專題4.1因式分解（重點題專項講練）（浙教版）（原卷版）

專題4.1因式分解【典例1】先閱讀下列材料，再解答下列問題：材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：將“x+y”看成整體，設(shè)x+y＝m，則原式＝m2+2m+1＝（m+1）2．再將x+y＝m代入，得原式＝（x+y+1）2．上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法．請你完成下列各題：（1）因式分解：1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2；（2）因式分解：25（a+2）2﹣10（a+2）+1；（3）因式分解：（y2﹣6y）（y2﹣6y+18）+81．【思路點撥】（1）把x﹣y看作一個整體，利用完全平方公式分解即可；（2）把a(bǔ)+2看作一個整體，利用完全平方公式分解即可；（3）把y2﹣6y看作一個整體，利用完全平方公式分解即可．【解題過程】解：（1）設(shè)x﹣y＝m，原式＝1﹣2m+m2＝（1﹣m）2＝[1﹣（x﹣y）]2＝（1﹣x+y）2；（2）設(shè)a+2＝m，原式＝25m2﹣10m+1＝（5m﹣1）2＝[5（a+2）﹣1]2＝（5a+9）2；（3）設(shè)y2﹣6y＝m，原式＝m（m+18）+81＝m2+18m+81＝（m+9）2＝（y2﹣6y+9）2＝（y﹣3）4．1．（2020秋?饒平縣校級期末）分解分式：m2﹣3m．2．（2021春?羅湖區(qū)校級期末）因式分解：（1）﹣20a﹣15ax；（2）（a﹣3）2﹣（2a﹣6）．3．（2020秋?銅官區(qū)期末）分解因式：2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）4．（2021秋?黃浦區(qū)期中）分解因式：（x﹣2y）（2x+3y）﹣2（2y﹣x）（5x﹣y）．5．（2021春?鄞州區(qū)期末）因式分解：（1）a2﹣4b2；（2）﹣x2+6xy﹣9y2．6．（2021秋?浦東新區(qū)校級期中）因式分解：81a4﹣16．7．（2021春?亭湖區(qū)校級月考）把下列各式分解因式：（1）25（a+b）2﹣9（a﹣b）2；（2）16x4﹣8x2y2+y4．8．（2021?市南區(qū)校級開學(xué)）因式分解：（x2﹣1）2+6（1﹣x2）+9．9．（2021秋?沐川縣期末）分解因式：（a+2）（a+4）+1．10．（2021秋?鉛山縣期末）分解因式：（a+2b）（a+4b）+b2．11．（2021秋?倉山區(qū)校級期末）把下列各式因式分解：（1）x2y﹣9y；（2）m3﹣8m2+16m．12．（2021秋?浦東新區(qū)期末）分解因式：﹣3x3﹣3xy2﹣6x2y．13．（2021秋?西平縣期末）分解因式：（1）a3﹣10a2b+25ab2；（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．14．（2021秋?尋烏縣期末）分解因式：（m﹣n）（3m+n）2+（m+3n）2（n﹣m）15．（2021秋?泗水縣期末）觀察探究性學(xué)習(xí)小組的甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行的因式分解：甲：x2﹣xy+4x﹣4y＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成兩組）＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式）＝（x﹣y）（x+4）乙：a＝a2＝a2﹣（b﹣c）2（直接運用公式）＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）請你在他們解法的啟發(fā)下，完成下面的因式分解：（1）m3+2m2﹣3m﹣6；（2）9a2﹣4b2﹣6a+1．16．（2021秋?寶山區(qū)期末）分解因式：x3+2x2y﹣9x﹣18y．17．（2020秋?上海期末）分解因式：a4+4b2c2﹣a2b2﹣4a2c2．18．（2021秋?普陀區(qū)期末）因式分解：（x2+4x）2﹣（x2+4x）﹣20．19．（2021秋?建昌縣期末）閱讀材料：根據(jù)多項式乘多項式法則，我們很容易計算：（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3．而因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得：x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．通過這樣的關(guān)系我們可以將某些二次項系數(shù)是1的二次三項式分解因式．如將式子x2+2x﹣3分解因式．這個式子的二次項系數(shù)是1＝1×1，常數(shù)項﹣3＝（﹣1）×3，一次項系數(shù)2＝（﹣1）+3，可以用下圖十字相乘的形式表示為：先分解二次項系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數(shù)項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次項系數(shù)，然后橫向書寫．這樣，我們就可以得到：x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．利用這種方法，將下列多項式分解因式：（1）x2+7x+10＝；（2）x2﹣2x﹣3＝；（3）y2﹣7y+12＝；（4）x2+7x﹣18＝．20．（2021秋?微山縣期末）【知識背景】八年級上冊第121頁“閱讀與思考”中，我們利于因式分解是與整式乘法方向相反的變形這種關(guān)系得到：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．【方法探究】對于多項式x2+（p+q）x+pq我們也可這樣分析：它的二次項系數(shù)1分解成1與1的積；它的常數(shù)項pq分解成p與q的積，按圖1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次項系數(shù)+（p+q）．所以x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．例如，分解因式：x2+5x+6．它的二次項系數(shù)1分解成1與1的積；它的常數(shù)項6分解成2與3的積，按圖2所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次項系數(shù)5．所以x2+5x+6＝（x+2）（x+3）．類比探究：當(dāng)二次項系數(shù)不是1時，我們也可仿照上述方式進(jìn)行因式分解．例如，分解因式：2x2﹣x﹣6．分析：二次項系數(shù)2分解成2與1的積；常數(shù)項﹣6分解成﹣1與6（或﹣6與1，﹣2與3，﹣3與2）的積，但只有當(dāng)﹣2與3時按如圖3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次項系數(shù)﹣1．所以2x2﹣x﹣6＝（2x+3）（x﹣2）．【方法歸納】一般地，在分解形如關(guān)于x的二次三項式ax2+bx+c時，二次項系數(shù)a分解成a1與a2的積，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；常數(shù)項c分解成c1與c2的積，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角，把a(bǔ)1，a2，c1，c2按如圖4所示方式排列，當(dāng)且僅當(dāng)a1c2+a2c1＝b（一