專項(xiàng)11二次函數(shù)與幾何綜合-面積問(wèn)題(原卷版+解析)

專項(xiàng)11二次函數(shù)與幾何綜合-面積問(wèn)題【方法1直接法】一般以坐標(biāo)軸上線段或以與軸平行的線段為底邊【方法2鉛錘法】（1）求A、B兩點(diǎn)水平距離，即水平寬；（2）過(guò)點(diǎn)C作x軸垂線與AB交于點(diǎn)D，可得點(diǎn)D橫坐標(biāo)同點(diǎn)C；（3）求直線AB解析式并代入點(diǎn)D橫坐標(biāo)，得點(diǎn)D縱坐標(biāo)；（4）根據(jù)C、D坐標(biāo)求得鉛垂高（5）【方法3其他面積方法】如圖1，同底等高三角形的面積相等．平行線間的距離處處相等．如圖2，同底三角形的面積比等于高的比．如圖3，同高三角形的面積比等于底的比．如圖1如圖2如圖3【方法4利用相似性質(zhì)】利用相似圖形，面積比等于相似比的平方?！痉椒?鉛錘法求面積】【典例1】（聊城）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0），點(diǎn)B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，8），連接BC．又已知位于y軸右側(cè)且垂直于x軸的動(dòng)直線l，沿x軸正方向從O運(yùn)動(dòng)到B（不含O點(diǎn)和B點(diǎn)），且分別交拋物線、線段BC以及x軸于點(diǎn)P，D，E．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）作PF⊥BC，垂足為F，當(dāng)直線l運(yùn)動(dòng)時(shí)，求Rt△PFD面積的最大值．【變式1-1】（婁底）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，且過(guò)點(diǎn)D（2，﹣3）．點(diǎn)P、Q是拋物線y＝ax2+bx+c上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線OD下方時(shí)，求△POD面積的最大值．【變式1-2】（2021秋?龍江縣校級(jí)期末）綜合與探究如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+4經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式，連接BC，并求出直線BC的解析式；（2）請(qǐng)?jiān)趻佄锞€的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使AP+PC的值最小，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（，）；（3）點(diǎn)Q在第一象限的拋物線上，連接CQ，BQ，求出△BCQ面積的最大值．（4）點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使得以A、C、M、N四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式1-2】（2022春?南岸區(qū)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0），交y軸于點(diǎn)C，且OC＝3．（1）求該拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P為直線BC下方拋物線上的一點(diǎn)，連接AC、BC、CP、BP，求四邊形PCAB的面積的最大值，以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；【方法2其他方法】【典例2】（深圳）如圖拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)C（0，3），且OB＝OC．（1）求拋物線的解析式及其對(duì)稱軸；（2）點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，連接CP，直線CP把四邊形CBPA的面積分為3：5兩部分，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【變式2-1】（2021秋?合川區(qū)）如圖，拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（6，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線BC于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，連接PB．（1）求該拋物線的解析式；（2）當(dāng)△PBD與△BDE的面積之比為1：2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【典例3】（淮安）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，D為頂點(diǎn)，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，3）．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）試問(wèn)在該二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)G，使得△ADG的面積是△BDG的面積的？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式3】（2021秋?南陽(yáng)）如圖，對(duì)稱軸為x＝﹣1的拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0）．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)．（2）已知a＝1，C為拋物線與y軸的交點(diǎn)．①求拋物線的解析式．②若點(diǎn)P在拋物線上，且S△POC＝4S△BOC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．1.（2021秋?日喀則市月考）如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+4x+5的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，M為拋物線的頂點(diǎn)．（1）求M點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求△MBC的面積；2．（2022?東方二模）如圖，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)B（3，0）、C（0，﹣3）兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為D．（1）求該拋物線的解析式；（2）點(diǎn)E為該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），當(dāng)點(diǎn)E在直線BC的下方運(yùn)動(dòng)時(shí)，求△CBE的面積的最大值；3．（2022?廣東）如圖，拋物線y＝x2+bx+c（b，c是常數(shù)）的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，A（1，0），AB＝4，點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PQ∥BC交AC于點(diǎn)Q．（1）求該拋物線的解析式；（2）求△CPQ面積的最大值，并求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．4．（2022春?青秀區(qū)校級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c，與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)E、B．且點(diǎn)A（0，5），B（5，0），拋物線的對(duì)稱軸與AB交于點(diǎn)M．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）若點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PB，PM，求△PMB面積的最大值；5．（2022春?南岸區(qū)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0），交y軸于點(diǎn)C，且OC＝3．（1）求該拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P為直線BC下方拋物線上的一點(diǎn)，連接AC、BC、CP、BP，求四邊形PCAB的面積的最大值，以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；6．（2022?興寧區(qū)校級(jí)模擬）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c過(guò)點(diǎn)A、B，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，直線y＝﹣x+3與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，且．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)M（t，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)DN＝2t，△MNB的面積為時(shí)，求出點(diǎn)M與點(diǎn)N的坐標(biāo)；7．（2022?煙臺(tái)）如圖，已知直線y＝x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，對(duì)稱軸為直線x＝﹣1．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）D是第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，求四邊形ABCD面積S的最大值及此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)；專項(xiàng)11二次函數(shù)與幾何綜合-面積問(wèn)題【方法1直接法】一般以坐標(biāo)軸上線段或以與軸平行的線段為底邊【方法2鉛錘法】（1）求A、B兩點(diǎn)水平距離，即水平寬；（2）過(guò)點(diǎn)C作x軸垂線與AB交于點(diǎn)D，可得點(diǎn)D橫坐標(biāo)同點(diǎn)C；（3）求直線AB解析式并代入點(diǎn)D橫坐標(biāo)，得點(diǎn)D縱坐標(biāo)；（4）根據(jù)C、D坐標(biāo)求得鉛垂高（5）【方法3其他面積方法】如圖1，同底等高三角形的面積相等．平行線間的距離處處相等．如圖2，同底三角形的面積比等于高的比．如圖3，同高三角形的面積比等于底的比．如圖1如圖2如圖3【方法4利用相似性質(zhì)】利用相似圖形，面積比等于相似比的平方。【方法1鉛錘法求面積】【典例1】（聊城）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0），點(diǎn)B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，8），連接BC．又已知位于y軸右側(cè)且垂直于x軸的動(dòng)直線l，沿x軸正方向從O運(yùn)動(dòng)到B（不含O點(diǎn)和B點(diǎn)），且分別交拋物線、線段BC以及x軸于點(diǎn)P，D，E．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）作PF⊥BC，垂足為F，當(dāng)直線l運(yùn)動(dòng)時(shí)，求Rt△PFD面積的最大值．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+8（2）【解答】解：（1）將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+8；（2）在Rt△PFD中，∠PFD＝∠COB＝90°，∵l∥y軸，∴∠PDF＝∠OCB，∴Rt△PFD∽R(shí)t△BCO，∴，∴S△PDF＝?S△BOC，而S△BOC＝OB?OC＝＝16，BC＝＝4，∴S△PDF＝?S△BOC＝PD2，即當(dāng)PD取得最大值時(shí)，S△PDF最大，將B、C坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：直線BC的表達(dá)式為：y＝﹣2x+8，設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2+2m+8），則點(diǎn)D（m，﹣2m+8），則PD＝﹣m2+2m+8+2m﹣8＝﹣（m﹣2）2+4，當(dāng)m＝2時(shí)，PD的最大值為4，故當(dāng)PD＝4時(shí)，∴S△PDF＝PD2＝【變式1-1】（婁底）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，且過(guò)點(diǎn)D（2，﹣3）．點(diǎn)P、Q是拋物線y＝ax2+bx+c上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線OD下方時(shí)，求△POD面積的最大值．【答案】（1）：y＝x2﹣2x﹣3（2）①﹣m2+m+3②【解答】解：（1）函數(shù)的表達(dá)式為：y＝a（x+1）（x﹣3），將點(diǎn)D坐標(biāo)代入上式并解得：a＝1，故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）設(shè)點(diǎn)P（m，m2﹣2m﹣3），①當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí)，設(shè)直線PD與y軸交于點(diǎn)G，設(shè)點(diǎn)P（m，m2﹣2m﹣3），將點(diǎn)P、D的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝sx+t并解得：直線PD的表達(dá)式為：y＝mx﹣3﹣2m，則OG＝3+2m，S△POD＝×OG（xD﹣xP）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3，②當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，設(shè)PD交y軸于點(diǎn)M，同理可得：S△POD＝×OM（xD﹣xP）＝﹣m2+m+3，綜上，S△POD＝﹣m2+m+3，∵﹣1＜0，故S△POD有最大值，當(dāng)m＝時(shí)，其最大值為；【變式1-2】（2021秋?龍江縣校級(jí)期末）綜合與探究如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+4經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式，連接BC，并求出直線BC的解析式；（2）請(qǐng)?jiān)趻佄锞€的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使AP+PC的值最小，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（，）；（3）點(diǎn)Q在第一象限的拋物線上，連接CQ，BQ，求出△BCQ面積的最大值．（4）點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使得以A、C、M、N四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，得到，解得，∴y＝﹣x2+3x+4；在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0，則y＝4，∴C（0，4），設(shè)BC的解析式為y＝kx+b，∵B（4，0），C（0，4），∴，∴，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+4；（2）如圖1中，由題意A，B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸直線x＝對(duì)稱，連接BC交直線x＝于點(diǎn)P，連接PA，此時(shí)PA+PC的值最小，最小值為線段BC的長(zhǎng)＝＝4，∵直線BC的解析式為y＝﹣x+4，∴x＝時(shí)，y＝﹣+4＝，∴此時(shí)P（，）．故答案為：（，）；（3）設(shè)Q（m，﹣m2+3m+4）過(guò)Q作QD⊥x軸，交BC于點(diǎn)D，則D（m，﹣m+4），∴QD＝（﹣m2+3m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m，∵B（4，0），∴OB＝4，，當(dāng)m＝2時(shí)，S△BCQ取最大值，最大值為8，∴△BCQ面積的最大值為8；【變式1-2】（2022春?南岸區(qū)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0），交y軸于點(diǎn)C，且OC＝3．（1）求該拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P為直線BC下方拋物線上的一點(diǎn)，連接AC、BC、CP、BP，求四邊形PCAB的面積的最大值，以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；【解答】解：（1）∵OC＝3，∴C（0，﹣3），將點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，得，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵S四邊形PCAB＝S△ABC+S△PBC，∴當(dāng)S△PBC面積最大時(shí)，S四邊形PCAB的面積最大，設(shè)BC的直線解析式y(tǒng)＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣3，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸交BC于點(diǎn)Q，設(shè)P（t，t2﹣2t﹣3），則Q（t，t﹣3），∴當(dāng)PQ最大時(shí)，S△PBC面積最大，∴PQ＝t﹣3﹣t2+2t+3＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣）2+，當(dāng)t＝時(shí)，PQ取最大值，∴P（，﹣），∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴AB＝4，∴S四邊形PCAB＝S△ABC+S△PBC＝×4×3+××3＝；【方法2其他方法】【典例2】（深圳）如圖拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)C（0，3），且OB＝OC．（1）求拋物線的解析式及其對(duì)稱軸；（2）點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，連接CP，直線CP把四邊形CBPA的面積分為3：5兩部分，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；x＝1（2）P的坐標(biāo)為（4，﹣5）或（8，﹣45）【解答】解：（1）∵OB＝OC，∴點(diǎn)B（3，0），則拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+3…①，函數(shù)的對(duì)稱軸為：x＝1；（2）如圖，設(shè)直線CP交x軸于點(diǎn)E，直線CP把四邊形CBPA的面積分為3：5兩部分，又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，則BE：AE＝3：5或5：3，則AE＝或，即：點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，0）或（，0），將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入直線CP的表達(dá)式：y＝kx+3，解得：k＝﹣6或﹣2，故直線CP的表達(dá)式為：y＝﹣2x+3或y＝﹣6x+3…②聯(lián)立①②并解得：x＝4或8（不合題意值已舍去），故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，﹣5）或（8，﹣45）．【變式2-1】（2021秋?合川區(qū)）如圖，拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（6，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線BC于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，連接PB．（1）求該拋物線的解析式；（2）當(dāng)△PBD與△BDE的面積之比為1：2時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【答案】（1）y＝﹣x2+5x+6（2）P（，）【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（6，0），∴，∴，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+5x+6；（2）∵拋物線y＝﹣x2+5x+6過(guò)點(diǎn)C，∴C（0，6），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+n，∴，∴，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+6，設(shè)P（m，﹣m2+5m+6），則D（m，﹣m+6），∴PE＝﹣m2+5m+6，DE＝﹣m+6，∵△PBD與△BDE的面積之比為1：2，∴PD：DE＝1：2，∴PE：DE＝3：2，∴3（﹣m+6）＝2（﹣m2+5m+6），解得，m2＝6（舍去），∴P（，）；【典例3】（淮安）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，D為頂點(diǎn)，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，3）．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）試問(wèn)在該二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)G，使得△ADG的面積是△BDG的面積的？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）y＝﹣（x﹣1）2+3（2）G的坐標(biāo)為（0，）或（﹣15，﹣45）．【解答】解：（1）依題意，設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝a（x﹣1）2+3將點(diǎn)B代入得0＝a（5﹣1）2+3，得a＝﹣∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y＝﹣（x﹣1）2+3（2）存在點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)G在x軸的上方時(shí)，設(shè)直線DG交x軸于P，設(shè)P（t，0），作AE⊥DG于E，BF⊥DG于F．由題意：AE：BF＝3：5，∵BF∥AE，∴AP：BP＝AE：BF＝3：5，∴（﹣3﹣t）：（5﹣t）＝3：5，解得t＝﹣15，∴直線DG的解析式為y＝x+，由，解得或，∴G（0，）．當(dāng)點(diǎn)G在x軸下方時(shí)，如圖2所示，∵AO：OB＝3：5∴當(dāng)點(diǎn)G在DO的延長(zhǎng)線上時(shí)，存在點(diǎn)G使得S△ADG：S△BDG＝3：5，此時(shí)，DG的直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，設(shè)直線DG的解析式為y＝kx，將點(diǎn)D代入得k＝3，故y＝3x，則有整理得，（x﹣1）（x+15）＝0，得x1＝1（舍去），x2＝﹣15當(dāng)x＝﹣15時(shí)，y＝﹣45，故點(diǎn)G為（﹣15，﹣45）．綜上所述，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，）或（﹣15，﹣45）．【變式3】（2021秋?南陽(yáng)）如圖，對(duì)稱軸為x＝﹣1的拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0）．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)．（2）已知a＝1，C為拋物線與y軸的交點(diǎn)．①求拋物線的解析式．②若點(diǎn)P在拋物線上，且S△POC＝4S△BOC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）（2）①y＝x2+2x﹣3②點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，21）或（﹣4，5）【解答】解：（1）∵對(duì)稱軸為直線x＝﹣1的拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，∴A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線x＝﹣1對(duì)稱，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0），∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）；（2）①a＝1時(shí)，∵拋物線y＝x2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，∴＝﹣1，解得b＝2，將B（1，0）代入y＝x2+2x+c，得1+2+c＝0，解得c＝﹣3，∴拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3；②∵拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3，∴拋物線與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3），OC＝3，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2+2x﹣3），∵S△POC＝4S△BOC，∴×OC×|x|＝4××OC×OB，即×3×|x|＝4××3×1，∴|x|＝4，解得x＝±4，當(dāng)x＝4時(shí)，x2+2x﹣3＝16+8﹣3＝21，當(dāng)x＝﹣4時(shí)，x2+2x﹣3＝16﹣8﹣3＝5，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，21）或（﹣4，5）；1.（2021秋?日喀則市月考）如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+4x+5的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，M為拋物線的頂點(diǎn)．（1）求M點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求△MBC的面積；【解答】解：（1）y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴M（2，9）；（2）令y＝0，得﹣x2+4x+5＝0，解得x＝﹣1或x＝5，∴A（﹣1，0），B（5，0），令x＝0，得y＝﹣x2+4x+5＝5，∴C（0，5），過(guò)點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，∴S△MBC＝S四邊形MBOE﹣S△MCE﹣S△BOC＝＝15；2．（2022?東方二模）如圖，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)B（3，0）、C（0，﹣3）兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為D．（1）求該拋物線的解析式；（2）點(diǎn)E為該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），當(dāng)點(diǎn)E在直線BC的下方運(yùn)動(dòng)時(shí)，求△CBE的面積的最大值；【解答】解：（1）將B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；（2）連接CE、BE，經(jīng)過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線FE，交直線BC于點(diǎn)F，設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+m，將B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：，解得：，∴直線BC的解解析式為y＝x﹣3，設(shè)點(diǎn)F（x，x﹣3），點(diǎn)E（x，x2﹣2x﹣3），∴EF＝（x﹣3﹣x2+2x+3）＝﹣x2+3x，∴S△CBE＝S△CEF+S△BEF＝EF?OB＝（﹣x2+3x）＝﹣（x﹣）2+，∵a＝﹣＜0，且0＜x＜3，∴當(dāng)x＝時(shí)，S△CBE有最大值，最大值是，此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）；3．（2022?廣東）如圖，拋物線y＝x2+bx+c（b，c是常數(shù)）的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，A（1，0），AB＝4，點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PQ∥BC交AC于點(diǎn)Q．（1）求該拋物線的解析式；（2）求△CPQ面積的最大值，并求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】（1）∵拋物線y＝x2+bx+c（b，c是常數(shù)）的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，A（1，0），AB＝4，∴B（﹣3，0），∴，解得，∴拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3；（2）過(guò)Q作QE⊥x軸于E，過(guò)C作CF⊥x軸于F，設(shè)P（m，0），則PA＝1﹣m，∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴C（﹣1，﹣4），∴CF＝4，∵PQ∥BC，∴△PQA∽△BCA，∴，即，∴QE＝1﹣m，∴S△CPQ＝S△PCA﹣S△PQA＝PA?CF﹣PA?QE＝（1﹣m）×4﹣（1﹣m）（1﹣m）＝﹣（m+1）2+2，∵﹣3≤m≤1，∴當(dāng)m＝﹣1時(shí)S△CPQ有最大值2，∴△CPQ面積的最大值為2，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0）．4．（2022春?青秀區(qū)校級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c，與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)E、B．且點(diǎn)A（0，5），B（5，0），拋物線的對(duì)稱軸與AB交于點(diǎn)M．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）若點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PB，PM，求△PMB面積的最大值；【解答】解：（1）∵點(diǎn)A（0，5），B（5，0）在拋物線y＝﹣x2+bx+c上，∴，∴，∴二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+4x+5；（2）如圖，∵A（0，5），B（5，0），∴直線AB的解析式為y＝﹣x+5，∵點(diǎn)M是拋物線的對(duì)稱軸與直線AB的交點(diǎn)，∴M（2，3），由（1）知，二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+4x+5，過(guò)點(diǎn)P作PH∥y軸交AB于H，設(shè)P（m，﹣m2+4m+5）（0＜m＜5），∴H（m，﹣m+5），∴PH＝﹣m2+4m+5﹣（﹣m+5）＝﹣m2+5m，∴S△PMB＝PH（xB﹣xM）＝（﹣m2+5m）（5﹣2）＝﹣（x﹣）2+，∴當(dāng)x＝時(shí)，S△PMB最大＝，即△PMB面積的最大值為；5．（2022春?南岸區(qū)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0），交y軸于點(diǎn)C，且OC＝3．（1）求該拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P為直線BC下方拋物線上的一點(diǎn)，連接AC、BC、CP、BP，求四邊形PCAB的面積的最大值，以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；【解答】解：（1）∵OC＝3，∴C（0，﹣3），將點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，得，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵S四邊形PCAB＝S△ABC+S△PBC，∴當(dāng)S△PBC面積最大時(shí)，S四邊形PCAB的面積最大，設(shè)BC的直線解析式y(tǒng)＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣3，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸交BC于點(diǎn)Q，設(shè)P（t，t2﹣2t﹣3），則Q（t，t﹣3），∴當(dāng)PQ最大時(shí)，S△PBC面積最大，∴PQ＝t﹣3﹣t2+2t+3＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣）2+，當(dāng)t＝時(shí)，PQ取