數(shù)學(xué)互動課堂算法的含義

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精互動課堂疏導(dǎo)引導(dǎo)1。算法的含義算法是完成某項(xiàng)工作的一系列步驟?，F(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計(jì)算機(jī)來解決的某一類問題的程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成。疑難疏引（1）算法就是計(jì)算機(jī)解題的過程。在這個過程中，無論是形成解題思路還是編寫程序，都是在實(shí)施某種算法,前者是推理實(shí)現(xiàn)的算法,后者是操作實(shí)現(xiàn)的算法.(2）對于某一個問題,找到了解決它的某種算法是指使用一系列運(yùn)算規(guī)則能在有限步驟內(nèi)求解某類問題,其中的每條規(guī)則必須是明確定義的、可行的,不能含糊其辭,模棱兩可。我們過去學(xué)習(xí)的許多公式都是算法，加、減、乘、除運(yùn)算法則以及多項(xiàng)式的運(yùn)算也是算法.（3)求解某個問題的算法不一定是唯一的，即算法的不唯一性.算法要求“按部就班地做”,每做一步都是有唯一的結(jié)果。（4）算法與一般意義上具體問題的解法既有聯(lián)系,又有區(qū)別，它們之間是一般和特殊的關(guān)系，也是抽象與具體的關(guān)系。算法的獲得要借助一般意義上具體問題的求解方法,而任何一個具體問題都可以利用這類問題的一般算法來解決。(5）算法一方面具有具體化、程序化、機(jī)械性的特點(diǎn),同時又有高度的抽象性、概括性、精確性,所以算法在解決問題的過程中更具有條理性、邏輯性的特點(diǎn)。（6）描述算法可以有不同的形式，例如，可以用自然語句和數(shù)學(xué)語言加以敘述,也可以用框圖（流程圖)、程序設(shè)計(jì)語言和偽代碼給出精確的說明。2.算法的特性一般來講，一個算法應(yīng)具有以下五個重要特性：(1）確定性：算法的每一步必須是確切定義的,且無二義性,算法只有唯一的一條執(zhí)行路徑,對于相同的輸入只能得出相同的輸出.（2）有窮性：一個算法必須在執(zhí)行有窮次運(yùn)算后結(jié)束。在所規(guī)定的時間和空間內(nèi)，若不能獲得正確結(jié)果，其算法也是不能被采用的。（3）可行性：算法中的每一個步驟必須能用實(shí)現(xiàn)算法的工具-—可執(zhí)行指令精確表達(dá)，并在有限步驟內(nèi)完成,否則這種算法也是不會被采納的.（4）輸入：算法一定要根據(jù)輸入的初始數(shù)據(jù)或給定的初值才能正確執(zhí)行它的每一步驟.（5）輸出：算法一定能得到問題的解，有一個或多個結(jié)果輸出,達(dá)到求解問題的目的,沒有輸出結(jié)果的算法是沒有意義的.此外,還要求算法應(yīng)具有通用性：算法應(yīng)適用于某一類問題中的所有個體，而不是只能用來解決一個具體問題。例如一個能解所有二元一次方程組的算法就比一個只能解某一個特定的二元一次方程組的算法更具有通用性。3.給出一個具體問題，設(shè)計(jì)算法時應(yīng)注意（1）認(rèn)真分析問題，找出解決此問題的一般數(shù)學(xué)方法。（2）借助有關(guān)的變量或參數(shù)對算法加以表述.（3）將解決問題的過程劃分為若干步驟.（4)用簡練的語言將各個步驟表示出來.案例1寫出對任意3個整數(shù)a，b，c求最大值的算法?！咎骄俊恳话愕?，可設(shè)第一個為最大值，然后和第二個比較,再取出其中的較大值與第三個比較,一直進(jìn)行下去,直到最后一個數(shù),這樣可得到答案.【解】算法用數(shù)學(xué)語句描述如下：第一步：令max=a;第二步：比較max與b的大小，若b＞max，則令max=b;第三步：比較max與c的大小,若c＞max,則令max=c；第四步：max就是a,b，c中的最大值。規(guī)律總結(jié)解這類問題,應(yīng)先找出解題的數(shù)學(xué)方法，然后按部就班地做,每一步都有唯一結(jié)果，有限步之后總能得出結(jié)論.案例2若將案例1中的“最大值”改成“最小值"，又該如何解答？【探究】算法步驟如下：第一步:假定a為這三個數(shù)中的最小數(shù);第二步：將b與a比較，如果b＜a，則令a=b,否則a值不變；第三步：將c與a比較,如果c＜a,則令a=c,否則a值不變；第四步：a就是a,b，c中的最小數(shù)。案例3現(xiàn)有有限個正整數(shù),試設(shè)計(jì)一個求這些有限個正整數(shù)中最大數(shù)的算法.【探究】算法步驟用自然語言敘述如下：第一步:先假定這些正整數(shù)中的第一個數(shù)為“最大值”;第二步：將這些整數(shù)中下一個數(shù)與“最大值"比較,如果它大于此“最大值”，這時就假定“最大值"是這個整數(shù)；第三步：如果還有其他正整數(shù),重復(fù)第二步；第四步：一直到?jīng)]有可比的數(shù)時為止，這時得到的假定的“最大值”就是這有限個正整數(shù)中的最大值.案例4給出求1+3+5+7+9+11+13的一個算法?！咎骄俊勘绢}主要是考查理解概念的程度.由于本題是一個連續(xù)相加的問題,則寫算法時,只需按照逐一相加的程序進(jìn)行；由于1+3+5+…+（2n-1)=n2,所以也可以運(yùn)用公式1+3+5+…+(2n-1)=n2直接計(jì)算，只需將n=7代入公式即可。解法一：按照逐一相加的程序進(jìn)行:第一步：計(jì)算1+3,得到4；第二步：將第一步中的運(yùn)算結(jié)果4與5相加,得到9；第三步：將第二步中的運(yùn)算結(jié)果9與7相加，得到16；第四步:將第三步中的運(yùn)算結(jié)果16與9相加,得到25；第五步:將第四步中的運(yùn)算結(jié)果25與11相加，得到36;第六步：將第五步中的運(yùn)算結(jié)果36與13相加,得到49.解法二:運(yùn)用公式1+3+5+…+(2n-1）=n2計(jì)算:第一步：取n=7；第二步：計(jì)算n2；第三步：輸出運(yùn)算結(jié)果.規(guī)律總結(jié)對算法的靈活、準(zhǔn)確應(yīng)用和自然語言表達(dá)問題,要注意：算法的方法不同,解決問題的繁簡程度也不同。我們研究算法,就是要找出解決問題最好的算法。案例5一個人帶三只狼和三只羚羊過河,只有一條船，同船可以容一個人和兩只動物。沒有人在的時候，如果狼的數(shù)量不少于羚羊的數(shù)量,狼就會吃掉羚羊.（1）設(shè)計(jì)一個安全渡河的算法;(2）思考每一步算法所遵循的相同原則是什么?【探究】在人運(yùn)送動物過河的過程中，人離開岸邊時必須保證每個岸邊的羚羊數(shù)目要大于狼的數(shù)目，依據(jù)此原則可以選取安全的渡河辦法.【解】（1)算法：第一步：人帶兩只狼過河;第二步：人自己返回；第三步：人帶一只狼過河;第四步：人自己返回;第五步：人帶兩只羚羊過河；第六步：人帶兩只狼返回；第七步：人帶一只羚羊過河；第八步:人自己返回；第九步：人帶兩只狼過河.(2)在人運(yùn)送動物過河的過程中，人離開岸邊時必須保證每個岸邊的羚羊數(shù)目要大于狼的數(shù)目.規(guī)律總結(jié)這是一個實(shí)際問題，生活中解決任何問題都需要算法,我們要在處理實(shí)際問題的過程中理解算法的含義，體會算法設(shè)計(jì)的思想方法?；顚W(xué)巧用1。下面四種敘述能稱為算法的是（）A。在家里一般是媽媽做飯B.做米飯需要刷鍋、淘米、添水、加熱這些步驟C.在野外做飯叫野炊D。做飯必須要有米解析:算法是由基本運(yùn)算及規(guī)定的運(yùn)算順序所構(gòu)成的完整的解題步驟,或看成按要求設(shè)計(jì)好的有限的確切的計(jì)算序列，并且這樣的步驟或序列能夠解決一類問題.A、C、D都不能稱為算法.答案:B2.下面的結(jié)論正確的是(）A.一個程序的算法步驟是可逆的B。一個算法可以無止境地運(yùn)算下去C.完成一件事情的算法有且只有一種D.設(shè)計(jì)算法要本著簡單方便的原則解析：求解某個問題的算法不一定是唯一的，且設(shè)計(jì)的程序與步驟必須在有限步內(nèi)完成,設(shè)計(jì)算法應(yīng)本著簡便的原則.答案:D3.早上從起床到出門需要洗臉?biāo)⒀溃?min）、刷水壺（2min)、燒水（8min）、泡面(3min）、吃飯（10min）、聽廣播（8min)幾個步驟。下列選項(xiàng)中最好的一種算法是（）A。S1洗臉?biāo)⒀?、S2刷水壺、S3燒水、S4泡面、S5吃飯、S6聽廣播B。S1刷水壺、S2燒水同時洗臉?biāo)⒀?、S3泡面、S4吃飯、S5聽廣播C。S1刷水壺、S2燒水同時洗臉?biāo)⒀?、S3泡面、S4吃飯同時聽廣播D.S1吃飯同時聽廣播、S2泡面、S3燒水同時洗臉?biāo)⒀馈4刷水壺解析：本題考查對一個算法好與壞的判斷，在實(shí)際生活中做一件事比較好的算法是利用該算法步驟做事省時、省事.要確定早上從起床到出門的幾個步驟的一個好的算法是完成這幾個步驟用時最少.答案：C4.一位商人有9枚銀元,其中有1枚略輕的是假銀元,你能用天平（無砝碼）將假銀元找出來嗎？寫出解決這一問題的一種算法.分析：把9枚銀元按順序排成一列,先稱前2枚，若不平衡，則可找出假銀元,若平衡，則2枚銀元都是真的,再依次與剩下的銀元稱量作比較則可找出假銀元.解法一：算法步驟如下：第一步：任取2枚銀元分別放在天平的兩邊,如果天平左右不平衡,則輕的那一邊就是假銀元；如果天平平衡，則進(jìn)行第二步；第二步：取下右邊的銀元,放在一旁,然后把剩下的7枚銀元依次放在右邊進(jìn)行稱量,直到天平不平衡，偏輕的那一邊就是假銀元.解法二：算法步驟如下：第一步：把9枚銀元平均分成3組，每組3枚；第二步：先將其中兩組分別放在天平的兩邊,如果天平不平衡,那么假銀元就在輕的那一組；如果天平左右平衡,則假銀元就在未稱量的那一組里;第三步：取出含假銀元的那一組，從中任取2枚銀元放在天平的兩邊進(jìn)行稱量,如果天平不平衡，則假銀元在輕的那一邊；如果天平平衡,則未稱的那一枚就是假銀元。點(diǎn)評：解決這類題先建立過程模型,再將該過程劃分為幾個有限可執(zhí)行的步驟，進(jìn)而寫出算法。5.寫出解二元二次方程的兩種算法。解析：算法1:第一步：①×（-)+②，得到（+1）y=—2-即方程組可化為第二步:解方程③可得y=-4④第三步：將④代入②，可得x—4=-2x=2第四步：輸出2，-4算法2：第一步:計(jì)算D=3×1—1×（-2)=5第二步:x=y=第三步：輸出2，—46.任意給定一個大于1的整數(shù)n，設(shè)計(jì)一個算法，對n是否為質(zhì)數(shù)作出判定。分析:我們知道,只能被1和自身整除的大于1的整數(shù)叫做質(zhì)數(shù).因此,判斷一個整數(shù)是否是質(zhì)數(shù)，只要檢驗(yàn)從2到n-1中的數(shù)是不是n的約數(shù)即可,若有這樣的數(shù)，則n就不是質(zhì)數(shù)；若沒有，則這個數(shù)是質(zhì)數(shù),據(jù)此,我們設(shè)計(jì)算法對n是否為質(zhì)數(shù)進(jìn)行判斷.解：算法步驟如下：第一步：判斷n是否等于2.若n=2，則n是質(zhì)數(shù)；若n＞2，則執(zhí)行第二步。第二步：依次從2到（n—1）檢驗(yàn)是不是n的因數(shù)，即是不是整除n的數(shù)。若有這樣的數(shù),則n不是質(zhì)數(shù);若沒有這樣的數(shù),則n是質(zhì)數(shù).點(diǎn)評：一種算法,就是要求我們?nèi)グ床烤桶嗟刈觯孔鲆徊蕉加形ㄒ坏慕Y(jié)果,并且對任意的正整數(shù)都適用，且總能在有限步之后得出的結(jié)果.7。寫出一個求解任意二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0)的最值的算法。分析:由二次函數(shù)的性質(zhì)知,當(dāng)a＞0時,函數(shù)有最小值；當(dāng)a＜0時,函數(shù)有最大值.解：算法步驟用自然