分式的運(yùn)算【十大題型】（舉一反三）（華東師大版）（原卷版） 八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

專(zhuān)題16.2分式的運(yùn)算【十大題型】【華東師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1已知分式恒等式確定分子或分母】 ②運(yùn)算順序中，加減運(yùn)算等級(jí)較低。若混合運(yùn)算種有乘除或乘方運(yùn)算，先算乘除、乘方運(yùn)算，最后算加減運(yùn)算?！绢}型1已知分式恒等式確定分子或分母】【例1】（2023上·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知6x3+10xx4+x2+1=Ax+Bx2+x+1+Cx+Dx2?x+1，其中A，B【變式1-1】（2023·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若3x?4(x?1)(x?2)=K【變式1-2】（2023上·上海黃浦·八年級(jí)上海市民辦立達(dá)中學(xué)?？计谥校┮讶?x2?7x+2x?1x+1【變式1-3】（2023上·云南昆明·八年級(jí)昆明市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）閱讀下列材料：若1?3xx2?1=A解：等式右邊通分，得A根據(jù)題意，得A+B=?3?A+B=1，解之得A=?2仿照以上解法，解答下題．(1)已知x+6x+12x?3=Mx+1?N2x?3（其中(2)若12n?12n+1=a2n?1?b(3)計(jì)算：11×3【題型2比較分式的大小】【例2】（2023下·江蘇南京·八年級(jí)南師附中樹(shù)人學(xué)校?？计谥校┍容^兩個(gè)數(shù)的大小時(shí)，我們常常用到“作差法”：如果a?b>0，那么a>b；如果a?b=0，那么a=b；如果a?b<0，那么a<b．（1）已知2x>y>0，且A=xy，B=x+1y+2，試用“作差法”比較（2）比較兩數(shù)1999199820212020和19991999（3）對(duì)于正x，y，A=xy，B=x+1y+2，如果A=B，則【變式2-1】（2023上·福建福州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：P=x+1，Q=4xx+1(1)當(dāng)x>0時(shí)，判斷P-Q與0的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)設(shè)y=3P?Q2【變式2-2】（2023上·湖南常德·八年級(jí)常德市第七中學(xué)?？计谥校?1)若a、b為正數(shù)，且a<b，直接判斷1a與1(2)若a、b為正數(shù)，且a≠b，試比較ba(3)若1a+1b=1【變式2-3】（2023下·江蘇南京·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知b＞a＞0．(1)比較大?。篴ba+1(2)若c＞0，比較ab與a+c(3)下列結(jié)論正確的是（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）．①若n＞m＞0，則m+2n+2②若n＞m＞2，則m?2n?2③若n＞m＞2，則m?2n?2④若n＞m＞2021，則m+2022n+2022【知識(shí)點(diǎn)2整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算】1.整數(shù)負(fù)指數(shù)冪：a?n2.若am=an，且a≠0，則m=n；反之，若a≠0，且m=n，則am=【題型3負(fù)整數(shù)指數(shù)冪】【例3】（2023下·浙江寧波·八年級(jí)?？计谀┮阎獂=1+7n，y=1+7?n，則用x表示A．x+1x?1 B．x+1x+1 C．xx?1【變式3-1】（2023下·遼寧阜新·八年級(jí)阜新實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鬭=0.32，b=?3?2，c=?13?2，則【變式3-2】（2023上·陜西·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知x=3?q，y?1=21?p，z=4p27【變式3-3】（2023上·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若x2?12x+1=0，則x4【題型4利用科學(xué)記數(shù)法表示小數(shù)】【例4】（2023·河北邯鄲·校考一模）把0.00258寫(xiě)成a×10n（1≤a<10，n為整數(shù)）的形式，則a+n為（A．2.58 B．5.58 C．?0.58 D．?0.42【變式4-1】（2023下·江蘇蘇州·八年級(jí)蘇州市立達(dá)中學(xué)校?？计谀┠撤N細(xì)胞的直徑是5×10－4毫米，這個(gè)數(shù)是（）A．0.05毫米 B．0.005毫米 C．0.0005毫米 D．0.00005毫米【變式4-2】（2023上·重慶渝中·八年級(jí)統(tǒng)考期末）人類(lèi)進(jìn)入5G時(shí)代，科技競(jìng)爭(zhēng)日趨激烈．據(jù)報(bào)道，我國(guó)某種芯片的制作工藝已達(dá)到28納米，居世界前列．已知1納米＝1×10﹣9米，則28納米等于多少米？將其結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示為．【變式4-3】（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·八年級(jí)?？计谀┤ツ?1月，在巴黎舉行的第27屆國(guó)際計(jì)量大會(huì)中宣布引進(jìn)4個(gè)新單位詞頭，新增的4個(gè)詞頭分別是ronna，quetta，ronto和quecto，其中1ronto?10?27，此前，國(guó)際單位制最小單位詞頭為“幺”（1幺?10?24．一個(gè)光子的質(zhì)量約為1.1×10?23【題型5分式的混合運(yùn)算】【例5】（2023上·山東菏澤·八年級(jí)統(tǒng)考期中）計(jì)算：(1)3(2)x?y【變式5-1】（2023下·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）計(jì)算a2a?b?a?b【變式5-2】（2023上·湖南岳陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）當(dāng)x分別取?2023，?2022，?2021，…，?2，?1，0，1，12，1A．?1 B．1 C．0 D．2023【變式5-3】（2023上·廣西貴港·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下面是小明同學(xué)進(jìn)行分式化簡(jiǎn)的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．x2=x+3=x?3=2x?6=2x?6?=2x?6?2x+1=?5任務(wù)一：填空：以上化簡(jiǎn)步驟中，第步是進(jìn)行分式的通分，通分的依據(jù)是或填為：；第步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是；任務(wù)二：請(qǐng)直接寫(xiě)出該分式化簡(jiǎn)后的正確結(jié)果是；任務(wù)三：根據(jù)小明同學(xué)進(jìn)行分式化簡(jiǎn)的過(guò)程：完成下列分式的計(jì)算：1a+1【題型6分式的化簡(jiǎn)求值】【例6】（2023上·湖南岳陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b【變式6-1】（2023上·河北唐山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知x2?x?2=0求代數(shù)式【變式6-2】（2023下·浙江寧波·八年級(jí)?？计谀┤鬭bc=1，a+b+c=2，a2+b2【變式6-3】（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）已知正實(shí)數(shù)x，y，z滿足：xy+yz+zx≠1，且(x2?1)(y2【題型7分式加減的應(yīng)用】【例7】（2023上·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，“豐收1號(hào)”小麥的試驗(yàn)田是邊長(zhǎng)為m米m>1的正方形去掉一個(gè)邊長(zhǎng)為1米的正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號(hào)”小麥的試驗(yàn)田是邊長(zhǎng)為m?1米的正方形，兩塊試驗(yàn)田的小麥都收獲了n千克．設(shè)“豐收1號(hào)”小麥和“豐收2號(hào)”小麥的單位面積產(chǎn)量分別為P千克/米2和Q千克/米2．下列說(shuō)法：①P>Q；②P=Q；③P<Q；④P是Q的m?1m+1倍．其中正確的個(gè)數(shù)有（

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式7-1】（2023下·四川遂寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一輛貨車(chē)送貨上山，并按原路下山．上山速度為a千米/小時(shí)，下山速度為b千米/小時(shí)，則貨車(chē)上、下山的平均速度為（

）A．a(chǎn)+b2 B．a(chǎn)b2 C．a(chǎn)+b2ab【變式7-2】（2023下·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)，用我們平時(shí)喝的糖水做“糖水實(shí)驗(yàn)”也能驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學(xué)結(jié)論．現(xiàn)有a克糖水，其中含有b克糖(a>b>0)，則糖水的濃度（即糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量比）為ba(1)糖水實(shí)驗(yàn)一：加入m克水，則糖水的濃度為_(kāi)____________．生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，糖水加水后會(huì)變淡，由此可以寫(xiě)出一個(gè)不等式_____________，我們?nèi)しQ(chēng)為“糖水不等式”．(2)糖水實(shí)驗(yàn)二：將“糖水實(shí)驗(yàn)一”中的“加入m克水”改為“加入m克糖”，則糖水的濃度為_(kāi)___________．根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)你寫(xiě)出一個(gè)新的“糖水不等式”____________．(3)請(qǐng)結(jié)合（2）探究得到的結(jié)論嘗試證明：設(shè)a、b、c為△ABC三邊的長(zhǎng)，求證：ca+b【變式7-3】（2023上·福建廈門(mén)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）某海灣城市有A，B兩個(gè)港口、有兩條航線能夠連接A，B兩個(gè)港口，兩條航線的路程都是150km，已知貨輪在靜水中的最大航速為vv>5(1)若該貨輪在水流速度為5km/h的航線上航行，用含v的式子表示貨輪順流航行和逆流航行的最大速度；(2)航運(yùn)公司計(jì)劃用該貨輪將一批貨物以最大航速?gòu)腁港送往B港，再?gòu)腂港返回A港．根據(jù)海流預(yù)報(bào)：航線1位于外灣，受潮汐影響，水流速度為5km/h，且從A港到B港為順流航行；航線2位于內(nèi)灣，水流速度忽略不計(jì)．為了使送貨的往返的總時(shí)間更短，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明航運(yùn)公司應(yīng)當(dāng)選擇哪一條航線．【題型8分式運(yùn)算的規(guī)律探究】【例8】（2023上·遼寧大連·八年級(jí)期末）觀察下列式子：11?3+55?3=2，4按照上面式子的規(guī)律，完成下列問(wèn)題：(1)再寫(xiě)出兩個(gè)（不同于上面算式）具有上述規(guī)律的式子：①，②；(2)設(shè)第一個(gè)數(shù)為x，則這個(gè)規(guī)律可用字母x表示為x()(3)驗(yàn)證這個(gè)規(guī)律．【變式8-1】（2023·安徽·校聯(lián)考三模）觀察以下等式：第1個(gè)等式：23第2個(gè)等式：44第3個(gè)等式：65第4個(gè)等式：86第5個(gè)等式：107按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：(1)寫(xiě)出第6個(gè)等式：___________；(2)寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式：__________（用含n的等式表示），并證明．【變式8-2】（2023下·湖南永州·八年級(jí)校考期中）閱讀理解：閱讀下列過(guò)程因?yàn)?×21=4，因?yàn)?×32=9因?yàn)?×43=16因?yàn)?×54=25…………………．．(1)根據(jù)上面規(guī)律填空，8×8(2)根據(jù)你觀察的特點(diǎn)，用含n的公式表示上面的規(guī)律為_(kāi)_____________(3)證明你得到的公式是否正確．【變式8-3】（2023·安徽合肥·統(tǒng)考三模）觀察以下等式：第1個(gè)等式：12第2－個(gè)等式：12第3個(gè)等式：12第4個(gè)等式：12……按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：(1)寫(xiě)出第5個(gè)等式：__________________；(2)寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的等式表示），并證明．【題型9分式中的新定義問(wèn)題】【例9】（2023下·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：若分式A與分式B的差等于它們的積，即A?B=AB，則稱(chēng)分式B是分式A“友好分式”．如1x+1與1x+2，因?yàn)?x+1所以1x+2是1(1)分式22y+5______2(2)小明在求分式1x設(shè)1x2+y2∴1x∴N=1請(qǐng)你仿照小明的方法求分式xx?3(3)①觀察（1）（2）的結(jié)果，尋找規(guī)律，直接寫(xiě)出分式bax+b②若n+2mx+m2+n是【變式9-1】（2023下·浙江湖州·八年級(jí)?？计谀┬露x：若兩個(gè)分式A與B的差為n（n為正整數(shù)），則稱(chēng)A是B的“n分式”．例如：xx?1?1x?1=1，則稱(chēng)分式xx?1是分式1A．4x+3x+2是x?3x+2的“3B．若a的值為?3，則12+x3+2x是ax+63+2x的“2C．若2aba2?4b2是D．若a與b互為倒數(shù)，則5aa+b2是?5b【變式9-2】（2023下·浙江紹興·八年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：若分式M與分式N的差等于它們的積，即M?N=MN，則稱(chēng)分式N是分式M的“互聯(lián)分式”．如1x+1與1x+2，因?yàn)?x+1?1x+2=(1)判斷分式3x+2與分式3(2)小紅在求分式1x設(shè)1x2+y2∴1x2請(qǐng)你仿照小紅的方法求分式x+2x+5(3)解決問(wèn)題：仔細(xì)觀察第（1）（2）小題的規(guī)律，請(qǐng)直接寫(xiě)出實(shí)數(shù)a，b的值，使4a?2bx+b是4b+2【變式9-3】（2023下·江蘇南京·八年級(jí)南京五十中校聯(lián)考期中）定義：若兩個(gè)分式A與B滿足：A?B=3，則稱(chēng)A與B(1)下列三組分式：①1a+1與4a+1；②4aa+1與a?3a+1；③a2a?1(2)求分式a2a+1(3)若分式4a2a2?b2與aa+b互為“美妙分式”，且【題型10分式中的閱讀理解類(lèi)問(wèn)題】【例10】（2023下·江蘇徐州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）【閱讀】在處理分式問(wèn)題時(shí)，由于分子的次數(shù)不低于分母的次數(shù)，在實(shí)際運(yùn)算時(shí)往往難度比較大，這時(shí)我們可以將分式拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式的和（差）的形式，通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單式子的分析來(lái)解決問(wèn)題，我們稱(chēng)之為分離整式法．例：將分式x2解：設(shè)x+2=t，則x=t?2．原式=∴x2這樣，分式x2?3x?1x+2就拆分成一個(gè)整式(x?5)【應(yīng)用】(1)使用分離整式法將分式2x+4x+1(2)將分式x2【拓展】(3)已知分式x2?x+7x?3【變式10-1】（2023上·山東泰安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀下面的解題過(guò)程：已知：xx2+1解：由xx2+1=13知所以x4故x2x4(1)上題得解法叫做“倒數(shù)法”，請(qǐng)你利用“倒數(shù)法”解決下面的題目：xx2?5x+1(2)已知aba+b=6，bcb+c=9，【變式10-2】（2023上·湖南益陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀下列材料：【材料一】我們定義：在分式中對(duì)于只含有一個(gè)字母的分式當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)我們稱(chēng)之為“假分式”：當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)我們稱(chēng)之為“真分式”．如x?1x+2,x類(lèi)似的假分式也可以化為帶分式．如：x?1x+2【材料二】問(wèn)題：用