河北省衡中2024-2025學(xué)年高三模擬考試（一）數(shù)學(xué)試題（含解析）

河北省衡中2024-2025學(xué)年高三模擬考試（一）數(shù)學(xué)試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有器中米，不知其數(shù)，前人取半，中人三分取一，后人四分取

一，余米一斗五升（注：一斗為十升）.問，米幾何？”下圖是解決該問題的程序框圖，執(zhí)行該程序框圖，若輸出的S=15（單

位：升），則輸入的k的值為（）

畢

/輸L/

1ys=%

口/特/

/1=!1+11

［結(jié)束)

—__s=ns--

A.45B.60C.75D.100

2.函數(shù)〃x)=sin(%+。)在［0,句上為增函數(shù)，則。的值可以是()

713〃

A.0B.—C.兀D.—

22

22

3.若雙曲線E：二-乙=1(m〃>0)繞其對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)g后可得某一函數(shù)的圖象，則E的離心率等于（）

mn3

A.B.6C.2或空■D.2或6

33

4.已知y=log2(%2—2%+17)的值=域根時(shí)為，則當(dāng)7a正+4數(shù)Z?的”最，小?滿值為足------+------

\'3a+ba+2b

()

A.-B.5C.§+2五D9

44

5.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（l,4）,P（X>2）=0.3,P（X<0）=（）

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

6.設(shè)機(jī)，〃為直線，。、4為平面,則加_L。的一個(gè)充分條件可以是（）

A.a】B,a[y/3=n,mLnB.aII)3,m±0

C.a】f3，mil。D.〃ua,mLn

7.設(shè)mGR,命題“存在相>0,使方程f+x—有實(shí)根”的否定是（）

A.任意m>0.使方程X2+x—m=0無實(shí)根

任意加VO,使方程x2+x-m=0有實(shí)根

C.存在m>0,使方程x2+x—m=0無實(shí)根

D.存在m<0,使方程x2+%-根=0有實(shí)根

8.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)，（2+，）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A.(1,2)B.(2,1)C.(-1,2)D.(2,-1)

9.已知集合。={1,2,3,4,5,6},A=[294),3={3,4},則（根）n（*）=（）

A.{3,5,6}B.{1,5,6}C.{2,3,4}D.{1,2,3,5,6)

10.已知拋物線丁=4x的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K,點(diǎn)P為拋物線上任意一點(diǎn)ZKPF的平分線與x軸交于

（m,0）,則加的最大值為（）

A.3-2A/2B.2百-3C.2-6D.2-亞

11.某人2018年的家庭總收人為80000元，各種用途占比如圖中的折線圖，2019年家庭總收入的各種用途占比統(tǒng)計(jì)

如圖中的條形圖，已知2019年的就醫(yī)費(fèi)用比2018年的就醫(yī)費(fèi)用增加了4750元，則該人2019年的儲(chǔ)畜費(fèi)用為（）

4Q

35

3O

25

2O

15

1O

5

儲(chǔ)蓄衣食住旅行就醫(yī)儲(chǔ)蓄衣食住旅行就醫(yī)

A.21250元B.28000元C.29750元D.85000元

___2__________________________i___

12.如圖，在AABC中，AN=-NC,P是BN上一點(diǎn)，^AP=tAB+-AC,則實(shí)數(shù)f的值為（）

33

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.甲、乙、丙、丁4名大學(xué)生參加兩個(gè)企業(yè)的實(shí)習(xí)，每個(gè)企業(yè)兩人，貝！1“甲、乙兩人恰好在同一企業(yè)”的概率為.

14.函數(shù)y=ln(3'_2、)的定義域?yàn)?

TT

15.已知函數(shù)/(尤)=2sin(ox+e)(o>0),曲線y=/(x)與直線y=l相交，若存在相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2,

則但可取到的最大值為.

16.已知數(shù)列｛%｝滿足q=2,考_組=2,若勿=2師，則數(shù)列他“｝的前”項(xiàng)和S“=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

f.后

X—2H------1

2

17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系“Oy中，直線/的參數(shù)方程為；。為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸

的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為夕2-42cos夕=3.

(1)求直線I的普通方程和圓C的直角坐標(biāo)方程；

(2)直線/與圓C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)尸(2,1),求|P用的值.

18.(12分)在等比數(shù)列｛4｝中，已知q=l,。4=1?設(shè)數(shù)列也｝的前"項(xiàng)和為%且白=T,an+bn=-\sn_x

82

(〃22,neN*).

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

'b

(2)證明：數(shù)列J是等差數(shù)列；

(3)是否存在等差數(shù)列｛%｝,使得對(duì)任意〃cN*，都有S"<q<4?若存在，求出所有符合題意的等差數(shù)列｛1｝；

若不存在，請(qǐng)說明理由.

20

19.（12分）已知矩陣加=]],求矩陣M的特征值及其相應(yīng)的特征向量.

20.（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)尸是直線/:x=-1上的動(dòng)點(diǎn)，/。,0）為定點(diǎn)，點(diǎn)Q為PF的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)〃

滿足詼?麗=0,且礪=4赤（4eR）,設(shè)點(diǎn)"的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程；

（2）過點(diǎn)尸的直線交曲線C于A，B兩點(diǎn),T為曲線C上異于A，3的任意一點(diǎn)，直線7X,TB分別交直線/于。，

E兩點(diǎn).問NDEE是否為定值？若是，求NDEE的值；若不是，請(qǐng)說明理由.

x=cosa

2L（12分）在平面直角坐標(biāo)系九0y中，曲線4的參數(shù)方程為.（戊為參數(shù)），將曲線G上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)

y=sma

變?yōu)樵瓉淼呢媳?縱坐標(biāo)不變,得到曲線C2,以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，工軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線/：夕=。

與曲線。2交于點(diǎn)P，將射線/繞極點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)]交曲線。2于點(diǎn)Q.

（1）求曲線的參數(shù)方程；

（2）求AP。。面積的最大值.

22.（10分）在極坐標(biāo)系中，已知曲線C的方程為夕=r（r>0）,直線/的方程為夕cos[，+?）=J5.設(shè)直線/與

曲線C相交于A,3兩點(diǎn)，且AB=2幣,求r的值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.B

【解析】

根據(jù)程序框圖中程序的功能，可以列方程計(jì)算.

【詳解】

123

由題意Sx—x—義一=15,S=60.

234

故選：B.

本題考查程序框圖，讀懂程序的功能是解題關(guān)鍵.

2.D

【解析】

依次將選項(xiàng)中的。代入，結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的圖象即可得到答案.

【詳解】

當(dāng)。=0時(shí)，〃司=5g在［0,句上不單調(diào)，故A不正確；

當(dāng)。=T時(shí)，/(%)=85%在［0,句上單調(diào)遞減，故B不正確；

當(dāng)。=7?■時(shí)，/(%)=—sinx在［0,句上不單調(diào)，故C不正確；

當(dāng)。=5時(shí)，/(x)=-cosx在［0,句上單調(diào)遞增，故D正確.

故選：D

本題考查正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性，涉及到誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，是一道容易題.

3.C

【解析】

由雙曲線的幾何性質(zhì)與函數(shù)的概念可知，此雙曲線的兩條漸近線的夾角為60°，所以2=6或且，由離心率公式

a3

I刀丫

e=Jl+-即可算出結(jié)果.

【詳解】

由雙曲線的幾何性質(zhì)與函數(shù)的概念可知，此雙曲線的兩條漸近線的夾角為60°，又雙曲線的焦點(diǎn)既可在x軸，又可在y

軸上，所以或g,，e==2或與.

故選：C

本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，函數(shù)的概念，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想.

4.A

【解析】

利用丁=嗔卜2—2%+17）的值域?yàn)榍蟪黾釉僮冃?，利?的代換，即可求出7a+46的最小值.

【詳解】

2

解：：y=log2（x-2x+17）=log2—+161的值域?yàn)椋踡,+co）,

m=4,

.41）

/--------1------=4,

6a+2ba+2b

/.7〃+4b=牙（6〃+2/7）+（〃+2/7）］］——-----1------|

4LV）'+a+lb）

6〃+26+4（〃+2b）

5+>—x（5+4）=—,

4a+2b6a+2b4174

當(dāng)且僅當(dāng)6a+2b=%"+2'）時(shí)取等號(hào)，

a+2b6a+2b

9

???7a+4b的最小值為一.

4

故選：A.

本題主要考查了對(duì)數(shù)復(fù)合函數(shù)的值域運(yùn)用，同時(shí)也考查了基本不等式中“1的運(yùn)用”，屬于中檔題.

5.B

【解析】

利用正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可得出P（x<0）=P（X>2）,進(jìn)而可得出結(jié)果.

【詳解】

??,X?N（l,4）,所以，P（X<0）=P（X>2）=0.3.

故選：B.

本題考查利用正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性求概率，屬于基礎(chǔ)題.

6.B

【解析】

根據(jù)線面垂直的判斷方法對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).

【詳解】

對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)。_!_/?,和_1_〃時(shí)，由于加不在平面夕內(nèi)，故無法得出m_La.

對(duì)于B選項(xiàng)，由于。//月，mV13,所以加_La.故B選項(xiàng)正確.

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)。，萬，m//，時(shí)，相可能含于平面a,故無法得出加_La.

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)"ua,加J_〃時(shí)，無法得出

綜上所述，的一個(gè)充分條件是“a//〃，m±/3-

故選：B

本小題主要考查線面垂直的判斷，考查充分必要條件的理解，屬于基礎(chǔ)題.

7.A

【解析】

只需將“存在”改成“任意”，有實(shí)根改成無實(shí)根即可.

【詳解】

由特稱命題的否定是全稱命題，知“存在機(jī)＞0,使方程X?+X-=0有實(shí)根”的否定是

“任意機(jī)＞0,使方程x?+x-〃2=0無實(shí)根

故選：A

本題考查含有一個(gè)量詞的命題的否定，此類問題要注意在兩個(gè)方面作出變化：1.量詞，2.結(jié)論，是一道基礎(chǔ)題.

8.C

【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出.

【詳解】

解：復(fù)數(shù)i(2+i)=2i-1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,2),

故選：C

本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.B

【解析】

按補(bǔ)集、交集定義，即可求解.

【詳解】

%A={1,3,5,6},許6={1,2,5,6),

所以(枷)n(*)={i,5,6).

故選：B.

本題考查集合間的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

10.A

【解析】

%+11—m

求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用拋物線的定義，轉(zhuǎn)化求出比值，-7=—T—=7—

J(X+1)2+4X1+相

求出等式左邊式子的范圍，將等式右邊代入，從而求解.

【詳解】

解:由題意可得，焦點(diǎn)尸(1,0),準(zhǔn)線方程為x=T,

過點(diǎn)P作尸M垂直于準(zhǔn)線，M為垂足，

由拋物線的定義可得|PP=\PM\=x+1,

記/KPF的平分線與x軸交于H(m,0),(-1<m<l)

|PF\\PM|\FH\

根據(jù)角平分線定理可得扁=j后

\KH\

x+11-m

'\I(X+V)2+4X1+M

當(dāng)x=0時(shí)，m=0.

x+1

當(dāng)XW0時(shí)，J(x+l)?+4x

.?*"三＜1=°＜小3-2應(yīng)，

綜上：0<m<3—2后.

故選：A.

本題主要考查拋物線的定義、性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，直線的斜率公式、利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.考查學(xué)

生的計(jì)算能力，屬于中檔題.

11.A

【解析】

根據(jù)2018年的家庭總收入為80000元，且就醫(yī)費(fèi)用占10%得到就醫(yī)費(fèi)用80000x10%=8000,再根據(jù)2019年的

就醫(yī)費(fèi)用比2018年的就醫(yī)費(fèi)用增加了4750元，得到2019年的就醫(yī)費(fèi)用，然后由2019年的就醫(yī)費(fèi)用占總收人15%,

得到2019年的家庭總收人再根據(jù)儲(chǔ)畜費(fèi)用占總收人25%求解.

【詳解】

因?yàn)?018年的家庭總收人為80000元，且就醫(yī)費(fèi)用占10%

所以就醫(yī)費(fèi)用80000x10%=8000

因?yàn)?019年的就醫(yī)費(fèi)用比2018年的就醫(yī)費(fèi)用增加了4750元，

所以2019年的就醫(yī)費(fèi)用12750元，

而2019年的就醫(yī)費(fèi)用占總收人15%

所以2019年的家庭總收入為12750+15%=85000

而儲(chǔ)畜費(fèi)用占總收人25%

所以儲(chǔ)畜費(fèi)用：85000x25%=21250

故選：A

本題主要考查統(tǒng)計(jì)中的折線圖和條形圖的應(yīng)用，還考查了建模解模的能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.C

【解析】

—.2—■

由題意，可根據(jù)向量運(yùn)算法則得到=（1-加）AB，從而由向量分解的唯一性得出關(guān)于f的方程，求出

f的值.

【詳解】

由題意及圖，AP=AB+BP=AB+mBN=AB+m^AN-AB^=mAN+,

又，AN=-NC,所以麗機(jī)恁+（1-機(jī)）AB，

l—m=t

—?1—?51

又—AC,所以＜21，解得加=一,t=—,

3—m=—66

[53

故選C.

本題考查平面向量基本定理，根據(jù)分解的唯一性得到所求參數(shù)的方程是解答本題的關(guān)鍵，本題屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

1

13.—

3

【解析】

求出所有可能，找出符合可能的情況，代入概率計(jì)算公式.

【詳解】

解：甲、乙、丙、丁4名大學(xué)生參加兩個(gè)企業(yè)的實(shí)習(xí)，每個(gè)企業(yè)兩人，共有管=6種，甲乙在同一個(gè)公司有兩種可能,

故概率為尸===：,

63

故答案為一.

3

本題考查古典概型及其概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題

14.(0,+oo)

【解析】

對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域需滿足真數(shù)大于0,再由指數(shù)型不等式求解出解集即可.

【詳解】

對(duì)函數(shù)y=ln(3“—2)有意義，

即V—2工>0-3工>2'=*=(|)=nx>L

故答案為：(0,+s)

本題考查求對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，還考查了指數(shù)型不等式求解，屬于基礎(chǔ)題.

15.4

【解析】

°

由于曲線y=/(x)與直線y=i相交，存在相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為5,所以函數(shù)的周期7=一工〉工，可得到。的

3co3

取值范圍，再由sin(ox+9)=；解出x的兩類不同的值，然后列方程求出。=|6(攵2—匕)+2],再結(jié)合。的取值范圍

可得。的最大值.

【詳解】

27r7u15TC

T=——>—,可得0<G<6,由sin(G%+0)=—，則@%+0=24——或口九+0=242"+——(^,GZ),即

co3266

2&乃+工一夕2k7r+--<p

x=S「或.上由題意得2

?6-6y,所以0=|6(左2_匕)+2.

coco

CDCD

則＜9=2或＜9=4,所以0可取到的最大值為4.

故答案為：4

此題考查正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)的應(yīng)用及三角方程的求解，熟練應(yīng)用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查了推

理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

“4"i—4

16.---------

3

【解析】

冬比-匕=2,求得匕的通項(xiàng)，進(jìn)而求得a0=2i?,得二通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列求和即可.

n+1nn

【詳解】

由題彳建］為等差數(shù)列，，匕=冬+n—1義2=2n,a”=2/,b"=2?n,s=W')=甲+―，故答案為

【nJn1n1-43

4n+1-4

3

本題考查求等差數(shù)列數(shù)列通項(xiàng)，等比數(shù)列求和，熟記等差等比性質(zhì)，熟練運(yùn)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22

17.(1)直線/的普通方程x+y—3=。，圓。的直角坐標(biāo)方程：x+y-4x-3=0.(2)6

【解析】

(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系的應(yīng)用，把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換.

(2)將直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程，利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式即可求解.

【詳解】

1X—一2。H--亞---1

2

(1)直線/的參數(shù)方程為｛；(，為參數(shù))，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為x+y-3=0.

圓C的極坐標(biāo)方程為p2-4pcos0=3,轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為x2+y2-4x-3=0.

fc0

X=2H---1

2

（2）把直線/的參數(shù)方程為<；。為參數(shù)），代入圓的直角坐標(biāo)方程x2+y2-4x-3=0,

12

V=1----1

[-2

得到產(chǎn)—萬—6=0，

所以照||P8|=|⑴21=6.

本題考查參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換，一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)

算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型.

18.（1）（2）見解析（3）存在唯一的等差數(shù)列｛%｝,其通項(xiàng)公式為g=0,〃eN*滿足題設(shè)

【解析】

11Z?

⑴由6=1,%=—可得公比夕，即得；⑵由⑴和4+2=——S“T可得數(shù)列也｝的遞推公式，即可知二巴一

a

82n+ian

結(jié)果為常數(shù)，即得證；⑶由⑵可得數(shù)列出｝的通項(xiàng)公式，S,,=—2（4+1+勿+1）,設(shè)出等差數(shù)列｛g｝,再根據(jù)不

等關(guān)系S?<%<an來算出｛cn｝的首項(xiàng)和公差即可.

【詳解】

（1）設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q,因?yàn)榈?1,所以/=：,解得q=4.

882

所以數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為:

（2）由（1）得，當(dāng)“22,〃eN*時(shí)，可得+%=—…①,

3+)=」S…②

②—①得，bn+l-^bn，

""+i________=1bb

則有門丫flY-1,即4一.=1,n>2,〃eN*.

bb

因?yàn)閭?T，由①得，4=。，所以上一一L=0-(-l)=l,

hb

所以a—j=l,〃eN*.

a

n+ia”

b'

所以數(shù)列是以-1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.

(3)由(2)吟=〃-2,所以優(yōu)=崇，S“=_2(%M+2+J=_2］?+三］=一/

假設(shè)存在等差數(shù)列｛%｝,其通項(xiàng)cn=dn+c,

使得對(duì)任意aeN*，都有S”<q<an,

fl1

即對(duì)任意“eN*，都有一1W赤+cVcw1.③

22

首先證明滿足③的d=0.若不然，d/0,則d>0,或d<0.

1-c1

(i)若d>0,則當(dāng)〃〉----，“eN*時(shí)，c=dn+c>1>--=a,

d2"T

這與c“<c”矛盾?

］+c

(ii)若d<0,則當(dāng)〃〉-----，〃wN*時(shí)，c=dn+c<-\.

dn

77+1rjH—1

而S,+「s〃=—羅+舟=甘對(duì)，風(fēng)=凡<邑<……,所以s“2>=—1.

故g=d〃+c<—l<S"，這與S"<g矛盾.所以1=0.

其次證明：當(dāng)x?7時(shí)，/(x)=(x-l)ln2-21nx>0.

因?yàn)閞(x)=ln2—工>ln2—工>0,所以/(%)在［7,+8)上單調(diào)遞增,

x7

64

所以，當(dāng)轉(zhuǎn)7時(shí)，/(%)>/(7)=61n2-21n7=ln^>0.

所以當(dāng)〃之7,“eN*時(shí)，2"T>"2.

再次證明c=0.

1Yl1

(iii)若c<0時(shí)，則當(dāng)〃之7,n>---,及eN*，S=---->--->c,這與③矛盾.

c2"Tn

(iv)若c>0時(shí)，同(i)可得矛盾.所以c=0.

當(dāng)c"=°時(shí),因?yàn)镾“=F7W0,4=(；］>0，

所以對(duì)任意aeN*，都有S“<c“.所以q,=0,neN*.

綜上，存在唯一的等差數(shù)列｛cj,其通項(xiàng)公式為g=0,〃eN*滿足題設(shè).

本題考查求等比數(shù)列通項(xiàng)公式，證明等差數(shù)列，以及數(shù)列中的探索性問題，是一道數(shù)列綜合題，考查學(xué)生的分析，推

理能力.

-01「「

19.矩陣〃屬于特征值1的一個(gè)特征向量為］,矩陣〃屬于特征值2的一個(gè)特征向量為］

【解析】

先由矩陣特征值的定義列出特征多項(xiàng)式，令/“)=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組，即可求得相應(yīng)的特

征向量.

【詳解】

/、彳—20,

由題意，矩陣”的特征多項(xiàng)式為了(%)=,=22-32+2,

—1A—1

令/“)=0，解得4=1，4=2,

(2-2)-x+0-y=0

將4=1代入二元一次方程組＜解得x=0,

-x+(2-l)y=0

所以矩陣M屬于特征值1的一個(gè)特征向量為

1

同理，矩陣〃屬于特征值2的一個(gè)特征向量為］v

本題主要考查了矩陣的特征值與特征向量的計(jì)算，其中解答中熟記矩陣的特征值和特征向量的計(jì)算方法是解答的關(guān)鍵,

著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

20.(1)y2=4x；(2)是定值，ZDFE=—.

2

【解析】

(1)設(shè)出M的坐標(biāo)為(％y),采用直接法求曲線。的方程；

(2)設(shè)A3的方程為x=/y+l,B(^,y2),T(^-,y0),求出AT方程，聯(lián)立直線/方程得。點(diǎn)的坐標(biāo),

同理可得E點(diǎn)的坐標(biāo)，最后利用向量數(shù)量積算功.而即可.

【詳解】

(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),由麗^=4加(4eR)知神〃歷又p在直線/：x=—1上，

所以P點(diǎn)坐標(biāo)為(―l,y),又尸(1,0),點(diǎn)Q為P廠的中點(diǎn)，所以Q(0《)，PF=(2,-y),MQ={-x-^),

2

由弦?而二0得-2%+]=0,BPy2=4x；

D

(2)-------

E

設(shè)直線他的方程為…+1,代入戶以得戶吁4=。,設(shè)吟，力5）,

?k=%一%=4

則%+%=4/，％%=—4,設(shè)T（乎,%），則AT才常力+為，

4------

44

所以AT的直線方程為y—%=」一（x—咚）即y=^^x+?二，令x=—1,貝ij

%+%4%+%

y=y'y°~4,所以丁點(diǎn)的坐標(biāo)為（T，同理石點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1,乂二一4）,于是彷=（-2,%為—4）,

…々安"所以……小、心…正高？UF

~4丁；-16%+16_-16+16%+4y；-4y：—16%+16

=4+=0,從而用Rg,

-4+4ty0+y；-4+4佻+y；

TT

所以NDEE=一是定值.

2

本題考查了直接法求拋物線的軌跡方程、直線與拋物線位置關(guān)系中的定值問題，在處理此類問題一般要涉及根與系數(shù)

的關(guān)系，本題思路簡(jiǎn)單，但計(jì)算量比較大，是一道有一定難度的題.

21.（1）\（a為參數(shù)）；（2）注.

y=sina2

【解析】

（1）根據(jù)伸縮變換結(jié)合曲線G的參數(shù)方程可得出曲線C2的參數(shù)方程；

（2）將曲線G的方程化為普通方程，然后化為極坐標(biāo)方程，設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（8,0），點(diǎn)。的極坐標(biāo)為02，。+叁

將這兩點(diǎn)的極坐標(biāo)代入橢圓C的極坐標(biāo)方程，得出A2和P1關(guān)于。的表達(dá)式，然后利用三角恒等變換思想即可求出

APOQ面積的最大值.

【詳解】