專題2.5實際問題與一元二次方程（舉一反三）（北師大版）（原卷版）2

專題2.5實際問題與一元二次方程【十大題型】【北師大版】TOC\o"13"\h\u【題型1傳播問題】 1【題型2增長率問題】 2【題型3營銷問題】 2【題型4工程問題】 4【題型5行程問題】 5【題型6圖表信息題】 6【題型7數(shù)字問題】 7【題型8與圖形有關的問題】 8【題型9動態(tài)幾何問題】 9【題型10其他問題】 11【題型1傳播問題】【例1】（2023春·福建泉州·九年級校聯(lián)考期中）2019年年底以來，湖北省武漢市發(fā)現(xiàn)一種新型冠狀病毒引起的急性呼吸道傳染疾病。(1)在新冠初期，人們因為不了解這種病毒所以也沒有及時進行隔離，若有1人感染后經過兩輪的傳染將會有144人感染了“新冠”，求每一輪傳染后平均一個人會傳染了幾個人?(2)后來，大家眾志成城，全都隔離在家，但玲玲爺爺種的糖心蘋果遇到了滯銷，于是玲玲在朋友圈幫爺爺銷售，糖心蘋果的成本為8元/千克，她發(fā)現(xiàn)當售價為12元/千克時，每天可賣出40千克，而每漲1元時，每天就少賣出10千克.如果每天要達到150元的利潤而且又最大限度地幫爺爺增加銷量，請你幫玲玲確定銷售單價．【變式11】（2023春·遼寧沈陽·九年級統(tǒng)考期末）一次會議上，每兩個參加會議的人都相互握了一次手，經統(tǒng)計所有人一共握了66次手，則這次會議到會的人數(shù)是（

）A．11 B．12 C．22 D．33【變式12】（2023春·黑龍江七臺河·九年級統(tǒng)考期末）某種植物的主干長出若干個數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是111，則每個支干長出個小分支．【變式13】（2023春·廣東江門·九年級臺山市新寧中學校考期中）組織一次排球邀請賽，采取單循環(huán)的形式，即每兩個隊都要打一場比賽．(1)如果有四個隊參賽，則需要打多少場比賽？(2)寫出比賽的總場數(shù)y與參賽隊伍數(shù)量x之間的函數(shù)關系式；(3)經過最后統(tǒng)計，共打了28場比賽，求這次比賽共有多少個隊參加？【題型2增長率問題】【例2】（2023春·重慶九龍坡·九年級統(tǒng)考期末）某圖書店在2022年國慶節(jié)期間舉行促銷活動，某課外閱讀書進貨價為每本8元，標價為每本15元.(1)該圖書店舉行了國慶大回饋活動，連續(xù)兩次降價，每次降價的百分率相同，最后以每本9.6元的價格售出，求圖書店每次降價的百分率；(2)在九月底該書店老板去進貨該書500本，按照（1）兩次降價后的價格在國慶節(jié)全部售出；國慶節(jié)后老板去進貨發(fā)現(xiàn)進貨價上漲了a%，進貨量比九月底增加3a%，以標價的八折全部售出后，比國慶節(jié)的總利潤多1200元，求【變式21】（2023春·黑龍江大慶·九年級?？计谀╇S著我國數(shù)字化閱讀方式的接觸率和人群持續(xù)增多，數(shù)字閱讀憑借獨有的便利性成為了更快獲得優(yōu)質內容的重要途徑.某市2020年數(shù)字閱讀市場規(guī)模為400萬元，2022年數(shù)字閱讀市場規(guī)模為576萬元.(1)求2020年到2022年該市數(shù)字閱讀市場規(guī)模的年平均增長率；(2)若年平均增長率不變，求2023年該市數(shù)字閱讀市場規(guī)模是多少萬元?【變式22】（2023春·河北承德·九年級承德市第四中學?？计谥校┰趪业暮暧^調控下，某市的商品房成交價由今年3月份的5000元/m2(1)問4、5兩月平均每月降價的百分率是多少？(2)如果房價繼續(xù)回落，按此降價的百分率，你預測到7月份該市的商品房成交均價是否會跌破3000元/m【變式23】（2023春·山西太原·九年級期末）某電器商店銷售某品牌冰箱，該冰箱每臺的進貨價為2500元，已知該商店去年10月份售出50臺，第四季度累計售出182臺．(1)求該商店11，12兩個月的月均增長率；(2)調查發(fā)現(xiàn)，當該冰箱售價為2900元時，平均每天能售出8臺；售價每降低50元，平均每天能多售出4臺．該商店要想使該冰箱的銷售利潤平均每天達到5000元，求每臺冰箱的售價．【題型3營銷問題】【例3】（2023春·湖南長沙·九年級校聯(lián)考期中）春節(jié)是中國的傳統(tǒng)節(jié)日，每年元旦節(jié)后是購物的高峰期，2023年元月某水果商從農戶手中購進A、B兩種紅富士蘋果，其中A種紅富士蘋果進貨價為28元/件，銷售價為42元/件，其中B種紅富士蘋果進貨價為22元/件，銷售價為34元/件．（注：利潤=銷售價?進貨價）(1)水果店第一次用720元購進A、B兩種紅富士蘋果共30件，求兩種紅富士蘋果分別購進的件數(shù)；(2)第一次購進的紅富士蘋果售完后，該水果店計劃再次購進A、B兩種紅富士蘋果共80件（進貨價和銷售價都不變），且進貨總費用不高于2000元．應如何設計進貨方案，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是多少？(3)春節(jié)臨近結束時，水果店發(fā)現(xiàn)B種紅富士蘋果還有大量剩余，決定對B種紅富士蘋果調價銷售．如果按照原價銷售，平均每天可售4件．經調查發(fā)現(xiàn)，每降價1元，平均每天可多售2件，為了盡快減少庫存，將銷售價定為每件多少元時，才能使B種紅富士蘋果平均每天銷售利潤為90元？【變式31】（2023春·廣東江門·九年級期末）汽車專賣店銷售某種型號的汽車．已知該型號汽車的進價為10萬元/輛，銷售一段時間后發(fā)現(xiàn)：當該型號汽車售價定為15萬元/輛時，平均每周售出8輛；售價每降低0.5萬元，平均每周多售出2輛．(1)當售價為13.5萬元/輛時，求平均每周的銷售利潤．(2)若該店計劃下調售價，增大銷量，但要確保平均每周的銷售利潤為40萬元，每輛汽車的售價定為多少合適？【變式32】（2023春·四川樂山·九年級統(tǒng)考期末）今年超市以每件25元的進價購進一批商品，當商品售價為40元時，三月份銷售256件，四、五月該商品十分暢銷，銷售量持續(xù)上漲，在售價不變的基礎上，五月份的銷售量達到400件．(1)求四、五這兩個月銷售量的月平均增長百分率．(2)經市場預測，六月份的銷售量將與五月份持平，現(xiàn)商場為了減少庫存，采用降價促銷方式，經調查發(fā)現(xiàn)，該商品每降價1元，月銷量增加5件，當商品降價多少元時，商場六月份可獲利4250元？【變式33】（2023春·重慶沙坪壩·九年級重慶南開中學?？奸_學考試）正月十五是中華民族傳統(tǒng)的節(jié)日——元宵節(jié)，家家掛彩燈、戶戶吃湯圓已成為世代相沿的習俗．位于北關古城內的盼盼手工湯圓店，計劃在元宵節(jié)前用21天的時間生產袋裝手工湯圓，已知每袋湯圓需要0.3斤湯圓餡和0.5斤湯圓粉，而湯圓店每天能生產450斤湯圓餡或300斤湯圓粉（每天只能生產其中一種）．(1)若這21天生產的湯圓餡和湯圓粉恰好配套，且全部及時加工成湯圓，則總共生產了多少袋手工湯圓？(2)為保證手工湯圓的最佳風味，湯圓店計劃把達21天生產的湯圓在10天內銷售完畢．據(jù)統(tǒng)計，每袋手工湯圓的成本為13元，售價為25元時每天可售出225袋，售價每降低2元，每天可多售出75袋．湯圓店按售價25元銷售2天后，余下8天進行降價促銷，第10天結束后將還未售出的手工湯圓以15元/袋的價格全部賣給古城小吃店，若最終獲利40500元，則促銷時每袋應降價多少元？【題型4工程問題】【例4】（2023春·重慶渝中·九年級重慶巴蜀中學?？计谀┠彻こ剃牪捎肁、B兩種設備同時對長度為4800米的公路進行施工改造．原計劃A型設備每小時鋪設路面比B型設備的2倍多30米，則32小時恰好完成改造任務．(1)求A型設備每小時鋪設的路面長度；(2)通過勘察，此工程的實際施工里程比最初的4800米多了1000米．在實際施工中，B型設備在鋪路效率不變的情況下，時間比原計劃增加了m+25小時，同時，A型設備的鋪路速度比原計劃每小時下降了3m米，而使用時間增加了m小時，求m的值．【變式41】（2023春·寧夏中衛(wèi)·九年級?？计谥校╇S著鐵路運量的不斷增長，重慶火車北站越來越擁擠，為了滿足鐵路交通的快速發(fā)展，該火車站從去年開始啟動了擴建工程，其中某項工程，甲隊單獨完成所需時間比乙隊單獨完成所需時間多5個月，并且兩隊單獨完成所需時間的乘積恰好等于兩隊單獨完成所需時間之和的6倍．（1）求甲、乙隊單獨完成這項工程各需幾個月？（2）若甲隊每月的施工費為100萬元，乙隊每月的施工費比甲隊多50萬元，在保證工程質量的前提下，為了縮短工期，擬安排甲、乙兩隊分工合作完成這項工程．在完成這項工程中，甲隊施工時間是乙隊施工時間的2倍，那么，甲隊最多施工幾個月才能使工程款不超過1500萬元？（甲、乙兩隊的施工時間按月取整數(shù)）【變式42】（2023春·重慶云陽·九年級校聯(lián)考期中）2020年初，武漢爆發(fā)了新型冠狀病毒引起的肺炎，并迅速在全國傳染開來，與此同時醫(yī)護人員一直堅守在抗擊肺炎的前線，為我們保駕護航！羅曼·羅蘭說：“凡是行為善良與高尚的人，定能因之而擔當患難．”他們是最可親可敬的人！由此，醫(yī)療物資護目鏡的需求量大大增加，兩江新區(qū)某護目鏡生產廠家自正月初三起便要求全體員工提前返崗，在接到單位的返崗通知后，員工們都毫無怨言，快速回到了自己的工作崗位，用自己的實際行動踐行著一份責任和擔當．已知該廠擁有兩條不同的護目鏡加工生產線A,B．原計劃A生產線每小時生產護目鏡400個，B生產線每小時生產護目鏡500個．（1）若生產線A,B一共工作12小時，且生產護目鏡的總數(shù)量不少于5500個，則B生產線至少生產護目鏡多少小時？（2）原計劃A,B生產線每天均工作8小時，但現(xiàn)在為了盡快滿足我市護目鏡的需求，兩條生產線每天均比原計劃多工作了相同的小時數(shù)，但因為機器損耗及人員不足原因，A生產線每增加1小時，該生產線每小時的產量將減少10個，B生產線每增加1小時，該生產線每小時的產量將減少15個．這樣一天生產的護目鏡將比原計劃多3300個，求該廠實際每天生產護目鏡的時間．【變式43】（2023春·重慶合川·九年級校考期中）甲、乙兩工程隊共同承建某高速路隧道工程，隧道總長2000米，甲、乙分別從隧道兩端向中間施工，計劃每天各施工6米．因地質情況不同，兩支隊伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一樣．甲每合格完成1米，隧道施工成本為6萬元；乙每合格完成1米，隧道施工成本為8萬元．（1）若工程結算時乙總施工成本不低于甲總施工成本的43（2）實際施工開始后因地質情況比預估更復雜，甲乙兩隊每日完成量和成本都發(fā)生變化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m萬元時，則每天可多挖12m米，乙因特殊地質，在施工成本不變的情況下，比計劃每天少挖14m米，若最終每天實際總成本比計劃多（11m8）萬元，求【題型5行程問題】【例5】（2023春·重慶云陽·九年級校聯(lián)考期中）周末，小明和小紅約著一起去公園跑步鍛煉身體若兩人同時從A地出發(fā)，勻速跑向距離12000m處的B地，小明的跑步速度是小紅跑步速度的1.2倍，那么小明比小紅早5分鐘到達B地．(1)求小明、小紅的跑步速度；(2)若從A地到達B地后，小明以跑步形式繼續(xù)前進到C地（整個過程不休息），據(jù)了解，在他從跑步開始前30分鐘內，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，超過30分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里，在整個鍛煉過程中，小明共消耗2300卡路里的熱量，小明從A地到C地鍛煉共用多少分鐘．【變式51】（2023春·重慶·九年級西南大學附中?？计谥校┬∶麇憻捊∩?，從A地勻速步行到B地用時25分鐘．若返回時，發(fā)現(xiàn)走一小路可使A、B兩地間路程縮短200米，便抄小路以原速返回，結果比去時少用2.5分鐘．（1）求返回時A、B兩地間的路程；（2）若小明從A地步行到B地后，以跑步形式繼續(xù)前進到C地（整個鍛煉過程不休息）．據(jù)測試，在他整個鍛煉過程的前30分鐘（含第30分鐘），步行平均每分鐘消耗熱量6卡路里，跑步平均每分鐘消耗熱量10卡路里；鍛煉超過30分鐘后，每多跑步1分鐘，多跑的總時間內平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里．測試結果，在整個鍛煉過程中小明共消耗904卡路里熱量．問：小明從A地到C地共鍛煉多少分鐘．【變式52】（2023·九年級單元測試）甲、乙兩個機器人分別從相距70m的A、B兩個位置同時相向運動．甲第1分鐘走2m，以后每分鐘比前1分鐘多走1m，乙每分鐘走5m．(1)甲、乙開始運動后多少分鐘第一次同時到達同一位置？(2)如果甲、乙到達A或B后立即折返，甲繼續(xù)每分鐘比前1分鐘多走1m，乙繼續(xù)按照每分鐘5m的速度行走，那么開始運動后多少分鐘第二次同時到達同一位置？【變式53】（2023·四川成都·成都實外?？家荒＃榍袑嵧七M廣大青少年學生走向操場、走進大自然、走到陽光下，積極參加體育鍛煉，陽光體育長跑是如今學校以及當代年輕人選擇最多的運動．學生堅持長跑，不僅能夠幫助身體健康，還能夠收獲身心的愉悅．周末，小明和小齊相約一起去天府綠道跑步．若兩人同時從A地出發(fā)，勻速跑向距離12000m處的B地，小明的跑步速度是小齊跑步速度的1.2倍，那么小明比小齊早5分鐘到達B根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)小明每分鐘跑多少米？(2)若從A地到達B地后，小明以跑步形式繼續(xù)前進到C地（整個過程不休息）．據(jù)了解，從他跑步開始，前30分鐘內，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，超過30分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里，在整個鍛煉過程中，小明共消耗2300卡路里的熱量，小明從A地到C地鍛煉共用多少分鐘．【題型6圖表信息題】【例6】（2023春·河北衡水·九年級校考期末）近年來，隨著城市居民入住率的增加，污水處理問題成為城市的難題．某城市環(huán)境保護局協(xié)同自來水公司為鼓勵居民節(jié)約用水，減少污水排放，規(guī)定：居民用水量每月不超過a噸時，只需交納10元水費，如果超過a噸，除按10元收費外，超過部分，另按每噸5a元收取水費（水費+污水處理費）．（1）某市區(qū)居民2018年3月份用水量為8噸，超過規(guī)定水量，用a的代數(shù)式表示該用戶應交水費多少元；（2）下表是這戶居民4月份和5月份的用水量和繳費情況；月份用水量（噸）交水費總金額（元）47705540根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求規(guī)定用水量a的值．（3）結合當?shù)厮Y源狀況，談談如何開展水資源環(huán)境保護？如何節(jié)約用水？【變式61】（2023春·江蘇蘇州·九年級統(tǒng)考期末）根據(jù)龍灣風景區(qū)的旅游信息，某公司組織一批員工到該風景區(qū)旅游，支付給旅行社28000元.你能確定參加這次旅游的人數(shù)嗎？【變式62】（2023春·江蘇蘇州·九年級統(tǒng)考期中）某旅行社一則旅游消息如下：旅游人數(shù)收費標準不超過10人人均收費2400元超過10人每增加一人，人均收費減少60元，但人均收費不低于1500元(1)甲公司員工分兩批參加該項旅游，分別支付給旅行社12000元和24000元，甲公司員工有__________人．(2)乙公司員工一起參加該項旅游，支付給旅行社36000元，乙公司員工多少人？【變式63】（2023春·九年級課時練習）海洲市出租車收費標準如下（規(guī)定：四舍五入，精確到元，N≤15）N是走步價，李先生乘坐出租車打出的電子收費單是：里程11公里，應收29．1元，你能依據(jù)以上信息，推算出起步價N的值嗎?里程x（km）0＜x≤33＜x≤6x＞6單價y（元）N2225【題型7數(shù)字問題】【例7】（2023春·山西太原·九年級統(tǒng)考期中）直角三角形中“勾三股四弦五”這一特殊關系，在中國稱為“商高定理”，在國外又稱為“畢達哥拉斯定理”．由此發(fā)現(xiàn)三個連續(xù)正整數(shù)3，4，5，滿足32【變式71】（2023春·廣東梅州·九年級?？奸_學考試）一個兩位數(shù)，其個位上的數(shù)與十位上的數(shù)的和等于6，而個位與十位上的數(shù)的積等于這兩位數(shù)的三分之一，求這個兩位數(shù).【變式72】（2023春·遼寧沈陽·九年級統(tǒng)考期末）2021年7月1日是建黨100周年紀念日，在本月日歷表上可以用小方框圈出四個數(shù)（如圖所示），圈出的四個數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積能否為33或65，若能求出最小數(shù)：若不能請說明理由．【變式73】（2023春·福建南平·九年級統(tǒng)考期中）解讀詩詞(通過列方程算出周瑜去世時的年齡)：大江東去浪淘盡，千古風流數(shù)人物，而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)，十位恰小個位三，個位平方與壽符，哪位學子算得快，多少年華屬周瑜？詩詞大意：周瑜三十歲當東吳都督，去世時的年齡是兩位數(shù)，十位數(shù)字比個位數(shù)字小三，個位數(shù)字的平方等于他去世時的年齡．【題型8與圖形有關的問題】【例8】（2023春·廣東韶關·九年級翁源縣龍仙第二中學校考期中）如圖，一農戶要建一個矩形雞舍，為了節(jié)省材料，雞舍的一邊利用長為12米的墻，另外三邊用長為27米的建筑材料圍成，為方便進出，在垂直墻的一邊留下一個寬1米的門，所圍成矩形雞舍的長、寬分別是多少時，雞舍面積為90平方米？

【變式81】（2023春·重慶大渡口·九年級校考期末）（1）如圖1，在一塊長為40m，寬為30m的矩形地面上，修建有道路，道路都是等寬的，剩余部分種上草坪，測得草坪的面積是1064m（2）后來要在這塊長為40m，寬為30m的矩形地面上，進行重新規(guī)劃，打算修建兩橫兩豎的道路（橫豎道路各與矩形的一條邊平行），如圖2，橫、豎道路的寬度相同，剩余部分種上草坪，如果要使草坪的面積是地面面積的二分之一，應如何設計道路的寬度？【變式82】（2023春·廣東惠州·九年級?？奸_學考試）用54m長的竹柵欄圍一個矩形菜園，菜園的一邊靠長為am的墻，另三邊用竹柵欄圍成，寬度都是1m(1)當a=41時，矩形菜園面積是320m2，求(2)當a足夠大時，問矩形菜園的面積能否達到400m【變式83】（2023·山西呂梁·九年級統(tǒng)考期中）圖1所示是某廣場地面示意圖，該地面是由圖2所示正方形地磚鋪砌而成，某綜合實踐小組的同學測量圖2所示地磚，得到AB=100cm，AE=AH=CF=CG，且AE<BE．于是他們抽象出如下兩個數(shù)學問題：問題（1）：若中間區(qū)域EFGH的邊EF=2EH，求AE的長度；問題（2）：若中間區(qū)域EFGH的面積為4800cm2，求請你幫助他們解決上面的兩個問題．【題型9動態(tài)幾何問題】【例9】（2023春·遼寧朝陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，動點P、Q分別以3cm/s，2cm/s的速度從點

(1)若點P從點A移動到點B停止，點Q隨點P的停止而停止移動，問經過多長時間P，Q兩點之間的距離是10cm(2)若點P沿著AB→BC→CD移動，點Q從點C移動到點D停止時，點P隨點Q的停止而停止移動，試探求經過多長時間△PBQ的面積為12cm【變式91】（2023春·廣東清遠·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=11cm，BC=8cm，點P從點A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿AB向點B勻速運動，同時點Q從點B出發(fā)以每秒2cm的速度沿BC向點C勻速運動，到達點C后返回點B，當有一點停止運動時，另一點也停止運動，設運動時間為(1)當t=1時，直接寫出P，Q兩點間的距離．(2)是否存在t，使得△BPQ是等腰三角形，若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．(3)是否存在t，使得△BPQ的面積等于10cm2，若存在，請求出【變式92】（2023春·廣東惠州·九年級惠州一中?？奸_學考試）如圖，AC是正方形ABCD的對角線，AD＝8，E是AC的中點，動點P從點A出發(fā)，沿AB方向以每秒1個單位的速度向終點B運動，同時動點Q從點B出發(fā)，以每秒2個單位的速度先沿BC方向運動到點C，再沿CD方向向終點D運動，以EP、EQ為鄰邊作平行四邊形PEQF，設點P運動的時間為t秒（0＜t＜8）(1)當t＝1時，試求PE的長；(2)當點F恰好落在線段AB上時，求BF的長；(3)在整個運動過程中，當?PEQF為菱形時，求t的值．【變式93】（2023春·江蘇鹽城·九年級?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，過原點O及點A（0，5）、C（12，0）作矩形OABC，∠AOC的平分線交AB于點D．點P從點O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿射線OD方向移動；同時點Q從點O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿x軸正方向移動．設移動時間為t秒．(1)當t=_____時，點P移動到點D；(2)當△OPQ的面積為16時，求此時t的值；(3)當t為何值時，△PQB為直角三角形．【題型10其他問題】【例10】（2023春·山東青島·九年級統(tǒng)考期中）機械加工需要用油進行潤滑以減小摩擦，某企業(yè)加工一臺大型機械設備潤滑用油量為90千克，用油的重復利用率為60%，按此計算，加工一臺大型機械設備的實際耗油量為36千克，為了建設節(jié)約型社會，減少油耗，該企業(yè)的甲、乙兩個車間都組織了人員為減少實際耗油量進行攻關.（1）甲車間通過技術革新后，加工一臺大型機械設備潤滑用油量下降到70千克，用油量的重復利用率仍然為60%.問甲車間技術革新后，加工一臺大型機械設備的實際耗油量是多少千克？（2）乙車間通過技術革新后，不僅降低了潤滑用油量，同時也提高了用油的重復利用率，并且發(fā)現(xiàn)在技術革新前的基礎上，潤滑用油量每減少1千克，用油的重復利用率將增加1.6%，這樣乙車間加工一臺大型機械設備的實際耗油量下降到12千克，問乙車間技術革新后，加工一臺大型機械設