數(shù)學(xué)例題與探究：7正切函數(shù)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精典題精講1.如何快速作出正切函數(shù)的圖像？剖析：我們知道五點(diǎn)法可以快速畫出正、余弦函數(shù)的圖像的草圖.正切函數(shù)的圖像不是連續(xù)的曲線，不同于正、余弦函數(shù)的圖像.其突破方法是從正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)上來分析，找出畫草圖的方法.由于正切函數(shù)的定義域?yàn)閧x｜x≠+kπ,k∈Z}，所以函數(shù)的圖像被垂直于x軸的直線x=kπ+(k∈Z）所隔開，但兩端連續(xù)的無限接近這些平行線，所以直線x=kπ+（k∈Z)稱為正切函數(shù)的漸近線。畫正切函數(shù)的圖像時(shí)，也是先畫一個(gè)周期的圖像即函數(shù)y=tanx，x∈（-，）的圖像，再把這一圖像向左、右平移（每次平移π個(gè)單位長度），從而得到正切函數(shù)的圖像.函數(shù)y=tanx，x∈（-，)的作圖,通過圖像的特點(diǎn)將發(fā)現(xiàn),函數(shù)的圖像過（—，—1),(，1），(0，0)三點(diǎn)，以直線x=±為漸近線，這樣根據(jù)這三點(diǎn)兩線就可以大體勾畫出正切函數(shù)圖像的草圖.2.為什么正切函數(shù)的最小正周期是π？剖析：疑點(diǎn)是正切函數(shù)是周期函數(shù),是否還有比π更小的正周期.其突破方法是利用反證法，結(jié)合周期函數(shù)的定義來理解、分析.∵tan(x+π)=tanx，∴正切函數(shù)是周期函數(shù)，π是一個(gè)周期。假設(shè)存在一個(gè)非零常數(shù)T，且0＜T＜π，使對(duì)任意x∈(kπ—,kπ+)（k∈Z)，總有tan(x+T）=tanx成立。不妨令x=0,則tanT=tan0=0，則T=kπ(k∈N*).∴T=kπ≥π，這與假設(shè)0＜T＜π矛盾.∴假設(shè)不成立，即正切函數(shù)的最小正周期是π.典題精講例1（2005湖南高考卷,文2)tan600°的值是（）A.B。C.—D.思路解析：運(yùn)用誘導(dǎo)公式化為銳角求值.tan600°=tan（180°×3+60°）＝tan60°=.答案：D變式訓(xùn)練1tan(）=____________.思路解析：tan（)=—tan=-tan（7π+）=—tan＝—。答案：—變式訓(xùn)練2比較tan（)與tan()的大小。思路分析：同名函數(shù)比較大小時(shí),應(yīng)化為同一單調(diào)區(qū)間上兩個(gè)角的函數(shù)值后,應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性解決;而對(duì)于不同名函數(shù)，則應(yīng)先化為同名函數(shù)再按上面方法求解.解：∵tan()=—tan，tan（)=—tan，又∵0＜＜,y=tanx在（0,）內(nèi)單調(diào)遞增，∴tan＜tan.∴—tan＞-tan，即tan（）＞tan()。例2(經(jīng)典回放）若sinθcosθ＞0，則θ在(）A。第一、二象限B。第一、三象限C。第一、四象限D(zhuǎn)。第二、四象限思路解析:利用sinθ和cosθ的符號(hào)確定θ所在的象限.方法一：∵sinθcosθ＞0，∴sinθ＞0，cosθ＞0或sinθ＜0，cosθ＜0.當(dāng)sinθ＞0且cosθ＞0時(shí)，θ在第一象限；當(dāng)sinθ＜0且cosθ＜0時(shí)，θ在第三象限.綜上可得θ在第一、三象限.方法二:sinθcosθ＞0＞0tanθ＞0，則θ在第一、三象限。答案：B綠色通道：已知同角的某兩個(gè)三角函數(shù)積或商的符號(hào)，可通過分類討論來確定判斷此角所在的象限；還可以把已知兩個(gè)三角函數(shù)積或商的符號(hào)化歸為此角的另一個(gè)三角函數(shù)值的符號(hào)后，再判斷此角所在的象限.變式訓(xùn)練1若sinθtanθ＜0，則θ在（）A。第一、二象限B.第一、三象限C.第一、四象限D(zhuǎn).第二、三象限思路解析：方法一：∵sinθcosθ＜0，∴sinθ＜0，tanθ＞0或sinθ＜0，tanθ＞0。當(dāng)sinθ＞0，tanθ＜0時(shí)，θ在第二象限；當(dāng)sinθ＜0,tanθ＞0時(shí),θ在第三象限。綜上，可得θ在第二、三象限.方法二:sinθtanθ＜0＜0cosθ＜0，θ在第二、三象限。答案：D變式訓(xùn)練2已知點(diǎn)P(tanα,cosα）在第三象限，則|tan|等于（）A.tanB。-tanC.±tanD.思路解析：由于點(diǎn)P在第三象限，則tanα＜0，cosα＜0,所以α的終邊在第二象限，則在第一、三象限，則tan＞0，則有|tan|=tan.答案：A例3求函數(shù)y=tan（3x—）的定義域、值域，并指出它的單調(diào)性。思路分析：利用整體原則，把3x—看作一個(gè)整體.解：令3x—≠kπ+（k∈Z)，得x≠+,∴函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x∈R且x≠+，k∈Z},值域?yàn)镽.由y=tanx，x∈(kπ—，kπ+）（k∈Z）是增函數(shù),∴令kπ-＜2x—＜kπ+(k∈Z)，即-＜x＜+（k∈Z）.∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,+）(k∈Z).綠色通道:函數(shù)y=Atan（ωx+φ）（其中，A≠0，ω＞0)的單調(diào)區(qū)間，可以通過解不等式的方法去解答,列不等式的原則是（1)把“ωx+φ（ω＞0）"看為一個(gè)“整體"；（2）A＞0(A＜0)時(shí)，y=tanx（x≠+kπ）的單調(diào)區(qū)間對(duì)應(yīng)的不等式相同(反）。變式訓(xùn)練1(2006全國高考卷Ⅰ，理5)函數(shù)f(x)=tan(x+）的單調(diào)增區(qū)間為（）A.（kπ—，kπ+)，k∈ZB.(kπ,(k+1)π),k∈ZC。(kπ-,kπ+）,k∈ZD.（kπ-，kπ+),k∈Z思路解析：利用整體策略，令kπ—＜x+＜kπ+(k∈Z），得kπ—＜x＜kπ+.答案:C變式訓(xùn)練2（2005全國高考卷Ⅱ，理4）已知函數(shù)y=tanωx在（—,）內(nèi)是減函數(shù),則（）A。0＜ω≤1B.—1≤ω＜0C.ω≥1思路解析：若ω使函數(shù)y=tanωx在(-，）內(nèi)是減函數(shù)，則有ω＜0，并且周期T=≤—（-）=π.則-1≤ω＜0。答案:B問題探究問題正切函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)、（±、0)、（±π，0）成中心對(duì)稱圖形.結(jié)合正切函數(shù)的圖像，你發(fā)現(xiàn)正切函數(shù)的圖像還有其他對(duì)稱中心嗎？導(dǎo)思:結(jié)合正切函數(shù)的圖像,先進(jìn)行歸納、猜想,再利用對(duì)稱的定義加以證明你的猜想.探究:由于正切函數(shù)是奇函數(shù),則其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。設(shè)點(diǎn)P(x0,y0）是正弦函數(shù)y=tanx圖像上任意一點(diǎn)，則y0=tanx0。那么點(diǎn)P(x0,y0）關(guān)于點(diǎn)（，0)的對(duì)稱點(diǎn)M（π-x0，-y0)，∵tan（π-x0)=-tanx0,∴tan(π-x0）=-y0，即點(diǎn)M(π—x0,-y0)也在正切函數(shù)y=tanx圖像上.∵點(diǎn)P（x0,y0）是正弦函數(shù)y=tanx圖像上任意一點(diǎn)，∴正切函數(shù)的圖像關(guān)于（,0）成中心對(duì)稱圖形。同理，可證正切函數(shù)的圖像關(guān)于（—,0)、（±π，0)成中心對(duì)稱圖形.如圖1-6—5所示，觀察正切函數(shù)的圖像。圖1歸納：原點(diǎn)、（±，0）、(±π,0)的坐標(biāo)都可寫成（0×，0)、(±1×，0）、(±2×，0)的形式，可猜想(,0)（k∈Ｚ）都是正切函數(shù)圖像的對(duì)稱中心。證明：設(shè)點(diǎn)P（x0,y0)是正切函數(shù)y=tanx圖像上任意一點(diǎn),則y0=tanx0.那么點(diǎn)P（x0，y0)關(guān)于點(diǎn)(,0)的對(duì)稱點(diǎn)M（kπ-x0,