專題03全等三角形常見五種輔助線添法專訓(xùn)（原卷版）

專題03全等三角形常見五種輔助線添法專訓(xùn)【目錄】輔助線添法一倍長中線法輔助線添法二截長補(bǔ)短法輔助線添法三旋轉(zhuǎn)法輔助線添法四作平行線法輔助線添法五作垂線法【經(jīng)典例題一倍長中線法】【模型解讀】中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時(shí)，常常采用“倍長中線法”添加輔助線．所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)來解決問題的方法．【常見模型】【例1】（2022秋·北京大興·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，，是中線，有下面四個(gè)結(jié)論：①與的面積相等；②；③若點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），連接，，則的面積比的面積大；④點(diǎn)，是，所在直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），若，連接，，則．所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①②③④ B．①②④ C．②③ D．①③④【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，已知AD是△ABC中BC邊上的中線，AB＝5，AC＝3，則AD的取值范圍是（）A．2＜AD＜8 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜5 D．4≤AD≤82．（2023春·全國·八年級(jí)期末）如圖，在，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，連接，平分，交于中點(diǎn)，連接，若，則___________．

3．（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）【閱讀理解】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖2，延長到點(diǎn)E，使，連接．請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：（1）如圖2，由已知和作圖能得到的理由是．A．SSSB．SASC．AASD．ASA（2）如圖2，長的取值范圍是．A．B．

C．

D．【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形中．【問題解決】（3）如圖3，是的中線，交于點(diǎn)E，交于F，且．求證：．【經(jīng)典例題二截長補(bǔ)短法】【模型分析】截長補(bǔ)短的方法適用于求證線段的和差倍分關(guān)系．截長：指在長線段中截取一段等于已知線段；補(bǔ)短：指將短線段延長，延長部分等于已知線段．該類題目中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線等關(guān)鍵詞句，可以采用截長補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形來完成證明過程，截長補(bǔ)短法（往往需證2次全等）．【模型圖示】（1）截長：在較長線段上截取一段等于某一短線段，再證剩下的那一段等于另一短線段．例：如圖，求證BE＋DC＝AD方法：①在AD上取一點(diǎn)F，使得AF＝BE，證DF＝DC；②在AD上取一點(diǎn)F，使DF＝DC，證AF＝BE（2）補(bǔ)短：將短線段延長，證與長線段相等例：如圖，求證BE＋DC＝AD方法：①延長DC至點(diǎn)M處，使CM＝BE，證DM＝AD；②延長DC至點(diǎn)M處，使DM＝AD，證CM＝BE【例2】（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）把兩個(gè)全等的直角三角形的斜邊重合，組成一個(gè)四邊形以D為頂點(diǎn)作，交邊、于M、N．(1)若，，兩邊分別交、于點(diǎn)M、N，、、三條線段之間有何種數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；(2)當(dāng)時(shí)，、、三條線段之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；(3)如圖③，在（2）的條件下，若將M、N改在、的延長線上，完成圖3，其余條件不變，則、、之間有何數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)論，不必證明）【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，AD平分，，，，則AC的長為（

）A．3 B．9 C．11 D．152．（2023·全國·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，為等邊三角形，若，則__________（用含的式子表示）．3．（2023春·湖北咸寧·八年級(jí)咸寧市溫泉中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，四邊形是正方形，E是邊的中點(diǎn)，，且交正方形外角的平分線于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)連接，則的值為__________；(3)連接，設(shè)與交于點(diǎn)H，連接，探究之間的關(guān)系．【經(jīng)典例題三旋轉(zhuǎn)法】【模型分析】旋轉(zhuǎn)：將包含一條短邊的圖形旋轉(zhuǎn)，使兩短邊構(gòu)成一條邊，證與長邊相等．注：旋轉(zhuǎn)需要特定條件（兩個(gè)圖形的短邊共線），該方法常在半角模型中使用．【模型圖示】例：如圖，已知AB＝AC，∠ABM＝∠CAN＝90°，求證BM＋CN＝MN方法：旋轉(zhuǎn)△ABM至△ACF處，證NE＝MN【例3】（2022秋·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：，，．(1)如圖1當(dāng)點(diǎn)在上，______．(2)如圖2猜想與的面積有何關(guān)系？請(qǐng)說明理由．（兩三角形可以看成是等底的）【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）（1）如圖①，在正方形中，、分別是、上的點(diǎn)，且，連接，探究、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖②，在四邊形中，，，、分別是、上的點(diǎn)，且，此時(shí)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由．2．（2021秋·天津和平·八年級(jí)?？计谥校┰谥校?，，是過A的一條直線，于點(diǎn)D，于E，（1）如圖（1）所示，若B，C在的異側(cè)，易得與，的關(guān)系是____________；（2）若直線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖（2）位置時(shí)，（），其余條件不變，問與，的關(guān)系如何？請(qǐng)予以證明；（3）若直繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置，（），問與，的關(guān)系如何？請(qǐng)直接寫出結(jié)果，不需證明．3．（2021秋·河南周口·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點(diǎn)D是直線AB上的一點(diǎn)，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CE，連接EB．（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，請(qǐng)你直接寫出AB與BE的位置關(guān)系為；線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系為；（2）猜想論證當(dāng)點(diǎn)D在直線AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖2，是點(diǎn)D在射線AB上，如圖3，是點(diǎn)D在射線BA上，請(qǐng)你寫出這兩種情況下，線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系，并對(duì)圖2的結(jié)論進(jìn)行證明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，請(qǐng)你直接寫出△ADE的面積．【經(jīng)典例題四作平行線法】【例4】（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示：是等邊三角形，、分別是及延長線上的一點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)．求讓：【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）P為等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)，Q為BC延長線上一點(diǎn)，且PA＝CQ，連PQ交AC邊于D．（1）證明：PD＝DQ．（2）如圖2，過P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的長．2．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）讀下面的題目及分析過程,并按要求進(jìn)行證明．已知:如圖,E是BC的中點(diǎn),點(diǎn)A在DB上,且∠BAE=∠CDE,求證:AB=CD分析:證明兩條線段相等,常用的一般方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì),觀察本題中要證明的兩條線段,它們不在同一個(gè)三角形中,且它們分別所在的兩個(gè)三角形也不全等．因此,要證明AB=CD,必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線,構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．現(xiàn)給出如下三種添加輔助線的方法,請(qǐng)任意選擇其中兩種對(duì)原題進(jìn)行證明．圖(1):延長DE到F使得EF=DE圖(2):作CG⊥DE于G,BF⊥DE于F交DE的延長線于F圖(3):過C點(diǎn)作CF∥AB交DE的延長線于F.3．（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射線CA上截取線段CE，在射線AB上截取線段BD，連接DE，DE所在直線交直線BC與點(diǎn)M．請(qǐng)?zhí)骄浚?1)如圖（1），當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上，點(diǎn)D在AB延長線上時(shí)，若BD=CE，請(qǐng)判斷線段MD和線段ME的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(2)如圖（2），當(dāng)點(diǎn)E在CA的延長線上，點(diǎn)D在AB的延長線上時(shí)，若BD=CE，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，說明理由；(3)如圖（3），當(dāng)點(diǎn)E在CA的延長線上，點(diǎn)D在線段AB上（點(diǎn)D不與A，B重合），DE所在直線與直線BC交于點(diǎn)M，若CE＝2BD，請(qǐng)直接寫出線段MD與線段ME的數(shù)量關(guān)系．【經(jīng)典例題五作垂直法】【例5】（2022秋·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期中）我們定義：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線所在的直線與另一個(gè)內(nèi)角相鄰的外角的平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個(gè)內(nèi)角的遙望角．(1)如圖1，是中的遙望角．①直接寫出與的數(shù)量關(guān)系___________；②連接AE，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)如圖2，四邊形ABCD中，，點(diǎn)E在BD的延長線上，連CE，若已知，求證：是中的遙望角．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖1，已知四邊形ABCD，連接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC＝BC，延長CA到點(diǎn)E，使得AE＝AD，點(diǎn)F為AB上一點(diǎn)，連接FE、FD，F(xiàn)D交AC于點(diǎn)G．（1）求證：△EAF≌△DAF；（2）如圖2，連接CF，若EF＝FC，求∠DCF的度數(shù)．2．（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進(jìn)行證明．已知：如圖，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求證：AB＝CD．分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個(gè)三角形中，且它們分別所在的兩個(gè)三角形也不全等，因此，要證AB＝CD，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．（1）現(xiàn)給出如下兩種添加輔助線的方法，請(qǐng)任意選出其中一種，對(duì)原題進(jìn)行證明．①如圖1，延長DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接BF；②如圖2，分別過點(diǎn)B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點(diǎn)F，G．（2）請(qǐng)你在圖3中添加不同于上述的輔助線，并對(duì)原題進(jìn)行證明．3．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進(jìn)行證明．已知：如圖，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求證：AB=CD．分析：證明兩條線段相等，常用的一般方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證AB=CD，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形請(qǐng)用二種不同的方法證明．【重難點(diǎn)訓(xùn)練】1．（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，為邊上的中線，若，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．（2023春·廣東湛江·八年級(jí)?？计谥校┮阎鐖D，BD為ABC的角平分線，且BD=BC，E為BD延長線上一點(diǎn)，BE=BA，過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，則下列結(jié)論：①EBC可由ABD繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)而得到；②∠BCE+∠BCD=180o；③∠ABE=∠DAE；④BA+BC=2BF；正確的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．13．（2023·全國·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，中，，點(diǎn)在的邊上，，以為直角邊在同側(cè)作等腰直角三角形，使，連接，若，則與的數(shù)量關(guān)系式是（

）A． B． C． D．4．（2022秋·福建龍巖·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，求點(diǎn)的坐標(biāo)（

）A． B． C． D．5．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，已知中，，D為上一點(diǎn)，且，則的度數(shù)是_________．6．（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在等腰中，，D為內(nèi)一點(diǎn)，且，若，則的面積為________．7．（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，，且AE=AB，連接交的延長線于點(diǎn)，，則______．8．（2023秋·廣東廣州·八年級(jí)華南師大附中?？计谀┮阎凇鰽BC中，AD是BC邊上的中線，若AB=10,AC=4,則AD的取值范圍是_____.9．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）【問題情境】如圖1，A，B兩點(diǎn)分別位于一個(gè)池塘的兩端，小明想用繩子測(cè)量A，B間的距離，但繩子不夠長，一個(gè)叔叔幫他出了這樣一個(gè)主意：先在地上取一個(gè)可以直接到達(dá)A點(diǎn)和B點(diǎn)的點(diǎn)C，連接并延長到D，使；連接并延長到E，使，連接并測(cè)量出它的長度，如果米，那么間的距離為___________米．【探索應(yīng)用】如圖2，在中，若，求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點(diǎn)E使，再連接（或?qū)⒗@著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到），把集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷，中線的取值范圍是___________；【拓展提升】如圖3，在中，的延長線交于點(diǎn)F，求證：．10．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知：等腰和等腰中，，，．（1）如圖1，延長交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為；（2）如圖2，連接、，延長交于點(diǎn)，若，求證：點(diǎn)為中點(diǎn)；（3）如圖3，連接、，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，，，直接寫出的面積．11．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）四邊形是由等邊和頂角為的等腰排成，將一個(gè)角頂點(diǎn)放在處，將角繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，該交兩邊分別交直線、于、，交直線于、兩點(diǎn)．（1）當(dāng)、都在線段上時(shí)（如圖1），請(qǐng)證明：；（2）當(dāng)點(diǎn)在邊的延長線上時(shí)（如圖2），請(qǐng)你寫出線段，和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）在（1）的條件下，若，，請(qǐng)直接寫出的長為．12．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）如圖，在正方形中，、分別是，上的點(diǎn)，且．直接寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖，在四邊形中，，，、分別是，上的點(diǎn)，且，求證：；（3）如圖，在四邊形中，，，延長到點(diǎn)，延長到點(diǎn)，使得，則結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；不成立，請(qǐng)寫出它們的數(shù)量關(guān)系并證明．13．（2022秋·河南商丘·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E點(diǎn)為射線CB上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AE，作AF⊥AE且AF＝AE．（1）如圖1，過F點(diǎn)作FD⊥AC交AC于D點(diǎn)，求證：FD＝BC；（2）如圖2，連結(jié)BF交AC于G點(diǎn)，若AG＝3，CG＝1，求證：E點(diǎn)為BC中點(diǎn)．（3）當(dāng)E點(diǎn)在射線CB上，連結(jié)BF與直線AC交子G點(diǎn)，若BC＝