《線性代數(shù)》課件 第8章 線性變換

第八章線性變換第八章

主要學(xué)習(xí)內(nèi)容變換線性變換變是絕對(duì)的，不變是相對(duì)的，數(shù)學(xué)就是在研究變與不變的客觀規(guī)律.變換是一個(gè)狀態(tài)到另一個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)化關(guān)系，這種關(guān)系可以用點(diǎn)的坐標(biāo)之間的函數(shù)關(guān)系來刻畫；剛好矩陣可以用來反映坐標(biāo)之間的變換關(guān)系，是研究變換的有力工具.本章主要介紹線性代數(shù)中變換和線性性的基本概念，以及線性變換的重要性和應(yīng)用.【導(dǎo)入】在日常生活中，如縮放、旋轉(zhuǎn)、投影等現(xiàn)象，都是線性代數(shù)中的變換用相機(jī)拍出的照片，可根據(jù)人們的需求進(jìn)行適當(dāng)?shù)目s小或放大，見圖8-1.

圖8-1生活中常見的圖片放縮.第一節(jié)變換如果只考慮拍照，拍照前，現(xiàn)實(shí)世界中的事物是原像，拍照后，相機(jī)拍出的照片是像，所以也叫相片.如果考慮縮放變換，相機(jī)拍出的照片的每個(gè)點(diǎn)稱為原像，原像的集合就是定義域，而將其進(jìn)行縮放后的圖片對(duì)應(yīng)的點(diǎn)稱為原像在這個(gè)縮放變換下的像，像的集合就是變換的值域.第一節(jié)變換地球每天都在圍繞其自轉(zhuǎn)軸和公轉(zhuǎn)軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，某個(gè)圖形繞一個(gè)具體的點(diǎn)按照一個(gè)具體方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度等，見圖8-2.圖8-2地球自轉(zhuǎn)可看成繞軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)第一節(jié)變換

圖8-3地球表面的點(diǎn)可以看成隨自轉(zhuǎn)進(jìn)行的旋轉(zhuǎn)第一節(jié)變換夏天大樹在陽(yáng)光下的陰影可以看成大樹這個(gè)立體對(duì)地面的投影，同樣地將大樹上任意一點(diǎn)叫作原像，對(duì)應(yīng)到地面上的影子為該點(diǎn)在投影變換下的像，見圖8-4.當(dāng)然處理力學(xué)問題時(shí)討論力的分解，也可以看成合力在水平、垂直方向的兩個(gè)投影變換.圖8-4三維空間在平面上的投影“變”這一現(xiàn)象在宇宙中無(wú)時(shí)無(wú)刻都在進(jìn)行著，不光上面介紹的例子.更一般的，斗轉(zhuǎn)星移、萬(wàn)物生長(zhǎng)、量子糾纏、測(cè)量物體等都物體前后對(duì)應(yīng)的關(guān)系都可以看成數(shù)學(xué)上的變換.數(shù)學(xué)上將這種對(duì)應(yīng)關(guān)系稱為映射，而在以往的學(xué)習(xí)中最常見的映射就是函數(shù).上面提到的變換就是一種映射，它將變化前后的對(duì)象以一種特殊但是確定的方式聯(lián)系在一起，這里的對(duì)象可以是數(shù)字、向量、函數(shù)、或是任何物體.第一節(jié)變換在8.1節(jié)中介紹到的所有變換在生活或是專業(yè)上經(jīng)常遇到的，如果想要了解到這些變換的更多的性質(zhì)，需要借助數(shù)學(xué)思維將這些含有實(shí)際背景的變換抽離出來.如果不考慮其他的因素，將現(xiàn)實(shí)世界中的景物拍成照片的過程就可以看作景物對(duì)底片做了一次投影變換。第二節(jié)線性變換僅考慮投影這一動(dòng)作會(huì)發(fā)現(xiàn)還有許多這樣的例子，計(jì)算機(jī)斷層掃描（CT）同樣是將病人體內(nèi)的器官投影到影片上，繪制地圖的時(shí)候也可以看成將地球（曲面）投影到平面上.第二節(jié)線性變換

第二節(jié)線性變換在觀察某些星系的時(shí)候需要在特定的季節(jié)，特定的位置進(jìn)行觀測(cè)，如何通過地球自、公轉(zhuǎn)的規(guī)律確定下一個(gè)觀測(cè)時(shí)間和地點(diǎn)？在進(jìn)行CT掃描時(shí)，如何確定投影平面才能得到所需內(nèi)部器官的信息？這些問題都可以總結(jié)為變換是如何實(shí)現(xiàn)的？這樣的變換在工程應(yīng)用上又有怎樣的用途？為了弄清這些問題，線性代數(shù)發(fā)展出一系列的工具來研究說明這一主題.第二節(jié)線性變換

前面所提到的例子中，無(wú)論是投影變換、伸縮變換還是旋轉(zhuǎn)變換都有一個(gè)現(xiàn)象：在同一條直線上的原像經(jīng)過變換后得到的像仍舊在一條直線上.

例如，拍一張含有道路的照片，如果實(shí)際的道路是筆直的那么照片中呈現(xiàn)的像也將會(huì)是筆直的.可能照片上路的兩邊會(huì)相交在一點(diǎn)，但仍舊是直線，也就是說投影變換能夠保持直線的像仍是直線，或許角度會(huì)發(fā)生偏轉(zhuǎn)但不影響直線本身的形狀。即是在圖片上繼續(xù)進(jìn)行擴(kuò)大，線性代數(shù)上說所說的伸縮變換是將圖片的一邊或是兩邊同時(shí)進(jìn)行拉伸，圖片上的景物可能會(huì)傾斜但筆直的公路仍然是筆直的.同樣在旋轉(zhuǎn)變換中也能清楚的看到這一性質(zhì)：地球表面筆直的公路不會(huì)因?yàn)樾D(zhuǎn)變換而變得彎曲，無(wú)論自轉(zhuǎn)還是公轉(zhuǎn)也就是不管春夏秋冬、白天夜晚筆直的路都不會(huì)因?yàn)椋▎渭兊模┬D(zhuǎn)變換而變得彎曲。這些變換有一些共同的特質(zhì)性質(zhì)：在處理兩個(gè)東西的時(shí)候會(huì)遵循向量的加法，而在處理一個(gè)東西被放大的時(shí)候會(huì)遵循數(shù)乘性.第二節(jié)線性變換這種規(guī)律不僅在數(shù)學(xué)中有用，在生活中也能幫助我們更好地理解變換的工作原理.數(shù)學(xué)上將這種性質(zhì)稱為變換的線性性，即可以將線段變?yōu)榫€段.有線性性的變換稱為線性變換，是線性代數(shù)中最重要的變換，也是現(xiàn)實(shí)世界中最常見的變換.第二節(jié)線性變換

第二節(jié)線性變換比如：旋轉(zhuǎn)變換不會(huì)改變向量之間的角度，因此它保持向量之間的線性關(guān)系.縮放變換會(huì)改變向量的大小，但不會(huì)改變它們之間的方向，因此它也保持向量之間的線性關(guān)系.可以簡(jiǎn)單地說變換是將一個(gè)對(duì)象映射到另一個(gè)對(duì)象的函數(shù).

線性變換是一種特殊的變換，它保持向量加法和標(biāo)量乘法.在后面的介紹中，還將知道線性變換可以用矩陣表示，并具有許多重要的性質(zhì).第二節(jié)線性變換但是并不是所有的變換都具有線性性，就像8.1節(jié)中最后提到的動(dòng)植物的生長(zhǎng)就不具有線性性，因?yàn)樯镌谏L(zhǎng)的過程中的變化并不一致，會(huì)在某一特殊時(shí)間段內(nèi)生長(zhǎng)得快一些。同樣類似量子糾纏的雙星系統(tǒng)或者多體系統(tǒng)的軌道也不能由具有線性性的變換得到.生活中的變換大多都不具有嚴(yán)格的線性性，如果把煮面條看作一個(gè)變換，那這個(gè)變換也不具有線性性，因?yàn)樵瓉砜醋骶€段的面條經(jīng)過“煮”變換后不都會(huì)呈現(xiàn)線段狀，這說明這個(gè)變換在作用的過程中不是“均勻的”.第二節(jié)線性變換事實(shí)上，這是數(shù)學(xué)物理中一個(gè)復(fù)雜的過程，但是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中總是先簡(jiǎn)單后復(fù)雜，先陌生后熟悉，就像微積分中的微分可以用來以直代曲，在實(shí)際應(yīng)用中也可以通過一些手段用比較簡(jiǎn)單的線性變換去近似復(fù)雜的變換，這也是在大學(xué)的階段除了專業(yè)課程之外還需學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的原因.第二節(jié)線性變換后面將介紹在線性代數(shù)理論基礎(chǔ)上的線性變換，主要有位似變換、旋轉(zhuǎn)變換、投影變換和切變變換等幾類最常見的線性變換.

因此，線性變換是一類特殊的變換，最特殊的是線性變換可以保持變換前的直線依舊是直線，而變換僅僅是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系