數(shù)學(xué)互動(dòng)課堂算法的含義

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精互動(dòng)課堂疏導(dǎo)引導(dǎo)1。算法的含義算法是完成某項(xiàng)工作的一系列步驟?，F(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計(jì)算機(jī)來(lái)解決的某一類問(wèn)題的程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成。疑難疏引（1）算法就是計(jì)算機(jī)解題的過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，無(wú)論是形成解題思路還是編寫程序，都是在實(shí)施某種算法,前者是推理實(shí)現(xiàn)的算法,后者是操作實(shí)現(xiàn)的算法.(2）對(duì)于某一個(gè)問(wèn)題,找到了解決它的某種算法是指使用一系列運(yùn)算規(guī)則能在有限步驟內(nèi)求解某類問(wèn)題,其中的每條規(guī)則必須是明確定義的、可行的,不能含糊其辭,模棱兩可。我們過(guò)去學(xué)習(xí)的許多公式都是算法，加、減、乘、除運(yùn)算法則以及多項(xiàng)式的運(yùn)算也是算法.（3)求解某個(gè)問(wèn)題的算法不一定是唯一的，即算法的不唯一性.算法要求“按部就班地做”,每做一步都是有唯一的結(jié)果。（4）算法與一般意義上具體問(wèn)題的解法既有聯(lián)系,又有區(qū)別，它們之間是一般和特殊的關(guān)系，也是抽象與具體的關(guān)系。算法的獲得要借助一般意義上具體問(wèn)題的求解方法,而任何一個(gè)具體問(wèn)題都可以利用這類問(wèn)題的一般算法來(lái)解決。(5）算法一方面具有具體化、程序化、機(jī)械性的特點(diǎn),同時(shí)又有高度的抽象性、概括性、精確性,所以算法在解決問(wèn)題的過(guò)程中更具有條理性、邏輯性的特點(diǎn)。（6）描述算法可以有不同的形式，例如，可以用自然語(yǔ)句和數(shù)學(xué)語(yǔ)言加以敘述,也可以用框圖（流程圖)、程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言和偽代碼給出精確的說(shuō)明。2.算法的特性一般來(lái)講，一個(gè)算法應(yīng)具有以下五個(gè)重要特性：(1）確定性：算法的每一步必須是確切定義的,且無(wú)二義性,算法只有唯一的一條執(zhí)行路徑,對(duì)于相同的輸入只能得出相同的輸出.（2）有窮性：一個(gè)算法必須在執(zhí)行有窮次運(yùn)算后結(jié)束。在所規(guī)定的時(shí)間和空間內(nèi)，若不能獲得正確結(jié)果，其算法也是不能被采用的。（3）可行性：算法中的每一個(gè)步驟必須能用實(shí)現(xiàn)算法的工具-—可執(zhí)行指令精確表達(dá)，并在有限步驟內(nèi)完成,否則這種算法也是不會(huì)被采納的.（4）輸入：算法一定要根據(jù)輸入的初始數(shù)據(jù)或給定的初值才能正確執(zhí)行它的每一步驟.（5）輸出：算法一定能得到問(wèn)題的解，有一個(gè)或多個(gè)結(jié)果輸出,達(dá)到求解問(wèn)題的目的,沒(méi)有輸出結(jié)果的算法是沒(méi)有意義的.此外,還要求算法應(yīng)具有通用性：算法應(yīng)適用于某一類問(wèn)題中的所有個(gè)體，而不是只能用來(lái)解決一個(gè)具體問(wèn)題。例如一個(gè)能解所有二元一次方程組的算法就比一個(gè)只能解某一個(gè)特定的二元一次方程組的算法更具有通用性。3.給出一個(gè)具體問(wèn)題，設(shè)計(jì)算法時(shí)應(yīng)注意（1）認(rèn)真分析問(wèn)題，找出解決此問(wèn)題的一般數(shù)學(xué)方法。（2）借助有關(guān)的變量或參數(shù)對(duì)算法加以表述.（3）將解決問(wèn)題的過(guò)程劃分為若干步驟.（4)用簡(jiǎn)練的語(yǔ)言將各個(gè)步驟表示出來(lái).案例1寫出對(duì)任意3個(gè)整數(shù)a，b，c求最大值的算法?！咎骄俊恳话愕兀稍O(shè)第一個(gè)為最大值，然后和第二個(gè)比較,再取出其中的較大值與第三個(gè)比較,一直進(jìn)行下去,直到最后一個(gè)數(shù),這樣可得到答案.【解】算法用數(shù)學(xué)語(yǔ)句描述如下：第一步：令max=a;第二步：比較max與b的大小，若b＞max，則令max=b;第三步：比較max與c的大小,若c＞max,則令max=c；第四步：max就是a,b，c中的最大值。規(guī)律總結(jié)解這類問(wèn)題,應(yīng)先找出解題的數(shù)學(xué)方法，然后按部就班地做,每一步都有唯一結(jié)果，有限步之后總能得出結(jié)論.案例2若將案例1中的“最大值”改成“最小值"，又該如何解答？【探究】算法步驟如下：第一步:假定a為這三個(gè)數(shù)中的最小數(shù);第二步：將b與a比較，如果b＜a，則令a=b,否則a值不變；第三步：將c與a比較,如果c＜a,則令a=c,否則a值不變；第四步：a就是a,b，c中的最小數(shù)。案例3現(xiàn)有有限個(gè)正整數(shù),試設(shè)計(jì)一個(gè)求這些有限個(gè)正整數(shù)中最大數(shù)的算法.【探究】算法步驟用自然語(yǔ)言敘述如下：第一步:先假定這些正整數(shù)中的第一個(gè)數(shù)為“最大值”;第二步：將這些整數(shù)中下一個(gè)數(shù)與“最大值"比較,如果它大于此“最大值”，這時(shí)就假定“最大值"是這個(gè)整數(shù)；第三步：如果還有其他正整數(shù),重復(fù)第二步；第四步：一直到?jīng)]有可比的數(shù)時(shí)為止，這時(shí)得到的假定的“最大值”就是這有限個(gè)正整數(shù)中的最大值.案例4給出求1+3+5+7+9+11+13的一個(gè)算法。【探究】本題主要是考查理解概念的程度.由于本題是一個(gè)連續(xù)相加的問(wèn)題,則寫算法時(shí),只需按照逐一相加的程序進(jìn)行；由于1+3+5+…+（2n-1)=n2,所以也可以運(yùn)用公式1+3+5+…+(2n-1)=n2直接計(jì)算，只需將n=7代入公式即可。解法一：按照逐一相加的程序進(jìn)行:第一步：計(jì)算1+3,得到4；第二步：將第一步中的運(yùn)算結(jié)果4與5相加,得到9；第三步：將第二步中的運(yùn)算結(jié)果9與7相加，得到16；第四步:將第三步中的運(yùn)算結(jié)果16與9相加,得到25；第五步:將第四步中的運(yùn)算結(jié)果25與11相加，得到36;第六步：將第五步中的運(yùn)算結(jié)果36與13相加,得到49.解法二:運(yùn)用公式1+3+5+…+(2n-1）=n2計(jì)算:第一步：取n=7；第二步：計(jì)算n2；第三步：輸出運(yùn)算結(jié)果.規(guī)律總結(jié)對(duì)算法的靈活、準(zhǔn)確應(yīng)用和自然語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題,要注意：算法的方法不同,解決問(wèn)題的繁簡(jiǎn)程度也不同。我們研究算法,就是要找出解決問(wèn)題最好的算法。案例5一個(gè)人帶三只狼和三只羚羊過(guò)河,只有一條船，同船可以容一個(gè)人和兩只動(dòng)物。沒(méi)有人在的時(shí)候，如果狼的數(shù)量不少于羚羊的數(shù)量,狼就會(huì)吃掉羚羊.（1）設(shè)計(jì)一個(gè)安全渡河的算法;(2）思考每一步算法所遵循的相同原則是什么?【探究】在人運(yùn)送動(dòng)物過(guò)河的過(guò)程中，人離開岸邊時(shí)必須保證每個(gè)岸邊的羚羊數(shù)目要大于狼的數(shù)目，依據(jù)此原則可以選取安全的渡河辦法.【解】（1)算法：第一步：人帶兩只狼過(guò)河;第二步：人自己返回；第三步：人帶一只狼過(guò)河;第四步：人自己返回;第五步：人帶兩只羚羊過(guò)河；第六步：人帶兩只狼返回；第七步：人帶一只羚羊過(guò)河；第八步:人自己返回；第九步：人帶兩只狼過(guò)河.(2)在人運(yùn)送動(dòng)物過(guò)河的過(guò)程中，人離開岸邊時(shí)必須保證每個(gè)岸邊的羚羊數(shù)目要大于狼的數(shù)目.規(guī)律總結(jié)這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，生活中解決任何問(wèn)題都需要算法,我們要在處理實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中理解算法的含義，體會(huì)算法設(shè)計(jì)的思想方法。活學(xué)巧用1。下面四種敘述能稱為算法的是（）A。在家里一般是媽媽做飯B.做米飯需要刷鍋、淘米、添水、加熱這些步驟C.在野外做飯叫野炊D。做飯必須要有米解析:算法是由基本運(yùn)算及規(guī)定的運(yùn)算順序所構(gòu)成的完整的解題步驟,或看成按要求設(shè)計(jì)好的有限的確切的計(jì)算序列，并且這樣的步驟或序列能夠解決一類問(wèn)題.A、C、D都不能稱為算法.答案:B2.下面的結(jié)論正確的是(）A.一個(gè)程序的算法步驟是可逆的B。一個(gè)算法可以無(wú)止境地運(yùn)算下去C.完成一件事情的算法有且只有一種D.設(shè)計(jì)算法要本著簡(jiǎn)單方便的原則解析：求解某個(gè)問(wèn)題的算法不一定是唯一的，且設(shè)計(jì)的程序與步驟必須在有限步內(nèi)完成,設(shè)計(jì)算法應(yīng)本著簡(jiǎn)便的原則.答案:D3.早上從起床到出門需要洗臉?biāo)⒀溃?min）、刷水壺（2min)、燒水（8min）、泡面(3min）、吃飯（10min）、聽(tīng)廣播（8min)幾個(gè)步驟。下列選項(xiàng)中最好的一種算法是（）A。S1洗臉?biāo)⒀?、S2刷水壺、S3燒水、S4泡面、S5吃飯、S6聽(tīng)廣播B。S1刷水壺、S2燒水同時(shí)洗臉?biāo)⒀?、S3泡面、S4吃飯、S5聽(tīng)廣播C。S1刷水壺、S2燒水同時(shí)洗臉?biāo)⒀?、S3泡面、S4吃飯同時(shí)聽(tīng)廣播D.S1吃飯同時(shí)聽(tīng)廣播、S2泡面、S3燒水同時(shí)洗臉?biāo)⒀?、S4刷水壺解析：本題考查對(duì)一個(gè)算法好與壞的判斷，在實(shí)際生活中做一件事比較好的算法是利用該算法步驟做事省時(shí)、省事.要確定早上從起床到出門的幾個(gè)步驟的一個(gè)好的算法是完成這幾個(gè)步驟用時(shí)最少.答案：C4.一位商人有9枚銀元,其中有1枚略輕的是假銀元,你能用天平（無(wú)砝碼）將假銀元找出來(lái)嗎？寫出解決這一問(wèn)題的一種算法.分析：把9枚銀元按順序排成一列,先稱前2枚，若不平衡，則可找出假銀元,若平衡，則2枚銀元都是真的,再依次與剩下的銀元稱量作比較則可找出假銀元.解法一：算法步驟如下：第一步：任取2枚銀元分別放在天平的兩邊,如果天平左右不平衡,則輕的那一邊就是假銀元；如果天平平衡，則進(jìn)行第二步；第二步：取下右邊的銀元,放在一旁,然后把剩下的7枚銀元依次放在右邊進(jìn)行稱量,直到天平不平衡，偏輕的那一邊就是假銀元.解法二：算法步驟如下：第一步：把9枚銀元平均分成3組，每組3枚；第二步：先將其中兩組分別放在天平的兩邊,如果天平不平衡,那么假銀元就在輕的那一組；如果天平左右平衡,則假銀元就在未稱量的那一組里;第三步：取出含假銀元的那一組，從中任取2枚銀元放在天平的兩邊進(jìn)行稱量,如果天平不平衡，則假銀元在輕的那一邊；如果天平平衡,則未稱的那一枚就是假銀元。點(diǎn)評(píng)：解決這類題先建立過(guò)程模型,再將該過(guò)程劃分為幾個(gè)有限可執(zhí)行的步驟，進(jìn)而寫出算法。5.寫出解二元二次方程的兩種算法。解析：算法1:第一步：①×（-)+②，得到（+1）y=—2-即方程組可化為第二步:解方程③可得y=-4④第三步：將④代入②，可得x—4=-2x=2第四步：輸出2，-4算法2：第一步:計(jì)算D=3×1—1×（-2)=5第二步:x=y=第三步：輸出2，—46.任意給定一個(gè)大于1的整數(shù)n，設(shè)計(jì)一個(gè)算法，對(duì)n是否為質(zhì)數(shù)作出判定。分析:我們知道,只能被1和自身整除的大于1的整數(shù)叫做質(zhì)數(shù).因此,判斷一個(gè)整數(shù)是否是質(zhì)數(shù)，只要檢驗(yàn)從2到n-1中的數(shù)是不是n的約數(shù)即可,若有這樣的數(shù)，則n就不是質(zhì)數(shù)；若沒(méi)有，則這個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù),據(jù)此,我們?cè)O(shè)計(jì)算法對(duì)n是否為質(zhì)數(shù)進(jìn)行判斷.解：算法步驟如下：第一步：判斷n是否等于2.若n=2，則n是質(zhì)數(shù)；若n＞2，則執(zhí)行第二步。第二步：依次從2到（n—1）檢驗(yàn)是不是n的因數(shù)，即是不是整除n的數(shù)。若有這樣的數(shù),則n不是質(zhì)數(shù);若沒(méi)有這樣的數(shù),則n是質(zhì)數(shù).點(diǎn)評(píng)：一種算法,就是要求我們?nèi)グ床烤桶嗟刈?，每做一步都有唯一的結(jié)果,并且對(duì)任意的正整數(shù)都適用，且總能在有限步之后得出的結(jié)果.7。寫出一個(gè)求解任意二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0)的最值的算法。分析:由二次函數(shù)的性質(zhì)知,當(dāng)a＞0時(shí),函數(shù)有最小值；當(dāng)a＜0時(shí),函數(shù)有最大值.解：算法步驟用自然