2025中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：四邊形常見模型（六大題型）含答案

四邊形常見模型（六大題型）2025中

考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)

四邊形常見模型

目錄

題型01中點(diǎn)四邊形模型....................................................................1

題型02十字架模型........................................................................4

題型03對角互補(bǔ)模型......................................................................8

題型04半角模型.........................................................................11

題型05含60°的菱形模型..................................................................16

題型06三垂線模型.......................................................................20

題型01中點(diǎn)四邊形模型

1.（23-24九年級上?山東棗莊?期中）若順次連接四邊形的各邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形，則該四邊形一定

是（）

A.矩形B.菱形

C.對角線相等的四邊形D.對角線互相垂直的四邊形

2.（23—24九年級上.山西朔州.期中）如圖，四邊形ABCD的對角線，8。于點(diǎn)。，點(diǎn)E,斤，G,H分別

為邊4B,反7,CD和4D的中點(diǎn)，順次連接EF,FG,GH和HE得到四邊形石尸G8.若AC=10,B。

=12,則四邊形即GH的面積等于（）

C.40D.60

3.（23-24九年級上?山東東營?期中）如圖，把矩形ABCD沿直線47折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，連接0E,則

順次連接四邊形AOEC各邊中點(diǎn),得到的四邊形的形狀一定是.

4.（23-24九年級上?河南信陽?期中）已知：如圖，四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)分別為夙F、G、順次

連接EF、口G、GH、狼,得到四邊形EFGH（即四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形）.

（1）求證：四邊形EFGH的形狀是平行四邊形；

⑵當(dāng)四邊形ABCD的對角線滿足條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形;

（3）當(dāng)四邊形ABCD的對角線滿足條件時(shí)，四邊形EFGH是菱形.

5.（23-24九年級上?福建泉州?期中）已知：如圖，四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、順次

連接ER、尸G、,HE,得到四邊形EFGH（即四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形）.

（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）當(dāng)四邊形ABCD的對角線滿足條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形？并說明理由.

題型02十字架模型

6.（23-24九年級上?黑龍江哈爾濱?期中）如圖，將一邊長為15的正方形紙片ABCD的頂點(diǎn)A折疊至0c

邊上的點(diǎn)E,使DE=8,折痕為PQ,則PQ的長為（）

A.15B.16C.17D.18

7.（23-24九年級上?四川成都?期中）如圖,將邊長為4的正方形紙片ABCD折疊,使得點(diǎn)A落在邊CD的

中點(diǎn)E處,折痕為FG,點(diǎn)F、G分別在邊4D、上,則折痕FG的長度為.

_____________眇

8.（23-24九年級上?江蘇泰州?期中）如圖，正方形紙片ABCD的邊長為24,E是邊CD上一點(diǎn)，連接AE、

折疊該紙片，使點(diǎn)A落在AE上的G點(diǎn)，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B,得到折痕BF,點(diǎn)F在AO上，若。E=10,

則GE的長為

9.（23-24九年級上?陜西商洛?期中）如圖，在正方形ABC?中，分別是的中點(diǎn)，CE,OR相

交于點(diǎn)G,連接AG,求證：

（1）CE±DF.

（2）4AGE=2CDF.

題型03對角互補(bǔ)模型

10.（23-24九年級上.江蘇泰州.期中）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂

美"四邊形ABCD,點(diǎn)后為對角線8。上任意一點(diǎn)，連接AB、CE.若48=5,及7=3,則4^一儂2

等于（）

D

A.7B.9C.16D.25

11.（23—24?山東淄博?期中）如圖，在△ABC中，AD,BE分別是BC,AC邊上的中線，且AD，跳;，垂足

為點(diǎn)設(shè)BC=a,/C=b,=c，則下列關(guān)系式中成立的是（）

A.a2+b2=5c2B.a2+62=4c2C.a2+b2=Sc2D.a2+fe2=2c2

12.（23-24九年級上.河北石家莊.期中）已知對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形,現(xiàn)有如圖所示

的“垂美"四邊形4BCD,對角線47,8。交于點(diǎn)O.

(1)若48=5,OA=3,OC=4,則；

(2)若入。=方，口。=濾，則AB2+C?2=.

⑶若AB=m,BC=n,CD=c,AD=d，則m,n,c,d之間的數(shù)量關(guān)系是

13.（23-24九年級上?安徽蕪湖?期中）如圖甲，我們把對角線相互垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

圖乙

（1）【概念理解】我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了①平行四邊形、②菱形、③矩形、④正方形,在這四種圖形中是垂美四邊

形的是（填序號）.

（2）【性質(zhì)探究】小美同學(xué)猜想“垂美四邊形兩組對邊的平方和相等”,即,如圖甲，在四邊形ABCD中，若

AC±BD,則AB2+CD2=AD2+BO?.請判斷小美同學(xué)的猜想是否正確，并說明理由.

⑶【問題解決】如圖乙，在△4BC中，8C=3,49=4,D,E分別是4。，8。的中點(diǎn),連接/瓦8。,有

人七_(dá)1m,求48.

14.（23-24九年級上?福建福州?期中）如圖，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

（1）在我們學(xué)過:①平行四邊形、②矩形、③菱形、④正方形，能稱為垂美四邊形的是；（只填序號）

（2）如圖，垂美四邊形ABGD的對角線交于點(diǎn)O,AB=2,BC=3,4,求CD的長度.

題型04半角模型

15.（23—24九年級上?四川眉山?期中）（半角模型）如圖，正方形4BCD中，E是AB上的點(diǎn)，歹是8c上的

點(diǎn)，且/石。尸=45°.求證：AE+CF=EF.

日

a11~1X1?

16.（23-24九年級上?廣西南寧?期中）【探索發(fā)現(xiàn)】如圖①，四邊形4BCD是正方形，河，N分別在邊CD、

BC上,且NMAN=45°,我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用

的方法.如圖①，將△4D河繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)。與點(diǎn)8重合，得至［JZVIBE,連接AM.AN、

MN.

M

圖①圖②

⑴試判斷ZW,BN,AW之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程.

⑵如圖②,點(diǎn)M、N分別在正方形ABCD的邊BC、CD的延長線上，NMAN=45°,連接肱V,請寫出

AW、。河、之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程.

17.（23—24九年級上.廣東汕尾.期中）如圖，在邊長為6的正方形4BCD內(nèi)作/3斤=45°,AE交BC于點(diǎn)、

E,4萬交CD于點(diǎn)巴連接EF,將△AD尸繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到4ABG.

（1）求證：△EAG三/\EAF；

⑵若。尸=3,求BE的長.

18.（23—24九年級上?黑龍江齊齊哈爾?期中）【問題情境】神奇的半角模型

在幾何圖形中，共頂點(diǎn)處的兩個(gè)角，其中較小的角是較大的角的一半時(shí)，我們稱之為半角模型.截長補(bǔ)

短法是解決這類問題常用的方法.

如圖1,在正方形ABCD中，以A為頂點(diǎn)的/區(qū)4F=45°,AE、/斤與BC、CD分別交于E、F兩點(diǎn)，為了

探究EF、BE、。斤之間的數(shù)量關(guān)系,小明的思路如下：

如圖2,延長到點(diǎn)H,使=。m連接AH,先證明△AD尸篤/XABH，再證明4AHE篤/XAFE.從

而得到班\BE、OF之間的數(shù)量關(guān)系.

（1）提出問題：EF、BE、。尸之間的數(shù)量關(guān)系為.

（2）知識(shí)應(yīng)用：如圖3,4B=AD,=/。=90°,以A為頂點(diǎn)的ABAD=120°,AEAF=60°,AE.AF

與BC、CD分別交于E、F兩點(diǎn),你認(rèn)為⑴中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請寫出證明過程；若不成立,請

說明理由.

___________F

⑶知識(shí)拓展:如圖4,在四邊形ABC。中，4B=4D=a,BC=b,CD=c.NABC與互補(bǔ)，AE、

人尸與8。、CD分別交于E、尸兩點(diǎn)，且NEA尸=義乙BAD,請直接寫出尸。的周長=.（用

含Q、b、c的式子表示.）

題型05含60°的菱形模型

19.（2024?上海?期中）菱形ABC?的邊長為2瓜,/口=60°,AB，于E,人尸，GD于尸，那么△AEF周

長為___

20.（23-24九年級上?重慶沙坪壩?開學(xué)考試）如圖，菱形ABCD的邊長為4,ABAD=60°,過點(diǎn)B作班;，

AB交CD于點(diǎn)E,連接AE,尸為AE的中點(diǎn),連接CF,CF交BE于點(diǎn)、G,則GR的長為.

21.（23—24九年級上?上海?期中）如圖，菱形ABCD中，AB=3,4D/LB=60°,AE=1,點(diǎn)P為對角線AC

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB的最小值為.

22.（23-24九年級上?廣西欽州?期中）如圖，已知菱形ABCD的邊長為8,點(diǎn)M是對角線AC上的一動(dòng)點(diǎn),

且AADC=120°，則AM+MB+的最小值是.

23.（23—24九年級上.四川綿陽.開學(xué)考試）如圖，△48。中，ABCA=90°,D是斜邊AB的中點(diǎn)，若CE//

AB,0E〃BC,且。E交人。于點(diǎn)O,連接AE.

（1）求證：四邊形ADCE是菱形；

（2）若60°,BC=6,則四邊形ADCE的面積=.

24.（23-24九年級上?浙江杭州?開學(xué)考試）如圖，在△ABC中，D、E分別是48、AC的中點(diǎn)，BE=2DE,延

長到點(diǎn)尸,使得EF=BE,連接CF.

（1）求證：四邊形BCFE是菱形；

（2）若CE=4,NBCF=120°,求菱形BCEE的面積.

題型06三垂線模型

25.（23—24九年級上.浙江嘉興.期中）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)G為CD邊上一點(diǎn)，以CG為邊向右作

正方形CE尸G,連接AF,BD交于點(diǎn)P,連接8G,過點(diǎn)尸作FH〃交8C于點(diǎn)連接AH,交BD于

點(diǎn)K,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.HE=CDB.A4H斤是等腰直角三角形

C.點(diǎn)P為人尸中點(diǎn)D.PK=BK+DP

26.（23-24九年級上?廣西貴港?期中）如圖，在△ABC中，乙4cB=90°,AC=8,BC=7,以斜邊AB為邊

向外作正方形垂直于C4的延長線于斤，連接CE,則CE的長為（）

A.13B.15C.17D.20

27.（23-24九年級上?遼寧盤錦?期中）如圖，正方形4BCD的邊長為3,點(diǎn)E在4B上，點(diǎn)斤在8c的延長線

上，且AE=CR，則四邊形EBFD的面積為:___.

一W

D

BC

28.（23-24九年級上?陜西西安?期中）已知：點(diǎn)E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊中點(diǎn)，順次連接

EF、FG,GH、得到四邊形有下列說法：

①四邊形EFGH是平行四邊形；

②當(dāng)四邊形ABCD為平行四邊形時(shí)，四邊形EFGH是菱形;

③當(dāng)四邊形為矩形時(shí)，四邊形班GH是菱形；

④當(dāng)AC，8。時(shí)，四邊形EFGH是矩形；

⑤若四邊形即G8是正方形，則四邊形ABCD一定是正方形.其中正確的是（）

D

B

A.①③④B.①②⑤C.①③④⑤D.②④⑤

29.（23—24九年級上.山東泰安?期中）如圖，菱形ABCD中，乙8=60°,/1口=2q11,后、尸分別是8。、（3?的

中點(diǎn)，連接人尸，則的周長為（）

A

C

A.2V3cmB.3V3cmC.4V3cmD.3cm

30.（23—24九年級上.江蘇無錫.期中）如圖，在正方形ABCD中，48=4,點(diǎn)E是邊人。的中點(diǎn)，將/XDCE

沿著CE翻折,得到△DCE，延長BD,交CE的延長線于點(diǎn)

31.（23—24九年級上.山西太原.期中）如圖，在正方形4BCD中，48=3,點(diǎn)E是反7邊上一點(diǎn)，且CE=

2班?,連接入￡,點(diǎn)干是48邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作尸3，人￡；交。。于點(diǎn)3,連接班，七3,AG,則四邊形

AFEG的面積為.

AD

32.（23—24九年級上.山西呂梁?期中）如圖，正方形4BCD的周長為16cm，順次連接正方形各邊中點(diǎn)E、

F、G、H,得到四邊形EFGH的面積等于cm2.

33.（23-24九年級上.山東東營?升學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形0aBe的邊長為2,點(diǎn)口在"軸

上，NAOC=60°,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為.

34.（23—24九年級上?湖北咸寧?期中）在正方形ABCD中，點(diǎn)E,斤分別在邊8C,CD上，且45°.

EA交BD于M,AF交BD于N.

________________________________

AD

圖①圖②

（1）作/\APB篤A4ND（如圖①），求證：A4PM■篤AANM；

（2）求證：MN2=BM2+DN2；

⑶矩形ABCD中，M、N分別在BC、CD上，/MAN=ZCMN=45°,（如圖②），請你直接寫出線段

MN,BM,DN之間的數(shù)量關(guān)系.

35.（23—24九年級上.四川成都.期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)分別在邊40上，CE=

。尸，=AE與相交于點(diǎn)O,連接即.

（1）求證：四邊形ABEF是菱形；

（2）若平行四邊形ABCD的周長為22,CE=DF=3,/ABE=60°,求AE的長.

四邊形常見模型

目錄

題型01中點(diǎn)四邊形模型...........................................................................I

題型02十字架模型...............................................................................4

題型03對角互補(bǔ)模型.............................................................................8

題型04半角模型................................................................................11

題型05含60°的菱形模型........................................................................16

題型06三垂線模型..............................................................................20

題型01中點(diǎn)四邊形模型

1.（23-24九年級上?山東棗莊?期中）若順次連接四邊形的各邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形，則該四邊形一定

是（）

A.矩形B.菱形

C.對角線相等的四邊形D.對角線互相垂直的四邊形

【答案】。

【詳解】解:如圖，設(shè)點(diǎn)E,F,分別是四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，

?.?四邊形是菱形，

：.EF=FG=GH=EH,

?：BD=2EF,AC=2FG,

：.BD=AC.

r.原四邊形一定是對角線相等的四邊形.

故選：C.

2.（23-24九年級上?山西朔州?期中）如圖，四邊形的對角線47,8。于點(diǎn)O,點(diǎn)瓦凡G,H分別

為邊48,8C,CD和4D的中點(diǎn)，順次連接斯，9G,GH和HE得到四邊形跳1GH.若AC=10,B。

=12,則四邊形EFGH的面積等于（）

A.30B.35C.40D.60

【答案】A

【詳解】解：?.?點(diǎn)E,F分別為邊AB,BC的中點(diǎn),

.?.EF是AABC的中位線，

:.EF"AC,EF=[AC,

?：47=10,

.,.EF=/AC=5,

同理，可得：HG〃人C,HG=]_AC=5,

：.EF//HG,EF^HG,

?:點(diǎn)、E,H分別為邊AB,AD的中點(diǎn)，

AEH是△ABD的中位線，

EH//BD,EH=^-BD=6,

同理，可得：FG//BD,FG=^-BD=6,

:.EH//FG,EH=FG,

四邊形EFGH是平行四邊形，

AC±BD,

：.EF±EH,

：.NFEH=90°,

：.平行四邊形EFGH是矩形,

矩形EFGH的面積為：6X5=30,

即四邊形EFGH的面積為30.

故選:A.

3.（23-24九年級上?山東東營?期中）如圖，把矩形ABCD沿直線AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，連接0E,則

順次連接四邊形4OEC各邊中點(diǎn),得到的四邊形的形狀一定是.

【答案】菱形

【詳解】解：：把矩形ABCD沿直線力。折疊，點(diǎn)B落在E處,

：.CD=AE=AB,

?：順次連接四邊形ADEC各邊中點(diǎn)，

H、F分別是DE、AD的中點(diǎn)，

；.HF=《AE.

同理FM=；CD,NH=[CD,MN=~^AE,

又：DC=AE,

：.HN=HF=FM=MN,

四邊形是菱形.

.?.得到的四邊形的形狀一定是：菱形.

故答案為：菱形.

4.（23-24九年級上?河南信陽?期中）已知：如圖，四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)分別為E、R、G、H,順次

連接EF、尸G、GH、HE,得到四邊形EFGH（即四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形）.

（1）求證：四邊形EFGH的形狀是平行四邊形；

⑵當(dāng)四邊形的對角線滿足條件時(shí)，四邊形班GH是矩形;

（3）當(dāng)四邊形ABCD的對角線滿足條件時(shí)，四邊形班GH是菱形.

【答案】（1）證明見解析

（2）互相垂直

（3）AC^BD

【詳解】（1）證明：如圖，連接AC、BD,

???點(diǎn)E、F、G、H分別為AB,BC、CD、AD的中點(diǎn)，

:.EF、GH分別為△48。、4ADC的中位線，

：.EF=^-AC,EF//AC,GH=^-AC,GH//AC,

：.EF=GH,EF//GH,

：.四邊形EFGH的形狀是平行四邊形；

（2）解：當(dāng)AC_LB。時(shí)，四邊形EFGH是矩形,

?：EF//AC,FG//BD,AC±BD,

：.EF±FG,

：.平行四邊形EFGH是矩形,

故答案為：互相垂直；

（3）解：當(dāng)AC=BD時(shí)，四邊形EFGH是爰形,

?：EF=^AC,FG=^BD,AC=BD,

：.EF=FG,

：.平行四邊形EFGH是爰形,

故答案為：相等.

5.（23-24九年級上.福建泉州.期中）已知：如圖，四邊形ABC?四條邊上的中點(diǎn)分別為E、尸、G、H,順次

連接EF\FG、GH,HE,得到四邊形EFGH（即四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形）.

A

H

D

⑴求證：四邊形EFGH是平行四邊形;

⑵當(dāng)四邊形ABCD的對角線滿足條件時(shí)，四邊形EFGH是矩形？并說明理由.

【答案】（1）見詳解

（2）4。，BD,見詳解

【詳解】⑴解:連接力。，如圖，

四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、H,

：.HG//AC,HG=^-AC,EF//AC,EF=^-AC,

:.HG//EF,HG=EF,

四邊形EFGH是平行四邊形;

（2）解：理由如下：

連接

?/四邊形4BCD四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、H,

：.HG//AC,EH//BD.

?：AC±BD,

：.HG±EH,

：.ZEIIG=9Q°,

：.平行四邊形EFGH是矩形.

故答案為：力C_LBD.

題型02十字架模型

6.（23-24九年級上?黑龍江哈爾濱?期中）如圖，將一邊長為15的正方形紙片ABCD的頂點(diǎn)A折疊至DC

邊上的點(diǎn)E,使AE=8,折痕為PQ,則PQ的長為（）

A.15B.16C.17D.18

【答案】。

【詳解】解:過點(diǎn)P作PM±BC于點(diǎn)、M,

由折疊得到

/fiAE+/APQ=90°,

又NDAE+AAED=90°,

：.NAED=NAPQ,

?：ADIIBC,

：.NAPQ=NPQM,

則/PQM=AAPQ=NAED,ND=NPMQ,PM=AD

：.△PQM■空△ADE

PQ=AE=A/82+152=17.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的折疊問題，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知

識(shí)，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小

不變，如本題中折疊前后角相等.

7.（23-24九年級上?四川成都?期中）如圖,將邊長為4的正方形紙片ABCD折疊，使得點(diǎn)A落在邊CD的

中點(diǎn)E處,折痕為FG,點(diǎn)、F、G分別在邊AD.BC上,則折痕FG的長度為.

【答案】2方

【詳解】解:如圖，過點(diǎn)G作GH_LAD于H,則四邊形ABGH中，=AB,

由翻折變換的性質(zhì)得GF±AE,

?：ZAFG+ADAE=90°,NAED+2DAE=90°,

NAFG=NAED,

?.?四邊形4BCD是正方形，

AD—AB,

:,HG=AD,

(AGHF=ZD

在/\ADE和4GHF中，(/AFG=ZAED,

[GH=AD

：./XADE上^GHF(AAS),

：.GF=AEf

??,點(diǎn)石是CD的中點(diǎn)，

:.DE=^CD=2,

在Rt^ADE中，由勾股定理得，AE=-JAD2+DE2=V42+22=275,

.?.GF的長為2面.

故答案為：2函.

【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換的問題，折疊問題其實(shí)質(zhì)是軸對稱，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，找到相應(yīng)的直角三

角形利用勾股定理求解是解決本題的關(guān)鍵.

8.（23-24九年級上?江蘇泰州?期中）如圖，正方形紙片ABCD的邊長為24,E是邊CD上一點(diǎn)，連接AE、

折疊該紙片，使點(diǎn)A落在AE上的G點(diǎn)，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B,得到折痕W,點(diǎn)F在AD上，若。E=10,

則GE的長為

【答案】等

J.O

【詳解】解：?.?四邊形ABCD為正方形，

AAB=AD=24,/皿。=/。=90°,

由折疊及軸對稱的性質(zhì)可知，△ABF空△GBF,垂直平分AG,

：.BF±AE,AH=GH,

ZBAH+NABH=90°,

又?/ZFAH+ZBAH=90°,

NABH=NFAH,

：.△ABFWAD4E(AS4),

AF=DE=10,

在RtAABF中，

BF=y/AB2+AF2=V242+102=26,

SAABF=yAB-AF=-j-BF?AH,

：.24X10=2648,

”=些

13，

/.AG=2AH=^-,

-LO

,：AE=BF=26f

：.GE=AE-AG=26-^-=^

J.OJ.O

故答案為：黑.

lo

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，面積法求線段的長度

等，解題關(guān)鍵是能夠靈活運(yùn)用正方形的性質(zhì)和軸對稱的性質(zhì).

9.（23-24九年級上.陜西商洛.期中）如圖，在正方形4BCD中，E,尸分別是4B,反7的中點(diǎn)，尸相

交于點(diǎn)G,連接AG,求證：

___________F

AD

（1）CE±DF.

⑵NAGE=NCDF.

【答案】（1）見解析；

（2）見解析.

【詳解】（1）,/四邊形是正方形，

:.AB=BC=CD=AD,NB=/BCD=90°,

；E,F分別是AB,的中點(diǎn)，

BE=^AB,CF=-j-BC,

:.BE=CF,

在△CBE與△DOF中，

（BC^CD

lZB=AFCD,

[BE=CF

：./\CBE2ADCF（SAS）,

：.NECB=ZFDC,

?：ABCE+ZECD=ABCD=90°,

：.NECD+ZCDF=90°,

：.4CGD=90°,

：.CE±DF.

（2）延長CE,交ZM的延長線于H,

在正方形ABCD中，AD〃BC,

AAHE=ABCE,

?.?點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，

/.AE=BE,

???ZAHE=/BCE,/AEH=/CEB,AE=BE,

：./XAEH^ABEC（AAS）,

??.AH=BC,

?.?在正方形ABCD中，AD=BC,

??.AH=ADf

?：CE±DF

：.AHGD=90°,

：.AG是Rt^HGD斜邊的中線,

??AG=^-DH=AD,

--AADG=ZAGD,

VAAGE+AAGD=AHGD=90°,/CDR+/ADG=/CDA=90°,

--NAGE=NCDF.

【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等腰

三角形的性質(zhì)等，綜合性很強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是能夠綜合運(yùn)用上述知識(shí).

題型03對角互補(bǔ)模型

10.（23-24九年級上.江蘇泰州.期中）對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂

美"四邊形點(diǎn)E為對角線口。上任意一點(diǎn)，連接AB、CE.若AB=5,3,則人爐一無2

等于（）

A.7B.9C.16D.25

【答案】。

【詳解】解:如圖所示:連接AC,與BD交于點(diǎn)O,

?.?對角線互相垂直的四邊形叫做''垂美”四邊形，

AC±BD,

在Rt/\AOE中,AE2=AO2+OE2,

在Rt/\COE中，CE?=+OE2,

：.AE2-CE2=AO2-CO2,

在Rt/\AOB中，AO2=AB2-OB2,

在Rt/\COB中，CO?=BC2_OEz,

AO2-CO2=AB2-BC2=52-32=16,

：.AE2-CE2=16,

故選：C.

【點(diǎn)睛】題目主要考查勾股定理的應(yīng)用，理解題意，熟練運(yùn)用勾股定理是解題關(guān)鍵.

11.（23—24.山東淄博?期中）如圖，在△ABC中，AD,BE分別是BC,AC邊上的中線，且AD，BE,垂足

為點(diǎn)F,設(shè)BC=a,，則下列關(guān)系式中成立的是（）

A.a2+b2=5c2B.a2+b2=4c2C.a2+b2=3c2D.a2+b2=2c2

【答案】A

【詳解】設(shè)EF=c,DF=",根據(jù)三角形重心的性質(zhì)得AF=29，BF=2EF=22,利用勾股定理得到利z+4y2

=c2,4a?+y2=^-b2,x2+4才=然后利用加減消元法消去，、V得到a、6、c的關(guān)系.

【解答】解：設(shè)E尸=c,DF=v,

1.?AD,BE分別是BC,AC邊上的中線，

.?.點(diǎn)F為△48。的重心，AF=。AC=,

/.AF=2DF=2y,BF-2EF-2x,

?：AD±BE,/.AAFB=AAFE=ABFD=90°,

在Rt^AFB中，4d+4y2=c?,①

在Rt/\AEF中,4d+7=卡,②

在Rt^BFD中,/+4才=Xo2,③

②+③得5談+5娟=X(?2+%,5+4婿=-l(a2+b2),@

45

①—④得02—5g2+/)=0,即a2+/=5c2.

5

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了三角形的重心：重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2:1.也考查了勾股

定理.

12.(23-24九年級上.河北石家莊?期中)已知對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形,現(xiàn)有如圖所示

的，，垂美，，四邊形ABC?,對角線A。，BD交于點(diǎn)O.

（1）若AB=5,OA=3,OC=4,則BC=；

（2）若人。=0，BC=濾，則AB2+CD2=.

⑶若AB=m,BC=n,CD=c,AD=d，則m,n,c,d之間的數(shù)量關(guān)系是

【答案】4V27m2+c2=n2+d2

【詳解】（I）；AC±BD,

：.NBOC=2cOD=ZDOA=ZAOB=90°,

：.OB^y/AB2-O^

=A/52-32

=4,

：.CB^y/OB2+OC2

=V42+42

=4V2.

故答案為4V2.

⑵由⑴得：

OB2+OC2=BC2,OA2+OD2=AD2,OB2+OA2=AB2,OC2+OD2=CD2,：.AB2+5=OB2+OA2

+OC2+OD2=BC2+AD2,

,:AD=?，BC=A,

：.AB2+GD2=（V2）2+（V5）2

=7.

故答案為7.

⑶由⑵得:

A&+CEPBC2+A￡>2,

：.rri2+c2=n2+d2.

故答案為m2+c2—n2+d2.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用問題，熟練利用勾股定理和等量代換是解題的關(guān)鍵.

13.（23-24九年級上?安徽蕪湖?期中）如圖甲，我們把對角線相互垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

圖甲圖乙

（1）【概念理解】我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了①平行四邊形、②菱形、③矩形、④正方形,在這四種圖形中是垂美四邊

形的是（填序號）.

（2）【性質(zhì)探究】小美同學(xué)猜想“垂美四邊形兩組對邊的平方和相等"，即，如圖甲，在四邊形中，若

AC,則/口2++請判斷小美同學(xué)的猜想是否正確,并說明理由.

⑶【問題解決】如圖乙，在△4BC中，及7=3,AC=4,D,E分別是4。，及7的中點(diǎn)，連接有

【答案】⑴②④；⑵猜想正確，理由見解析；（3）AB=

【詳解】解：（1）V菱形、正方形的對角線相互垂直，

菱形和正方形符合垂美四邊形的定義，

故答案為：②④；

（2）猜想正確，理由如下：

四邊形ABCD中,AC±BD,

：.AAOB=4cOD=ABOC=AAOD=90°,

AB2=OA2+OB'2,CD2=OC2+OL>2,BC2=OB2+OC2,AD2=OA2+OL>2,

222222

/.AB+5=OA2+OB2+OC2+OD2,BC?+AD=OB+OC+OA+OD,

2

/.AB+CD?=AIf+BC?.

（3）???BC=3,47=4,。、E分別是AC.BC的中點(diǎn)，

1131

??.AD=yAC=2,BE=^-BC=^,DE=^-AB,

?：AE_LBDf

：.AB2+ED2=AD2+BE2,

_______________________________~

???小=4+,

/.AB=V5.

14.（23-24九年級上?福建福州?期中）如圖，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

（1）在我們學(xué)過:①平行四邊形、②矩形、③菱形、④正方形，能稱為垂美四邊形的是;（只填序號）

⑵如圖，垂美四邊形ABCD的對角線交于點(diǎn)0,4B=2,=3,=4,求CD的長度.

【答案】（1）③④

⑵何

【詳解】（1）解：?.?菱形和正方形的對角線相互垂直，矩形和平行四邊形的對角線不一定垂直，

二.只有正方形和菱形能稱為垂美四邊形，

故答案為：③④；

（2）vAC±BD,

：.AB2=AO2+BO2,BC2=BO2+CO2,DC?=DO2+CO2,Ad2=AO2+DO2,

AB2+DC2=AO2+BO2+DO2+CO2,BC2+AD2=AO2+BO2+DO2+CO2,

：.AB2+DC2=BC2+AD2-,

48=2,30=3,40=4

CD2=32+42-22=9+16-4=21

CD=V21.

題型04半角模型

15.（23—24九年級上?四川眉山?期中）（半角模型）如圖，正方形ABCD中，E是AB上的點(diǎn)，尸是上的

點(diǎn)，且/即F=45°.求證：4E+CF=EF.

【答案】見解析

【詳解】證明：如圖，在的延長線上截取。C=AE,

?.?四邊形4BCD是正方形，

：.AD=CD,ZA=AADC=ABCD=2DCG=90°,

/\ADE空△COG(SAS),

：.DE=DG,2ADE=/CDG.

?：=45°,則AADE+ZCDF=Z.ADC-ZEDF=45°

ZFDG=ZCDF+ZCE>G=45°.

4EDF=AFDG.

在△DEF和△OGF中

(DE=DG

1/EDF=/FDG,

[DF=DF

：.叢DEFm叢DGF(SAS)

：.EF=GF.

即EF=GC+CF

：.AE+CF=EF.

16.（23-24九年級上?廣西南寧?期中）【探索發(fā)現(xiàn)】如圖①，四邊形Z8CD是正方形，M,N分別在邊CD、

8。上，且/AMN=45。,我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用

的方法.如圖①，將繞點(diǎn)Z順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)。與點(diǎn)8重合，得到△ABE,連接⑷11、AN、

MN.

⑴試判斷2W,BN,MN之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程.

⑵如圖②，點(diǎn)河、N分別在正方形ABCD的邊BC、CD的延長線上，AMAN=45°,連接MN,請寫出

7WN、ZW、8N之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程.

【卷案】(1)MN=DM+BN.證明見解析

⑵MN=BN—DM.證明見解析

【詳解】⑴解：7W=ZW+BN.證明如下：

由旋轉(zhuǎn)，可知：AE=AM,BE=DM,ZEAM=90°./ABE=ZD=90°

???點(diǎn)七、8、。共線

???/MAN=45°

???/EAN=/EAM—/MAN=45°=AMAN

在△EAN和△M4N中

(AE=AM

1/EAN=/MAN

[AN=AN

：.LEANmAMAN(SAS)

??.EN=MN

?：EN=BE+BN

：.MN=DM+BN

⑵解：MN=BN-DM,證明如下：

在BC上取跳;=AiD.連接AS,

???AB=AD,ZB=/ADM,/EAM=90°

???/XABE空AADM(SAS)

??.AE=AM,/BAE=/MAD

???4MAN=45°

NEAN=AEAM-AMAN=45°=AMAN

在△E4N和△AMN中，

(AE^AM

\/LEAN=AMAN

[AN=AN

：.AEWN竺AMAN(SAS')

：.EN=MN

?：EN=BN-BE

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)

鍵.

17.(23—24九年級上.廣東汕尾.期中)如圖，在邊長為6的正方形ABCD內(nèi)作/區(qū)4斤=45°,AE交BC于點(diǎn)

E,AF交CD于點(diǎn)F,連接EF,將ZVLDF繞點(diǎn)人順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG.

（1）求證：^EAG會(huì)/XEAF；

⑵若L>F=3,求BE的長.

【答案】（1）見解析

⑵BE=2

【詳解】（1）證明：?.?四邊形ABCD是正方形，

ZBAD=90°;

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AGAB=ADAF,AG^AF,

?：ABAD=90°,ZEAF=45°,

NR4F+/BAE=45°,

AAGAB+NBAE=AGAE=45°,

.,./GAE=/EAF=45°,

（AF=AG

在岫AG和/\EAF中,{4GAE=NEAF,

[AE^AE

：.^EAG=^EAF（SAS）.

⑵解：?.?DF=3,CD=6,

：.CF^3,

由⑴可知：GE=EF,BG=DF,

:.CG=9,

:.CE+EF=9,

在Rt^EFC中，由勾股定理得：CE2+CF2=EF2,

即您2+32=（9-您）2,

解得：CE=4,

:.BE=BC—CE=6—4=2.

18.（23-24九年級上?黑龍江齊齊哈爾?期中）【問題情境】神奇的半角模型

在幾何圖形中，共頂點(diǎn)處的兩個(gè)角，其中較小的角是較大的角的一半時(shí)，我們稱之為半角模型.截長補(bǔ)

短法是解決這類問題常用的方法.

如圖1,在正方形ABCD中，以A為頂點(diǎn)的/區(qū)4斤=45°,人后、4尸與8。、8分別交于后、干兩點(diǎn)，為了

探究EF、BE、0斤之間的數(shù)量關(guān)系，小明的思路如下：

如圖2,延長CB到點(diǎn)H,使8H=。尸,連接,先證明AADF篤/XABH，再證明/\AHE篤/\AFE.從

而得到E尸、BE.OF之間的數(shù)量關(guān)系.

（1）提出問題：EF、BE、OF之間的數(shù)量關(guān)系為.

⑵知識(shí)應(yīng)用：如圖3,AB=4D,=/。=90°,以A為頂點(diǎn)的ABAD=120°，ZEAF=6Q°,AE.AF

與BC、CD分別交于E、尸兩點(diǎn)，你認(rèn)為⑴中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請寫出證明過程;若不成立，請

說明理由.

（3）知識(shí)拓展:如圖4,在四邊形ABCD中，AB=4D=a,BC=b,CD=c.N4BC與/?；パa(bǔ)，AB、

AF與BC、CD分別交于E、尸兩點(diǎn)，且2瓦4斤=｝乙BA。,請直接寫出尸C的周長=.（用

含a、b、c的式子表不.）

【答案】⑴EF=DF+BE

（2）（1）中的結(jié)論還成立，證明見解析

（3）6+c

【詳解】（1）解:延長CB到點(diǎn)〃，使連接

?.?四邊形4BCD是正方形，

AB=AD,AD=NABC=NABH=ABAD=90°,

AADF^AABH,

：.ZDAF=ABAH,AH=AF,

?：/EAF=45°,

/BAE+ZDAF=90°-ZEAF=45°,

NEAH=ABAE+ZBAH=45°,

/EAH=NEAF,

,：AE-AE,

^AHE^/XAFE,

:.EF=EH,

?：EH^BE+BH,

：.EF-DF+BE;

故答案為：EF