專題20勾股定理(原卷版+解析)

專題20勾股定理【專題目錄】技巧1：判定直角的四種方法技巧2：巧用勾股定理解折疊問題技巧3：巧用勾股定理求最短路徑的長【題型】一、勾股定理理解三角形【題型】二、勾股定理與網格問題【題型】三、解直角三角形在實際中的應用【題型】四、利用勾股定理證明線段的平方關系【題型】五、求梯子滑落高度【題型】六、求旗桿高度【題型】七、求螞蟻爬行距離【題型】八、求大樹折斷前的高度【題型】九、求臺階上的地毯長度【題型】十、利用勾股定理選址使到兩地距離相等【考綱要求】1、了解直角三角形的有關概念，掌握其性質與判定．2、掌握勾股定理與逆定理，并能用來解決有關問題.【考點總結】一、直角三角形與勾股定理直角三角形與勾股定理直角三角形性質①直角三角形的兩銳角互余;②直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半;③直角三角形中,斜邊上的中線長等于斜邊長的一半.勾股定理概念直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為，，斜邊為，那么變式：1）a2=c2-b22）b2=c2-a2適用范圍：勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關系，它只適用于直角三角形，因而在應用勾股定理時，必須明了所考察的對象是直角三角形。勾股定理的證明方法一：，，化簡可證．方法二：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為大正方形面積為所以方法三：，，化簡得證勾股數(shù)勾股數(shù)概念：能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，，，為正整數(shù)時，稱，，為一組勾股數(shù)常見的勾股數(shù)：如；；；等擴展：用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：1）（為正整數(shù)）；2）（為正整數(shù)）3）（，為正整數(shù)）注意：每組勾股數(shù)的相同整數(shù)倍，也是勾股數(shù)?！炯记蓺w納】技巧1：判定直角的四種方法【類型】一、利用三邊的數(shù)量關系說明直角1．如圖，在△ABC中，D為BC邊上一點，且AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求CD的長．【類型】二、利用轉化為三角形法構造直角三角形2．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝eq\r(5)，CD＝5，AD＝4，求S四邊形ABCD.【類型】三、利用倍長中線法構造直角三角形3．如圖，在△ABC中，D為邊BC的中點，AB＝5，AD＝6，AC＝13，求證：AB⊥AD.【類型】四、利用“三線合一”法構造直角三角形4．如圖①，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D為AB的中點，M，N分別為AC，BC上的點，且DM⊥DN.(1)求證：CM＋CN＝eq\r(2)BD；(2)如圖②，若M，N分別在AC，CB的延長線上，探究CM，CN，BD之間的數(shù)量關系．技巧2：巧用勾股定理解折疊問題【類型】一、巧用全等法求折疊中線段的長1．如圖①是一直角三角形紙片，∠A＝30°，BC＝4cm，將其折疊，使點C落在斜邊上的點C′處，折痕為BD，如圖②，再將圖②沿DE折疊，使點A落在DC′的延長線上的點A′處，如圖③，則折痕DE的長為()A.eq\f(8,3)cmB．2eq\r(3)cmC．2eq\r(2)cmD．3cm【類型】二、巧用對稱法求折疊中圖形的面積2．如圖，將長方形ABCD沿直線BD折疊，使點C落在點C′處，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面積．【類型】三、巧用方程思想求折疊中線段的長3．如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，E是邊CD的中點，將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交BC于點G，連接AG.(1)求證：△ABG≌△AFG；(2)求BG的長．【類型】四、巧用折疊探究線段之間的數(shù)量關系4．如圖，將長方形ABCD沿直線EF折疊，使點C與點A重合，折痕交AD于點E，交BC于點F，連接CE.(1)求證：AE＝AF＝CE＝CF；(2)設AE＝a，ED＝b，DC＝c，請寫出一個a，b，c三者之間的數(shù)量關系式．技巧3：巧用勾股定理求最短路徑的長【類型】一、構造直角三角形法求平面中最短問題1．如圖，學校有一塊長方形花圃，有極少數(shù)人從A走到B，為了避免拐角C走“捷徑”，在花圃內走出了一條“路”，他們僅僅少走了________步路(假設2步為1m)，卻踩傷了花草．2．小明聽說“武黃城際列車”已經開通，便設計了如下問題：如圖，以往從黃石A坐客車到武昌客運站B，現(xiàn)在可以在黃石A坐“武黃城際列車”到武漢青山站C，再從青山站C坐市內公共汽車到武昌客運站B.設AB＝80km，BC＝20km，∠ABC＝120°.請你幫助小明解決以下問題：(1)求A，C之間的距離．(參考數(shù)據：eq\r(21)≈4.6)(2)若客車的平均速度是60km/h，市內的公共汽車的平均速度為40km/h，“武黃城際列車”的平均速度為180km/h，為了在最短時間內到達武昌客運站，小明應選擇哪種乘車方案？請說明理由．(不計候車時間)【類型】二、用平移法求平面中最短問題3．如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別是50cm，30cm，10cm，A和B是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只壁虎，它想到B點去吃可口的食物，請你想一想，這只壁虎從A點出發(fā)，沿著臺階面爬到B點，至少需爬()A．13cmB．40cmC．130cmD．169cm4．如圖，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，則AF的長是________．【類型】三、用對稱法求平面中最短問題5．如圖，正方形ABCD的邊長為8，點M在DC上且DM＝2，N是AC上的一動點，求DN＋MN的最小值．6.高速公路的同一側有A，B兩城鎮(zhèn)，如圖，它們到高速公路所在直線MN的距離分別為AA′＝2km，BB′＝4km，A′B′＝8km.要在高速公路上A′，B′之間建一個出口P，使A，B兩城鎮(zhèn)到P的距離之和最小．求這個最短距離．【類型】四、用展開法求立體圖形中最短問題題型1：圓柱中的最短問題7．如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為eq\f(2,π)，高為2，AB，CD分別是兩底面的直徑．若一只小蟲從A點出發(fā)，沿圓柱側面爬行到C點，則小蟲爬行的最短路線的長度是________(結果保留根號)．題型2：圓錐中的最短問題8．已知：如圖，觀察圖形回答下面的問題：(1)此圖形的名稱為________．(2)請你與同伴一起做一個這樣的物體，并把它沿AS剪開，鋪在桌面上，則它的側面展開圖是一個________．(3)如果點C是SA的中點，在A處有一只蝸牛，在C處恰好有蝸牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C處，只能沿此立體圖形的表面爬行，你能在側面展開圖中畫出蝸牛爬行的最短路線嗎？(4)SA的長為10，側面展開圖的圓心角為90°，請你求出蝸牛爬行的最短路程．題型3：正方體中的最短問題9．如圖，一個正方體木柜放在墻角處(與墻面和地面均沒有縫隙)，有一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角C1處．(1)請你在正方體木柜的表面展開圖中畫出螞蟻能夠最快到達目的地的可能路徑；(2)當正方體木柜的棱長為4時，求螞蟻爬過的最短路徑的長．題型4：長方體中的最短問題10．如圖，長方體盒子的長、寬、高分別是12cm，8cm，30cm，在AB的中點C處有一滴蜜糖，一只小蟲從E處沿盒子表面爬到C處去吃，求小蟲爬行的最短路程．【題型講解】【題型】一、勾股定理理解三角形例1、在中，，如果，，那么的正弦值為（）A． B． C． D．【題型】二、勾股定理與網格問題例1、如圖，在3×3的網格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，若BD是△ABC的高，則BD的長為（）A． B． C． D．【題型】三、解直角三角形在實際中的應用例3、如圖，數(shù)學興趣小組成員想測量斜坡旁一棵樹的高度，他們先在點C處測得樹頂A的仰角為，然后在坡頂D測得樹頂A的仰角為，已知斜坡的坡度（坡面的鉛直高度與水平寬度的比），斜坡，求樹的高度．（結果精確到，參考數(shù)據：）【題型】四、利用勾股定理證明線段的平方關系例4、對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形，對角線交于點．若，則__________．【題型】五、求梯子滑落高度例5、如圖所示，一架梯子AB長2.5米，頂端A靠在墻AC上，此時梯子下端B與墻角C的距離為1.5米，當梯子滑動后停在DE的位置上，測得BD長為0.9米．則梯子頂端A沿墻下移了______米．【題型】六、求旗桿高度例6、如圖，小華將升旗的繩子拉到豎直旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿處，此時繩子末端距離地面，則繩子的長度為____．【題型】七、求螞蟻爬行距離例7、如圖，有一只小鳥從小樹頂飛到大樹頂上，它飛行的最短路程是（）A．13米 B．12米 C．5米 D．米【題型】八、求大樹折斷前的高度例8、“折竹抵地”問題源自《九章算術》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，問折者高幾何？意思是：一根竹子，原高一丈，一陣風將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部4尺遠(如圖)，則折斷后的竹子高度為多少尺？(1丈=10尺)()A．3 B．5 C． D．4【題型】九、求臺階上的地毯長度例9、一個三級臺階，它的每一級的長寬和高分別為、、，和是這個臺階兩個相對的端點，點有一只螞蟻，想到點去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到點最短路程為（）A． B． C． D．【題型】十、利用勾股定理選址使到兩地距離相等例10、如圖，高速公路上有、兩點相距，、為兩村莊，已知，，于，于，現(xiàn)要在上建一個服務站，使得、兩村莊到站的距離相等，則的長是（）．A． B． C． D．勾股定理（達標訓練）一、單選題1．如圖，矩形ABCD的對角線AC的垂直平分線分別交AD、AC、BC于點E、O、F，若，則EF的長為（

）A．8 B．15 C．16 D．242．已知的三條邊分別是、、，則下列條件中不能判斷是直角三角形的是（

）A． B．C． D．3．如圖，在等邊中，，垂足為且，則的長為（

）A．1 B． C．2 D．4．如圖，是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別是3、5、2、3，則最大正方形E的面積是（

）A．10 B．13 C．15 D．265．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分別為CA，CB的中點，BF平分∠ABC，交DE于點F，若AC=2，BC=4，則DF的長為（

）A．0.5 B．1 C．1.5 D．2二、填空題6．在中，，于點，且，在上取點，使，連接，則______．7．如圖，O是矩形ABCD的對角線的交點，M是AD的中點．若BC=8，OB=5，則OM的長為_______．三、解答題8．已知：△ABC的邊長，，，且．(1)判斷三角形的形狀，并說明理由；(2)若，求的三邊長．勾股定理（提升測評）一、單選題1．如圖，在平面直角坐標系中，的頂點A，B的坐標分別為，，，則頂點的坐標是（

）A． B． C． D．2．如圖，矩形ABCD中，AB=3，AD=8，E是BC中點，BF⊥AE于點M，交AD于點F，則AM長為（

）A．2 B． C． D．3．如圖，平行四邊形ABCD中，AC，BD為對角線，，且，若平行四邊形ABCD的面積為48，則AB的長為（

）A． B． C． D．4．如圖，中，，，，繞點逆時針旋轉到處，此時線段與的交點為的中點，則線段的長度為（

）A． B． C． D．二、填空題5．如圖，在△ABC中，，平分，過作，垂足為，若，，，則=______．6．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=1，點D為邊AB上一個動點，將△CDB沿CD翻折，得到（其中C，D，，A在同一平面內），，則________．三、解答題7．在四邊形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，對角線AC平分∠BAD．(1)推理證明：如圖1，若∠DAB＝120°，且∠D＝90°，求證：AD＋AB＝AC；(2)問題探究：如圖2，若∠DAB＝120°，試探究AD、AB、AC之間的數(shù)量關系，并說明理由；(3)遷移應用：如圖3，若∠DAB＝90°，AD＝2，AB＝4，求線段AC的長度．專題20勾股定理【專題目錄】技巧1：判定直角的四種方法技巧2：巧用勾股定理解折疊問題技巧3：巧用勾股定理求最短路徑的長【題型】一、勾股定理理解三角形【題型】二、勾股定理與網格問題【題型】三、解直角三角形在實際中的應用【題型】四、利用勾股定理證明線段的平方關系【題型】五、求梯子滑落高度【題型】六、求旗桿高度【題型】七、求螞蟻爬行距離【題型】八、求大樹折斷前的高度【題型】九、求臺階上的地毯長度【題型】十、利用勾股定理選址使到兩地距離相等【考綱要求】1、了解直角三角形的有關概念，掌握其性質與判定．2、掌握勾股定理與逆定理，并能用來解決有關問題.【考點總結】一、直角三角形與勾股定理直角三角形與勾股定理直角三角形性質①直角三角形的兩銳角互余;②直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半;③直角三角形中,斜邊上的中線長等于斜邊長的一半.勾股定理概念直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為，，斜邊為，那么變式：1）a2=c2-b22）b2=c2-a2適用范圍：勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關系，它只適用于直角三角形，因而在應用勾股定理時，必須明了所考察的對象是直角三角形。勾股定理的證明方法一：，，化簡可證．方法二：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為大正方形面積為所以方法三：，，化簡得證勾股數(shù)勾股數(shù)概念：能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，，，為正整數(shù)時，稱，，為一組勾股數(shù)常見的勾股數(shù)：如；；；等擴展：用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：1）（為正整數(shù)）；2）（為正整數(shù)）3）（，為正整數(shù)）注意：每組勾股數(shù)的相同整數(shù)倍，也是勾股數(shù)?！炯记蓺w納】技巧1：判定直角的四種方法【類型】一、利用三邊的數(shù)量關系說明直角1．如圖，在△ABC中，D為BC邊上一點，且AB＝10，BD＝6，AD＝8，AC＝17，求CD的長．【類型】二、利用轉化為三角形法構造直角三角形2．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝eq\r(5)，CD＝5，AD＝4，求S四邊形ABCD.【類型】三、利用倍長中線法構造直角三角形3．如圖，在△ABC中，D為邊BC的中點，AB＝5，AD＝6，AC＝13，求證：AB⊥AD.【類型】四、利用“三線合一”法構造直角三角形4．如圖①，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D為AB的中點，M，N分別為AC，BC上的點，且DM⊥DN.(1)求證：CM＋CN＝eq\r(2)BD；(2)如圖②，若M，N分別在AC，CB的延長線上，探究CM，CN，BD之間的數(shù)量關系．參考答案1．解：∵AD2＋BD2＝100＝AB2，∴△ABD為直角三角形，且∠ADB＝90°.∴∠ADC＝90°.在Rt△ACD中，CD2＋AD2＝AC2，∴CD＝eq\r(AC2－AD2)＝eq\r(172－82)＝15.2．解：連接AC.在Rt△ACB中，AB2＋BC2＝AC2，∴AC＝3，∴AC2＋AD2＝CD2.∴△ACD為直角三角形，且∠CAD＝90°，∴S四邊形ABCD＝eq\f(1,2)×2×eq\r(5)＋eq\f(1,2)×3×4＝6＋eq\r(5).3．證明：如圖，延長AD至點E，使DE＝AD，連接CE，BE.∵D為BC的中點，∴CD＝BD.又∵AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，∴△ADC≌△EDB，∴BE＝AC＝13.在△ABE中，AE＝2AD＝12，∴AE2＋AB2＝122＋52＝169.又∵BE2＝132＝169，∴AE2＋AB2＝BE2，∴△ABE是直角三角形，且∠BAE＝90°，即AB⊥AD.點撥：本題運用倍長中線法構造全等三角形證明線段相等，再利用勾股定理的逆定理證明三角形為直角三角形，從而說明兩條線段垂直．4．(1)證明：如圖①，連接CD，∵DM⊥DN，∴∠MDC＋∠CDN＝90°.∵∠ACB＝90°，AC＝CB，D為AB的中點，∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，∠A＝∠B＝45°，∴∠CDN＋∠NDB＝90°.∴∠MDC＝∠NDB.∵∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD.在△CMD和△BND中，∵∠MDC＝∠NDB，∠MCD＝∠NBD＝45°，CD＝BD，∴△CMD≌△BND，∴CM＝BN.∴CM＋CN＝BN＋CN＝BC.在Rt△CBD中，∠CDB＝90°，CD＝BD，∴BC＝eq\r(2)BD.∴CM＋CN＝eq\r(2)BD.(2)解：CN－CM＝eq\r(2)BD，如圖②，連接CD，證法同(1)．技巧2：巧用勾股定理解折疊問題【類型】一、巧用全等法求折疊中線段的長1．如圖①是一直角三角形紙片，∠A＝30°，BC＝4cm，將其折疊，使點C落在斜邊上的點C′處，折痕為BD，如圖②，再將圖②沿DE折疊，使點A落在DC′的延長線上的點A′處，如圖③，則折痕DE的長為()A.eq\f(8,3)cmB．2eq\r(3)cmC．2eq\r(2)cmD．3cm【類型】二、巧用對稱法求折疊中圖形的面積2．如圖，將長方形ABCD沿直線BD折疊，使點C落在點C′處，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面積．【類型】三、巧用方程思想求折疊中線段的長3．如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，E是邊CD的中點，將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交BC于點G，連接AG.(1)求證：△ABG≌△AFG；(2)求BG的長．【類型】四、巧用折疊探究線段之間的數(shù)量關系4．如圖，將長方形ABCD沿直線EF折疊，使點C與點A重合，折痕交AD于點E，交BC于點F，連接CE.(1)求證：AE＝AF＝CE＝CF；(2)設AE＝a，ED＝b，DC＝c，請寫出一個a，b，c三者之間的數(shù)量關系式．參考答案1．A2．解：由題意易知AD∥BC，∴∠2＝∠3.∵△BC′D與△BCD關于直線BD對稱，∴∠1＝∠2.∴∠1＝∠3.∴EB＝ED.設EB＝x，則ED＝x，AE＝AD－ED＝8－x.在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，∴42＋(8－x)2＝x2.∴x＝5.∴DE＝5.∴S△BED＝eq\f(1,2)DE·AB＝eq\f(1,2)×5×4＝10.解題策略：解決此題的關鍵是證得ED＝EB，然后在Rt△ABE中，由BE2＝AB2＋AE2，利用勾股定理列出方程即可求解．3．(1)證明：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠D＝∠B＝90°.∵將△ADE沿AE對折至△AFE，∴AD＝AF，∠D＝∠AFE＝90°.∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°.又∵AG＝AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)．(2)解：∵△ABG≌△AFG，∴BG＝FG.設BG＝FG＝x，則GC＝6－x，∵E為CD的中點，∴CE＝DE＝EF＝3，∴EG＝3＋x.∴在Rt△CEG中，32＋(6－x)2＝(3＋x)2，解得x＝2.∴BG＝2.4．(1)證明：由題意知，AF＝CF，AE＝CE，∠AFE＝∠CFE，又四邊形ABCD是長方形，故AD∥BC，∴∠AEF＝∠CFE.∴∠AFE＝∠AEF.∴AE＝AF＝EC＝CF.(2)解：由題意知，AE＝EC＝a，ED＝b，DC＝c，由∠D＝90°知，ED2＋DC2＝CE2，即b2＋c2＝a2.技巧3：巧用勾股定理求最短路徑的長【類型】一、構造直角三角形法求平面中最短問題1．如圖，學校有一塊長方形花圃，有極少數(shù)人從A走到B，為了避免拐角C走“捷徑”，在花圃內走出了一條“路”，他們僅僅少走了________步路(假設2步為1m)，卻踩傷了花草．2．小明聽說“武黃城際列車”已經開通，便設計了如下問題：如圖，以往從黃石A坐客車到武昌客運站B，現(xiàn)在可以在黃石A坐“武黃城際列車”到武漢青山站C，再從青山站C坐市內公共汽車到武昌客運站B.設AB＝80km，BC＝20km，∠ABC＝120°.請你幫助小明解決以下問題：(1)求A，C之間的距離．(參考數(shù)據：eq\r(21)≈4.6)(2)若客車的平均速度是60km/h，市內的公共汽車的平均速度為40km/h，“武黃城際列車”的平均速度為180km/h，為了在最短時間內到達武昌客運站，小明應選擇哪種乘車方案？請說明理由．(不計候車時間)【類型】二、用平移法求平面中最短問題3．如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別是50cm，30cm，10cm，A和B是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只壁虎，它想到B點去吃可口的食物，請你想一想，這只壁虎從A點出發(fā)，沿著臺階面爬到B點，至少需爬()A．13cmB．40cmC．130cmD．169cm4．如圖，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，則AF的長是________．【類型】三、用對稱法求平面中最短問題5．如圖，正方形ABCD的邊長為8，點M在DC上且DM＝2，N是AC上的一動點，求DN＋MN的最小值．6.高速公路的同一側有A，B兩城鎮(zhèn)，如圖，它們到高速公路所在直線MN的距離分別為AA′＝2km，BB′＝4km，A′B′＝8km.要在高速公路上A′，B′之間建一個出口P，使A，B兩城鎮(zhèn)到P的距離之和最?。筮@個最短距離．【類型】四、用展開法求立體圖形中最短問題題型1：圓柱中的最短問題7．如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為eq\f(2,π)，高為2，AB，CD分別是兩底面的直徑．若一只小蟲從A點出發(fā)，沿圓柱側面爬行到C點，則小蟲爬行的最短路線的長度是________(結果保留根號)．題型2：圓錐中的最短問題8．已知：如圖，觀察圖形回答下面的問題：(1)此圖形的名稱為________．(2)請你與同伴一起做一個這樣的物體，并把它沿AS剪開，鋪在桌面上，則它的側面展開圖是一個________．(3)如果點C是SA的中點，在A處有一只蝸牛，在C處恰好有蝸牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C處，只能沿此立體圖形的表面爬行，你能在側面展開圖中畫出蝸牛爬行的最短路線嗎？(4)SA的長為10，側面展開圖的圓心角為90°，請你求出蝸牛爬行的最短路程．題型3：正方體中的最短問題9．如圖，一個正方體木柜放在墻角處(與墻面和地面均沒有縫隙)，有一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角C1處．(1)請你在正方體木柜的表面展開圖中畫出螞蟻能夠最快到達目的地的可能路徑；(2)當正方體木柜的棱長為4時，求螞蟻爬過的最短路徑的長．題型4：長方體中的最短問題10．如圖，長方體盒子的長、寬、高分別是12cm，8cm，30cm，在AB的中點C處有一滴蜜糖，一只小蟲從E處沿盒子表面爬到C處去吃，求小蟲爬行的最短路程．參考答案1．42．解：(1)如圖，過點C作AB的垂線，交AB的延長線于點E.∵∠ABC＝120°，∴∠BCE＝30°.在Rt△CBE中，∵BC＝20km，∴BE＝10km.由勾股定理可得CE＝10eq\r(3)km.在Rt△ACE中，∵AC2＝AE2＋CE2＝(AB＋BE)2＋CE2＝8100＋300＝8400，∴AC＝20eq\r(21)≈20×4.6＝92(km)．(2)選擇乘“武黃城際列車”．理由如下：乘客車所需時間為eq\f(80,60)＝1eq\f(1,3)(h)，乘“武黃城際列車”所需時間約為eq\f(92,180)＋eq\f(20,40)＝1eq\f(1,90)(h)．∵1eq\f(1,3)>1eq\f(1,90)，∴選擇乘“武黃城際列車”．3．C點撥：將臺階面展開，連接AB，如圖，線段AB即為壁虎所爬的最短路線．因為BC＝30×3＋10×3＝120(cm)，AC＝50cm，在Rt△ABC中，根據勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝16900，所以AB＝130cm.所以壁虎至少爬行130cm.4．105．解：如圖所示，∵正方形是軸對稱圖形，點B與點D是關于直線AC為對稱軸的對稱點，∴連接BN，BD，則直線AC即為BD的垂直平分線，∴BN＝ND.∴DN＋MN＝BN＋MN.連接BM交AC于點P，∵點N為AC上的動點，∴由三角形兩邊之和大于第三邊，知當點N運動到點P時，DN＋MN＝BP＋PM＝BM，DN＋MN的最小值為BM的長度．∵四邊形ABCD為正方形，∴BC＝CD＝8，CM＝8－2＝6，∠BCM＝90°，BM＝eq\r(BC2＋CM2)＝eq\r(82＋62)＝10.即DN＋MN的最小值為10.6．解：如圖，作點B關于直線MN的對稱點C，連接AC交MN于點P，則點P即為所建的出口．此時A，B兩城鎮(zhèn)到出口P的距離之和最小，最短距離為AC的長．作AD⊥BB′于點D，在Rt△ADC中，AD＝A′B′＝8km，DC＝6km.∴AC＝eq\r(AD2＋DC2)＝10km，∴這個最短距離為10km.7．2eq\r(2)點撥：將圓柱體的側面沿AD剪開并鋪平得長方形AA′D′D，連接AC，如圖．線段AC就是小蟲爬行的最短路線．根據題意得AB＝eq\f(2,π)×2π×eq\f(1,2)＝2.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝22＋22＝8，∴AC＝eq\r(8)＝2eq\r(2).8．解：(1)圓錐(2)扇形(3)把此立體圖形的側面展開，如圖所示，AC為蝸牛爬行的最短路線．[來源:Z*xx*k.Com](4)在Rt△ASC中，由勾股定理，得AC2＝102＋52＝125，∴AC＝eq\r(125)＝5eq\r(5).故蝸牛爬行的最短路程為5eq\r(5).9．解：(1)螞蟻能夠最快到達目的地的可能路徑有如圖的AC′1和AC1.(2)如圖，AC′1＝AC1＝eq\r(（4＋4）2＋42)＝4eq\r(5).所以螞蟻爬過的最短路徑的長是4eq\r(5).10．解：分為三種情況：(1)如圖①，連接EC，在Rt△EBC中，EB＝12＋8＝20(cm)，BC＝eq\f(1,2)×30＝15(cm)．由勾股定理，得EC＝eq\r(202＋152)＝25(cm)．(2)如圖②，連接EC.根據勾股定理同理可求CE＝eq\r(673)cm>25cm.(3)如圖③，連接EC.根據勾股定理同理可求CE＝eq\r(122＋（30＋8＋15）2)＝eq\r(2953)(cm)>25cm.綜上可知，小蟲爬行的最短路程是25cm.【題型講解】【題型】一、勾股定理理解三角形例1、在中，，如果，，那么的正弦值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用勾股定理可求出AB的長，根據正弦函數(shù)的定義即可得答案．【詳解】∵，，，∴AB==10，∴sinA==，故選：A．【點睛】本題考查解直角三角形，解題的關鍵是熟練掌握各三角函數(shù)的定義，屬于中考?？碱}型．【題型】二、勾股定理與網格問題例1、如圖，在3×3的網格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，若BD是△ABC的高，則BD的長為（）A． B． C． D．【答案】D【提示】根據勾股定理計算AC的長，利用面積和差關系可求的面積，由三角形的面積法求高即可．【詳解】解：由勾股定理得：AC＝＝，∵S△ABC＝3×3﹣＝，∴，∴，∴BD＝，故選：D．【題型】三、解直角三角形在實際中的應用例3、如圖，數(shù)學興趣小組成員想測量斜坡旁一棵樹的高度，他們先在點C處測得樹頂A的仰角為，然后在坡頂D測得樹頂A的仰角為，已知斜坡的坡度（坡面的鉛直高度與水平寬度的比），斜坡，求樹的高度．（結果精確到，參考數(shù)據：）【答案】26m【分析】根據坡度求出，繼而求得，∠ACD＝90°，根據平行線的性質可得∠FDC＝30°，繼而得∠ADC＝60°，在中，解直角三角形可得AC，在中，解直角三角形可得AB的值．【詳解】解：∵斜坡的坡度，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴．在中，，，∴，在中，∵，∴．答：大樹的高度約為．【點睛】本題考查解直角三角形的運用-仰角和俯角問題，解題的關鍵是熟練掌握坡度的定義，特殊的銳角三角函數(shù)值．【題型】四、利用勾股定理證明線段的平方關系例4、對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形，對角線交于點．若，則__________．【答案】20【提示】由垂美四邊形的定義可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，從而求解.【詳解】∵四邊形ABCD是垂美四邊形，

∴AC⊥BD，

∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，

由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，

AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，

∴AD2+BC2=AB2+CD2，∵AD=2，BC=4，∴AD2+BC2=22+42=20，故答案為：20.【題型】五、求梯子滑落高度例5、如圖所示，一架梯子AB長2.5米，頂端A靠在墻AC上，此時梯子下端B與墻角C的距離為1.5米，當梯子滑動后停在DE的位置上，測得BD長為0.9米．則梯子頂端A沿墻下移了______米．【答案】1.3【提示】分別在兩個直角三角形中，運用勾股定理求得AC和CE的長即得．【詳解】解：由題意得：米，米∴在中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4，∴AC=2米，∵BD=0.9米，∴CD=2.4米．∵∴在中，EC2=ED2-CD2=2.52-2.42=0.49，∴EC=0.7米，∴AE=AC-EC=2-0.7=1.3米．故答案為：1.3．【題型】六、求旗桿高度例6、如圖，小華將升旗的繩子拉到豎直旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿處，此時繩子末端距離地面，則繩子的長度為____．【答案】17【提示】根據題意畫出示意圖，設繩子的長度為xm，可得AC＝AD＝xm，AB＝（x?2）m，BC＝8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．【詳解】設繩子長度為，則，，，在中，，即，解得：，繩子的長度為．故答案為：17．【題型】七、求螞蟻爬行距離例7、如圖，有一只小鳥從小樹頂飛到大樹頂上，它飛行的最短路程是（）A．13米 B．12米 C．5米 D．米【答案】A【提示】根據題意，畫出圖形，構造直角三角形，用勾股定理求解即可.【詳解】如圖所示，過D點作DE⊥AB，垂足為E,∵AB=13，CD=8，又∵BE=CD，DE=BC，∴AE=AB?BE=AB?CD=13?8=5,∴在Rt△ADE中，DE=BC=12,∴∴AD=13（負值舍去）,故小鳥飛行的最短路程為13m,故選A.【題型】八、求大樹折斷前的高度例8、“折竹抵地”問題源自《九章算術》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，問折者高幾何？意思是：一根竹子，原高一丈，一陣風將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部4尺遠(如圖)，則折斷后的竹子高度為多少尺？(1丈=10尺)()A．3 B．5 C． D．4【答案】C【提示】根據題意結合勾股定理得出折斷處離地面的長度即可．【詳解】解：設折斷處離地面的高度OA是x尺，根據題意可得：x2+42=（10-x）2，解得：x=4.2，答：折斷處離地面的高度OA是4.2尺．故選C．【題型】九、求臺階上的地毯長度例9、一個三級臺階，它的每一級的長寬和高分別為、、，和是這個臺階兩個相對的端點，點有一只螞蟻，想到點去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到點最短路程為（）A． B． C． D．【答案】B【提示】先將圖形平面展開，再用勾股定理根據兩點之間線段最短進行解答．【詳解】如圖所示，

∵三級臺階平面展開圖為長方形，長為20，寬為(2+3)×3，

∴螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是此長方形的對角線長．由勾股定理得：=+=，

解得：．

故選：B．【題型】十、利用勾股定理選址使到兩地距離相等例10、如圖，高速公路上有、兩點相距，、為兩村莊，已知，，于，于，現(xiàn)要在上建一個服務站，使得、兩村莊到站的距離相等，則的長是（）．A． B． C． D．【答案】C【提示】根據題意設出的長為，再由勾股定理列出方程求解即可．【詳解】解：設，則，由勾股定理得：在中，，在中，，由題意可知：，所以：，解得：．所以，應建在距點處．故選：．勾股定理（達標訓練）一、單選題1．如圖，矩形ABCD的對角線AC的垂直平分線分別交AD、AC、BC于點E、O、F，若，則EF的長為（

）A．8 B．15 C．16 D．24【答案】B【分析】根據矩形的性質得到AO=CO，∠AOE=∠COF,根據平行線的性質得出∠EAO=∠FCO,根據ASA推出△AEO≌△CFO，由全等得到OE=OF，推出四邊形是平行四邊形，再根據EF⊥AC即可推出四邊形是菱形，根據垂直平分線的性質得出AF=CF，根據勾股定理即可得出結論．【詳解】連接AF，CE，∵EF是AC的垂直平分線，∴AO=CO，∠AOE=∠COF=90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，在△AEO和△CFO中，,∴△AEO≌△CFO（ASA），∴OE=OF，又∵OA=OC，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵EF⊥AC，∴平行四邊形AECF是菱形，∴AE=CE，設AE=CE=x，∵EF是AC的垂直平分線，∴AE=CE=x，DE=16-x，在Rt△CDE中，,，解得，∴AE=,∵,∴=10,∴,∴EF=2OE=15,故選：B．【點睛】本題考查了矩形的性質，菱形的判定和性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，證得四邊形AECF是菱形是解題的關鍵．2．已知的三條邊分別是、、，則下列條件中不能判斷是直角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據勾股定理的逆定理判定A正確，利用三角形內角和定理判定B和C正確、D錯誤．【詳解】解：A、設a=3k，b=4k，c=5k，∵，即，∴三角形是直角三角形，正確；B、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=∠A+∠B，∴2∠C=180°，即∠C=90°，正確；C、設∠A=x°，∠B=5x°，∠C=6x°，又三角形內角和定理得x+5x+6x=180,解得6x=90,故正確；D、設∠A=3x°，∠B=4x°，∠C=5x°，又三角形內角和定理得3x+4x+5x=180，5x=75,故不是直角三角形，錯誤；故本題選擇D．【點睛】本題考查直角三角形的判定方法：勾股定理的逆定理、證明最大角是直角．3．如圖，在等邊中，，垂足為且，則的長為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】先根據等邊三角形性質得到∠ADC=90°，∠CAD=30°，再設CD=x，在Rt△ACD中利用勾股定理計算即可．【詳解】∵等邊△ABC中，AD⊥BC，∴∠ADC=90°∠CAD=∠BAD=60°÷2=30°，AB=AC，設CD=x，則AC=2x，在Rt△ACD中，解得：x=±1(舍負)，∴AB=AC=2．故選C．【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質及勾股定理，解題關鍵是熟練應用等邊三角形的性質．4．如圖，是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別是3、5、2、3，則最大正方形E的面積是（

）A．10 B．13 C．15 D．26【答案】B【分析】分別設中間兩個正方形和最大正方形的邊長為x，y，z，由勾股定理得出，，即最大正方形的面積為．【詳解】解：設中間兩個正方形的邊長分別為x、y，最大正方形E的邊長為z，則由勾股定理得：，即最大正方形E的面積為：．故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關鍵．5．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分別為CA，CB的中點，BF平分∠ABC，交DE于點F，若AC=2，BC=4，則DF的長為（

）A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【答案】B【分析】根據勾股定理求出AB，根據三角形中位線定理得到DE∥AB，DE=AB=3，BE=BC=2，根據平行線的性質、等腰三角形的判定定理求出EF=BE=2，計算即可．【詳解】解：在Rt△ABC中，AC=2，BC=4，由勾股定理得：AB==6，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠EBF，∵D，E分別為CA，CB的中點，∴DE∥AB，DE=AB=3，BE=BC=2，∴∠ABF=∠EFB，∴∠EFB=∠EBF，∴EF=BE=2，∴DF=DE-EF=1，故選：B．【點睛】本題考查的是三角形中位線定理、勾股定理、平行線的性質，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關鍵．二、填空題6．在中，，于點，且，在上取點，使，連接，則______．【答案】1【分析】設BD=x，DE=y，則AD=3x，CE=2y，CD=3y，由勾股定理求得，，即可求得答案．【詳解】設BD=x，DE=y，∵,,∴AD=3x，CE=2y，∴CD=CE+DE=3y,∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=90°，在Rt△ACD中，,∴，∴，在Rt△BDE中，，∴=1，∴BE=1，故答案為：1．【點睛】本題考查了勾股定理，根據勾股定理求得=1是解題的關鍵．7．如圖，O是矩形ABCD的對角線的交點，M是AD的中點．若BC=8，OB=5，則OM的長為_______．【答案】3【分析】首先由O是矩形ABCD對角線AC的中點，可求得AC的長，然后由勾股定理求得AB的長，即CD的長，又由M是AD的中點，可得OM是△ACD的中位線，進而求得答案．【詳解】解：∵O是矩形ABCD對角線AC的中點，OB=5，∴AC=2OB=10，∴CD=AB=，∵M是AD的中點，∴OM=CD=3．故答案為：3．【點睛】此題考查了矩形的性質、直角三角形的性質以及三角形中位線的性質．注意利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，求得AC的長是關鍵．三、解答題8．已知：△ABC的邊長，，，且．(1)判斷三角形的形狀，并說明理由；(2)若，求的三邊長．【答案】(1)是直角三角形(2)，，【分析】（1）利用勾股定理逆定理，即可求解；（2）根據，可得∠A=30°，從而得到，繼而得到，即可求解．（1）解：是直角三角形，理由如下∶∵，，，，∴即是直角三角形；（2）解∶∵，，∴∠A=30°，∴，即，∴，解得∶或（不合題意，舍去）當時，，，．【點睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性質，熟練掌握勾股定理的逆定理，直角三角形的性質是解題的關鍵．勾股定理（提升測評）一、單選題1．如圖，在平面直角坐標系中，的頂點A，B的坐標分別為，，，則頂點的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作CD⊥AB于D，根據題意求出AB，根據等腰三角形的性質求出AD，根據勾股定理求出CD，得到答案．【詳解】解：作CD⊥AB于D，∵點A，B的坐標分別是（0，4），（0．?2），∴AB＝6，∵BC＝AC＝5，CD⊥AB，∴AD＝DB＝AB＝3，∴OD＝1，由勾股定理得，CD＝，∴頂點C的坐標為（4，1），故選：A．【點睛】本題考查的是勾股定理、等腰三角形的性質，作坐標軸的垂線構造直角三角形，運用勾股定理是解題關鍵．2．如圖，矩形ABCD中，AB=3，AD=8，E是BC中點，BF⊥AE于點M，交AD于點F，則AM長為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】在Rt△ABE中，利用勾股定理求得AE=5，再利用面積法求得BM=，在Rt△ABM中，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：∵矩形ABCD中，AD=8，E是BC中點，∴BE=4，∠ABE=90°，∵BF⊥AE于點M，∴∠BME=∠BMA=90°，在Rt△ABE中，AB=3，BE=4，∴AE=5，∵S△ABE=BE×AB=AE×BM，∴BM=，在Rt△ABM中，AB=3，BM=，∴AM=，故選：C．【點睛】本題考查了矩形的性質，勾股定理，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．3．如圖，平行四邊形ABCD中，AC，BD為對角線，，且，若平行四邊形ABCD的面積為48，則AB的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據平行四邊形的性質，得AC=2OA，BD=2OB，再因為AC：BD=3：5，則OA：OB=3：5，設OA=3k，則OB=5k，AC=6k，由勾股定理，得AB=4k，再根據平行四邊形面積公式求出k值，即可求解．【詳解】解：如圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC=2OA，BD=2OB，∵AC：BD=3：5，∴OA：OB=3：5，設OA=3k，則OB=5k，AC=6k，∵，∴由勾股定理，得AB=＝4k，∵S平行四邊形ABCD=ABAC=48，∴4k6k=48,解得：k=,∴AB=4k=4,故選：D．【點睛】本題考查平行四邊形的性質，勾股定理，熟練掌握平行四邊形的性質是解題詞的關鍵．4．如圖，中，，，，繞點逆時針旋轉到處，此時線段與的交點為的中點，則線段的長度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由勾股定理求出AB，由旋轉的性質可得，，再求出OE，從而得到，過點O作于，由三角形的面積求出OF，由勾股定理列式求出EF，再由等腰三角形三線合一的性質可得，然后由代入數(shù)據計算，即可得解．【詳解】解：∵，，，∴，∵繞頂點逆時針旋轉到處，∴，，∵點為的中點，∴，∴，過點作于，如圖，，解得：，在Rt中，，∵，，∴，∴．故選：B．【點睛】本題考查了旋轉的性質，勾股定理的應用，等腰三角形三線合一的性質，以及三角形面積等知識，解題的關鍵是熟練掌握旋轉變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大?。⑻羁疹}5．如圖，在△ABC中，，平分，過作，垂