廣東省河源市2023-2024學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

河源市2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期末高二年級(jí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)

數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.

寫在本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

-j+3y-1=0

1.若直線，與直線2'平行，貝”的斜率為（）

_31

A.6B.2C.6D.6

【答案】D

【解析】

2

【分析】由直線的一般方程可求得其斜率為6,再由兩直線平行即可求得7的斜率.

—1x+,”-,1=0Cv=1xd1--

【詳解】將直線2'化為斜截式可得’63,

，--L+1--

易知直線［的斜率與直線’-63的斜率相等，即，的斜率為6；

故選:D

2.若等差數(shù)列｛4｝中"1=-6,%+%=0,貝產(chǎn)10=（）

A.12B.14C.-24D.-26

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)等差數(shù)列定義即可求得公差為d=2,求得通項(xiàng)公式即可得。10=12

【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為

則與+。5=%+2d+%+4d=0,解得d=2；

因此可得數(shù)列（怎）的通項(xiàng)公式為0"="i+（"TH=%一1

所以%=2x10-8=12

故選：A

3.已知雙曲線C5'J的左、右焦點(diǎn)分別為耳，鳥(niǎo)，點(diǎn)尸是c的左支上-點(diǎn)，則冏卜F耳卜

（）

A.?"B.-2V5C.七小D.+2V5

【答案】B

【解析】

【分析】利用雙曲線定義并結(jié)合點(diǎn)P是C的左支上一點(diǎn)可得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可知a=A,

由雙曲線定義可得附i卜附卜”=?后，

又理為左焦點(diǎn)，點(diǎn)P是C的左支上一點(diǎn),所以網(wǎng)＜1叫,

可得陷卜網(wǎng)=-2下

故選：B

4.已知點(diǎn)A。。①，3（2,。,1）,C（O，TO）,則原點(diǎn)。到平面的距離為（）

A.2B.1C.0D,2

【答案】A

【解析】

【分析】利用空間向量求出平面.C的一個(gè)法向量，再由空間距離的向量求法即可求得結(jié)果.

【詳解】易知陽(yáng)=（二6°）MC=（°，TT）,

設(shè)平面的一個(gè)法向量為"二（X丁，二），

ABn=2x=0

.一

則l/c.五=-1），-二=0,解得支=0,取y=l,二=-1可得”=（0.1,-1）；

又3=（0,0,1）,

\0An\_1_V2

T=^=T

所以原點(diǎn)。到平面23C的距離為

故選：A

5.在高層建筑中，為了優(yōu)化建筑結(jié)構(gòu)，減少風(fēng)荷載影響，設(shè)計(jì)師可能會(huì)將建筑設(shè)計(jì)成底面樓層高度比較

高，隨著樓層往上逐步按照等比數(shù)列遞減的“金字塔”形狀，已知某高層建筑共10層，第2層高度為

4j§m,第甩層高度記為｛aj是公比為2的等比數(shù)列，若第后層高度小于6m,則上的最小值

為（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【解析】

【分析】求出通項(xiàng)公式后，再解參數(shù)范圍即可.

史

【詳解】由題意得/=4J3,-2,

c7a=8x（—

則6=8,故*M'，，

8、（正嚴(yán)<6

由題意得-,解得左>3,

即左的最小值是4.

故選：C.

6.若圓°：?+丁="（''>°）上到直線‘：‘片-J'+1=°的距離為5的點(diǎn)恰好有3個(gè)，貝獷=（）

A.1B.2C.3D,4

【答案】A

【解析】

d=工d--

【分析】根據(jù)題意，求得圓心。到直線7的距離為結(jié)合題意，得到即可求解.

【詳解】由圓°：X’+./=/（r>0）,可得圓心°（0,0）,

」11

d=-=一

則圓心。到直線入后-j+l=°的距離為?后「+（~?二

r,r1

要使得圓。到直線，的為2的點(diǎn)恰好有3個(gè)，則一弓一弓，可得r=L

故選：A.

7.如圖，在正三棱錐尸一相。中，高p°=6,=點(diǎn)后歹分別為FAFC的中點(diǎn)，則

【答案】B

【解析】

EF=-,OE=OF=-PC=—cos/EOFJ

【分析】根據(jù)題意，求得222，得到10,結(jié)合向量的數(shù)

量積的運(yùn)算公式，即可求解.

,人艮9

r~h=x---=-

【詳解】在等邊“5C中，因?yàn)槌?3>/3,可得業(yè)C的高為22,

7o9

OC=二方=二x-=3

所以332,

在直角2P0C中，可得外=PE=PC=4PO,+。?！?+3’=3萬(wàn),

EF=-,OE=OF=-PC=—

又因?yàn)橥呖诜謩e為P&PC的中點(diǎn)，可得000

4545_27

OE'+OF'-EF‘4+447

cosZ.EOF=

2OEOF-cx/-5--io

在AOEF中,可得4

OEOF=OE\bFcos^EOF=^-x^-x—=—

所以?122108.

故選：B.

；..AC―5~+—1（。>6>0）-

8.若點(diǎn)P既在直線/N-J'+~=U上，又在橢圓Jb2''上，°的左、右焦點(diǎn)分別為

穌6,昭1=2,且一尸朗的平分線與，垂直，則C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（）

叵叵叵眄

A,虧B.710C.飛一或4D.W或虧

【答案】B

【解析】

【分析】過(guò)點(diǎn)耳、瑪分別作用"、鳥(niǎo)”垂直直線，于點(diǎn)?、M,由dP尸:的平分線與［垂直可得

5PN=&FM,即可得哂印與逐尸M相似，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離可得相似比，從而可求出

「耳口叫,結(jié)合橢圓定義即可得長(zhǎng)軸長(zhǎng).

【詳解】過(guò)點(diǎn)耳、巴分別作尸H、區(qū)M垂直直線，于點(diǎn)N、M,

作NM質(zhì)的平分線"與x軸交于H,

由|取引=2,故耳（T0）、居（L。）,

由FH口且PH為/FPF：的平分線，故/=/名尸H,

故HPN-KPM,

又RN工I、居MU,故遙印與典尸M相似，

盧

T_1

國(guó)兩網(wǎng)mT

故丁,

由/”了+?=0,令J=O,則x=-2,

=卜_4=■

故直線I與x軸交于點(diǎn)G（一，。），故Vk2>

附用卜-曾苓故…芋-冬0

網(wǎng)L世L網(wǎng)」

由內(nèi)陷國(guó)附「3,

由橢圓定義可知，網(wǎng)+附1=4故/=丁+丁7°

即C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為Jid.

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于作出尸N、居M垂直直線/于點(diǎn)N、M,再將NEP￡的平分線與7垂

直這個(gè)條件轉(zhuǎn)化為‘用尸"=,從而得到相似三角形，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式及舊用卜？得到

隨口網(wǎng)的值.

二、選擇題：本題共4小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.

9.若點(diǎn)。為原點(diǎn)，且圓。與圓°/+】'-6、+5.「+16=°沒(méi)有公共點(diǎn)，則圓。的半徑可以是（）

A.1B.2C.8D.9

【答案】AD

【解析】

【分析】判斷點(diǎn)。與圓C的位置，再利用兩圓相離列出不等式求解即得.

【詳解】圓。：0-3）2+0+4）2=9的圓心。（3.-4）,半徑「=3,|。。|=5,顯然點(diǎn)。在圓C外，

由于圓。與圓C無(wú)公共點(diǎn)，則圓。與圓C可以外離，也可以內(nèi)含，且圓C在圓。內(nèi)，

設(shè)圓O的半徑為于是R+廠或工001,即R+3<5或R—3>5,解得0<R<2或

R>8,

所以圓°的半徑可以是1或9,即AD滿足，BC不滿足.

故選：AD

10.已知分別為空間中兩條不重合的直線的方向向量，加，“分別為兩個(gè)不重合的平面%少的法向

量，則下列結(jié)論正確的是（）

A,若〃〃2,則aH3B,若彳=一治，則”〃2

C.若加j_〃，則?！觥觥鱿.若&//夕，則加

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合直線的方向向量和平面的法向量的概念，結(jié)合線面位置關(guān)系的判定方法，逐項(xiàng)判

定，即可求解.

【詳解】對(duì)于A中，由川%,可得a//B,則萬(wàn)=^MeR,當(dāng)時(shí)，a=b,所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B中，由萬(wàn)=一"，可得a//S,貝所以B正確；

對(duì)于c中，因?yàn)楦?分別為兩個(gè)不重合的平面%月的法向量，若加~L〃，可得戊,夕，所以c正確；

對(duì)于D中，因?yàn)榧?，〃分別為兩個(gè)不重合的平面％少的法向量，若a"#,可得而/方，所以D不正確.

故選：BC.

11.已知數(shù)列（°1是等差數(shù)列，P?都是正整數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若q>P,則％-P=24B.14）不可能是等比數(shù)列

C.L4+4+1）不是等差數(shù)列D.若%+%+3=3,則=1

【答案】AD

【解析】

【分析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可判斷AD正確，當(dāng)4=1時(shí)數(shù)列｛4｝可能是等比數(shù)列，可判斷B錯(cuò)

誤；由等差數(shù)列定義可證明+4+J是公差為2d的等差數(shù)列，即C錯(cuò)誤.

【詳解】由等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)，以及PN都是正整數(shù)，

若q＞p,則q-p，q+p都是正整數(shù)，且滿足g-p+g+p=2q,所以％=2%,即A正確;

當(dāng)數(shù)列｛，｝是非零的常數(shù)列時(shí)，例如4=1滿足（%）是等差數(shù)列，也是等比數(shù)列，即B錯(cuò)誤；

不妨設(shè)數(shù)列④的公差為"，易知U+.J-（4-1+%）=%-%+=＞為定值，

所以｛%+4+J是公差為：Id的等差數(shù)列，即c錯(cuò)誤；

由勺+%=3可得叩+,□+%=3aM=3,可得限=1,即D正確；

故選：AD

12.已知直線＞工+丁=,，拋物線°】：丁,二x與拋物線q=丁的焦點(diǎn)分別為尸卜月，則（）

A.存在r,使得直線7過(guò)點(diǎn)片與吊

B.存在￡,使得直線I與各有1個(gè)公共點(diǎn)

5g

C.若；過(guò)C與J的公共點(diǎn)，貝心與兩準(zhǔn)線的交點(diǎn)距離為2

D1與4,的交點(diǎn)個(gè)數(shù)構(gòu)成的集合為｛0，，3,4）

【答案】ABD

【解析】

【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程，聯(lián)立直線［與拋物線的方程，再逐項(xiàng)判斷即可得解.

「2^（-,0）l1：X=--c3居（0，）

【詳解】拋物線1=’的焦點(diǎn)4,準(zhǔn)線4,拋物線J1=J'的焦點(diǎn)4,準(zhǔn)線

I:x+y=一

1

由二丁消去y得.N+XT=0,由A=l+4f=0,得.4,此時(shí)直線，與g只有一個(gè)公共點(diǎn),

x+.v=t

由〔T'=、消去X得丁+J'T=°,由"=1+々=0,得4,直線1與C只有一個(gè)公共點(diǎn),

因此當(dāng)Z時(shí)，直線：與各有1個(gè)公共點(diǎn)，B正確；

拋物線C與邑的公共點(diǎn)為90）和（L1）,當(dāng)直線j經(jīng)過(guò)點(diǎn)（°，0）時(shí)，直線7的方程為X+1=°,

一（一——）L?v=——（_—_）-

4交于點(diǎn)4'4,與」”4交于點(diǎn)了’?,這兩個(gè)交點(diǎn)間距離為2,c錯(cuò)

當(dāng)4時(shí)，，與°iC的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為o,當(dāng)'7時(shí)，1與3C的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2,

當(dāng)不時(shí)，直線，與J的交點(diǎn)各有兩個(gè)，而當(dāng)1=0或f=2時(shí)，直線7經(jīng)過(guò)了0卜02的交點(diǎn)

f>_1_

此時(shí)7與4,C3的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3,當(dāng),Z且two且時(shí)，，與。卜。：!的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4,

因此7與「卜的交點(diǎn)個(gè)數(shù)構(gòu)成的集合為（°，？，3.4）,D正確.

故選：ABD

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：聯(lián)立直線/與拋物線C的方程組，消元后的一元二次方程判別式為△:

（1a>00直線/與拋物線c相交；（2）A=0O直線/與拋物線C相切；（3）A<°0直線/與拋物線C

相離.

三、填空題：本題共4小題.

中V2

—+--=1

13.橢圓96的離心率為

叵

【答案】3##3

【解析】

【分析】根據(jù)給定的橢圓，直接求出離心率即可.

【詳解】橢圓5~6~的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)。=3,半焦距c=圓二行=點(diǎn),

,X2J,3Cy/3

---+--=16=-=

所以橢圓96的離心率a3.

色

故答案為：3

14.已知點(diǎn)“（T°7,'（6L-1）,若直線A3的-個(gè)方向向量為方=（-"二），則7+二=.

【答案】-4

【解析】

【分析】利用方向向量與共線向量的定義即可求得】'=一?：=-：可得結(jié)果.

【詳解】易知二=（1工1）,顯然方向向量"與融=（LU）共線,

即幺5=肪，解得4=-2,所以1=-2:=-2；

因此可得丁+二=-4；

故答案為：-4

48

【答案】T

【解析】

【分析】由遞推公式可得々”+i,再由累乘法即可求得結(jié)果.

%4+i_3

aH+1=-----aH-------------

【詳解】由"+1可得4"+1,

。加_/的&%_2x92x82x72x6_48

由累乘可得/°9/a7a69+18+17+16+15

48

故答案為：5

16.《測(cè)圓海鏡》是金元時(shí)期李治所著中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作，是中國(guó)古代論述容圓的一部專著，如第2卷第

8題的“弦外容圓”問(wèn)題是一個(gè)勾股形（直角三角形）外與弦相切的旁切圓問(wèn)題，已知在母占出。中

40,2）,8（2,0）,點(diǎn)C在第一象限，直線幺C的方程為1%+4=°,圓石1與延長(zhǎng)

線、3C延長(zhǎng)線及線段月C都相切，則圓后的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

ri（一）2+卜-8-/（=（4產(chǎn)+2對(duì)

L合茶］\\/

【解析】

【分析】根據(jù)題意首先確定圓心后在3c的平分線2上，再利用點(diǎn)到直線距離列方程解得圓心為

川2,8+2炳），即可得出圓片的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】根據(jù)題意可知心>=T,直線的方程為°,

由，履上可得心，=1,所以直線8。的方程為x-jT=0,

x-2y+4=0

<

聯(lián)立直線HC和3C的方程1*一丁一2=°,可得cr，6）；

由圓E與34延長(zhǎng)線、延長(zhǎng)線及線段4C都相切，由對(duì)稱性可得圓心后在/，鉗C的平分線上，即

x=2上；如下圖所示：

|2—2||2-2/+4|

由直線與圓相切可得0君,解得：=8+2M或f=（舍）；

結(jié)合圖形可知用"M），此時(shí)圓心為W+2ML半徑為46+邛；

因此圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（D+（—炳=卜/+明.

故答案為:（一），+（尸8-2煙*姐+2向

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用圖形確定出圓心8在/，鉆°的平分線'=2上，且在線段

的上方，列方程即可求得圓心坐標(biāo).

四、解答題：本大題共6小題，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.已知點(diǎn)4Q-2）,8（1,-1）,直線/：、+二加1+1=0與直線＞15垂直.

（1）求加的值；

（2）若圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)4E,且圓心C在I軸上，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

2_

【答案】（1）T；

⑵（-L0）.

【解析】

【分析】（1）求出直線月方的斜率，再結(jié)合垂直的條件求出切的值.

（2）求出線段45的中垂線，再求出圓心「的坐標(biāo).

【小問(wèn)1詳解】

依題意，直線月3的斜率為1-0,由直線月3垂直于直線/,得2m,

1

m=-

所以

【小問(wèn)2詳解】

jv+3_

線段.45的中點(diǎn)坐標(biāo)為‘2'2,則線段48的中垂線方程為.2-2,即

由圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)AB,得圓心C在直線上，而圓心C又在：v軸上，

所以點(diǎn)c的坐標(biāo)為（T，°）.

18.已知數(shù)列｛°』的前九項(xiàng)和為'，Sq+?$3=一1°.

（1）若是等比數(shù)列且公比9=-2,求％；

（2）若（%；是等差數(shù)列且』=一7,求號(hào)的最小值.

【答案】（1）-40

（2）,

【解析】

【分析】（1）求出首項(xiàng)后利用等比數(shù)列的基本量計(jì)算即可.

（2）求出通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出前〃項(xiàng)和公式，利用函數(shù)性質(zhì)計(jì)算即可.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)首項(xiàng)為4,由題意得$4+2S?=-10,且｛aj是等比數(shù)列,

%(1-(沙)?%(1-(-2)3)__w

故1-(-2)1-(-2),解得4=-10,

則％=-1。x(-?)?=-40

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)首項(xiàng)為4,公差為且1."是等差數(shù)列,

故T+竽"2x7+亨」）一。

解得d=5,

筌1"7）;與工

故4=-7+5(力—1)=—12

19

71=---QT

由二次函數(shù)性質(zhì)得，當(dāng)10時(shí)，Q”取得最小值，但力一定為正整數(shù),

則當(dāng)"=?時(shí)，S取得最小值，此時(shí)邑=S?=-9.

19.如圖，在四棱錐尸一中，底面2月。。是正方形，P41底面HBCQ,PA=2AB=2.

（1）證明：BDLPC.

（2）求直線P3與平面PCD所成角的正弦值.

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；

(2)5

【解析】

【分析】⑴連接AC,根據(jù)底面是正方形，得到80_1_47,再由兄4_1底面-北3,得到

PALBD,從而有8。上平面&C得證；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面PC。的一個(gè)法向量"=二)，設(shè)直線與平面尸CD所成的角

【小問(wèn)1詳解】

證明：如圖所示:

連接AC,因?yàn)榈酌鍯O是正方形，

所以BZ)_Lac,又24_L底面25CD,

所以H4_LB0,

又HCcP4=H,ECu平面&C,H4u平面

所以1平面EEC,又尸Cu平面P4C,

所以50_1_尸0；

【小問(wèn)2詳解】

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：

m|P(0,0,2),5(l,0,0),C(l,l,0),D(0,l,0)

火U

PB=：(1,0.-2),PC=(1A-2).PD?(0,1,-2)

設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為："二L'J，；I,

,另PC=0，+y-2==0

則1尸口=0,即［―,

令『=2,得二=1，*=°,則"=（°二」），

設(shè)直線尸8與平面ECD所成的角為6,

16二上停用卜斡*嬴］

X2V2

C：—r-4=1（々>0力>0）、,一丫

20.已知雙曲線）匕r經(jīng)過(guò)點(diǎn)（，-一），且C的一條漸近線的方程為】-L

（1）求c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若點(diǎn)P是C的左頂點(diǎn)，M（加，冷是c上與頂點(diǎn)不重合的動(dòng)點(diǎn)，從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，求直線

尸M與EM的斜率之積.

①M(fèi),N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②M,N關(guān)于J軸對(duì)稱.

注：若選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】（1）55

（2）選①，答案為1；選②，答案為-1

【解析】

【分析】（1）根據(jù)漸近線方程得到二一，待定系數(shù)法求出。=6=正，得到雙曲線方程;

（2）選①，得到*加工士拈，"（一九一冷，~~~~,由斜率公式計(jì)算出答案;

m勿_］

選②，得到“（加淖）,加~y（由斜率公式計(jì)算出答案.

【小問(wèn)1詳解】

bb1

cV=-K-=I

由題意得C的一條漸近線的方程為"a,故a

又/b2,解得a=b=小,

x3_y3

故C的標(biāo)準(zhǔn)方程為二

【小問(wèn)2詳解】

若選①，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

由題意得P卜有⑼，M（見(jiàn)吟加。土A,M（一肛5）,

若選②，M，“關(guān)于T軸對(duì)稱,

由題意得網(wǎng)N（-見(jiàn)〃）

21.已知數(shù)列：為前幾項(xiàng)和為S*

j_+_i_+_i_++」

⑴若%=求和：

>+LSis2S3Z

2S.,

---=4+1(a)

(2)若M，證明：是等差數(shù)列.

3_2n+3

【答案】⑴Z2("+1)(”+2)；

(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】（1）利用等差數(shù)列前八項(xiàng)和公式求出s”，再利用裂項(xiàng)相消法求和即得.

（2）根據(jù)數(shù)列前〃項(xiàng)和與第〃項(xiàng)的關(guān)系，結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)進(jìn)行證明即可.

【小問(wèn)1詳解】

由劣=%+1,得。-1-%=(3+3)-(%+1)=2,即數(shù)列SJ是等差數(shù)列，

(

因此“-2■則E<n+2)3九+2),

7~+7-+7-+--+7-=4(1-3+(7-；)+(；-3+…+——)+(----7)]

所以耳S2s3用232435n-\?+1nn+2

1?111、32n+3

——(Id---------------)------------------

22n+ln+242(%+1)5