專題13二次函數(shù)(原卷版+解析)

專題13二次函數(shù)【專題目錄】技巧1：二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的六種關系技巧2：二次函數(shù)圖像信息題的四種常見類型技巧3：求二次函數(shù)表達式的常見類型【題型】一、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)【題型】二、二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關系【題型】三、二次函數(shù)的對稱性【題型】四、二次函數(shù)的最值【題型】五、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式【題型】六、二次函數(shù)平移問題【題型】七、二次函數(shù)解決實際問題【考綱要求】1、理解二次函數(shù)的有關概念，會用描點法畫二次函數(shù)的圖象，能從圖象上認識二次函數(shù)的性質(zhì)．2、會根據(jù)公式確定圖象的頂點、開口方向和對稱軸，并能掌握二次函數(shù)圖象的平移．3、熟練掌握二次函數(shù)解析式的求法，并能用它解決有關的實際問題．【考點總結(jié)】一、二次函數(shù)二次函數(shù)二次函數(shù)的概念一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)，那么y叫做x的二次函數(shù)．注意：(1)二次項系數(shù)a≠0；(2)ax2＋bx＋c必須是整式；(3)一次項可以為零，常數(shù)項也可以為零，一次項和常數(shù)項可以同時為零；(4)自變量x的取值范圍是全體實數(shù)．二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)圖象(a＞0)(a＜0)開口方向開口向上開口向下對稱軸直線x＝－eq\f(b,2a)直線x＝－eq\f(b,2a)頂點坐標eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))增減性當x＜－eq\f(b,2a)時，y隨x的增大而減小；當x＞－eq\f(b,2a)時，y隨x的增大而增大當x＜－eq\f(b,2a)時，y隨x的增大而增大；當x＞－eq\f(b,2a)時，y隨x的增大而減小最值當x＝－eq\f(b,2a)時，y有最小值eq\f(4ac－b2,4a)當x＝－eq\f(b,2a)時，y有最大值eq\f(4ac－b2,4a)【考點總結(jié)】二、二次函數(shù)的性質(zhì)1、拋物線的頂點式，對稱軸是平行于軸的直線。2、當時，拋物線在軸的上方（除頂點外），它的開口向上，并且向上無限伸展；當時，拋物線在軸的下方（除頂點外），它的開口向下，并且向下無限伸展。3、當時，在對稱軸（）的左側(cè)，隨著的增大而減??；在對稱軸（）的右側(cè)，隨著的增大而增大；當時，函數(shù)的值最?。ㄊ?）；當時，在對稱軸（）的左側(cè)，隨著的增大而增大；在對稱軸（）的右側(cè)，隨著的增大而減??；當時，函數(shù)的值最大（是0）。4、二次函數(shù)與的圖像形狀相同，可以看作是拋物線整體沿軸平移了個單位（當時，向右平移個單位；當時，向左平移個單位）得到的。【考點總結(jié)】三、二次函數(shù)與的關系二次函數(shù)與的關系一般地，由的圖像便可得到二次函數(shù)的圖像：的圖像可以看成先沿軸整體左（右）平移了個單位（當時，向右平移個單位；當時，向左平移個單位），再沿軸整體上（下）平移了個單位（當時，向上平移個單位；當時，向下平移個單位）。因此，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，它的開口方向、對稱軸和頂點坐標與的值有關二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)拋物線頂點坐標對稱軸直線直線位置由和的符號確定由和的符號確定開口方向向上向下增減性在對稱軸的左側(cè)，隨著的增大而減??；在對稱軸的右側(cè)，隨著的增大而增大。在對稱軸的左側(cè)，隨著的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，隨著的增大而減小。最值當時，最小值為當時，最大值為開口大小|a|越大,開口越小，|a|越小,開口越大?！咀⒁狻慷魏瘮?shù)ax2+bx+c=0①a決定開口方向及開口大小，這與y=ax2中的a完全一樣.a>0時，拋物線開口向上；a<0時，拋物線開口向下；a的絕對值越大，開口越小.②b和a共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是直線，故：A.b=0時，對稱軸為y軸；B.>0（即a,b同號）時，對稱軸在y軸左側(cè)；C.<0（即a,b異號）時，對稱軸在y軸右側(cè).(口訣:“左同右異”）【技巧歸納】技巧1：二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的六種關系【類型】一、a與圖像的關系1．如圖，四個函數(shù)的圖像分別對應的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，則a，b，c，d的大小關系為()A．a(chǎn)＞b＞c＞dB．a(chǎn)＞b＞d＞cC．b＞a＞c＞dD．b＞a＞d＞c【類型】二、b與圖像的關系2．若二次函數(shù)y＝3x2＋(b－3)x－4的圖像如圖所示，則b的值是()A．－5B．0C．3D．43．當拋物線y＝x2－nx＋2的對稱軸是y軸時，n______0；當對稱軸在y軸左側(cè)時，n______0；當對稱軸在y軸右側(cè)時，n______0.(填“＞”“＜”或“＝”)【類型】三、c與圖像的關系4．下列拋物線可能是y＝ax2＋bx的圖像的是()5．若將拋物線y＝ax2＋bx＋c－3向上平移4個單位長度后得到的圖像如圖所示，則c＝________．【類型】四、a，b與圖像的關系6．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像如圖所示，則下列說法中不正確的是()A．a(chǎn)＞0B．b＜0C．3a＋b＞0D．b＞－2a【類型】五、a，c與圖像的關系7．二次函數(shù)y＝(3－m)x2－x＋n＋5的圖像如圖所示，試求eq\r(（m－3）2)＋eq\r(n2)－|m＋n|的值．【類型】六、b，c與圖像的關系8．【中考·六盤水】已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則()A．b＞0，c＞0B．b＞0，c＜0C．b＜0，c＜0D．b＜0，c＞0【類型】七、a，b，c與圖像的關系9．在二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中，a＜0，b＞0，c＜0，則符合條件的圖像是()10．如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，給出以下四個結(jié)論：①abc＝0，②a＋b＋c＞0，③a＞b，④4ac－b2＜0.其中正確的結(jié)論有()A．1個B．2個C．3個D．4個技巧2：二次函數(shù)圖像信息題的四種常見類型【類型】一、根據(jù)拋物線的特征確定a，b，c及與其有關的代數(shù)式的符號1．如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖像與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，且OA＝OC.則下列結(jié)論：①abc＜0；②eq\f(b2－4ac,4a)＞0；③ac－b＋1＝0；④OA·OB＝－eq\f(c,a).其中正確結(jié)論的個數(shù)是()A．4B．3C．2D．1【類型】二、利用二次函數(shù)的圖像比較大小2．二次函數(shù)y＝－x2＋bx＋c的圖像如圖，若點A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函數(shù)圖像上，且x1<x2<1，則y1與y2的大小關系是()A．y1≤y2B．y1＜y2C．y1≥y2D．y1＞y2【類型】三、利用二次函數(shù)的圖像求方程的解或不等式的解集3．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖像如圖所示，則當函數(shù)值y＞0時，x的取值范圍是()A．x＜－1B．x＞3C．－1＜x＜3D．x＜－1或x＞34．如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋3的圖像經(jīng)過點A(－1，0)，B(3，0)，那么一元二次方程ax2＋bx＝0的根是____________．【類型】四、根據(jù)拋物線的特征確定其他函數(shù)的圖像5．二次函數(shù)y＝ax2＋bx的圖像如圖所示，那么一次函數(shù)y＝ax＋b的圖像大致是()6．如圖，A(－1，0)，B(2，－3)兩點在一次函數(shù)y1＝－x＋m與二次函數(shù)y2＝ax2＋bx－3的圖像上．(1)求m的值和二次函數(shù)的表達式；(2)設二次函數(shù)的圖像交y軸于點C，求△ABC的面積．技巧3：求二次函數(shù)表達式的常見類型【類型】一、由函數(shù)的基本形式求表達式題型1：利用一般式求二次函數(shù)表達式1．已知二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖像與y軸交于點C(0，－6)，與x軸的一個交點坐標是A(－2，0)．(1)求二次函數(shù)的表達式，并寫出頂點D的坐標；(2)將二次函數(shù)的圖像沿x軸向左平移eq\f(5,2)個單位長度，當y<0時，求x的取值范圍．題型2：利用頂點式求二次函數(shù)表達式2．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，當x＝1時，有最大值8，其圖像的形狀、開口方向與拋物線y＝－2x2相同，則這個二次函數(shù)的表達式是()A．y＝－2x2－x＋3B．y＝－2x2＋4C．y＝－2x2＋4x＋8D．y＝－2x2＋4x＋63．已知某個二次函數(shù)的最大值是2，圖像頂點在直線y＝x＋1上，并且圖像經(jīng)過點(3，－6)．求這個二次函數(shù)的表達式．題型3：利用交點式求二次函數(shù)表達式4．已知拋物線與x軸交于A(1，0)，B(－4，0)兩點，與y軸交于點C，且AB＝BC，求此拋物線對應的函數(shù)表達式．題型4：利用平移法求二次函數(shù)表達式5．把二次函數(shù)y＝2x2的圖像向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，平移后拋物線的表達式是___________．6．已知y＝x2＋bx＋c的圖像向右平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到的圖像的表達式為y＝x2－2x－3.(1)b＝________，c＝________；(2)求原函數(shù)圖像的頂點坐標；(3)求兩個圖像頂點之間的距離．題型5：利用對稱軸法求二次函數(shù)表達式7．如圖，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c的對稱軸為直線x＝1，且與x軸的一個交點為(3，0)，那么它對應的函數(shù)表達式是________________．8．如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，點A的坐標為(2，0)，點C的坐標為(0，3)，拋物線的對稱軸是直線x＝－eq\f(1,2).(1)求拋物線的表達式；(2)M是線段AB上的任意一點，當△MBC為等腰三角形時，求點M的坐標．題型6：靈活運用方法求二次函數(shù)的表達式9．已知拋物線的頂點坐標為(－2，4)，且與x軸的一個交點坐標為(1，0)，求拋物線對應的函數(shù)表達式．【類型】二、由函數(shù)圖像中的信息求表達式10．如圖，是某個二次函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像可知，該二次函數(shù)的表達式是()A．y＝x2－x－2B．y＝－eq\f(1,2)x2－eq\f(1,2)x＋2C．y＝－eq\f(1,2)x2－eq\f(1,2)x＋1D．y＝－x2＋x＋211．某企業(yè)生產(chǎn)并銷售某種產(chǎn)品，假設銷售量與產(chǎn)量相等．如圖中的折線ABD，線段CD分別表示該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成本y1(單位：元)，銷售價y2(單位：元)與產(chǎn)量x(單位：kg)之間的函數(shù)關系．(1)請解釋圖中點D的橫坐標、縱坐標的實際意義；(2)求線段AB所表示的y1與x之間的函數(shù)表達式；(3)當該產(chǎn)品產(chǎn)量為多少時，獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【類型】三、由表格信息求表達式12．若y＝ax2＋bx＋c，則由表格中信息可知y與x之間的函數(shù)關系式是()x－101ax21ax2＋bx＋c83A.y＝x2－4x＋3B．y＝x2－3x＋4C．y＝x2－3x＋3D．y＝x2－4x＋813．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)自變量x和函數(shù)值y的部分對應值如下表：x…－eq\f(3,2)－1－eq\f(1,2)0eq\f(1,2)1eq\f(3,2)…y…－eq\f(5,4)－2－eq\f(9,4)－2－eq\f(5,4)0eq\f(7,4)…則該二次函數(shù)的表達式為______________．【類型】四、幾何應用中求二次函數(shù)的表達式14．某校校園內(nèi)有一個大正方形花壇，如圖甲所示，它由四個邊長為3米的小正方形組成，且每個小正方形的種植方案相同．其中的一個小正方形ABCD如圖乙所示，DG＝1米，AE＝AF＝x米，在五邊形EFBCG區(qū)域上種植花卉，則大正方形花壇種植花卉的面積y與x的函數(shù)圖像大致是()【類型】五、實際問題中求二次函數(shù)表達式15．在美化校園的活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角(兩墻足夠長)，用28m長的籬笆圍成一個矩形花園ABCD(籬笆只圍AB，BC兩邊)，設AB＝xm，花園的面積為Sm2.(1)求S與x之間的函數(shù)表達式；(2)若在P處有一棵樹與墻CD，AD的距離分別是15m和6m，要將這棵樹圍在花園內(nèi)(含邊界，不考慮樹的粗細)，求花園面積的最大值．【題型講解】【題型】一、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)例1、二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列選項錯誤的是（）A．若，是圖象上的兩點，則B．C．方程有兩個不相等的實數(shù)根D．當時，y隨x的增大而減小【題型】二、二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關系例2、如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點（4，0），其對稱軸為直線x＝1，結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：①ac＜0；②4a﹣2b+c＞0；③當x＞2時，y隨x的增大而增大；④關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個不相等的實數(shù)根．其中正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【題型】三、二次函數(shù)的對稱性例3、拋物線與x軸的一個交點坐標為，對稱軸是直線，其部分圖象如圖所示，則此拋物線與x軸的另一個交點坐標是（）A． B． C． D．【題型】四、二次函數(shù)的最值例4、點P(m，n)在以y軸為對稱軸的二次函數(shù)y＝x2+ax+4的圖象上．則m﹣n的最大值等于（）A． B．4 C．﹣ D．﹣【題型】五、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式例5、已知二次函數(shù)（是常數(shù)，）的與的部分對應值如下表：02606下列結(jié)論：①；②當時，函數(shù)最小值為；③若點，點在二次函數(shù)圖象上，則；④方程有兩個不相等的實數(shù)根．其中，正確結(jié)論的序號是__________________．（把所有正確結(jié)論的序號都填上）【題型】六、二次函數(shù)平移問題例6、把函數(shù)的圖象向右平移1個單位長度，平移后圖象的函數(shù)解析式為（）A． B．C． D．【題型】七、二次函數(shù)解決實際問題例7、如圖，某小區(qū)有一塊靠墻（墻的長度不限）的矩形空地ABCD，為美化環(huán)境，用總長為100m的籬笆圍成四塊矩形花圃（靠墻一側(cè)不用籬笆，籬笆的厚度不計）．（1）若四塊矩形花圃的面積相等，求證：AE＝3BE；（2）在（1）的條件下，設BC的長度為xm，矩形區(qū)域ABCD的面積為ym2，求y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍．二次函數(shù)（達標訓練）一、單選題1．（2022·廣東廣州·一模）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx的圖象開口向下，且經(jīng)過第三象限的點P．若點P的橫坐標為﹣1，則一次函數(shù)y＝（a﹣b）x+b的圖象大致是（）A． B． C． D．2．（2022·山東煙臺·二模）二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，對稱軸為直線x=1．下列結(jié)論：①abc>0；②若(?3，y1)，(4，y2)在拋物線上，則y1<y2；③當?1<x<3時，y<0時；④8a+c>0．其中正確的有（

）A．①② B．①④ C．①③④ D．②④3．（2022·河南新鄉(xiāng)·二模）二次函數(shù)y=?x2+4x+7的頂點坐標和對稱軸分別是（

）A．，x＝2 B．，x＝2 C．，x＝－2 D．，x＝24．（2022·黑龍江哈爾濱·三模）將拋物線向左平移2個單位長度，在向上平移1個單位長度，則平移后得到的拋物線解析式是（

）．A． B．C． D．5．（2022·福建福州·一模）下列y關于x的函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（）A． B．C． D．二、填空題6．（2022·河南·駐馬店市第二初級中學模擬預測）觀察函數(shù)與的圖像，寫出一條它們的共同特征：______．7．（2022·甘肅·一模）已知拋物線的部分圖像如圖所示，則方程的解是___________三、解答題8．（2022·浙江麗水·一模）如圖，拋物線與x軸相交于點，與y軸相交于點C．(1)求拋物線的解析式．(2)點是拋物線上不同的兩點．①若，求之間的數(shù)量關系．②若，求的最小值．二次函數(shù)（提升測評）一、單選題1．（2022·內(nèi)蒙古·包頭市第三十五中學三模）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤（，m為實數(shù)），其中正確的結(jié)論有（

）個．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個2．（2022·廣東·揭陽市實驗中學模擬預測）在二次函數(shù)的圖像上有點．則的大小關系是（

）A． B． C． D．3．（2022·廣東·深圳市寶安中學（集團）三模）二次函數(shù)與一次函數(shù)在同一平面直角坐標系中的圖像可能是（

）A． B．C． D．4．（2022·廣東·深圳市寶安中學（集團）三模）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一坐標系內(nèi)的大致圖象是（

）A．B．C．D．5．（2022·浙江嘉興·一模）已知是二次函數(shù)圖象上的點，則下列說法一定正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則二、填空題6．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·三模）如圖，和是邊長分別為5和2的等邊三角形，點、、、都在直線上，固定不動，將在直線上自左向右平移．開始時，點與點重合，當點移動到與點重合時停止．設移動的距離為，兩個三角形重疊部分的面積為，請寫出與之間的函數(shù)關系式_________．7．（2022·江蘇·淮安市淮安區(qū)教師發(fā)展中心學科研訓處模擬預測）二次函數(shù)（）的圖像與直線交于點、兩點，則關于的不等式的解集為_______．三、解答題8．（2022·浙江寧波·一模）已知：一次函數(shù)，二次函數(shù)為（b，c為常數(shù)）.(1)如圖，兩函數(shù)圖象交于點.求二次函數(shù)的表達式，并寫出當時x的取值范圍.(2)請寫出一組b，c的值，使兩函數(shù)圖象只有一個公共點，并說明理由.專題13二次函數(shù)【專題目錄】技巧1：二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的六種關系技巧2：二次函數(shù)圖像信息題的四種常見類型技巧3：求二次函數(shù)表達式的常見類型【題型】一、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)【題型】二、二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關系【題型】三、二次函數(shù)的對稱性【題型】四、二次函數(shù)的最值【題型】五、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式【題型】六、二次函數(shù)平移問題【題型】七、二次函數(shù)解決實際問題【考綱要求】1、理解二次函數(shù)的有關概念，會用描點法畫二次函數(shù)的圖象，能從圖象上認識二次函數(shù)的性質(zhì)．2、會根據(jù)公式確定圖象的頂點、開口方向和對稱軸，并能掌握二次函數(shù)圖象的平移．3、熟練掌握二次函數(shù)解析式的求法，并能用它解決有關的實際問題．【考點總結(jié)】一、二次函數(shù)二次函數(shù)二次函數(shù)的概念一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)，那么y叫做x的二次函數(shù)．注意：(1)二次項系數(shù)a≠0；(2)ax2＋bx＋c必須是整式；(3)一次項可以為零，常數(shù)項也可以為零，一次項和常數(shù)項可以同時為零；(4)自變量x的取值范圍是全體實數(shù)．二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)圖象(a＞0)(a＜0)開口方向開口向上開口向下對稱軸直線x＝－eq\f(b,2a)直線x＝－eq\f(b,2a)頂點坐標eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))增減性當x＜－eq\f(b,2a)時，y隨x的增大而減??；當x＞－eq\f(b,2a)時，y隨x的增大而增大當x＜－eq\f(b,2a)時，y隨x的增大而增大；當x＞－eq\f(b,2a)時，y隨x的增大而減小最值當x＝－eq\f(b,2a)時，y有最小值eq\f(4ac－b2,4a)當x＝－eq\f(b,2a)時，y有最大值eq\f(4ac－b2,4a)【考點總結(jié)】二、二次函數(shù)的性質(zhì)1、拋物線的頂點式，對稱軸是平行于軸的直線。2、當時，拋物線在軸的上方（除頂點外），它的開口向上，并且向上無限伸展；當時，拋物線在軸的下方（除頂點外），它的開口向下，并且向下無限伸展。3、當時，在對稱軸（）的左側(cè)，隨著的增大而減??；在對稱軸（）的右側(cè)，隨著的增大而增大；當時，函數(shù)的值最?。ㄊ?）；當時，在對稱軸（）的左側(cè)，隨著的增大而增大；在對稱軸（）的右側(cè)，隨著的增大而減??；當時，函數(shù)的值最大（是0）。4、二次函數(shù)與的圖像形狀相同，可以看作是拋物線整體沿軸平移了個單位（當時，向右平移個單位；當時，向左平移個單位）得到的?！究键c總結(jié)】三、二次函數(shù)與的關系二次函數(shù)與的關系一般地，由的圖像便可得到二次函數(shù)的圖像：的圖像可以看成先沿軸整體左（右）平移了個單位（當時，向右平移個單位；當時，向左平移個單位），再沿軸整體上（下）平移了個單位（當時，向上平移個單位；當時，向下平移個單位）。因此，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，它的開口方向、對稱軸和頂點坐標與的值有關二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)拋物線頂點坐標對稱軸直線直線位置由和的符號確定由和的符號確定開口方向向上向下增減性在對稱軸的左側(cè)，隨著的增大而減??；在對稱軸的右側(cè)，隨著的增大而增大。在對稱軸的左側(cè)，隨著的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，隨著的增大而減小。最值當時，最小值為當時，最大值為開口大小|a|越大,開口越小，|a|越小,開口越大?！咀⒁狻慷魏瘮?shù)ax2+bx+c=0①a決定開口方向及開口大小，這與y=ax2中的a完全一樣.a>0時，拋物線開口向上；a<0時，拋物線開口向下；a的絕對值越大，開口越小.②b和a共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是直線，故：A.b=0時，對稱軸為y軸；B.>0（即a,b同號）時，對稱軸在y軸左側(cè)；C.<0（即a,b異號）時，對稱軸在y軸右側(cè).(口訣:“左同右異”）【技巧歸納】技巧1：二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的六種關系【類型】一、a與圖像的關系1．如圖，四個函數(shù)的圖像分別對應的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，則a，b，c，d的大小關系為()A．a(chǎn)＞b＞c＞dB．a(chǎn)＞b＞d＞cC．b＞a＞c＞dD．b＞a＞d＞c【類型】二、b與圖像的關系2．若二次函數(shù)y＝3x2＋(b－3)x－4的圖像如圖所示，則b的值是()A．－5B．0C．3D．43．當拋物線y＝x2－nx＋2的對稱軸是y軸時，n______0；當對稱軸在y軸左側(cè)時，n______0；當對稱軸在y軸右側(cè)時，n______0.(填“＞”“＜”或“＝”)【類型】三、c與圖像的關系4．下列拋物線可能是y＝ax2＋bx的圖像的是()5．若將拋物線y＝ax2＋bx＋c－3向上平移4個單位長度后得到的圖像如圖所示，則c＝________．【類型】四、a，b與圖像的關系6．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像如圖所示，則下列說法中不正確的是()A．a(chǎn)＞0B．b＜0C．3a＋b＞0D．b＞－2a【類型】五、a，c與圖像的關系7．二次函數(shù)y＝(3－m)x2－x＋n＋5的圖像如圖所示，試求eq\r(（m－3）2)＋eq\r(n2)－|m＋n|的值．【類型】六、b，c與圖像的關系8．【中考·六盤水】已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則()A．b＞0，c＞0B．b＞0，c＜0C．b＜0，c＜0D．b＜0，c＞0【類型】七、a，b，c與圖像的關系9．在二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中，a＜0，b＞0，c＜0，則符合條件的圖像是()10．如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，給出以下四個結(jié)論：①abc＝0，②a＋b＋c＞0，③a＞b，④4ac－b2＜0.其中正確的結(jié)論有()A．1個B．2個C．3個D．4個參考答案1．A點撥：本題運用數(shù)形結(jié)合思想，在二次函數(shù)y＝ax2中，|a|越大，其圖像的開口越小，所以①，②中，a＞b＞0，③，④中，d＜c＜0，所以a＞b＞c＞d，故選A.2．C點撥：∵二次函數(shù)y＝3x2＋(b－3)x－4的圖像關于y軸對稱，∴b－3＝0，b＝3.3．＝；＜；＞4．D5.16.D7．解：由圖像知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－m＞0，,n＋5＜0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＜3，,n＜－5.))∴m－3＜0，m＋n＜－2.∴eq\r(（m－3）2)＋eq\r(n2)－|m＋n|＝3－m－n＋m＋n＝3.8．B點撥：∵二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象的開口向下，∴a＜0.∵二次函數(shù)的圖象與y軸交于負半軸，∴c＜0.∵對稱軸x＝－eq\f(b,2a)＞0，∴b＞0.故選B.9．D10．C點撥：首先根據(jù)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象經(jīng)過原點，可得c＝0，所以abc＝0；然后根據(jù)x＝1時，y＜0，可得a＋b＋c＜0；再根據(jù)圖象開口向下，可得a＜0，圖象的對稱軸為直線x＝－eq\f(3,2)，可得－eq\f(b,2a)＝－eq\f(3,2)，b＜0，所以b＝3a，a＞b；最后根據(jù)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸有兩個交點，可得b2－4ac＞0，所以4ac－b2＜0，據(jù)此解答即可．技巧2：二次函數(shù)圖像信息題的四種常見類型【類型】一、根據(jù)拋物線的特征確定a，b，c及與其有關的代數(shù)式的符號1．如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖像與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，且OA＝OC.則下列結(jié)論：①abc＜0；②eq\f(b2－4ac,4a)＞0；③ac－b＋1＝0；④OA·OB＝－eq\f(c,a).其中正確結(jié)論的個數(shù)是()A．4B．3C．2D．1【類型】二、利用二次函數(shù)的圖像比較大小2．二次函數(shù)y＝－x2＋bx＋c的圖像如圖，若點A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函數(shù)圖像上，且x1<x2<1，則y1與y2的大小關系是()A．y1≤y2B．y1＜y2C．y1≥y2D．y1＞y2【類型】三、利用二次函數(shù)的圖像求方程的解或不等式的解集3．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖像如圖所示，則當函數(shù)值y＞0時，x的取值范圍是()A．x＜－1B．x＞3C．－1＜x＜3D．x＜－1或x＞34．如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋3的圖像經(jīng)過點A(－1，0)，B(3，0)，那么一元二次方程ax2＋bx＝0的根是____________．【類型】四、根據(jù)拋物線的特征確定其他函數(shù)的圖像5．二次函數(shù)y＝ax2＋bx的圖像如圖所示，那么一次函數(shù)y＝ax＋b的圖像大致是()6．如圖，A(－1，0)，B(2，－3)兩點在一次函數(shù)y1＝－x＋m與二次函數(shù)y2＝ax2＋bx－3的圖像上．(1)求m的值和二次函數(shù)的表達式；(2)設二次函數(shù)的圖像交y軸于點C，求△ABC的面積．參考答案1．B2.B3.D4.x1＝0，x2＝25.C6．解：(1)將點A(－1，0)的坐標代入y1＝－x＋m，得m＝－1；將點A(－1，0)，B(2，－3)的坐標分別代入y2＝ax2＋bx－3，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b－3＝0，,4a＋2b－3＝－3.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－2.))∴y2＝x2－2x－3.(2)易知C點的坐標為(0，－3)，一次函數(shù)的圖像與y軸的交點坐標為(0，－1)．∴S△ABC＝eq\f(1,2)×[－1－(－3)]×1＋eq\f(1,2)×[－1－(－3)]×2＝eq\f(1,2)×2×1＋eq\f(1,2)×2×2＝3.技巧3：求二次函數(shù)表達式的常見類型【類型】一、由函數(shù)的基本形式求表達式題型1：利用一般式求二次函數(shù)表達式1．已知二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖像與y軸交于點C(0，－6)，與x軸的一個交點坐標是A(－2，0)．(1)求二次函數(shù)的表達式，并寫出頂點D的坐標；(2)將二次函數(shù)的圖像沿x軸向左平移eq\f(5,2)個單位長度，當y<0時，求x的取值范圍．題型2：利用頂點式求二次函數(shù)表達式2．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，當x＝1時，有最大值8，其圖像的形狀、開口方向與拋物線y＝－2x2相同，則這個二次函數(shù)的表達式是()A．y＝－2x2－x＋3B．y＝－2x2＋4C．y＝－2x2＋4x＋8D．y＝－2x2＋4x＋63．已知某個二次函數(shù)的最大值是2，圖像頂點在直線y＝x＋1上，并且圖像經(jīng)過點(3，－6)．求這個二次函數(shù)的表達式．題型3：利用交點式求二次函數(shù)表達式4．已知拋物線與x軸交于A(1，0)，B(－4，0)兩點，與y軸交于點C，且AB＝BC，求此拋物線對應的函數(shù)表達式．題型4：利用平移法求二次函數(shù)表達式5．把二次函數(shù)y＝2x2的圖像向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，平移后拋物線的表達式是___________．6．已知y＝x2＋bx＋c的圖像向右平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到的圖像的表達式為y＝x2－2x－3.(1)b＝________，c＝________；(2)求原函數(shù)圖像的頂點坐標；(3)求兩個圖像頂點之間的距離．題型5：利用對稱軸法求二次函數(shù)表達式7．如圖，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c的對稱軸為直線x＝1，且與x軸的一個交點為(3，0)，那么它對應的函數(shù)表達式是________________．8．如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，點A的坐標為(2，0)，點C的坐標為(0，3)，拋物線的對稱軸是直線x＝－eq\f(1,2).(1)求拋物線的表達式；(2)M是線段AB上的任意一點，當△MBC為等腰三角形時，求點M的坐標．題型6：靈活運用方法求二次函數(shù)的表達式9．已知拋物線的頂點坐標為(－2，4)，且與x軸的一個交點坐標為(1，0)，求拋物線對應的函數(shù)表達式．【類型】二、由函數(shù)圖像中的信息求表達式10．如圖，是某個二次函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像可知，該二次函數(shù)的表達式是()A．y＝x2－x－2B．y＝－eq\f(1,2)x2－eq\f(1,2)x＋2C．y＝－eq\f(1,2)x2－eq\f(1,2)x＋1D．y＝－x2＋x＋211．某企業(yè)生產(chǎn)并銷售某種產(chǎn)品，假設銷售量與產(chǎn)量相等．如圖中的折線ABD，線段CD分別表示該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成本y1(單位：元)，銷售價y2(單位：元)與產(chǎn)量x(單位：kg)之間的函數(shù)關系．(1)請解釋圖中點D的橫坐標、縱坐標的實際意義；(2)求線段AB所表示的y1與x之間的函數(shù)表達式；(3)當該產(chǎn)品產(chǎn)量為多少時，獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【類型】三、由表格信息求表達式12．若y＝ax2＋bx＋c，則由表格中信息可知y與x之間的函數(shù)關系式是()x－101ax21ax2＋bx＋c83A.y＝x2－4x＋3B．y＝x2－3x＋4C．y＝x2－3x＋3D．y＝x2－4x＋813．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)自變量x和函數(shù)值y的部分對應值如下表：x…－eq\f(3,2)－1－eq\f(1,2)0eq\f(1,2)1eq\f(3,2)…y…－eq\f(5,4)－2－eq\f(9,4)－2－eq\f(5,4)0eq\f(7,4)…則該二次函數(shù)的表達式為______________．【類型】四、幾何應用中求二次函數(shù)的表達式14．某校校園內(nèi)有一個大正方形花壇，如圖甲所示，它由四個邊長為3米的小正方形組成，且每個小正方形的種植方案相同．其中的一個小正方形ABCD如圖乙所示，DG＝1米，AE＝AF＝x米，在五邊形EFBCG區(qū)域上種植花卉，則大正方形花壇種植花卉的面積y與x的函數(shù)圖像大致是()【類型】五、實際問題中求二次函數(shù)表達式15．在美化校園的活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角(兩墻足夠長)，用28m長的籬笆圍成一個矩形花園ABCD(籬笆只圍AB，BC兩邊)，設AB＝xm，花園的面積為Sm2.(1)求S與x之間的函數(shù)表達式；(2)若在P處有一棵樹與墻CD，AD的距離分別是15m和6m，要將這棵樹圍在花園內(nèi)(含邊界，不考慮樹的粗細)，求花園面積的最大值．參考答案1．解：(1)∵把C點坐標(0，－6)代入二次函數(shù)的表達式得c＝－6，把A點坐標(－2，0)代入y＝x2＋bx－6得b＝－1，∴二次函數(shù)的表達式為y＝x2－x－6.即y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(25,4).∴頂點D的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(25,4))).(2)將二次函數(shù)的圖像沿x軸向左平移eq\f(5,2)個單位長度所得圖像對應的函數(shù)表達式為y＝(x＋2)2－eq\f(25,4).令y＝0，得(x＋2)2－eq\f(25,4)＝0，解得x1＝eq\f(1,2)，x2＝－eq\f(9,2).∵a>0，∴當y<0時，x的取值范圍是－eq\f(9,2)<x<eq\f(1,2).2．D3．解：設二次函數(shù)圖像的頂點坐標為(x，2)，則2＝x＋1，所以x＝1，所以圖像的頂點坐標為(1，2)．設二次函數(shù)的表達式為y＝a(x－1)2＋2，將點(3，－6)的坐標代入上式，可得a＝－2.所以該函數(shù)的表達式為y＝－2(x－1)2＋2，即y＝－2x2＋4x.4．解：由A(1，0)，B(－4，0)可知AB＝5，OB＝4.又∵BC＝AB，∴BC＝5.在Rt△BCO中，OC＝eq\r(BC2－OB2)＝eq\r(52－42)＝3，∴C點的坐標為(0，3)或(0，－3)．設拋物線對應的函數(shù)表達式為y＝a(x－1)(x＋4)，將點(0，3)的坐標代入得3＝a(0－1)×(0＋4)，解得a＝－eq\f(3,4).將點(0，－3)的坐標代入得－3＝a(0－1)×(0＋4)，解得a＝eq\f(3,4).∴該拋物線對應的函數(shù)表達式為y＝－eq\f(3,4)(x－1)(x＋4)或y＝eq\f(3,4)(x－1)(x＋4)，即y＝－eq\f(3,4)x2－eq\f(9,4)x＋3或y＝eq\f(3,4)x2＋eq\f(9,4)x－3.點撥：若給出拋物線與x軸的交點坐標或?qū)ΨQ軸及拋物線與x軸的兩交點間的距離，通?？稍O交點式求解．5．y＝2x2＋4x6．解：(1)2；0(2)原函數(shù)的表達式為y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1.∴其圖像的頂點坐標為(－1，－1)．(3)原函數(shù)圖像的頂點為(－1，－1)，新函數(shù)圖像的頂點為(1，－4)．由勾股定理易得兩個頂點之間的距離為eq\r(13).7．y＝－x2＋2x＋38．解：(1)設拋物線的表達式為y＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋k.把點(2，0)，(0，3)的坐標代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(25,4)a＋k＝0，,\f(1,4)a＋k＝3.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,2)，,k＝\f(25,8).))∴y＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(25,8)，即y＝－eq\f(1,2)x2－eq\f(1,2)x＋3.(2)由y＝0，得－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(25,8)＝0，解得x1＝2，x2＝－3，∴B(－3，0)．[來源:學.科.網(wǎng)Z.X.X.K]①當CM＝BM時，∵BO＝CO＝3，即△BOC是等腰三角形，∴當M點在原點O處時，△MBC是等腰三角形．∴M點坐標為(0，0)．②當BC＝BM時，在Rt△BOC中，BO＝CO＝3，由勾股定理得BC＝eq\r(OC2＋OB2)＝3eq\r(2)，∴BM＝3eq\r(2).∴M點坐標為(3eq\r(2)－3，0)．綜上所述，點M坐標為(0，0)或(3eq\r(2)－3，0)．9．解：方法一：設拋物線對應的函數(shù)表達式為y＝ax2＋bx＋c，由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)＝－2，,\f(4ac－b2,4a)＝4，,a＋b＋c＝0.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(4,9)，,b＝－\f(16,9)，,c＝\f(20,9).))∴拋物線對應的函數(shù)表達式為y＝－eq\f(4,9)x2－eq\f(16,9)x＋eq\f(20,9).方法二：設拋物線對應的函數(shù)表達式為y＝a(x＋2)2＋4，將點(1，0)的坐標代入得0＝a(1＋2)2＋4，解得a＝－eq\f(4,9).∴拋物線對應的函數(shù)表達式為y＝－eq\f(4,9)(x＋2)2＋4.即y＝－eq\f(4,9)x2－eq\f(16,9)x＋eq\f(20,9).方法三：∵拋物線的頂點坐標為(－2，4)，與x軸的一個交點坐標為(1，0)，∴拋物線的對稱軸為直線x＝－2，與x軸的另一個交點坐標為(－5，0)．設拋物線對應的函數(shù)表達式為y＝a(x－1)(x＋5)，將點(－2，4)的坐標代入得4＝a(－2－1)(－2＋5)，解得a＝－eq\f(4,9).∴拋物線對應的函數(shù)表達式為y＝－eq\f(4,9)(x－1)(x＋5)，即y＝－eq\f(4,9)x2－eq\f(16,9)x＋eq\f(20,9).點撥：本題分別運用了一般式、頂點式、交點式求二次函數(shù)表達式，求二次函數(shù)的表達式時要根據(jù)題目條件靈活選擇方法，如本題中，第一種方法列式較復雜，且計算量大，第二、三種方法較簡便，計算量小．10．D11．解：(1)點D的橫坐標、縱坐標的實際意義：當產(chǎn)量為130kg時，該產(chǎn)品每千克生產(chǎn)成本與銷售價相等，都為42元．(2)設線段AB所表示的y1與x之間的函數(shù)表達式為y1＝k1x＋b1.因為y1＝k1x＋b1的圖像過點(0，60)與(90，42)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b1＝60，,90k1＋b1＝42.))解方程組得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝－0.2，,b1＝60.))這個一次函數(shù)的表達式為y1＝－0.2x＋60(0≤x≤90)．(3)設y2與x之間的函數(shù)表達式為y2＝k2x＋b2.因為y2＝k2x＋b2的圖像過點(0，120)與(130，42)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b2＝120，,130k2＋b2＝42.))解方程得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2＝－0.6，,b2＝120.))這個一次函數(shù)的表達式為y2＝－0.6x＋120(0≤x≤130)．設產(chǎn)量為xkg時，獲得的利潤為W元．當0≤x≤90時，W＝x[(－0.6x＋120)－(－0.2x＋60)]＝－0.4(x－75)2＋2250.所以，當x＝75時，W的值最大，最大值為2250.當90<x≤130時，W＝x[(－0.6x＋120)－42]＝－0.6(x－65)2＋2535.當x＝90時，W＝－0.6×(90－65)2＋2535＝2160.由－0.6＜0知，當x＞65時，W隨x的增大而減小，所以90<x≤130時，W<2160.因此，當該產(chǎn)品產(chǎn)量為75kg時，獲得的利潤最大，最大利潤是2250元．12．A13.y＝x2＋x－214．A點撥：先求出△AEF和△DEG的面積，然后可得到五邊形EFBCG的面積，繼而可得y與x的函數(shù)表達式．S△AEF＝eq\f(1,2)AE×AF＝eq\f(1,2)x2，S△DEG＝eq\f(1,2)DG×DE＝eq\f(1,2)×1×(3－x)＝eq\f(3－x,2)，S五邊形EFBCG＝S正方形ABCD－S△AEF－S△DEG＝9－eq\f(1,2)x2－eq\f(3－x,2)＝－eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)x＋eq\f(15,2)，則y＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2＋\f(1,2)x＋\f(15,2)))＝－2x2＋2x＋30.∵0＜AE<AD，∴0＜x<3，∴y＝－2x2＋2x＋30(0<x<3)．故選A.15．解：(1)∵AB＝xm，∴BC＝(28－x)m.于是易得S＝AB·BC＝x(28－x)＝－x2＋28x.即S＝－x2＋28x(0＜x＜28)．(2)由題意可知，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥6，,28－x≥15.))解得6≤x≤13.由(1)知，S＝－x2＋28x＝－(x－14)2＋196.易知當6≤x≤13時，S隨x的增大而增大，∴當x＝13時，S最大值＝195，即花園面積的最大值為195m2.【題型講解】【題型】一、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)例1、二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列選項錯誤的是（）A．若，是圖象上的兩點，則B．C．方程有兩個不相等的實數(shù)根D．當時，y隨x的增大而減小【答案】D【提示】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（對稱性、增減性）、二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系逐項判斷即可得．【詳解】由函數(shù)的圖象可知，二次函數(shù)的對稱軸為則當時，y隨x的增大而增大；當時，y隨x的增大而減小，選項D錯誤由對稱性可知，時的函數(shù)值與時的函數(shù)值相等則當時，函數(shù)值為，則選項A正確又當時，，即，選項B正確由函數(shù)的圖象可知，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點則將二次函數(shù)的圖象向上平移2個單位長度得到的二次函數(shù)與x軸也有兩個交點因此，關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根即方程有兩個不相等的實數(shù)根，選項C正確故選：D．【題型】二、二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關系例2、如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點（4，0），其對稱軸為直線x＝1，結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：①ac＜0；②4a﹣2b+c＞0；③當x＞2時，y隨x的增大而增大；④關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個不相等的實數(shù)根．其中正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【提示】根據(jù)拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標、增減性以及與x軸y軸的交點，綜合判斷即可．【詳解】解：拋物線開口向上，因此a＞0，與y軸交于負半軸，因此c＜0，故ac＜0，所以①正確；拋物線對稱軸為x＝1，與x軸的一個交點為（4，0），則另一個交點為（﹣2，0），于是有4a﹣2b+c＝0，所以②不正確；x＞1時，y隨x的增大而增大，所以③正確；拋物線與x軸有兩個不同交點，因此關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩個不相等的實數(shù)根，所以④正確；綜上所述，正確的結(jié)論有：①③④，故選：C．【題型】三、二次函數(shù)的對稱性例3、拋物線與x軸的一個交點坐標為，對稱軸是直線，其部分圖象如圖所示，則此拋物線與x軸的另一個交點坐標是（）A． B． C． D．【答案】B【提示】由函數(shù)的對稱性可得結(jié)論．【詳解】解：設此拋物線與x軸的另一個交點坐標為（x，0），∵拋物線與x軸的一個交點坐標為，對稱軸是直線，∴，解得x=3,此拋物線與x軸的另一個交點坐標為（3，0），故選：B．【題型】四、二次函數(shù)的最值例4、點P(m，n)在以y軸為對稱軸的二次函數(shù)y＝x2+ax+4的圖象上．則m﹣n的最大值等于（）A． B．4 C．﹣ D．﹣【答案】C【提示】根據(jù)題意，可以得到a的值以及m和n的關系，然后將m、n作差，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出m﹣n的最大值．【詳解】解：∵點P（m，n）在以y軸為對稱軸的二次函數(shù)y＝x2+ax+4的圖象上，∴a＝0，∴n＝m2+4，∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣）2﹣，∴當m＝時，m﹣n取得最大值，此時m﹣n＝﹣，故選：C．【題型】五、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式例5、已知二次函數(shù)（是常數(shù)，）的與的部分對應值如下表：02606下列結(jié)論：①；②當時，函數(shù)最小值為；③若點，點在二次函數(shù)圖象上，則；④方程有兩個不相等的實數(shù)根．其中，正確結(jié)論的序號是__________________．（把所有正確結(jié)論的序號都填上）【答案】①③④【提示】先根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，進而可直接判斷①；由拋物線的性質(zhì)可判斷②；把點和點代入解析式求出y1、y2即可③；當y=﹣5時，利用一元二次方程的根的判別式即可判斷④，進而可得答案．【詳解】解：由拋物線過點（﹣5，6）、（2，6）、（0，﹣4），可得：，解得：，∴二次函數(shù)的解析式是，∴a=1＞0，故①正確；當時，y有最小值，故②錯誤；若點，點在二次函數(shù)圖象上，則，，∴，故③正確；當y=﹣5時，方程即，∵，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，故④正確；綜上，正確的結(jié)論是：①③④．故答案為：①③④．【題型】六、二次函數(shù)平移問題例6、把函數(shù)的圖象向右平移1個單位長度，平移后圖象的函數(shù)解析式為（）A． B．C． D．【答案】C【提示】拋物線在平移時開口方向不變，a不變，根據(jù)圖象平移的口訣“左加右減、上加下減”即可解答．【詳解】把函數(shù)的圖象向右平移1個單位長度，平移后圖象的函數(shù)解析式為，故選：C．【題型】七、二次函數(shù)解決實際問題例7、如圖，某小區(qū)有一塊靠墻（墻的長度不限）的矩形空地ABCD，為美化環(huán)境，用總長為100m的籬笆圍成四塊矩形花圃（靠墻一側(cè)不用籬笆，籬笆的厚度不計）．（1）若四塊矩形花圃的面積相等，求證：AE＝3BE；（2）在（1）的條件下，設BC的長度為xm，矩形區(qū)域ABCD的面積為ym2，求y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2），見解析．【提示】（1）由題意易得AM＝2ME，故可直接得證；（2）由（1）及題意得2AB+GH+3BC＝100，設BC的長度為xm，矩形區(qū)域ABCD的面積為ym2即可得出函數(shù)關系式．【詳解】解：（1）證明：∵矩形MEFN與矩形EBCF面積相等，∴ME＝BE，AM＝GH．∵四塊矩形花圃的面積相等，即S矩形AMDND＝2S矩形MEFN，∴AM＝2ME，∴AE＝3BE；（2）∵籬笆總長為100m，∴2AB+GH+3BC＝100，即，∴設BC的長度為xm，矩形區(qū)域ABCD的面積為ym2，則，∵，∴，解得，∴．二次函數(shù)（達標訓練）一、單選題1．（2022·廣東廣州·一模）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx的圖象開口向下，且經(jīng)過第三象限的點P．若點P的橫坐標為﹣1，則一次函數(shù)y＝（a﹣b）x+b的圖象大致是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象可以判斷a、b、a-b的正負情況，從而可以得到一次函數(shù)經(jīng)過哪幾個象限，本題得以解決．【詳解】解：由二次函數(shù)的圖象可知，a＜0，b＜0，當x=-1時，y=a-b＜0，∴y=（a-b）x+b的圖象在第二、三、四象限，故選：D．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關鍵是明確題意，利用函數(shù)的思想解答．2．（2022·山東煙臺·二模）二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，對稱軸為直線x=1．下列結(jié)論：①abc>0；②若(?3，y1)，(4，y2)在拋物線上，則y1<y2；③當?1<x<3時，y<0時；④8a+c>0．其中正確的有（

）A．①② B．①④ C．①③④ D．②④【答案】B【分析】根據(jù)拋物線開口方向得到a＞0，根據(jù)拋物線的對稱軸得b=-2a＜0，拋物線與y軸的交點在x軸下方得到c＜0，可對①進行判斷；通過點（-3，y1）和點（4，y2）離對稱軸的遠近對②進行判斷；觀察圖象，拋物線與x軸的一個交點?1<x<0，可對③進行判斷；由當x=-2時，y＞0，則4a-2b+c＞0，得到8a+c＞0，則可對④進行判斷．【詳解】解：①拋物線開口向上，則a＞0，拋物線與y交于負半軸，則c＜0，x=-=1，即b=-2a，則b＜0，∴abc＞0，故①正確；②∵（-3，y1）離對稱直線x=1的距離為1-（-3）=4，（4，y2）離對稱直線x=1的距離為4-1=3，∴點（-3，y1）離對稱軸要比點（4，y2）離對稱軸要遠，又∵拋物線開口向上，離對稱軸越遠，函數(shù)值越大，4＞3，∴y1＞y2，故②錯誤；③觀察圖象，拋物線與x軸的一個交點為?1<x<0，∴當?1<x<3時，y不一定小于0；故③錯誤；④當x=-2時，y＞0，則4a-2b+c＞0，∵b=-2a，∴8a+c＞0，所以④正確；綜上，正確的有①④，故選：B．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，掌握二次函數(shù)y=ax2+bx+c系數(shù)符號與拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點、拋物線與x軸交點的個數(shù)的關系是解題的關鍵．3．（2022·河南新鄉(xiāng)·二模）二次函數(shù)y=?x2+4x+7的頂點坐標和對稱軸分別是（

）A．，x＝2 B．，x＝2 C．，x＝－2 D．，x＝2【答案】A【分析】將題目中函數(shù)解析式化為頂點式，從而可以得到該函數(shù)的頂點坐標和對稱軸，本題得以解決．【詳解】解：∵y=-x2+4x+7=-（x-2）2+11，∴該函數(shù)的頂點坐標是（2，11），對稱軸是直線x=2．故選：A．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關鍵是明確二次函數(shù)的性質(zhì)，利用二次函數(shù)的頂點式解答．4．（2022·黑龍江哈爾濱·三模）將拋物線向左平移2個單位長度，在向上平移1個單位長度，則平移后得到的拋物線解析式是（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)“左加右減、上加下減”的原則進行解答即可．【詳解】解：將拋物線y=-x2先向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到的拋物線的解析式為：y=-（x+2）2+1．故選：D．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．5．（2022·福建福州·一模）下列y關于x的函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義：進行判斷即可．【詳解】A、不是二次函數(shù)，不符合題意；B、是二次函數(shù)，符合題意；C、，不是二次函數(shù)，不符合題意；D、，不是二次函數(shù)，不符合題意；故選B．【點睛】本題考查二次函數(shù)的概念．熟練掌握二次函數(shù)的概念是解題的關鍵．二、填空題6．（2022·河南·駐馬店市第二初級中學模擬預測）觀察函數(shù)與的圖像，寫出一條它們的共同特征：______．【答案】都過等【分析】從函數(shù)圖像的分布，圖像過點等角度去探索答案．【詳解】∵函數(shù)與的圖像都經(jīng)過點（0，-1），故答案為：（0，-1）．【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的特點，熟練掌握圖像的特點是解題的關鍵．7．（2022·甘肅·一模）已知拋物線的部分圖像如圖所示，則方程的解是___________【答案】或【分析】根據(jù)拋物線的軸對稱性即可求得拋物線與x軸的另一個交點的坐標，這兩個交點的橫坐標就是方程的解．【詳解】解：由圖像可知拋物線與x軸的一個交點坐標為，對稱軸為直線，設拋物線與x軸的另一個交點為，則，解得：．∴方程的解為或．故答案為：或【點睛】本題考查的是利用二次函數(shù)的圖像求解一元二次方程，以及拋物線的對稱性問題，正確理解拋物線與x軸的交點的橫坐標與相應的一元二次方程的根之間的關系是解題的關鍵．三、解答題8．（2022·浙江麗水·一模）如圖，拋物線與x軸相交于點，與y軸相交于點C．(1)求拋物線的解析式．(2)點是拋物線上不同的兩點．①若，求之間的數(shù)量關系．②若，求的最小值．【答案】(1)(2)①；②最小值為【分析】（1）將A，B兩點代入解析式解得即可；（2）①若，則，化簡即可得到的關系；②代入化簡成頂點式即可得到最小值．（1）拋物線與x軸相交于點解得；（2）①點是拋物線上不同的兩點．若，則．；②==，當=1時，的最小值為-2．【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合，考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)和最值問題，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關鍵．二次函數(shù)（提升測評）一、單選題1．（2022·內(nèi)蒙古·包頭市第三十五中學三模）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤（，m為實數(shù)），其中正確的結(jié)論有（

）個．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】直接根據(jù)二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關系及性質(zhì)進行求解即可．【詳解】解：由圖像可知：對稱軸為直線即∴①，故錯誤．②由二次函數(shù)的圖像可知與x軸的一個交點在0和之間，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可知拋物線與x軸的另外一個交點在2和3之間，∴當時，即故正確．③時即故正確．④時，即又∵對稱軸故錯誤．⑤由圖像可得當時，函數(shù)取得最大值，即當時，故正確．所以正確的有：②③⑤．故選：B．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖像跟性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關系及性質(zhì)是解題的關鍵．2．（2022·廣東·揭陽市實驗中學模擬預測）在二次函數(shù)的圖像上有點．則的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由二次函數(shù)解析式可得拋物線對稱軸及開口方向，再根據(jù)三點到對稱軸的距離大小求解，即可．【詳解】解：∵，∴拋物線開口向上，