2024年杭州某中學(xué)分班考九年級(jí)數(shù)學(xué)試題（含答案）

2024年杭州高級(jí)中學(xué)（貢院校區(qū)）分班考九年級(jí)數(shù)

學(xué)試題+答案

數(shù)學(xué)

考生須知：

1.本試卷分試題卷和答題卷兩部分.滿分120分，考試時(shí)間100分鐘.

2.答題時(shí)，請(qǐng)?jiān)诖痤}卷指定位置內(nèi)寫明姓名、試場(chǎng)號(hào)、座位號(hào).

3.所有答案都必須做在答題卷標(biāo)定的位置上，請(qǐng)務(wù)必注意試題序號(hào)和答題序號(hào)相對(duì)應(yīng).

4.考試過(guò)程中，不得使用計(jì)算器；

5.考試結(jié)束后，上交試題卷、答題卷.

一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題3分，共24分）

k

1.如圖直線與雙曲線y=%交于點(diǎn)A、B,過(guò)A作尤軸于M點(diǎn),連接3”,若則左

的值是（）

A.1B.2C.3D.4

2.4ABC中，已知BD和CE分別是兩邊上的中線，并且BDJ_CE,BD=4,CE=6,那么ABC的面積等于

（）

A.12B.14C.16D.18

3.若：4x—3y—6z=0,x+2y—7z=0,（xyz^O）,則：代數(shù)式至，+2『-z2的值等于（）

2x-3/-10z2

A.—B.------C.—15D.-13

22

貝45#+。小|的值為（）

4.已知實(shí)數(shù)awb,且滿足（Q+1）2=3—3（Q+l）,（b+l）2=3—3（b+l）,

A.23B.-23C.-2D.-13

5.如圖，/A+/B+/C+/O+/E+//+/G的值等于（）

第1頁(yè)/共4頁(yè)

AG

E

A.360°B.450°C.540°D.720°

6.將一枚六個(gè)面編號(hào)分別為1,2,3,4,5,6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后投擲兩次，記第一次擲出的

ax+by=3,

點(diǎn)數(shù)為。，第二次擲出的點(diǎn)數(shù)為人，則使關(guān)于％丁的方程組《C.c只有正數(shù)解的概率為（）.

、x+2y=2

1213

A.—B.-D.

12936

QC

7.如圖，正方形A3CD內(nèi)接于口。，點(diǎn)尸在劣弧A5上，連接。尸，交AC于點(diǎn)Q.若QP=QO,則寶

A.273-1B.273C.V3+V2D.y/3+2

8.某校初三兩個(gè)畢業(yè)班的學(xué)生和教師共100人一起在臺(tái)階上拍畢業(yè)照留念，攝影師要將其排列成前多后少

的梯形隊(duì)陣（排數(shù)之3）,且要求各行的人數(shù)必須是連續(xù)的自然數(shù)，這樣才能使后一排的人均站在前一排兩

人間的空當(dāng)處，那么，滿足上述要求排法的方案有（）.

A.1種B.2種C.4種D.0種

二、填空題（本大題有10個(gè)小題，每小題4分，共40分）

9.在R/0A5C中，ZC=90°,若斜邊A5是直角邊5c的3倍，則tan3的值是

10.如圖，在2MBe中，AB=AC,AD=AE,ZBAD=60°,則NEDC=.

第2頁(yè)/共4頁(yè)

11,已知非零實(shí)數(shù)隊(duì)［滿足|2a-4|+M+2|+J(a-3)/+4=2a,則a+b等于.

12.如圖，等腰R/AABC,ABAC=90°,BC=6,E為A3上一點(diǎn)，以CE為斜邊作等腰RfACDE,

連接AD,若44CE=30°,則AD的長(zhǎng)為.

13.0Wx<l時(shí)，函數(shù))="2-20￥+0的最小值為一2,則實(shí)數(shù)。的值為.

14.如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為(&+1),點(diǎn)、M、N分別是邊8C、AC上的動(dòng)點(diǎn)，沿MN所在直線折疊

正方形，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。始終落在邊A3上，若△M4C為直角三角形，則CN的長(zhǎng)為.

15.已知實(shí)數(shù)a、b、C、d滿足a+b=x+y=2,ax+by=5,貝Ij(/+/)盯+"(J+/)=

16.實(shí)數(shù)X,y,z滿足x+y+z=5,xy+yz+zx^3,則z的最大值是.

31111

17,已知對(duì)任意正整數(shù)“都有%+出+…+a〃=”'則白+不+止T…+、

18.已知％,%，。3，。4，%是滿足條件4+%+。3+。4+。5=9的五個(gè)不同的整數(shù)，若6是關(guān)于X的

方程——%)(大一。3)(%—%)(%—%)=2009的整數(shù)根，則6的值為.

三、解答題：本大題有5小題，共56分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

19.如圖，一次函數(shù)y=丘+匕與反比例函數(shù)丁='的圖像交于A(2,3),8(-3,〃)兩點(diǎn).

第3頁(yè)/共4頁(yè)

（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；

（2）過(guò)點(diǎn)2作軸，垂足為C,連接AC,求AABC的面積.

20.解關(guān)于%的不等式以2+x—”>1.

21.已知關(guān)于x的方程（二一1）（上?-（2a+7）（上）+1=0有實(shí)根.

x-1x-1

（1）求。取值范圍；

x,x,3

（2）若原方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為七,馬，且「+二7=打，求。的值.

22.如圖，。。的內(nèi)接四邊形ABCD中，AC,BD是它的對(duì)角線，AC的中點(diǎn)I是4ABD的內(nèi)心.求證:

（1）01是AIBD的外接圓的切線；

23."個(gè)正整數(shù)%,生，…,4滿足如下條件：1=%<?2<,??<??=2009且%,4,中任意〃一1個(gè)不

同的數(shù)的算術(shù)平均數(shù)都是正整數(shù).求〃的最大值.

第4頁(yè)/共4頁(yè)

皿「、、九

數(shù)學(xué)

考生須知：

1.本試卷分試題卷和答題卷兩部分.滿分120分，考試時(shí)間100分鐘.

2.答題時(shí)，請(qǐng)?jiān)诖痤}卷指定位置內(nèi)寫明姓名、試場(chǎng)號(hào)、座位號(hào).

3.所有答案都必須做在答題卷標(biāo)定的位置上，請(qǐng)務(wù)必注意試題序號(hào)和答題序號(hào)相對(duì)應(yīng).

4.考試過(guò)程中，不得使用計(jì)算器；

5.考試結(jié)束后，上交試題卷、答題卷.

一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題3分，共24分）

k

1.如圖直線與雙曲線y=x交于點(diǎn)A、B,過(guò)A作AMLv軸于M點(diǎn)，連接若心麗=2,則無(wú)

的值是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】此題可根據(jù)反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性得到A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再由SAABM=2SAAOM并結(jié)合反

比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得到k的值.

【詳解】根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可得：OA=OB廁SAABM=2SAAOM=2,S^AOM=-\k\=l,

2

則％=±2.又由于反比例函數(shù)圖象位于一三象限，k>0,所以笈=2.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)y=&中k的幾何意義，即過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)引x軸、y軸垂線，

X

所得矩形面積為|k|,是經(jīng)?？疾榈囊粋€(gè)知識(shí)點(diǎn).

22ABC中，已知BD和CE分別是兩邊上的中線，并且BDLCE,BD=4,CE=6,那么ABC的面積等于

（）

A.12B.14C.16D.18

第1頁(yè)/共19頁(yè)

【答案】C

【解析】

【分析】連接ED,根據(jù)BD和CE分別是兩邊上的中線，并且BDLCE,BD=4,CE=6,先求出S四邊形

BCDE=-BDCE=12.然后利用D,E是AABC兩邊中點(diǎn)連線即可求得答案.

2

【詳解】解：如圖，連接ED,

則S四邊形BCDE=』DB-EH+』BD-CH=』DB（EH+CH）=-BDCE=12.

2222

又：CE是△ABC中線

.,.SAACE=SABCE,

；D為AC中點(diǎn)，

SAADE=SAEDC,

44

.一△ABC=-S四邊形BCDE=-xl2=16.

33

故選C.

【點(diǎn)睛】此題考查學(xué)生對(duì)三角形面積的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是連接ED,求出S四邊形BCDE.

3.若：4x—3y—6z=0,x+2y—7z=0,（盯zwO）,則：代數(shù)式衛(wèi)士白的值等于（）

2x-3y-10z

119

A.——B.------C.-15D.-13

22

【答案】D

【解析】

4x-3y=6z

【分析】首先根據(jù)題意，聯(lián)立方程組，得出《c.r，用字母z表示出％、y的值，然后把x、y的

、x+2y=7z

值代入代數(shù)式，計(jì)算即可得出結(jié)果.

【詳解】解：:4x—3y—6z=0,x+2y-7z=0,

.14x-3y=6z①

[%+2y=7z②’

第2頁(yè)/共19頁(yè)

由②x4-①，可得：_y=2z,

把y=2z代入②，可得：x=3z,

又：孫zw0,

.5x2+2y2-z2

"2x2-3y2-10z2

5X（3Z『+2X（2Z）--z2

2X（3Z）2-3X（2Z）2-10Z2

_45z2+8z2-z2

-18Z2-12Z2-10Z2

52?

-4z2

=-13.

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解法、分式的化簡(jiǎn)求值，解本題的關(guān)鍵在根據(jù)已知二元一次方程組

進(jìn)行消元，將分式中的三個(gè)未知數(shù)化成只含一個(gè)未知數(shù)的式子表示.

4.已知實(shí)數(shù)awb,且滿足（a+iy=3—3（a+l）,（6+l）2=3—3（6+1）,則的《直為（）

A.23B.-23C.-2D.-13

【答案】B

【解析】

【分析】由題意可得。+1/+1是方程%2=3-3x即必+3》-3=0的兩個(gè)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得

。+1+6+1=—3,+1）（〃+1）=-3,整理可得a+/?=—5,ab-\,即得。＜0,。＜0,

〃+/=（。+?2一2。萬(wàn)=25—2=23,然后把所求的式子變形后整體代入即可求解.

【詳解】解：且滿足（a+l『=3—3（a+l）,（6+1）2=3—3（6+1）,

：.a+1,b+1是方程V=3—3x即—+3工一3=0的兩個(gè)根,

tz+l+Z?+l=-3,（。+1）伍+1）=-3,

整理，得。+6=—5,ab-\,

第3頁(yè)/共19頁(yè)

Cl<0,b<0,/+/=(a+6『—2"=25-2=23,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，二次根式的化簡(jiǎn)求值，由題意得出a+6=-5,

ab=l,是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，NA+NB+NC+ZD+NE+NP+NG的值等于（）

A.360°B,450°C.540°D,720°

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理和多邊形的內(nèi)角和定理，利用四邊形的內(nèi)角和得到

ZA+ZC+Zl+ZF=360°,ZB+ZG+ZBDE+ZDEG=360°,從而有

ZA+ZC+Z2+ZF+ZB+ZG+ZBDE+ZDEG=120°,,然后利用三角形的內(nèi)角和求

/4+/8+/。+/。+/七+//+/6的度數(shù).

【詳解】解：如圖，連接DE,

VZA+ZC+Z1+ZF=360°,ZB+ZG+ZBDE+ZDEG=360°,Nl=N2,

二ZA+ZC+Z2+ZF+ZB+ZG+ZBDE+ZDEG=720°,

即ZA+ZB+ZC+Z2+ZBDF+ZEDF+ZDEC+ZCEG+NG=720°,

：Z2+NEDF+ZDEC=180°,

ZA+ZB+ZC+ZD+Z￡+ZF+ZG=540°,

故選：C.

第4頁(yè)/共19頁(yè)

6.將一枚六個(gè)面編號(hào)分別為1,2,3,4,5,6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后投擲兩次，記第一次擲出的

ax+by=3,

點(diǎn)數(shù)為。，第二次擲出的點(diǎn)數(shù)為b,則使關(guān)于的方程組《只有正數(shù)解的概率為（）.

x+2y=2

【答案】D

【解析】

【分析】列舉出所有情況，看所求的情況占總情況的多少即可.

【詳解】解：當(dāng)2a-b=0時(shí)，方程組無(wú)解；

當(dāng)2a-b加時(shí)，由a、b的實(shí)際意義為1,2,3,4,5,6易知a,b都為大于。的整數(shù),

6-2b2a-3

則兩式聯(lián)合求解可得x=---------V------------

2a-b2a-b

:使X、y都大于。則有-——>0,——-

2a-b2a-b

解得a<1.5,b>3或者a>1.5,b<3,而a,b都為1到6的整數(shù)，

所以可知當(dāng)a為1時(shí)b只能是4,5,6；或者a為2,3,4,5,6時(shí)b為1或2,

這兩種情況的總出現(xiàn)可能有3+10=13種；

13

又?jǐn)S兩次骰子出現(xiàn)的基本事件共6x6=36種情況，故所求概率二，

故選D.

【點(diǎn)睛】難點(diǎn)是：當(dāng)方程組相同未知數(shù)的系數(shù)之比相等，但與常數(shù)項(xiàng)之比不相等時(shí)，方程組無(wú)解，關(guān)鍵是

得到使方程組為正整數(shù)的解的個(gè)數(shù).用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

QC

7.如圖，正方形ABCD內(nèi)接于口。，點(diǎn)尸在劣弧A5卜.，連接。P,交AC于點(diǎn)Q.若則宗

的值為（

A.2拒-1C.V3+V2D.V3+2

【答案】D

第5頁(yè)/共19頁(yè)

【解析】

【分析】連接OD,OP,由QO=QP得NP=NPOQ=NPOO,設(shè)乙P=LPOQ=4PDO=a,根據(jù)條件求

得a=30°,設(shè)。。=加，則00=。？=04=右加，，即可表示出所求比值.

【詳解】解：連接。。，OP.

QO=QP,

ZP=ZPOQ=ZPDO,

設(shè)NP=ZPOQ=ZPDO=a,

:.ZADP=-ZAOP=-a,

22

ZADO=45°,

—CL+a=45°.

2

/.a=30°,

設(shè)。。=機(jī)，則oo=oc=OA=，

.?.耍=等包=6+2.

AQY3m-m

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理及正方形性質(zhì).熟記并靈活應(yīng)用定理是解題的關(guān)鍵.

8.某校初三兩個(gè)畢業(yè)班的學(xué)生和教師共100人一起在臺(tái)階上拍畢業(yè)照留念，攝影師要將其排列成前多后少

的梯形隊(duì)陣（排數(shù)》3）,且要求各行的人數(shù)必須是連續(xù)的自然數(shù)，這樣才能使后一排的人均站在前一排兩

人間的空當(dāng)處，那么，滿足上述要求排法的方案有（）.

A.1種B.2種C.4種D.0種

【答案】B

【解析】

【分析】

第6頁(yè)/共19頁(yè)

【詳解】選反理由：設(shè)最后一排有k個(gè)人，共有n排，那么從后往前各排的人數(shù)分別為

k,k+l,k+2,---,k+(n-l),由題意可知初+也——=100,

2

gpn[2k+(72-1)]=200.

因?yàn)楹體都是正整數(shù)，且“23,所以“<2左+(〃-1),且w與2左+(〃-1)的奇偶性不同.

將200分解質(zhì)因數(shù)，可知〃=5或“=8.

當(dāng)〃=5時(shí)，左=18；當(dāng)”=8時(shí)，k=9.

因此共有兩種不同方案.

二、填空題(本大題有10個(gè)小題，每小題4分，共40分)

9.在R/0A3C中，ZC=90°,若斜邊A5是直角邊5c的3倍，則tanB的值是.

【答案】2行

【解析】

【分析】根據(jù)勾股定理求出AC,根據(jù)正切的概念計(jì)算即可.

【詳解】解：在肥口ABC中,ZC=90°,設(shè)BC=x,則AB=3x,

AC=7AB2-BC2=2mx

ACi—

則tanB=—=2V2

BC

故答案為：2夜

【點(diǎn)睛】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理的應(yīng)用，在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比

斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對(duì)邊比鄰邊.

10.如圖，在4aBe中，AB=AC,AD=AE,ZBAD=60°,則NEDC=.

【答案】25°

【解析】

【分析】設(shè)N6=NC=x,ZADE=ZAED=y,則有NEOC+x=y與NEDC+y=x+60。，聯(lián)立方

程解方程組即可

【詳解】依題意，設(shè)NB=NC=x,ZADE=ZAED=y,

第7頁(yè)/共19頁(yè)

NEDC+x=y,(T)ZEDC+y=x+60°,②

由①+②得2NEDC=60°,ZEDC=30°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)，在復(fù)雜圖形中找三角形的外角與不相鄰的兩內(nèi)角是解題關(guān)鍵

11.已知非零實(shí)數(shù)a、6滿足|2a-4|+|b+2|++4=2a,則a+b等于.

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得位3,化簡(jiǎn)原式得|"2|+J(a—3)戶=0,根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)先求出mb的值，

從而求得a+b的值.

【詳解】解：根據(jù)題意得：介3,

**?2〃—420,

/.原等式可化為2。-4+M+2|+/”3)吩+4=2。

即\+2|+J(a-3)b1=0,

.,.Z?+2=0且(〃-3)Z?2=0,

a=3,b=-2,

a+b=\.

故答案為1.

【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的非負(fù)性，絕對(duì)值的非負(fù)性、偶次方都是非負(fù)數(shù)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是

解題的關(guān)鍵.

12.如圖，等腰R/AABC,ZBAC=90°,BC=6,E為AB卜.一點(diǎn)，以CE為斜邊作等腰R/ACDE,

連接AD,若NACE=30。，則AD的長(zhǎng)為.

【解析】

【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)得出/B=NACB=45°,BC=^AB=^AC=6,得出AB=AC=1,由

第8頁(yè)/共19頁(yè)

直角三角形的性質(zhì)得出AC=GAE=1,CE=2AE,得出AE=@,CE=RI,BE=AB-AE=l—叵,證出

333

ZBCE=ZACD,—=—=y/2,得出△BCEs^ACD,得出比例式，即可得出結(jié)果.

ACCD

【詳解】：等腰RCABC,ZBAC=90°,BC=母,

：.ZB=ZACB=45°,BC=^AB=MAC=O,

：.AB=AC=1.

?：ZAC￡=30°,

：.AC=yj3AE=l,CE=2AE,

;.AE=—,CE=^-,

33

：.BE=AB-AE=\.

3

?.?△CDE是等腰直角三角形，

：.ZDCE=A5°,CE=^CD,

BCCEr-

：.ZBCE=ZACD,——=——=J2,

ACCD

:.△BCEsXACD,

:.莊=吐3,

ADAC

：.AD_BE_372-V6.

一行一V26

故答案為：3、—-.

6

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握等

腰直角三角形的性質(zhì)，證明三角形相似是解答本題的關(guān)鍵.

13.OWxWl時(shí)，函數(shù)y=f—2麻+。的最小值為—2,則實(shí)數(shù)。的值為.

【答案】-2或3

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)的最值，化頂點(diǎn)式，解題的關(guān)鍵是利用分類討論的思想解決問(wèn)題。利用函數(shù)解

第9頁(yè)/共19頁(yè)

析式得到對(duì)稱軸x=a,根據(jù)題意分以下三種情況①當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)y=f—2a￥+a在x=0處取得最小

值，②當(dāng)OWaWl時(shí)，函數(shù)y=f-2aY+a在x=a處取得最小值，③當(dāng)?！?時(shí)，函數(shù)y=f—2ax+a

在x=l處取得最小值，建立等式求解，即可解題.

【詳解】解：,?,'=必一24》+。=（x-。）~-。2+。，

V1>0,

函數(shù)在對(duì)稱軸x=a處取得最小值為-1+^,

OWxWl時(shí)，函數(shù)y=f-2ax+a的最小值為—2,

①當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)y=/一2ax+a在x=0處取得最小值，

有a=-2,

②當(dāng)OWaWl時(shí)，函數(shù)y=f—2a￥+a在x=a處取得最小值，

■W—。~+。=一2，

整理得（a-2）（a+l）=0,

解得a=2或a=-1（均不符合題意舍去），

③當(dāng)a〉1時(shí)，函數(shù)y=f-2ax+a在x=l處取得最小值，

有1—2a+。=—2,

解得a—3.

綜上所述，。=-2或3.

故答案為：-2或3.

14.如圖，正方形A3。的邊長(zhǎng)為（魚(yú)+1）,點(diǎn)M、N分別是邊3C、AC上的動(dòng)點(diǎn)，沿所在直線折疊

正方形，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C始終落在邊AB上，若△MAC為直角三角形，則CN的長(zhǎng)為.

【解析】

第10頁(yè)/共19頁(yè)

【分析】由正方形的性質(zhì)可得AC=V2x(V2+l)=2+V2,AB=V2+1,ZCAB=45°,/NCA=90。和

/CNA=90。兩種情況討論，由折疊的性質(zhì)，可求CN的長(zhǎng).

【詳解】解：???正方形ABCD的邊長(zhǎng)為(近+1),

.".AC=V2X(V2+D=2+0,AB=V2+1-ZCAB=45°

若/C'NA=90°,

ZAC'N=ZCAB=45°

；.AN=NC,

???折疊

.".CN=C'N

CN=AN=-AC=2+拒

22

若/NCA=90。

ZANC'=ZCAB=45°

.,.NC'=AC

；.AN=&AC=&CN

???折疊

.,.CN=C'N

AC=CN+AN=72CN+CN=2+亞

.\CN=V2

故答案為正或上咨

【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，正方形的性質(zhì)，勾股定理，利用分類討論思想解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵.

15.已知實(shí)數(shù)。、b、C、d滿足a+b=x+y=2,ax+by=5,貝！|(/+/)盯+仍卜？+/)=.

【答案】一5

【解析】

【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算，以及代數(shù)式求值，根據(jù)題意得到分+法=-1,再將

(/+/)孫+>2)變形為++,將辦+by=5,4》+&T=-1代入上式4求解，即可

解題.

第11頁(yè)/共19頁(yè)

【詳解】解：:實(shí)數(shù)〃、b、C、d滿足a+b=x+y=2,

/.(〃+Z?)(%+y)=〃x+〃y+Z?x+/?y=4,

*.*ax+by=5,

ay-\-bx=-l,

+/)孫+〃Z?(12+力=(^xy+b^xy+abx1-^-aby2

=ax(1y+bx)+by(0x+Qy)

=(@+bx^ax+by)

=(-1)x5

=-5.

故答案為：-5.

16.實(shí)數(shù)X,y,z滿足x+y+z=5,xy+yz+zx^3,則z的最大值是.

13

【答案】—

3

【解析】

【分析】把x,y看成是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系列出一元二次方程，然后由判別

式得到z的取值范圍，求出z的最大值.

【詳解】解：Vx+y=5-z,xy=3-z(x+y)=3-z(5-z)=z2-5z+3,

???x、y是關(guān)于t的一元二次方程t2-(5-z)t+z2-5z+3=0的兩實(shí)根.

△=(5-z)2-4(z2-5z+3)>0,即3z2-10z-13<0,

(3z13)(z+l)<0.

13

1<Z<——,

--3

1113

當(dāng)tx=y=一時(shí)，z=一.

33

13

故Z的最大值為—.

3

13

故答案為：—.

3

【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系列出一元二次方程，然后由判別

式求出Z的取值范圍，確定Z的最大值.

31111

17.已知對(duì)任意正整數(shù)”都有q+%+…+4="，則——7+——7+——；+…+---；=

第12頁(yè)/共19頁(yè)

33

【答案】

100

【解析】

【分析】

［詳解］=(%+出+…+。〃)-(%+%+…+Q〃一1)=13-(〃-1)3=3〃2—3〃+1(/1=2,3,…,100),則

11

—［-------|(^=2,3,…、100),

?！ㄒ?3/-3n3\n-ln)

所以原式=

3U2

_l1X33

一”n一方）一前

,,,33

故答案為：----

100

18.已知多,%,a3,4，。5是滿足條件。1+%+。3+。4+。5=9的五個(gè)不同的整數(shù)，若Z?是關(guān)于X的

方程（X-4）（%-%）（%-。3）（》-。4）（%-。5）=2009的整數(shù)根，則6的值為.

【答案】10

【解析】

【分析】本題考查的是方程的整數(shù)根問(wèn)題，根據(jù)已知條件可知人-卬，b-a2,b-a.,b-a4,%是

五個(gè)不同的整數(shù)，再把2009分解成五個(gè)整數(shù)積的形式，再把》-卬，b-a2,b-a3,b-a,,b-%五

個(gè)整數(shù)相加可得它們的和，最后把卬+%+%+%+%=9代入計(jì)算即可求解，根據(jù)題意把2009分解成

幾個(gè)整數(shù)積的形式是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：是關(guān)于％的方程（％-%）（》一生）（%-%）（%-。4）（%-%）=2009的整數(shù)根，

僅一生）,一。3）僅一％）伍_(kāi)。5）=2009,

；（%-勾）（％-。2）（%-%）（%—%）（%—%）=2009,且G，%，。3，%，%是五個(gè)不同的整數(shù)，

：.b-ax,b-a2,b-a3,b-a4,人一火也是五個(gè)不同的整數(shù)，

2009=1x（-1）x7x（—7）x41,

第13頁(yè)/共19頁(yè)

b—cty+Z?—〃2+b—%+b—〃4+b—%=—1+1+(—7)+7+41,

即5b=41+q+%+〃3+g+%,

*.*〃]+%+〃3+〃4+〃5=9,

???56=41+9,

/?=10,

故答案為：10.

三、解答題：本大題有5小題，共56分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

19.如圖，一次函數(shù)丁=丘+6與反比例函數(shù)y='的圖像交于A（2,3）,8（-3,〃）兩點(diǎn).

（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；

（2）過(guò)點(diǎn)2作BCLx軸，垂足為C,連接AC,求△ABC的面積.

【答案】（1）>=x+l；y=-

x

（2）5

【解析】

【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式，

三角形的面積的應(yīng)用；

（1）把A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，求出其解析式，把B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，求出B

的坐標(biāo)，把A、2的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式，得出方程組，求出方程組的解即可；

⑵求出3C=卜2|=2,3c邊上的高是卜3|+2,代入三角形的面積公式即可.

【小問(wèn)1詳解】

irj

解：???點(diǎn)4（2,3））在y=—的圖像上，

x

m=6,

反比例函數(shù)的解析式為：y=~,

第14頁(yè)/共19頁(yè)

.?.8(-3,-2)

:點(diǎn)42,3),8(—3,—2)在y=日+。的圖像上，

'2k+b=3

"[-3k+b=~2,

]左=1

"b=i'

一次函數(shù)的解析式為：y=x+i-

【小問(wèn)2詳解】

以5c為底，則3c邊上的高為3+2=5,

,?^AABC=—><2x5=5,

20.解關(guān)于x的不等式奴2+x—”>i.

【答案】當(dāng)a>0時(shí)，x>l或尤<—1—,當(dāng)a<0時(shí)，—1—<x<l.

aa

【解析】

【分析】本題考查了一元一次不等式的運(yùn)用，解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵在于利用分類討論的思想解

決問(wèn)題.根據(jù)不等式得到O—l)(ax+a+l)>0,利用同號(hào)為正推出]1―或I"-C，再

根據(jù)當(dāng)。>0時(shí)，以及當(dāng)〃V。時(shí)，求解不等式組，即可解題.

【詳解】解：ax2+x—a>1

ax2-a>l-x

a(x2—1)>1—%

a(%—1)(%4-1)>—(%—1)

a(x—1)(%+1)+(%—1)>0

(x—l)(ax+a+1)>0

,r%-1>0f^-l<0

tax+a+1>0-yax+Q+]<0，

當(dāng)。>0時(shí)，

解｛

lax+a+1>0

第15頁(yè)/共19頁(yè)

x—1<01

或解｛得％<-1—；

ax+a+l<0a

當(dāng)a<0時(shí)，

［:一丫晨無(wú)解，

lax+a+1>0

x—1<01

或解〈［八得T—<x<l；

tzx+4Z+1<0a

綜上所述，當(dāng)〃>0時(shí)，］>1或—，當(dāng)av。時(shí)，—1—<x<1.

aa

YY

21.已知關(guān)于X的方程（"-1）（-）2_（2a+7）（—）+1=0有實(shí)根.

x-1x-1

（1）求〃取值范圍；

xx3

（2）若原方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為國(guó),%,且二+—5r=rr，求。的值.

53

【答案】（1）----；（2）u=10.

28

【解析】

X

【分析】（1）設(shè)——=y,分兩種情況討論，①方程為一元一次方程，②方程為二元一次方程,那么有

x-1

（a2-l）y2-（2a+7）y+l=0,根據(jù)△出即可求解；

（2）設(shè)一=%,*7=%，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求解.

X,-1x2-1

【詳解】設(shè)一匚=y，則原方程化為：（。2-1）/一（2。+77+1=0（2）

x-1

當(dāng)方程（2）為一次方程時(shí)，

即a2-l=0,a=±l.

若a=l,方程（2）的解為y=g,原方程的解為x=1滿足條件；

若a=-1,方程（2）的解為、原方程的解為x=-工滿足條件；

-54

a=±l.

當(dāng)方程為二次方程時(shí)，a?/#）,則a^tl,

要使方程（片―l）V_（2a+7）y+l=0（2）有解，則

^=（2a+7）2-4（/—1）=28a+53之0,

第16頁(yè)/共19頁(yè)

53

解得：a>-一，此時(shí)原方程沒(méi)有增根,

28

53

取值范圍是a2——