12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且（1）證明：；（2）求20．（12分）已知函數(shù)（m≥0）.（1）當(dāng)m=0時(shí)，求曲線在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（2）若函數(shù)的最小值為，求實(shí)數(shù)m的值.21．（12分）某市共有居民60萬(wàn)人，為了制定合理的節(jié)水方案，對(duì)居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查，通過(guò)抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照，，……分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖（1）求直方圖中的a值，并估計(jì)該市居民月均用水量不少于3噸的人數(shù)（單位：人）；（2）估計(jì)該市居民月均用水量的眾數(shù)和中位數(shù)22．（10分）如圖，點(diǎn)О是正四棱錐的底面中心，四邊形PQDO矩形，（1）點(diǎn)B到平面APQ的距離：（2）設(shè)E為棱PC上的點(diǎn)，且，若直線DE與平面APQ所成角的正弦值為，試求實(shí)數(shù)的值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】解出不等式可得集合，由可得，然后可得在上恒成立，然后分離參數(shù)求解即可.【詳解】由得，，解得，因?yàn)椋运钥傻迷谏虾愠闪?，即在上恒成立，故只需，，?dāng)時(shí)，，故故選：B2、A【解析】根據(jù)雙曲線的幾何意義即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2a，而雙曲線中，，所以其實(shí)軸長(zhǎng)為故選：A3、D【解析】通過(guò)尋找封閉的三角形，將相關(guān)向量一步步用基底表示即可.【詳解】.故選：D4、C【解析】根據(jù)弦長(zhǎng)公式即可求出【詳解】因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以AB的長(zhǎng)等于故選：C5、A【解析】方程化為圓錐曲線（橢圓與雙曲線）標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后由方程表示雙曲線可得不等關(guān)系【詳解】解：方程可化為，它表示雙曲線，則，解得.故選：A6、D【解析】根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)得到2p=4,進(jìn)而得到方程.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是,即p=2,2p=4,故得到方程為.故答案為D.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，題目較為簡(jiǎn)單.7、D【解析】先判斷出命題，的真假，即可判斷.【詳解】因?yàn)槌闪ⅲ悦}為真，由可得或，所以命題為假命題，所以為真，為假，為假.故選：D.8、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得，再根據(jù)，即可求得結(jié)果.【詳解】等比數(shù)列滿足,設(shè)等比數(shù)列的公比為q,所以,解得，故，故選：C9、C【解析】根據(jù)兩圓圓心的距離與兩圓半徑和差的大小關(guān)系即可判斷.【詳解】解：因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，所以兩圓圓心的距離為，因?yàn)?，即，所以圓和圓的位置關(guān)系是相交，故選：C.10、A【解析】根據(jù)回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意可得，，則，解得故選：A.11、C【解析】根據(jù)確定平面的條件可對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)A，如果三點(diǎn)在同一條直線上，則不能確定一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，如果這個(gè)點(diǎn)在這條直線上，就不能確定一個(gè)平面，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，兩條平行直線確定一個(gè)平面，一條直線與這兩條平行直線都相交，則這條直線就在這兩條平行直線確定的一個(gè)平面內(nèi)，故這三條直線在同一平面內(nèi)，C正確；對(duì)D，空間兩兩相交的三條直線可確定一個(gè)平面，也可確定三個(gè)平面，故D錯(cuò)誤.故選：C12、D【解析】利用余弦定理進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖所示：設(shè)臺(tái)風(fēng)中心為，，小時(shí)后到達(dá)點(diǎn)處，即，當(dāng)時(shí)，氣象臺(tái)所在地受到臺(tái)風(fēng)影響，由余弦定理可知：，于是有：，解得：，所以氣象臺(tái)所在地受到臺(tái)風(fēng)影響持續(xù)時(shí)間大約是，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線的斜率為，所以所求切線方程為：，即.故答案為：.14、【解析】畫(huà)出示意圖，根據(jù)圖形分析可知點(diǎn)在陰影部分所對(duì)的劣弧上，由幾何概型可求出.【詳解】作出示意圖曲線是圓心為原點(diǎn)，半徑為2的一個(gè)半圓.圓心到直線距離，而點(diǎn)到直線的距離為，故若點(diǎn)到直線的距離不大于，則點(diǎn)在陰影部分所對(duì)的劣弧上，由幾何概型的概率計(jì)算公式知，所求概率為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型的概率計(jì)算，屬于中檔題.15、【解析】先得出漸近線方程和圓的方程，然后解出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求出面積.【詳解】由題意，漸近線方程為：，，圓的方程為：，聯(lián)立：，所以.故答案為：.16、【解析】由已知求得母線長(zhǎng)，代入圓錐側(cè)面積公式求解【詳解】由已知可得r=1，h=，則圓錐的母線長(zhǎng)l=,∴圓錐的側(cè)面積S=πrl=2π故答案為2π【點(diǎn)睛】本題考查圓錐側(cè)面積的求法,側(cè)面積公式S=πrl.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）為定值.【解析】（1）根據(jù)題意，列出的方程組，求解即可；（2）對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行討論，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理，轉(zhuǎn)化，求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闄E圓過(guò)兩點(diǎn)，故可得，解得，故橢圓方程為：.【小問(wèn)2詳解】由（1）可得：，故橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線的方程為：，代入橢圓方程，可得，不妨取，又，故.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立橢圓方程，可得：，設(shè)坐標(biāo)為，故可得，則.綜上所述，為定值.【點(diǎn)睛】本題考察橢圓方程的求解，以及橢圓中的定值問(wèn)題；處理問(wèn)題的關(guān)鍵是合理的利用韋達(dá)定理，將目標(biāo)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，屬中檔題.18、（1）甲獲得錄取的可能性大；（2）【解析】（1）利用獨(dú)立事件的乘法公式求出甲、乙兩人被錄取的概率并比較大小，即得結(jié)果.（2）應(yīng)用對(duì)立事件、獨(dú)立事件的概率求法，結(jié)合互斥事件的加法公式求恰有一人獲得錄取的概率.【小問(wèn)1詳解】記“甲通過(guò)筆試”為事件，“甲通過(guò)面試”為事件，“甲獲得錄取”為事件A，“乙通過(guò)筆試”為事件，“乙通過(guò)面試”為事件，“乙獲得錄取”為事件B，則，，即，所以甲獲得錄取的可能性大.【小問(wèn)2詳解】記“甲乙兩人恰有一人獲得錄取”為事件C，則.19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，由題可得，，兩式子相減可得，即，然后驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)，命題成立即可；（2）通過(guò)求解數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的和即可得到其對(duì)應(yīng)前n項(xiàng)和的通項(xiàng)公式.【詳解】（1）由條件，對(duì)任意，有，因而對(duì)任意，有，兩式相減，得，即，又，所以，故對(duì)一切，（2）由（1）知，，所以，于是數(shù)列是首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，數(shù)列是首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，所以，于是從而，綜上所述，.【點(diǎn)睛】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，其求解過(guò)程分為三步：（1）先利用a1＝S1求出a1；（2）用n－1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）便可求出當(dāng)n≥2時(shí)an的表達(dá)式；（3）對(duì)n＝1時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合n≥2時(shí)an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫(xiě)；如果不符合，則應(yīng)該分n＝1與n≥2兩段來(lái)寫(xiě)．?dāng)?shù)列求和的常用方法有倒序相加法，錯(cuò)位相減法，裂項(xiàng)相消法，分組求和法，并項(xiàng)求和法等，可根據(jù)通項(xiàng)特點(diǎn)進(jìn)行選用.20、（1）（2）【解析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義求解切線方程的斜率，進(jìn)而求出切線方程；（2）對(duì)導(dǎo)函數(shù)再次求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，結(jié)合隱零點(diǎn)求出其最小值，列出方程，求出實(shí)數(shù)m的值.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋郧芯€的斜率為，所以切線方程為，即.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，令，因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增，當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，，；當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，，；當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，，所以總存在一個(gè)，使得，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，令，因?yàn)?，所以單調(diào)遞減，又，所以時(shí)，所以，即.21、（1）a0.3，72000人；（2）眾數(shù)2.25；中位數(shù)2.04.【解析】（1）根據(jù)所有小長(zhǎng)方形面積和為1即可求得參數(shù)，結(jié)合題意求得用水量不少于3噸對(duì)應(yīng)的頻率，再求頻數(shù)即可；（2）根據(jù)頻率分布直方圖直接寫(xiě)出眾數(shù)，根據(jù)中位數(shù)的求法，結(jié)合頻率的計(jì)算，即可容易求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由頻率分布直方圖，可知：，解得；月均用水量不少于3噸的人數(shù)為：（人）【小問(wèn)2詳解】由圖可估計(jì)眾數(shù)為2.25；設(shè)中位數(shù)為x噸，因?yàn)榍?組的頻率之和0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5，而前4組頻率之和0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5，所以2≤x<2.5，由，可得，故居民月均用水量的中位數(shù)為2.04噸.22、（1）（2）或【解析】（1）以三棱錐等體積法求點(diǎn)到面距離，思路簡(jiǎn)單快捷.（2）由直線DE與平面A