福州某中學2024年九年級上學期月考數(shù)學試題（含答案）

福州一中2024年九年級上學期月考數(shù)學試題

+答案

2024-2025九年級上數(shù)學適應性練習（1）

一、選擇題（每小題4分，共40分）

1.AABCs^DEF,若AB=1,DE=2,則與QDEE的相似比是（）

A.1:2B.1:3C.2:3D.3:2

2.下列關于圖形對稱性的命題，正確的是（）

A.正三角形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形

B.圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形

C.線段是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形

D.平行四邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形

3.若△ABC?且相似比為1：4,則△ABC與口DEE的面積比為（）

A.1：4B.4：1C.1：16D.16：1

4.如圖，AD//BE//CF,直線/i,A與這三條平行線分別交于點A,B,C和點￡>,E,F.已知AB=1,

8c=3,DE=2,則的長為（）

A.4B.5C,6D.8

5.如圖，若/\MNPqAMEQ,則點。應是圖中的（）

A.點AB.點8C.點CD.點。

6.如圖，AABC中，NA4c=90°,AD15C于D,若A5=2,3C=3,則CD的長是（）

第1頁/共6頁

A

5

D.-

3

7.下列說法正確的是（）

A.有一個角等于100°的兩個等腰三角形相似

B,兩個矩形一定相似

C.有一個角等于45°的兩個等腰三角形相似

D.相似三角形一定不是全等三角形

8.如圖，一張矩形報紙的長寬BC=b,E,P分別是AB,CD的中點，將這張報紙沿著直線

EE對折后，矩形AEED的長與寬的比等于矩形ABCD的長與寬的比，則。力等于（）

A.V2：lB.1：A/2C.V3：lD.1:73

E、R分別為A3、5C的中點，AF與DE交于點O,則也=（）

9.如圖正方形A5CD中,

DA

1R2出21

A.D.------C.一D.-

3532

10.如圖，在矩形A2C。中，AB=2BC,點M是CD邊的中點，點E,P分別是邊AB,BC上的點，且

AF±ME,G為垂足.若E8=2,BF=\,則四邊形BEGE的面積為（）

第2頁/共6頁

DMC

AEB

618585

A.——B.——D.—

525213

二、填空題（每小題4分，共24分）

11.如圖，在△ABC中，DE//BC,若AD=3,DB=6,則=的值為

BC

12.如圖，△ABC和口DE尸是位似三角形，點。是位似中心，且AC=9,DF=3,0A=6,則

0D=.

13.如圖，在△ABC中，點。、E分別在邊A3、AC上，且NAED=NA3C,如果

AD=4,BD=AE=6,那么AC的長.

14.如圖，在平面直角坐標系中，口4片。與'甌是以點C為位似中心的位似圖形,則其相似比為

第3頁/共6頁

3

15.如圖，在四邊形A5CD中，AC,3c于點C,ABAC=ZADC,且3C=—AC,當CD=4,

4

A。=2時，線段3。的長度為

16.如圖，已知正方形ABCD中，點E是BC上的一個動點，EFLAE交CD于點F,以AE,EF為邊作矩

形AEFG,若AB=4,則點G到AD距離的最大值是

三、解答題（86分）

17.計算：（—1）。—3-2+恒—斗

18.如圖，已知A,F,E,C在同一直線上，AB//CD,ZABE=ZCDF,AF=CE.求證：AB=CD.

人”公…加2―4加+4（1八_,I—

19.先化間，再求值：---------+------1L其中加二收一2.

m—1—l）

20.如圖△A3Cs/\AC0,N0=9O。，AC=逐，A0=2,求A3及8。的長.

第4頁/共6頁

21.如圖，點C、。在線段A3上，△「(?￡)是等邊三角形，且CD2=AC-D3.

(1)求證：NACPS&PDB；

(2)求NAPB的度數(shù).

22.如圖，四邊形A5CD為平行四邊形，￡為邊AD上一點，連接AC、BE,它們相交于點R且

(1)求證：AE2=EFBE；

(2)若AE=2,EF=1,CF=4,求ABBC的長.

23.ZSABC中，ZB=45°,ZC=60°,將△ABC繞點A逆時針旋轉30°后至△ABC-

(1)求ZBAC］的度數(shù)；

(2)若A5=J^+1，線段4G與A5,3C分別交于〃、N,求的長.

24.如圖1,在銳角中，D、E分別是AR中點，點廠為AC上一點，且NAEE=NA,

MD〃EF交AC于點、M.

第5頁/共6頁

AA

M

圖1圖2

（1）求證：DM=DA

（2）點G在BE上，且NBDG=NC,如圖2,求證：DEEF=DGEC.

25.已知拋物線y=/nr2_（i-4附x+c過點（1,a）,（-1,a）,（0,-1）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）已知過原點的直線與該拋物線交于A,B兩點（點A在點2右側），該拋物線的頂點為C,連接AC,

BC,點D在點A,C之間的拋物線上運動（不與點A,C重合）.

①當點A的橫坐標是4時，若△ABC的面積與△42。的面積相等，求點D的坐標；

OE

②若直線。。與拋物線的另一交點為E,點尸在射線上，且點尸的縱坐標為-2,求證：—=

FE

~FD'

第6頁/共6頁

2024-2025九年級上數(shù)學適應性練習（1）

一、選擇題（每小題4分，共40分）

1.AABCs^DEF,若AB=1,DE=2,則與QDEE的相似比是（）

A.1:2B.1:3C.2:3D.3:2

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)、相似三角形的相似比；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及相似比的概念即可

求解.

【詳解】解：?：AABCs^DEF,

.AB-1

??一,

DE2

即相似比為1:2；

故選：A.

2.下列關于圖形對稱性的命題，正確的是（）

A.正三角形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形

B.圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形

C.線段是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形

D.平行四邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的識別，一個圖形繞著某固定點旋轉180°后能夠與原來的

圖形重合，則稱這個圖形是中心對稱圖形，這個固定點叫做對稱中心；如果一個圖形沿著某條直線對折后，

直線兩旁的部分能夠重合，則稱這個圖形是軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸；根據(jù)這兩個概念判斷即可.

【詳解】解：A、正三角形既是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，錯誤，故不符合題意；

B、圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，正確，故符合題意；

C、線段是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，錯誤，故不符合題意；

D、平行四邊形不是軸對稱圖形，但是中心對稱圖形，錯誤，故不符合題意；

故選：B.

3.若△ABC?且相似比為1：4,則△A3C與QDEE的面積比為（）

A.1：4B.4：1C.1：16D.16：1

【答案】C

第1頁/共23頁

【解析】

【分析】利用相似三角形面積之比等于相似比的平方計算即可.

【詳解】解：:△ABCs△DEF,且相似比為1：4,

.?.△ABC與△￡）￡尸的面積比為1：16,

故選：C.

【點睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解本題的關鍵.

4.如圖，AD//BE//CF,直線/i,/2與這三條平行線分別交于點A,B,C和點D,E,F.已知AB=1,

BC=3,DE=2,則EF的長為（）

A.4B.5C,6D.8

【答案】C

【解析】

【詳解】解：???AO〃8E〃CF,根據(jù)平行線分線段成比例定理可得

ABDE12

---=----,即nn一=----,

BCEF3EF

解得：EF=6,

【答案】D

【解析】

第2頁/共23頁

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷即可;

【詳解】???△MNP咨△MEQ,

.?.點。應是圖中的。點，如圖所示;

故選D.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，準確分析判斷是解題的關鍵.

6.如圖，△ABC中，ZBAC=90°,AD15C于D,若A5=2,3C=3,則CD的長是（）

8245

A.-B.-C.一D.-

3333

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵.

根據(jù)勾股定理可得AC=V5，利用面積法求出AD,再根據(jù)勾股定理即可求得答案.

【詳解】解：:△ABC中，ABAC=90°,AB=2,BC=3,

；?AC=yjBC2-AB2=A/32-22=V5，

VZBAC=9Q°,AD1BC,

：.ABAC=NADC=90°,

,/3AD=275

?s2后

??AD=------

3

第3頁/共23頁

故選D.

7.下列說法正確的是（）

A.有一個角等于100°的兩個等腰三角形相似

B.兩個矩形一定相似

C.有一個角等于45°的兩個等腰三角形相似

D.相似三角形一定不是全等三角形

【答案】A

【解析】

【分析】A中等于100。的角只能是等腰三角形的頂角，所以這兩個等腰三角形相似；B中兩個矩形雖然角

度相同，但對應的邊長比不相等時，兩個矩形不相似；C中等于45。的角可以是等腰三角形的頂角或底

角；D中兩個相似三角形的相似比為1時，兩個三角形全等；進而判斷選項的正誤.

【詳解】解：A中等于100。的角只能是等腰三角形的頂角，所以這兩個等腰三角形相似，故正確，符合要

求；

B中兩個矩形雖然角度相同，但對應的邊長比不相等時，兩個矩形不相似，故錯誤，不符合要求；

C中等于45。的角可以是等腰三角形的頂角或底角，當為頂角時，三角分別為45。,67.5。,67.5。；當為底角

時，三角分別為45。,45°,90°,故這兩個等腰三角形不相似，故錯誤，不符合要求；

D中當兩個相似三角形的相似比為1時，兩個三角形全等，故錯誤，不符合要求；

故選A.

【點睛】本題考查了相似三角形，等腰三角形等知識.解題的關鍵在于對知識的靈活運用.

8.如圖，一張矩形報紙ABCO的長彘BC=b,分別是AB,的中點，將這張報紙沿著直線

所對折后，矩形4￡陽的長與寬的比等于矩形ABC。的長與寬的比，則。力等于（）

【答案］A

【解析】

第4頁/共23頁

【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)解答即可

【詳解】解：：E，尸分別是AB,CO的中點，

AE=-AB=-,

22

?.?矩形AMD的長與寬的比等于矩形A2CD的長與寬的比，

.ADAE

??二,

ABAD

；?AD2=AE.AB，

即/=-a2,

2

?6-2

??瓦-2,

.,.a：b=y[2:1.

故選A.

【點睛】本題考查相似多邊形的性質(zhì).相似多邊形對應邊成比例.

9.如圖正方形A3CD中，E、R分別為A3、的中點，AF與DE交于點0,則——=()

DA

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握正方

形中的全等模型和相似模型是解題的關鍵.先證明△ADE之△A4R,得出=再證明

AADO^AFAB,即可得空=任，將A3、AF轉化為即可求解.

DAAF

【詳解】解：???四邊形A3CD是正方形，

DA=AB=BC,ZDAE=ZABF=90°,AD//BC,

:E、R分別為A3、3c的中點，

第5頁/共23頁

：.AE=BF=-AB=-BC,

22

在△ADE和△R4E中，

DA=AB

<ZDAE=ZABF,

AE=BF

：.UADE^BAF（SAS）,

；?NADE=ZBAF,

AD//BC,

：.ZDAO=ZAFB,

：.AADO^AFAB,

.DOAB

"DAAF'

?.?在RtOABE中，AF=4AB2+BF1=+BF2=45BF，

.DO2BF275

,?DA也BF5'

故選：B.

10.如圖，在矩形ABC。中，AB=2BC,點M是CD邊的中點，點E,歹分別是邊AB,BC上的點，且

AFLME,G為垂足.若EB=2,BF=1,則四邊形BFGE的面積為（）

【答案】B

【解析】

【分析】設BC=a,得到A3=2a,DM=MC=a.作MH，AB于H,先證明出

RinEMH^RinFAB,利用性質(zhì)建立等式解出a,利用勾股定理求出AR=J詬，再根據(jù)

RGAEG^RlDAFB,利用相似比求出面積即可.

【詳解】解：設BC=a,則AB=2a，DM=MC=a.

第6頁/共23頁

作MHLAB于H,

則ZEMH=90°-ZMEA=ZFAB.

MHAB

所以

HE~BF

口rQ2a

即----二—

a-21

解得。=[.

2

于是3C=9,AB=5.

2

所以AF=VAB2+BF2=V52+l2=V26，

S人ARF=!A3xBF=—x5xl=—.

*222

又R肛AEGSR/OAEB,

所以OJ空［=H=2.

S-FBUFJIV26J26

9。9545

因止匕SAFG=--^/\AFR----X—=---.

△AAEG26AAFB

訴“<_c_c_3_竺_過

所以3四邊形BFGE——^AAEC一/一豆一五,

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理，解題的關鍵是掌握相似三角形的

判定.

二、填空題（每小題4分，共24分）

DE

11.如圖，在AABC中，DE//BC,若AD=3,DB=6,則一的值為.

BC

第7頁/共23頁

【答案】-

3

【解析】

【分析】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關鍵.

根據(jù)。E〃3C,即可判斷出△ADEABC,即可求解.

【詳解】解：,??DE〃3C，

AADEcoAABC,

.DEADAD_3_1

BC~AB~AD+DB~9~3,

故答案為：—.

3

12.如圖，△ABC和口。跖是位似三角形，點。是位似中心，且AC=9,DF=3,0A=6,則

0D=.

【答案】2

【解析】

【分析】本題考查了位似變換，正確掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關鍵.

根據(jù)位似圖形的性質(zhì)得出位似比，進而即可求解.

【詳解】解：VAC=9,DF=3,

：.AC:DF=3A,

'：△ABC和口DE尸是位似三角形，點O是位似中心，

0A:0D=3:1,

0A=6,

0D=2.

故答案為：2.

13.如圖，在△ABC中，點。、E分別在邊A3、AC上，S.ZAED=ZABC,如果

AD=4,BD=AE=6,那么AC的長.

第8頁/共23頁

A

D

202

【答案】—##6-

33

【解析】

【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：：NAED=NABC,ZA=ZA,

/./\AED^/\ABC,

ADAE46

.?---=----,即nn，

ACABAC4+6

.20

■*AC=—.

3

故答案為：—.

3

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關鍵.

14.如圖，在平面直角坐標系中,□4片。與AABC是以點C為位似中心的位似圖形,則其相似比為

【答案】1:2

【解析】

【分析】由已知可得□ABCsOABC，利用勾股定理解得A3、4片的長即可解題.

【詳解】解：：ZSABC與口4與。是以點C為位似中心的位似圖形，

相似比為4與：AB=V12+22：A/22+42=75:275=1：2，

故答案為：1:2.

【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)、勾股定理的應用，掌握相關知識是解題關鍵.

第9頁/共23頁

3

15.如圖，在四邊形中，AC_LBC于點C,ABAC=ZADC,且5C=—AC,當CD=4,

4

A。=2時，線段5。的長度為.

I答案】半

【解析】

【分析】在AB上截取AM=AD=3,過M作MN〃BC交AC于N,把4AMN繞A逆時針旋轉得AADE,

證明△ABDs/iACE和△AMNs^ABC,求出相關邊長，然后根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】解：如圖，在A5上截取AM=A￡>=2,過M作MN〃5c交AC于點N,把AAMN繞A逆

則MNLAC,DE=MN,ZDAE=ABAC,

：.ZAED=ZANM=90°,

3

又；ACLBC于點C,ZBAC=NA￡)C,BC=-AC,

4

,BC3

??tanNBAC------=一,

AC4

：.BC:AC:AB=3:4:5,

又,：MN/IBC,

：.AABC^AAW,

又：AAMN^AADE,

/.AABC^AADE,

.ABAC

"AD-AE?

第10頁/共23頁

.AB_AD

AC"AE)

又NDAE+ACAD=ABAC+ACAD,

/BAD=ZCAE,

：.AABDsMCE,

.BDAB5

"CE-AC-4)

又AAMN口AABC,

.MNAM

"'~BC~^B'

：.MN=—xAM=-x2=-,

AB55

ABAC=ZADC,

ZDAE=ZADC,

：.AE//CD,

：.ZCDE+ZAED=1SO°,

：.ZCDE=180°-NAED=90°,

在及ACDE中，由勾股定理得，

CE=>JCD2+DE2=卜2+金2=|^/^,

：.BD=-CE=-x*=半

故答案為:

【點睛】考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、旋轉的性質(zhì)、三角形邊角關系等，熟練掌握相似三角形的判定

與性質(zhì)和勾股定理是解題的關鍵.

16.如圖，已知正方形ABCD中，點E是BC上的一個動點，EFLAE交CD于點F,以AE,EF為邊作矩

形AEFG,若AB=4,則點G到AD距離的最大值是.

8

第11頁/共23頁

【答案】1

【解析】

【分析】因NAEF=90。得NAEB+NFEC=90。，在R3ABE中NBAE+NCEF=90。，根據(jù)同角的余角相等

得NBAE=NFEC,可證明△ABEs^ECF；由相似三角形的性質(zhì)和二次函數(shù)可求點G到AD距離的最大值

是1.

【詳解】解：設BE=x,FC=y,

VEFXAE,

???NAEB+NFEC=90。，

又,:四邊形ABCD是正方形，

.,.ZB=ZC=90°

???NBAE+NAEB=90。，

???NBAE=NFEC,

AAABE^AECF(AA),

.BE_AB_AB

**CF-EC-BC-BE?

x(4-x)1\2/\

y=-^_^=一4(zx—2)+l,(O<x<4),

?；點G到AD距離就是FC的長度，

/.點G到AD距離的最大值是1,

故答案為1.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)和二次函數(shù)最值等相關知識;

重點掌握三角形相似的判定與性質(zhì)，難點是將相似三角形的相似比相等轉化為二次函數(shù)解析式求最值.

三、解答題(86分)

17.計算：(—1)°—3-2+JG—2卜

【答案】—26—Vr3

【解析】

【分析】先算乘方，再去絕對值，然后進行加減運算即可.

【詳解】解：原式=1—1+2-6

9

第12頁/共23頁

9

【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算、零指數(shù)塞、負整數(shù)指數(shù)幕、去絕對值等知識.把握運算順序和正確

的計算是解決本題的關鍵.

18.如圖，已知A,F,E,C在同一直線上，AB//CD,ZABE=ZCDF,AF=CE.求證：AB=CD.

【解析】

【分析】根據(jù)全等三角形證明再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可.

【詳解】證明：?..AB”。。，

ZACD=ZCAB,

,JAF^CE,

：.AF+EF=CE+EF,

即AE=FC,

在△ABE和△COE中，

ZACD=ZCAB

<NABE=NCDF

AE=CF

:.4ABE義4CDF(AAS).

：.AB=CD.

【點睛】此題主要考查了三角形全等的判定及性質(zhì)，一般證明線段相等先大致判斷兩個線段所在三角形是

否全等，然后再看證明全等的條件有哪些.

,,,…nr-4m+4(1八#,(―

19.先化簡，再求值：-----------------1,其中根=后—2.

m-1\m-l)

【答案】2—機；4-V2

【解析】

【分析】根據(jù)分式混合運算法則進行計算，然后代入數(shù)據(jù)進行計算即可.

【詳解】解：原式=(——2)十］」_—

m-1\m-lm—1)

第13頁/共23頁

_(m-2)-i-m+i

m—1m—1

_(m-2)2m-1

m—12—m

=2-m

把根=血-2代入得：原式=2-(后-2)=2-也+2=4-VL

【點睛】本題主要考查了分式的化簡計算，熟練掌握分式混合運算法則，是解題的關鍵.

20.如圖△ABCs/viCD,ZZ)=90°,AC=垂，AD=2,求AB及的長.

【答案】AB=2.5,BC=^-

2

【解析】

【分析】首先利用相似三角形的對應邊的比相等求得AB的長，然后利用勾股定理求得BC的長即可

【詳解】：△ABCs△A。。

.ABAC

"AC~AD

*：AC=&AD=2

,AB_45

,?忑F

解得：AB=2.5

,?ZD=90°

：./ACB=NO=90。

BC=f252Ts2=與

【點睛】考查了相似三角形的性質(zhì)，了解相似三角形對應邊的比等于相似比是解答本題的關鍵，難度不大

21.如圖，點C、。在線段A3上，△產(chǎn)(〕￡)是等邊三角形，且C￡>2=AC.D5.

第14頁/共23頁

p

(1)求證：NACPsNPDB；

(2)求/APB的度數(shù).

【答案】(1)見解析(2)ZAPB=120°

【解析】

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握這兩方面知識是解題的關鍵.

(1)由等邊三角形性質(zhì)得PC=PD=CD,NPCD=NPDC,從而有NPCA=NBDP；由

CD2=AC-DB得粵=粵，從而結論得證；

1C-AC

(2)由相似三角形的性質(zhì)及三角形角的性質(zhì)即可求解.

【小問1詳解】

證明：?.?△PC。是等邊三角形，

PC=PD=CD,/PCD=ZPDC=60°,

ZPCA=ZBDP；

?/CD'=ACDB

：.PDPC=ACDB,

BDPD

即nn——=——，

PCAC

?：ZPCA=ZBDP,

【小問2詳解】

解：'//\ACP^/\PDB,

ZAPC=NB；

ZPDC=ZB+NBPD=60°=NCPD,

ZAPB=ZCPD+ZAPC+ZBPD

=6Q°+ZB+ZBPD

=60°+60°

=120°.

22.如圖，四邊形ABC。為平行四邊形，￡為邊AD上一點，連接AC、BE,它們相交于點E且

第15頁/共23頁

ZACB=ZABE.

（1）求證：AE?=EF-BE；

（2）若AE=2,EF=1,CF=4,求AB3c的長.

Q

【答案】（1）見解析（2）AB=-,BC=6

3

【解析】

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的

關鍵.

（1）證明即可；

（2）由（1）得8E=4,則得=3；再由△AEF^/\CBF可求得BC,AF；再由（1）中/\AEFs^BEA,

即可求得A3.

【小問1詳解】

證明：：四邊形A5CD為平行四邊形，

AD//BC,

：.NEAF=NACB；

,?NACB=ZABE,

；?NEAF=NABE；

,/ZAEF=ZBEA,

/?/\AEFS/\BEA,

.AEEF

即AE2=EF?BE；

【小問2詳解】

解：由（1）有AE?=EF-BE>

即2?=lxBE，

：.BE=4,

則BE=BE—跖=3；

???AD//BC,

/\AEFs^CBF,

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.AE_AFEF_1

,?BC~CF~BFW

14

BC=3AE=6,AF=-CF=~；

33

Z\AEFs^BEA,

.AE_AF

"BE~AB'

RF448

即A5=ARx——=-x-=-

AE323

23.ZSABC中，NB=45°,ZC=60°,將△ABC繞點A逆時針旋轉30°后至△A^G.

（1）求/BAG的度數(shù)；

（2）若A3=G+1，線段與G與A3,3c分別交于V、N,求MN的長.

【答案】（1）45°

（2）V6-V2

【解析】

【分析】本題考查旋轉的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，等腰直角三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，勾

股定理，熟練掌握特殊角度的直角三角形的三邊關系是解題的關鍵.

（1）利用旋轉的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和直接求解即可；

（2）過點"作用于點G,作MHLBC于點利用等腰直角三角形的性質(zhì)，含30。角的直

角三角形的性質(zhì)得出4G=GM,AM=2GM,AG=6GM，結合Ag=AB=G+l,求出

GM=1,得BM=6-1，再利用口及03和口分別是等腰直角三角形和含30。角的直角三角形，

利用特殊三邊關系即可求解.

【小問1詳解】

解：???ZB=45°,ZC=60°,

ABAC=180°-45°-60°=75°,

由旋轉知：NC4￡=30°,

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BAQ=ZBAC-ZCAQ=75°—30°=45°；

【小問2詳解】

解：如圖，過點M作“G_LA用于點G,作于點H,

A

由旋轉知ZBiAC]=N5AC=75。，Ng=ZB=45。，AB}=AB=43+1>

：.ZBrAM=NB[AC[-ABAC,=30°,NB1MG=ZBl=45°,

BtG=GM,AM=2GM,AG=JAM?—GM?=狗GM，

ABl=AB=43+l=AG+BlG=43GM+GM=GM^+^,

得：GM=1,

：.AM=2GM=2,B}M=JB.+GM?=0,

BM=AB-AM=^-l^

?ZNB[=ZB=45°,ZAMBt=ZNMB,

NMNB=ZMAB1=30°,ZBMH=NB=45°,

BM=42HM=43-1，

2

:.MN=2HM=述-亞.

24.如圖1,在銳角△ABC中，D、E分別是AB、BC中點，點尸為AC上一點，且NAEE=NA,

MD〃EF交AC于點M.

圖1圖2

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（1）求證：DM=DA；

（2）點G在BE上，且NB￡）G=NC,如圖2,求證：DEEF=DGEC.

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

【分析】（1）由MD//EF得ZDMA=ZAFE，結合NAFE=ZA得ZDMA=ZA,由等邊對等角即可求

證；

（2）由D、E為中點及證明四邊形DEFM為平行四邊形，得3。=ERBE=CE；再證明口BED日BDG,

由相似三角形的性質(zhì)得。￡-3。=。6-3石，從而證得結論成立.

【小問1詳解】

證明：?.?"￡）〃跖,

ZDMA=NAFE；

ZAFE=ZA,

ZDMA=ZA,

/.DM=DA；

【小問2詳解】

證明：:。、E分別是AR中點，

BD=AD,BE=CE,DE//AC；

：.ZC=/BED；

,/MD//EF,

.??四邊形DEFM為平行四邊形，

；?DM=EF-,

由（1）知，DM=DA,

BD=EF；

,：4BDG=4C,ZC=ABED,

：.ZBDG=ABED；

,/NB=ZEBD,

QBED^nBDG,

.DEEC

即DEBD=DGBE；

：.DEEF=DGEC.

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【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，三角形中

位線性質(zhì)定理及平行線的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關鍵.

25.已知拋物線y=/nr?<1-4+c過點(1,a),(-1,a),(0,-1).

(1)求拋物線的解析式；

(2)已知過原點的直線與該拋物線交于A,B兩點(點A在點2右側)，該拋物線的頂點為C,連接AC,

BC,點。在點A,C之間的拋物線上運動(不與點A,C重合).

①當點A的橫坐標是4時，若△ABC的面積與△A3。的面積相等，求點。的坐標；

OE

②若直線。。與拋物線的另一交點為E,點尸在射線上，且點尸的縱坐標為-2,求證：—=

FE

~FD'

1

【答案】(1)y=-x92-l

⑵①上口②見解析

【解析】

【分析】(1)把(0,T)代入解析式中得c的值，再由(1,a),(-1,a)關于拋物線的對稱軸對稱且關于y軸

對稱，可知拋物線的對稱軸為y軸，即1-4m=0,從而可求得相，最后得到解析式；

(2)①過點。作y軸的平行線交于點H；由點A在拋物線上及點A的橫坐標可求得點A的坐標，從而

求得直線AB的解析式，聯(lián)立直線解析式與二次函數(shù)解析式，可求得點B的坐標，從而可求得AABC的面

積；設點。的坐標為卜則可得點X的坐標，從而求得D8的長，由

SaABD=S0BHD+SDAHD=S0ABC,即可求得n的值，從而求得點D的坐標；

②由題意知，點D在第四象限，設。。的解析式為產(chǎn)乙，。(工I，%),E(x2,y2),聯(lián)立的解