專題05【五年中考+一年模擬】幾何壓軸題-備戰(zhàn)2023年江蘇鹽城中考數(shù)學(xué)真題模擬題分類匯編(原卷版+解析)

專題05幾何壓軸題1．（2022?鹽城）【經(jīng)典回顧】梅文鼎是我國清初著名的數(shù)學(xué)家，他在《勾股舉隅》中給出多種證明勾股定理的方法．圖1是其中一種方法的示意圖及部分輔助線．在中，，四邊形、和分別是以的三邊為一邊的正方形．延長和，交于點，連接并延長交于點，交于點，延長交于點．（1）證明：；（2）證明：正方形的面積等于四邊形的面積；（3）請利用（2）中的結(jié)論證明勾股定理．【遷移拓展】（4）如圖2，四邊形和分別是以的兩邊為一邊的平行四邊形，探索在下方是否存在平行四邊形，使得該平行四邊形的面積等于平行四邊形、的面積之和．若存在，作出滿足條件的平行四邊形（保留適當(dāng)?shù)淖鲌D痕跡）；若不存在，請說明理由．2．（2020?鹽城）木門常常需要雕刻美麗的圖案．（1）圖①為某矩形木門示意圖，其中長為200厘米，長為100厘米，陰影部分是邊長為30厘米的正方形雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心點處，在雕刻時始終保持模具的一邊緊貼木門的一邊，所刻圖案如虛線所示，求圖案的周長；（2）如圖②，對于（1）中的木門，當(dāng)模具換成邊長為厘米的等邊三角形時，刻刀的位置仍在模具的中心點處，雕刻時也始終保持模具的一邊緊貼木門的一邊，使模具進行滑動雕刻．但當(dāng)模具的一個頂點與木門的一個頂點重合時，需將模具繞著重合點進行旋轉(zhuǎn)雕刻，直到模具的另一邊與木門的另一邊重合．再滑動模具進行雕刻，如此雕刻一周，請在圖②中畫出雕刻所得圖案的草圖，并求其周長．3．（2019?鹽城）如圖①是一張矩形紙片，按以下步驟進行操作：（Ⅰ）將矩形紙片沿折疊，使點落在邊上點處，如圖②；（Ⅱ）在第一次折疊的基礎(chǔ)上，過點再次折疊，使得點落在邊上點處，如圖③，兩次折痕交于點；（Ⅲ）展開紙片，分別連接、、、，如圖④．【探究】（1）證明：；（2）若，設(shè)為，為，求關(guān)于的關(guān)系式．4．（2018?鹽城）【發(fā)現(xiàn)】如圖①，已知等邊，將直角三角板的角頂點任意放在邊上（點不與點、重合），使兩邊分別交線段、于點、．（1）若，，，則；（2）求證：．【思考】若將圖①中的三角板的頂點在邊上移動，保持三角板與邊、的兩個交點、都存在，連接，如圖②所示，問：點是否存在某一位置，使平分且平分？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【探索】如圖③，在等腰中，，點為邊的中點，將三角形透明紙板的一個頂點放在點處（其中，使兩條邊分別交邊、于點、（點、均不與的頂點重合），連接．設(shè)，則與的周長之比為（用含的表達式表示）．5．（2022?鹽城一模）【問題背景】在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小軍對蘇科版數(shù)學(xué)九年級教材第42頁的第4題很感興趣．教材原題：如圖1，、是的高，是的中點．點、、、是否在以點為圓心的同一個圓上？為什么？小軍在完成此題解答后提出：如圖2，若、的交點為點，則點、、、四點也在同一個圓上．（1）請對教材原題或小軍提出的問題進行解答．（選擇一個解答即可）【直接應(yīng)用】當(dāng)大家將上述兩題都解決后，組員小明想起了在七年級通過畫圖歸納出的一個結(jié)論：三角形的三條高所在直線交于同一點，可通過上面的結(jié)論加以解決．（2）如圖3，的兩條高、相交于點，連接并延長交于點．求證：為的邊上的高．【拓展延伸】在大家完成討論后，曾老師根據(jù)大家的研究提出一個問題：（3）在（2）的條件下連接、、（如圖，設(shè)，則的度數(shù)為．（用含的式子表示）6．（2022?建湖縣一模）【問題再現(xiàn)】蘇科版《數(shù)學(xué)》八年級下冊第94頁有這樣一題：如圖1，在正方形中，，，分別是，，上的點，，垂足為，那么．（填“”、“”或“”【遷移嘗試】如圖2，在的正方形網(wǎng)格中，點，，，為格點，交于點．求的度數(shù)；【拓展應(yīng)用】如圖3，點是線段上的動點，分別以，為邊在的同側(cè)作正方形與正方形，連接分別交線段，于點，．①求的度數(shù)；②連接交于點，直接寫出的值為．7．（2022?亭湖區(qū)校級一模）小明學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)之后，積極思考，利用兩個大小不同的直角三角形與同學(xué)做起了數(shù)學(xué)探究活動．如圖1，在與中，，，，，．【探索發(fā)現(xiàn)】將兩個三角形頂點與頂點重合，如圖2，將繞點旋轉(zhuǎn)，他發(fā)現(xiàn)與的數(shù)量關(guān)系一直不變，則線段與具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請說明理由；【深入思考】將兩個三角形的頂點與頂點重合，如圖3所示將繞點旋轉(zhuǎn)．①當(dāng)、、三點共線時，連接、，線段、、之間的數(shù)量關(guān)系為；②如圖4所示，連接、，若線段、交于點，試探究四邊形能否為平行四邊形？如果能，求出、之間的數(shù)量關(guān)系，如果不能，試說明理由．【拓展延伸】如圖5，將繞點旋轉(zhuǎn)，連接，取的中點，連接，則的取值范圍為（用含、的不等式表示）．8．（2022?鹽城二模）以下為一個合作學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)研討中的過程記錄，請閱讀后完成下方的問題．試題分析（Ⅰ）如圖1，在中，，，是外一點，且．求的度數(shù)．小明：我發(fā)現(xiàn)試題中有三個等腰三角形，設(shè)，易知，又因為，得，即可算出的度數(shù)．小麗：我發(fā)現(xiàn)．則點、、到點的距離相等，所以點、、在以點為圓心、線段長為半徑的圓上猜想證明（Ⅱ）如圖1，在中，，，點、在同側(cè)．猜想：若，則點在以點為圓心、線段長為半徑的圓上．對于這個猜想的證明，小華有自己的想法：以點為圓心，長為半徑畫圓．根據(jù)點與圓的位置關(guān)系，知道點可能在內(nèi)，或點在上，或點在外．故只要證明點不在內(nèi)，也不在外，就可以確定點一定在上．（Ⅲ）進一步猜想：如圖2，在中，，，點、在同側(cè)．若，則點在以點為圓心、線段長為半徑的圓上．（Ⅳ）對（Ⅲ）中的猜想進行證明．問題1．完成（Ⅰ）中的求解過程；問題2．補全猜想證明中的兩個猜想：（Ⅱ）；（Ⅲ）；問題3．證明上面（Ⅲ）中的猜想；問題4．如圖3為某大型舞臺實景投影側(cè)面示意圖，，點處為投影機，投影角，折線為影像接收區(qū)．若影像接收區(qū)最大時（即最大），投射效果最好，請直接寫出影像接收區(qū)最大時的長．9．（2022?濱?？h一模）在四邊形中，，對角線平分．（1）推理證明：如圖1，若，且，求證：；（2）問題探究：如圖2，若，試探究、、之間的數(shù)量關(guān)系，（3）遷移應(yīng)用：如圖3，若，，，求線段的長度．10．（2022?鹽城一模）如圖，已知矩形中，是邊上一點，將沿折疊得到，連接．（1）初步探究如圖1，當(dāng)，落在直線上時．①求證：；②填空：；（2）深入思考如圖2，當(dāng)，與邊相交時，在上取一點，使，與交于點．求的值（用含的式子表示），并說明理由；（3）拓展延伸在（2）的條件下，當(dāng)，是的中點時，若，求的長．11．（2022?建湖縣二模）問題情境小春在數(shù)學(xué)活動課上借助幾何畫板按照下面的畫法畫出了一個圖形：如圖1，點是線段上一點，分別以、為底邊在線段的同側(cè)作等腰三角形、等腰三角形，、相交于點．當(dāng)、、在同一直線上時，他發(fā)現(xiàn)：．請幫他解釋其中的道理；問題探究如圖2，在上述情境下中的條件下，過點作交于點，若，，求的長．類比應(yīng)用如圖3，是某村的一個三角形魚塘，點、分別在邊、上，、的交點為魚塘的釣魚臺，測量知道，，，且．直接寫出的長為．12．（2022?亭湖區(qū)校級二模）【問題背景】為了保持室內(nèi)空氣的清新，某倉庫的門動換氣窗采用了以下設(shè)計：如圖1，窗子的形狀是一個五邊形，它可看作是由一個矩形和一個組成，該窗子關(guān)閉時可以完全密封，根據(jù)室內(nèi)的溫度和濕度也可以自動打開窗子上的通風(fēng)口換氣．通風(fēng)口為（陰影部分均不通風(fēng)），點為的中點，是可以沿窗戶邊框上下滑動且始終保持和平行的伸縮橫桿．設(shè)窗子的邊框、分別為，，窗子的高度（窗子的最高點到邊框的距離）為．【初步探究】（1）若，，（即點到的距離為．①與之間的距離為，求此時的面積；②與之間的距離為，試將通風(fēng)口的面積表示成關(guān)于的函數(shù)；③伸縮桿移動到什么位置時，通風(fēng)口面積最大，最大面積是多少？【拓展提升】（2）若金屬桿移動到高于所在位置的某一處時通風(fēng)口面積達到最大值．①需要滿足的條件是，通風(fēng)口的最大面積是（用含、、的代數(shù)式表示）②用直尺和圓規(guī)在圖3中作出通風(fēng)口面積最大金屬桿所在的位置，（保留作圖痕跡，不寫作法）13．（2022?射陽縣一模）如圖1，已知為等邊三角形，點，分別在邊、上，，連接，點，，分別為，，的中點．（1）觀察猜想在圖1中，線段與的數(shù)量關(guān)系是，的度數(shù)是；（2）探究證明若為直角三角形，，，點分別在邊，上，，把繞點在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，如圖2，連接，點，，分別為，，的中點．判斷的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸若中，，點，分別在邊，上，，連接，點，，分別為，，的中點，把繞點在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，如圖3．①是三角形．②若面積為，直接利用①中的結(jié)論，求的取值范圍．14．（2022?東臺市模擬）小明在學(xué)習(xí)矩形知識后，進一步開展探究活動：將一個矩形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形，連結(jié)．【探究1】如圖1，當(dāng)時，點恰好在延長線上．若，求的長．【探究2】如圖2，連結(jié)，過點作交于點．線段與相等嗎？請說明理由．【探究3】在探究2的條件下，射線分別交，于點，（如圖，發(fā)現(xiàn)線段，，存在一定的數(shù)量關(guān)系，請寫出這個關(guān)系式，并加以證明．15．（2022?亭湖區(qū)校級模擬）問題：紙給我們矩形的印象，這個矩形是特殊矩形嗎？思考：通過度量、上網(wǎng)查閱資料，小麗同學(xué)發(fā)現(xiàn)紙的長與寬的比是一個特殊值“”定義：如圖1，點把線段分成兩部分，如果，那么點為線段的“白銀分割點”如圖2，矩形中，，那么矩形叫做白銀矩形．應(yīng)用：（1）如圖3，矩形是白銀矩形，，將矩形沿著對折，求證：矩形也是白銀矩形．（2）如圖4，矩形中，，，為上一點，將矩形沿折疊，使得點落在邊上的點處，延長交的延長線于點，說明點為線段的”白銀分制點”．（3）已知線段（如圖，作線段的一個“白銀分割點”．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）16．（2022?亭湖區(qū)校級模擬）（1）如圖1，在矩形中，，，若要在該矩形中作出一個面積最大的，且使，求滿足條件的點到點的距離．（2）如圖2，有一座古井，按規(guī)定，要以井為對稱中心，建一個面積盡可能大的形狀為平行四邊形的景區(qū)．根據(jù)實際情況，要求頂點是定點，點到井的距離為米，，那么，是否可以建一個滿足要求的面積最大的平行四邊形景區(qū)？若可以，求出滿足要求的平行四邊形的最大面積；若不可以，請說明理由．（井的占地面積忽略不計）（3）為了保護古井（井的占地面積忽略不計），擬以古井為中心劃定邊長為30米的正方形景區(qū)，在該正方形區(qū)域內(nèi)選擇若干個安裝點，安裝一種電訊信號轉(zhuǎn)發(fā)裝置，其發(fā)射直徑為31米．現(xiàn)要求：在該正方形區(qū)域每個點安裝一個這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置，使這些裝置轉(zhuǎn)發(fā)的信號能完全覆蓋這個景區(qū)．問：①能否找到這樣的4個安裝點，使得這些點安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后能達到預(yù)設(shè)的要求？②至少需要選擇多少個安裝點，才能使這些點安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后達到預(yù)設(shè)的要求？答題要求：請你在解答時，畫出必要的示意圖，并用必要的計算、推理和文字來說明你的理由．（下面給出了幾個邊長為30米的正方形區(qū)域示意圖，供解題時選用）17．（2022?亭湖區(qū)校級三模）定義：有兩個相鄰內(nèi)角互余的四邊形稱為鄰余四邊形，這兩個角的夾邊稱為鄰余線．（1）如圖1，在中，，是的角平分線，，分別是，上的點．求證：四邊形是鄰余四邊形．（2）如圖2，在的方格紙中，，在格點上，請畫出一個符合條件的鄰余四邊形，使是鄰余線，，在格點上．（3）如圖3，在（1）的條件下，取中點，連接并延長交于點，延長交于點．若為的中點，，，求鄰余線的長．18．（2022?濱?？h模擬）如圖，在矩形中，，，點是邊上的動點，將矩形沿折疊，點落在點處，連接．（1）如圖1，當(dāng)點恰好落在上，則折痕的長為；（2）如圖2，若點恰好落在上．①求證：；②求的值；（3）如圖3，若將圖1中的四邊形剪下，在上取中點，將沿折疊得到，點、分別是邊、上的動點（均不與頂點重合），將△沿折疊，點的對應(yīng)點恰好落在上，當(dāng)△的一個內(nèi)角與相等時，請直接寫出的長度．19．（2022?射陽縣校級一模）當(dāng)光線經(jīng)過鏡面反射時，入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對應(yīng)相等．請用這一結(jié)論解答下列問題．（1）如圖1，入射光線經(jīng)過平面鏡與反射后的反射光線是，若，則的度數(shù)為．（2）如圖2是一種利用平面鏡反射，放大微小變化的裝置．手柄上的點處安裝一平面鏡，與屏幕的交點為，從點發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡反射后，在上形成一個光點．已知當(dāng)，時，，，．①求的長．②將手柄在原有位置繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度得到（如圖，點的對應(yīng)點為，與的交點為，從點發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡反射后，在上的光點為．若，則的長為多少？20．（2022?射陽縣校級三模）【閱讀感悟】數(shù)學(xué)解題的一個重要原則是對一個數(shù)學(xué)問題，改變它的形式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價值的東西．知識與方法上的類比是探索發(fā)展的重要途徑，是思想閥門發(fā)現(xiàn)新問題、新結(jié)論的重要方法．【知識方法】（1）如圖1，，，交于點，則與的關(guān)系是；【類比遷移】（2）四邊形是矩形，，，點是邊上的一個動點．①如圖2，過點作，，連接、．判斷線段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；②如圖3，以為邊在的右側(cè)作正方形，連接、，則面積的最小值為；【拓展應(yīng)用】（3）四邊形是矩形，，，點是邊上的一個動點（與點、不重合），連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到，交于點，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到，連接、．求四邊形面積的最小值．21．（2022?射陽縣校級二模）（1）①如圖1，中，點在上，請用無刻度的直尺和圓規(guī)在上作一點，使得點到、兩點的距離相等（保留作圖痕跡）；②在所作的圖中，若，平分，，、所對的邊記為、，試說明；（如需畫草圖，請使用備用圖）（2）如圖2，中，，平分，點到、兩點的距離相等，若，，求的周長．22．（2022?亭湖區(qū)校級三模）如果一個四邊形的對角線相等，我們稱這個四邊形為美好四邊形．【問題提出】（1）如圖①，點是四邊形內(nèi)部一點，且滿足，，，請說明四邊形是美好四邊形；【問題探究】（2）如圖②，，請利用尺規(guī)作圖，在平面內(nèi)作出點使得四邊形是美好四邊形，且滿足．保留作圖痕跡，不寫畫法；（3）在（2）的條件下，若圖②中滿足：，，，求四邊形的面積；【問題解決】（4）如圖③，某公園內(nèi)需要將4個信號塔分別建在、、、四處，現(xiàn)要求信號塔建在公園內(nèi)一個湖泊的邊上，該湖泊可近似看成一個半徑為的圓，記為．已知點到該湖泊的最近距離為，是否存在這樣的點，滿足，且使得四邊形的面積最大？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．23．（2022?亭湖區(qū)校級一模）如圖，已知和均為等腰三角形，，，將這兩個三角形放置在一起．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，當(dāng)時，點、、在同一直線上，連接，則線段、之間的數(shù)量關(guān)系是，；（2）拓展探究：如圖②，當(dāng)時，點、、不在同一直線上，連接，求出線段、之間的數(shù)量關(guān)系及、所在直線相交所成的銳角的大?。ǘ加煤氖阶颖硎荆⒄f明理由；（3）解決問題：如圖③，，，，連接、，在繞點旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)所在的直線垂直于時，請你直接寫出的長．24．（2022?射陽縣校級二模）【了解概念】在凸四邊形中，若一邊與它的兩條鄰邊組成的兩個內(nèi)角相等，則稱該四邊形為鄰等四邊形，這條邊叫做這個四邊形的鄰等邊．【理解運用】（1）鄰等四邊形中，，，則的度數(shù)為．（2）如圖，凸四邊形中，為邊的中點，，判斷四邊形是否為鄰等四邊形；并證明你的結(jié)論；【拓展提升】（3）在平面直角坐標(biāo)系中，為鄰等四邊形的鄰等邊，且邊與軸重合，已知，，，，，若在邊上使的點有且僅有1個，請直接寫出的值．25．（2022?亭湖區(qū)校級三模）等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學(xué)解題方法．它是利用“同一個圖形的面積相等”、“分割圖形后各部分的面積之和等于原圖形的面積”、“同底等高或等底同高的兩個三角形面積相等”等性質(zhì)解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題，在解題中，靈活運用等面積法解決相關(guān)問題，可以使解題思路清晰，解題過程簡便快捷．（1）在直角三角形中，兩直角邊長分別為3和4，則該直角三角形斜邊上的高的長為，其內(nèi)切圓的半徑長為；（2）①如圖1，是邊長為的正內(nèi)任意一點，點為的中心，設(shè)點到各邊距離分別為，，，連接，，，由等面積法，易知，可得；（結(jié)果用含的式子表示）②如圖2，是邊長為的正五邊形內(nèi)任意一點，設(shè)點到五邊形各邊距離分別為，，，，，參照①的探索過程，試用含的式子表示的值．（參考數(shù)據(jù)：，（3）①如圖3，已知的半徑為2，點為外一點，，切于點，弦，連接，則圖中陰影部分的面積為；（結(jié)果保留②如圖4，現(xiàn)有六邊形花壇，由于修路等原因需將花壇進行改造，若要將花壇形狀改造成五邊形，其中點在的延長線上，且要保證改造前后花壇的面積不變，試確定點的位置，并說明理由.26．（2022?射陽縣校級三模）如圖，在矩形中，，、分別為、邊上的動點，連接，沿將四邊形翻折至四邊形，點落在上，交于點，連接交于點．（1）寫出與之間的位置關(guān)系是：；（2）求證：；（3）連接，若，，求的長．專題05幾何壓軸題1．（2022?鹽城）【經(jīng)典回顧】梅文鼎是我國清初著名的數(shù)學(xué)家，他在《勾股舉隅》中給出多種證明勾股定理的方法．圖1是其中一種方法的示意圖及部分輔助線．在中，，四邊形、和分別是以的三邊為一邊的正方形．延長和，交于點，連接并延長交于點，交于點，延長交于點．（1）證明：；（2）證明：正方形的面積等于四邊形的面積；（3）請利用（2）中的結(jié)論證明勾股定理．【遷移拓展】（4）如圖2，四邊形和分別是以的兩邊為一邊的平行四邊形，探索在下方是否存在平行四邊形，使得該平行四邊形的面積等于平行四邊形、的面積之和．若存在，作出滿足條件的平行四邊形（保留適當(dāng)?shù)淖鲌D痕跡）；若不存在，請說明理由．【答案】見解析【詳解】（1）證明：如圖1，連接，四邊形，和是正方形，，，，，，，，，，，四邊形是矩形，，；（2）證明一：，，，，，由（1）知：，，四邊形是矩形，，，正方形的面積等于四邊形的面積；證明二：四邊形是矩形，，，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，正方形的面積，的面積，正方形的面積等于四邊形的面積；（3）證明：由正方形可得，又，四邊形是平行四邊形，由（2）知，四邊形是平行四邊形，由（1）知：，的面積的面積正方形，延長交于，同理有的面積的面積正方形，正方形的面積正方形的面積的面積的面積正方形，；（4）解：作圖不唯一，如圖2即為所求作的．說明：如圖2，延長和交于點，以為圓心為半徑畫弧交于點，在的延長線上取，作，作射線交于，交于，由圖可知：射線把分成和，根據(jù)同底等高可得：，，的面積相等，同理，，的面積相等是直線與的交點），所以平行四邊形的面積等于平行四邊形、的面積之和．2．（2020?鹽城）木門常常需要雕刻美麗的圖案．（1）圖①為某矩形木門示意圖，其中長為200厘米，長為100厘米，陰影部分是邊長為30厘米的正方形雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心點處，在雕刻時始終保持模具的一邊緊貼木門的一邊，所刻圖案如虛線所示，求圖案的周長；（2）如圖②，對于（1）中的木門，當(dāng)模具換成邊長為厘米的等邊三角形時，刻刀的位置仍在模具的中心點處，雕刻時也始終保持模具的一邊緊貼木門的一邊，使模具進行滑動雕刻．但當(dāng)模具的一個頂點與木門的一個頂點重合時，需將模具繞著重合點進行旋轉(zhuǎn)雕刻，直到模具的另一邊與木門的另一邊重合．再滑動模具進行雕刻，如此雕刻一周，請在圖②中畫出雕刻所得圖案的草圖，并求其周長．【答案】見解析【詳解】（1）如圖①，過點作于點，點是邊長為30厘米的正方形雕刻模具的中心，，同理：與之間的距離為，與之間的距離為，與之間的距離為，，，，答：圖案的周長為；（2）連接、、，過點作于點，如圖②點是邊長為的等邊三角形模具的中心，，，，，，，當(dāng)向上平移至點與點重合時，由題意可得，△繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使得與邊重合，繞點順時針旋轉(zhuǎn)到，，同理可得其余三個角均為弧長為的圓弧，，答：雕刻所得圖案的周長為．3．（2019?鹽城）如圖①是一張矩形紙片，按以下步驟進行操作：（Ⅰ）將矩形紙片沿折疊，使點落在邊上點處，如圖②；（Ⅱ）在第一次折疊的基礎(chǔ)上，過點再次折疊，使得點落在邊上點處，如圖③，兩次折痕交于點；（Ⅲ）展開紙片，分別連接、、、，如圖④．【探究】（1）證明：；（2）若，設(shè)為，為，求關(guān)于的關(guān)系式．【答案】見解析【詳解】（1）證明：由折疊可知，，，，，在中，，；（2）過點作于點．由（1），，，則，，，，，在中，由勾股定理得，即，關(guān)于的關(guān)系式：．4．（2018?鹽城）【發(fā)現(xiàn)】如圖①，已知等邊，將直角三角板的角頂點任意放在邊上（點不與點、重合），使兩邊分別交線段、于點、．（1）若，，，則4；（2）求證：．【思考】若將圖①中的三角板的頂點在邊上移動，保持三角板與邊、的兩個交點、都存在，連接，如圖②所示，問：點是否存在某一位置，使平分且平分？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【探索】如圖③，在等腰中，，點為邊的中點，將三角形透明紙板的一個頂點放在點處（其中，使兩條邊分別交邊、于點、（點、均不與的頂點重合），連接．設(shè)，則與的周長之比為（用含的表達式表示）．【答案】見解析【詳解】（1）解：是等邊三角形，，．，，則，是等邊三角形，，又，．，則，是等邊三角形，．故答案是：4；（2）證明：如圖①，，，，，．又，；【思考】存在，如圖②，過作，，，垂足分別是、、，平分且平分．．又，，，，即點是的中點，；【探索】如圖③，連接，作，，，垂足分別是、、．則，，是的中點，，，，，，，則，由（2）題可猜想應(yīng)用（可通過半角旋轉(zhuǎn)證明），則，設(shè)，則，．．故答案是：．5．（2022?鹽城一模）【問題背景】在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小軍對蘇科版數(shù)學(xué)九年級教材第42頁的第4題很感興趣．教材原題：如圖1，、是的高，是的中點．點、、、是否在以點為圓心的同一個圓上？為什么？小軍在完成此題解答后提出：如圖2，若、的交點為點，則點、、、四點也在同一個圓上．（1）請對教材原題或小軍提出的問題進行解答．（選擇一個解答即可）【直接應(yīng)用】當(dāng)大家將上述兩題都解決后，組員小明想起了在七年級通過畫圖歸納出的一個結(jié)論：三角形的三條高所在直線交于同一點，可通過上面的結(jié)論加以解決．（2）如圖3，的兩條高、相交于點，連接并延長交于點．求證：為的邊上的高．【拓展延伸】在大家完成討論后，曾老師根據(jù)大家的研究提出一個問題：（3）在（2）的條件下連接、、（如圖，設(shè)，則的度數(shù)為．（用含的式子表示）【答案】見解析【詳解】（1）選擇教材原題，點、、、是否在以點為圓心的同一個圓上．如圖，連接、，、是的高，是的中點，，點、、、是否在以點為圓心的同一個圓上．（2）如圖，連接，由點、、、四點共圓得，由點、、、四點共圓得，，，，，，為的邊上的高．（3）如圖，，點、、、在以點為圓心的同一個圓上，，由（1）證得點、、、在同一個圓上，，，同理可證：，，點是的內(nèi)心．．6．（2022?建湖縣一模）【問題再現(xiàn)】蘇科版《數(shù)學(xué)》八年級下冊第94頁有這樣一題：如圖1，在正方形中，，，分別是，，上的點，，垂足為，那么．（填“”、“”或“”【遷移嘗試】如圖2，在的正方形網(wǎng)格中，點，，，為格點，交于點．求的度數(shù)；【拓展應(yīng)用】如圖3，點是線段上的動點，分別以，為邊在的同側(cè)作正方形與正方形，連接分別交線段，于點，．①求的度數(shù)；②連接交于點，直接寫出的值為．【答案】見解析【詳解】【問題再現(xiàn)】，，將線段向左平移至處，交于，，，，四邊形為正方形，，，，，，，，故答案為：；【遷移嘗試】將線段向右平移至處，使得點與點重合，連接，如圖2所示：，設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長為單位1，則由勾股定理可得：，，，，是直角三角形，，且，；【拓展應(yīng)用】①平移線段至處，連接，如圖3所示：則，四邊形是平行四邊形，，四邊形與四邊形都是正方形，，，，，在和中，，，，，，，，；②如備用圖所示：為正方形的對角線，，，，，，，故答案為．7．（2022?亭湖區(qū)校級一模）小明學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)之后，積極思考，利用兩個大小不同的直角三角形與同學(xué)做起了數(shù)學(xué)探究活動．如圖1，在與中，，，，，．【探索發(fā)現(xiàn)】將兩個三角形頂點與頂點重合，如圖2，將繞點旋轉(zhuǎn)，他發(fā)現(xiàn)與的數(shù)量關(guān)系一直不變，則線段與具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請說明理由；【深入思考】將兩個三角形的頂點與頂點重合，如圖3所示將繞點旋轉(zhuǎn)．①當(dāng)、、三點共線時，連接、，線段、、之間的數(shù)量關(guān)系為；②如圖4所示，連接、，若線段、交于點，試探究四邊形能否為平行四邊形？如果能，求出、之間的數(shù)量關(guān)系，如果不能，試說明理由．【拓展延伸】如圖5，將繞點旋轉(zhuǎn)，連接，取的中點，連接，則的取值范圍為（用含、的不等式表示）．【答案】見解析【詳解】【探究發(fā)現(xiàn)】，，理由如下：如圖1，，，，在和中，，，；【深入思考】①，理由如下：如圖2，在上截取，可得是等腰直角三角形，，由【探究發(fā)現(xiàn)】得：，；故答案為：；②四邊形可以為平行四邊形，此時，，，，，；【拓展延伸】如圖3，延長至，是，連接，，在中，，，，點在以為圓心，的圓上運動，當(dāng)點在的延長線上時，最大，最大值為：，當(dāng)點在射線上時，最小，最小值為，，，故答案為：．8．（2022?鹽城二模）以下為一個合作學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)研討中的過程記錄，請閱讀后完成下方的問題．試題分析（Ⅰ）如圖1，在中，，，是外一點，且．求的度數(shù)．小明：我發(fā)現(xiàn)試題中有三個等腰三角形，設(shè)，易知，又因為，得，即可算出的度數(shù)．小麗：我發(fā)現(xiàn)．則點、、到點的距離相等，所以點、、在以點為圓心、線段長為半徑的圓上猜想證明（Ⅱ）如圖1，在中，，，點、在同側(cè)．猜想：若45，則點在以點為圓心、線段長為半徑的圓上．對于這個猜想的證明，小華有自己的想法：以點為圓心，長為半徑畫圓．根據(jù)點與圓的位置關(guān)系，知道點可能在內(nèi)，或點在上，或點在外．故只要證明點不在內(nèi)，也不在外，就可以確定點一定在上．（Ⅲ）進一步猜想：如圖2，在中，，，點、在同側(cè)．若，則點在以點為圓心、線段長為半徑的圓上．（Ⅳ）對（Ⅲ）中的猜想進行證明．問題1．完成（Ⅰ）中的求解過程；問題2．補全猜想證明中的兩個猜想：（Ⅱ）；（Ⅲ）；問題3．證明上面（Ⅲ）中的猜想；問題4．如圖3為某大型舞臺實景投影側(cè)面示意圖，，點處為投影機，投影角，折線為影像接收區(qū)．若影像接收區(qū)最大時（即最大），投射效果最好，請直接寫出影像接收區(qū)最大時的長．【答案】見解析【詳解】問題1：解：小明：如圖1，設(shè)，，，，，，，，小麗：如圖2，，點、、在以為圓心，長為半徑的圓上，，，；問題2：由問題1可知：在中，，，點、在同側(cè)，若，則點在以點為圓心、線段長為半徑的圓上，同理，由問題1可知：在中，，，點、在同側(cè)，若，則點在以點為圓心、線段長為半徑的圓上，故答案為：（Ⅱ），（Ⅲ）；問題證明：若點在外，如圖3，點在上，，，，點在外不成立，若點在內(nèi)，如圖4，點在上又，點在內(nèi)不成立綜上所述：點在上；問題，當(dāng)時成立，設(shè)，如圖5，過點作交于點，過點作交于點，連接，以為圓心，以為半徑作，，，，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，，，，由問題3可知，點在上，，，，，，在中，，，解得：或58（不符合題意，舍去），影像接收區(qū)最大時的長為10，故答案為：10．9．（2022?濱海縣一模）在四邊形中，，對角線平分．（1）推理證明：如圖1，若，且，求證：；（2）問題探究：如圖2，若，試探究、、之間的數(shù)量關(guān)系，（3）遷移應(yīng)用：如圖3，若，，，求線段的長度．【答案】見解析【詳解】（1）證明：平分，．，，又，，，，，，．（2）解：，理由如下：在圖2中，過點作于點，過點作的延長線于點．平分，，．，，．在與中，，，，．由（1）可知：，．（3）解：在圖3中，過點作于點，過點作的延長線于點由（2）知：，，．，平分，，，均為等腰直角三角形，，．又，，．10．（2022?鹽城一模）如圖，已知矩形中，是邊上一點，將沿折疊得到，連接．（1）初步探究如圖1，當(dāng)，落在直線上時．①求證：；②填空：1；（2）深入思考如圖2，當(dāng)，與邊相交時，在上取一點，使，與交于點．求的值（用含的式子表示），并說明理由；（3）拓展延伸在（2）的條件下，當(dāng)，是的中點時，若，求的長．【答案】見解析【詳解】（1）①證明：如圖1，，，四邊形是矩形，四邊形是正方形，，，由折疊可知，，，折疊時落在直線上，，，，在和中，，，；②解：由①知：，，故答案為：1；（2）解：，理由如下：如圖2，延長交于點，由折疊可知垂直平分，，，，四邊形是矩形，，，，，又，，，；（3）解：如圖3，延長交于點，連接，是的中點，，由折疊可知，，，，，又，，，即，由（2）知，，，，，，，，在和中，，，，設(shè)，則，由折疊得：垂直平分，，，，，在中，，，，四邊形是矩形，，，，，即，又，，，又，四邊形是平行四邊形，，又，，即，，，即．11．（2022?建湖縣二模）問題情境小春在數(shù)學(xué)活動課上借助幾何畫板按照下面的畫法畫出了一個圖形：如圖1，點是線段上一點，分別以、為底邊在線段的同側(cè)作等腰三角形、等腰三角形，、相交于點．當(dāng)、、在同一直線上時，他發(fā)現(xiàn)：．請幫他解釋其中的道理；問題探究如圖2，在上述情境下中的條件下，過點作交于點，若，，求的長．類比應(yīng)用如圖3，是某村的一個三角形魚塘，點、分別在邊、上，、的交點為魚塘的釣魚臺，測量知道，，，且．直接寫出的長為．【答案】見解析【詳解】（1），，，，，，；（2）由（1）可知，，，，，，，，，在和中，，，；（3）過點作于點，，，，在中，，，設(shè)，則，，，在中，，，解得，，，過點作交于，，，，，由問題探究可知，，故答案為：．12．（2022?亭湖區(qū)校級二模）【問題背景】為了保持室內(nèi)空氣的清新，某倉庫的門動換氣窗采用了以下設(shè)計：如圖1，窗子的形狀是一個五邊形，它可看作是由一個矩形和一個組成，該窗子關(guān)閉時可以完全密封，根據(jù)室內(nèi)的溫度和濕度也可以自動打開窗子上的通風(fēng)口換氣．通風(fēng)口為（陰影部分均不通風(fēng)），點為的中點，是可以沿窗戶邊框上下滑動且始終保持和平行的伸縮橫桿．設(shè)窗子的邊框、分別為，，窗子的高度（窗子的最高點到邊框的距離）為．【初步探究】（1）若，，（即點到的距離為．①與之間的距離為，求此時的面積；②與之間的距離為，試將通風(fēng)口的面積表示成關(guān)于的函數(shù)；③伸縮桿移動到什么位置時，通風(fēng)口面積最大，最大面積是多少？【拓展提升】（2）若金屬桿移動到高于所在位置的某一處時通風(fēng)口面積達到最大值．①需要滿足的條件是，通風(fēng)口的最大面積是（用含、、的代數(shù)式表示）②用直尺和圓規(guī)在圖3中作出通風(fēng)口面積最大金屬桿所在的位置，（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【詳解】（1）①當(dāng)時，，當(dāng)時，；與之間的距離為時的面積為；②如圖1，過作，垂足為，分別與、相交于點、，當(dāng)時，四邊形是矩形，，，，，四邊形是矩形，，，四邊形是矩形，，，由題意可知，，，，，，，又、分別是、的對應(yīng)高，，即，化簡，得：．；綜上可知，當(dāng)時，；當(dāng)時，；③當(dāng)時，，因此，當(dāng)時，最大，最大值是3．當(dāng)時，，因此，當(dāng)時，最大，最大值是3．綜上所述，當(dāng)時，最大，最大值是3．因此，金屬桿移動到所在的位置時，通風(fēng)口面積最大，最大面積是．（2）①如圖2，已知在中有內(nèi)接矩形，其中、在、邊上，、在邊上，易證當(dāng)為中位線時，矩形的面積最大，且最大面積為面積的一半，即：底高，在圖3中，延長、交直線于、，則為的中位線時，矩形的面積最大，所以要想金屬桿移動到高于所在位置的某一處時通風(fēng)口面積達到最大值，只需與邊平行的中位線在上方即可，即，此時的最大，面積為的面積的一半．作于交于，，，，即，，通風(fēng)口的面積矩形面積的最大值面積的一半．故答案為：；．②如圖4，過點作的垂線交于點，作的垂直平分線交、于點、，線段即為所求．13．（2022?射陽縣一模）如圖1，已知為等邊三角形，點，分別在邊、上，，連接，點，，分別為，，的中點．（1）觀察猜想在圖1中，線段與的數(shù)量關(guān)系是，的度數(shù)是；（2）探究證明若為直角三角形，，，點分別在邊，上，，把繞點在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，如圖2，連接，點，，分別為，，的中點．判斷的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸若中，，點，分別在邊，上，，連接，點，，分別為，，的中點，把繞點在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，如圖3．①是三角形．②若面積為，直接利用①中的結(jié)論，求的取值范圍．【答案】見解析【詳解】（1），，理由如下：是等邊三角形，，，，點，，分別為，，的中點，，，，，，，，故答案為：；；（2）是等腰直角三角形，理由如下：連接，，，，，，，，是的中位線，，，同理，，，，，，是等腰直角三角形；（3）①連接，，由（2）同理可得，是等邊三角形，故答案為：等邊三角形；②，當(dāng)最大時，最大；當(dāng)最小時，最小，，，最大為18，最小為8，最大值為9，最小值為4，最大值為，的最小值為，．14．（2022?東臺市模擬）小明在學(xué)習(xí)矩形知識后，進一步開展探究活動：將一個矩形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形，連結(jié)．【探究1】如圖1，當(dāng)時，點恰好在延長線上．若，求的長．【探究2】如圖2，連結(jié)，過點作交于點．線段與相等嗎？請說明理由．【探究3】在探究2的條件下，射線分別交，于點，（如圖，發(fā)現(xiàn)線段，，存在一定的數(shù)量關(guān)系，請寫出這個關(guān)系式，并加以證明．【答案】見解析【詳解】（1）如圖1，設(shè)，矩形繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到矩形，點，，在一條線上，，，，，，又點在的延長線上，△，，，解得，（不合題意，舍去），；（2），理由如下：如圖2，連接，，，，，，△，，，，，，；（3）關(guān)系式為，理由如下：如圖3，連接，，，，△，，，，，，，在和中，，，，，，．15．（2022?亭湖區(qū)校級模擬）問題：紙給我們矩形的印象，這個矩形是特殊矩形嗎？思考：通過度量、上網(wǎng)查閱資料，小麗同學(xué)發(fā)現(xiàn)紙的長與寬的比是一個特殊值“”定義：如圖1，點把線段分成兩部分，如果，那么點為線段的“白銀分割點”如圖2，矩形中，，那么矩形叫做白銀矩形．應(yīng)用：（1）如圖3，矩形是白銀矩形，，將矩形沿著對折，求證：矩形也是白銀矩形．（2）如圖4，矩形中，，，為上一點，將矩形沿折疊，使得點落在邊上的點處，延長交的延長線于點，說明點為線段的”白銀分制點”．（3）已知線段（如圖，作線段的一個“白銀分割點”．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【詳解】（1）證明：矩形是白銀矩形，，設(shè)，則，將矩形沿著對折，，，，四邊形是矩形，，矩形也是白銀矩形；（2）證明：如圖：四邊形是矩形，，矩形沿折疊，使得點落在邊上的點處，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，的等腰直角三角形，，，是線段的”白銀分制點”；（3）如圖：過作，在上取，連接，作的角平分線交于，點即為線段的“白銀分割點”．16．（2022?亭湖區(qū)校級模擬）（1）如圖1，在矩形中，，，若要在該矩形中作出一個面積最大的，且使，求滿足條件的點到點的距離．（2）如圖2，有一座古井，按規(guī)定，要以井為對稱中心，建一個面積盡可能大的形狀為平行四邊形的景區(qū)．根據(jù)實際情況，要求頂點是定點，點到井的距離為米，，那么，是否可以建一個滿足要求的面積最大的平行四邊形景區(qū)？若可以，求出滿足要求的平行四邊形的最大面積；若不可以，請說明理由．（井的占地面積忽略不計）（3）為了保護古井（井的占地面積忽略不計），擬以古井為中心劃定邊長為30米的正方形景區(qū)，在該正方形區(qū)域內(nèi)選擇若干個安裝點，安裝一種電訊信號轉(zhuǎn)發(fā)裝置，其發(fā)射直徑為31米．現(xiàn)要求：在該正方形區(qū)域每個點安裝一個這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置，使這些裝置轉(zhuǎn)發(fā)的信號能完全覆蓋這個景區(qū)．問：①能否找到這樣的4個安裝點，使得這些點安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后能達到預(yù)設(shè)的要求？②至少需要選擇多少個安裝點，才能使這些點安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后達到預(yù)設(shè)的要求？答題要求：請你在解答時，畫出必要的示意圖，并用必要的計算、推理和文字來說明你的理由．（下面給出了幾個邊長為30米的正方形區(qū)域示意圖，供解題時選用）【答案】見解析【詳解】（1）如圖，，，取的中點，則．以點為圓心，長為半徑作，一定于相交于，兩點，連接，，，點不能在矩形外；的頂點或位置時，的面積最大，作，垂足為，則四邊形是矩形，在中，，，，由對稱性得．（2）為平行四邊形的對稱中心，，，，如圖，連接，作的外接圓，則點在上，取的中點，，，，是等邊三角形，連接并延長，使得，連接，，則四邊形是平行四邊形，，，，，，，四邊形是菱形，，，，的面積最大，即平行四邊形的面積最大，最大值為平方米；（3）①如圖，正方形的邊長為30米，信號裝置發(fā)射直徑為31米．個圓心在正方形邊的中點直徑為31米的圓符合題意，②如圖，以中點為圓心，15.5米為半徑作，則點，在內(nèi)部，設(shè)交，于點，，取的中點，連接，，取，的中點，，以，為圓心，15.5米為半徑，作，，則三個圓完全覆蓋景區(qū)，即能使這些點安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后達到預(yù)設(shè)的要求（答案不唯一）理由如下：，，在內(nèi)，，，，，，同理，點在內(nèi)部，點在內(nèi)部，三個圓完全覆蓋景區(qū)，能使這些點安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后達到預(yù)設(shè)的要求（答案不唯一）．17．（2022?亭湖區(qū)校級三模）定義：有兩個相鄰內(nèi)角互余的四邊形稱為鄰余四邊形，這兩個角的夾邊稱為鄰余線．（1）如圖1，在中，，是的角平分線，，分別是，上的點．求證：四邊形是鄰余四邊形．（2）如圖2，在的方格紙中，，在格點上，請畫出一個符合條件的鄰余四邊形，使是鄰余線，，在格點上．（3）如圖3，在（1）的條件下，取中點，連接并延長交于點，延長交于點．若為的中點，，，求鄰余線的長．【答案】見解析【詳解】（1），是的角平分線，，，，與互余，四邊形是鄰余四邊形；（2）如圖所示（答案不唯一），四邊形為所求；（3），是的角平分線，，，，，，點是的中點，，，，，，，，，，，．18．（2022?濱?？h模擬）如圖，在矩形中，，，點是邊上的動點，將矩形沿折疊，點落在點處，連接．（1）如圖1，當(dāng)點恰好落在上，則折痕的長為；（2）如圖2，若點恰好落在上．①求證：；②求的值；（3）如圖3，若將圖1中的四邊形剪下，在上取中點，將沿折疊得到，點、分別是邊、上的動點（均不與頂點重合），將△沿折疊，點的對應(yīng)點恰好落在上，當(dāng)△的一個內(nèi)角與相等時，請直接寫出的長度．【答案】見解析【詳解】（1）解：如圖1，將矩形沿折疊，點恰好落在上，，，，是等腰直角三角形，，故答案為：；（2）①證明：如圖2，四邊形是矩形，，，，由折疊得：，，，，；②解：矩形中，，，，，由勾股定理得：，矩形沿折疊，點恰好落在上點處，，，，，，設(shè)，則，在△中，由勾股定理列方程得：，解得：，即，，；（3）解：由（1）可知是等腰直角三角形，，，，，當(dāng)時，如圖3，連接交于點，將△沿折疊，點的對應(yīng)點恰好落在上，點與點關(guān)于直線對稱，垂直平分，，，，；當(dāng)時，如圖4，過點作于點，連接、，將△沿折疊，點的對應(yīng)點恰好落在上，點與點關(guān)于直線對稱，垂直平分，，，，，，，，，，，四邊形是矩形，，、、在同一條直線上，，，，設(shè)，則，，，解得：，，，垂直平分，，設(shè)，則，在中，，，解得：，；綜上所述，的長度為3或．19．（2022?射陽縣校級一模）當(dāng)光線經(jīng)過鏡面反射時，入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對應(yīng)相等．請用這一結(jié)論解答下列問題．（1）如圖1，入射光線經(jīng)過平面鏡與反射后的反射光線是，若，則的度數(shù)為．（2）如圖2是一種利用平面鏡反射，放大微小變化的裝置．手柄上的點處安裝一平面鏡，與屏幕的交點為，從點發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡反射后，在上形成一個光點．已知當(dāng)，時，，，．①求的長．②將手柄在原有位置繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度得到（如圖，點的對應(yīng)點為，與的交點為，從點發(fā)出的光束經(jīng)平面鏡反射后，在上的光點為．若，則的長為多少？【答案】見解析【詳解】（1）（2）①如圖，由題意可得，，，，，，，，，，．答：的長為48．②如圖，過點作于點，過點作于點在中可求，在中可求，，得可設(shè)，，則得由△得即，解得．20．（2022?射陽縣校級三模）【閱讀感悟】數(shù)學(xué)解題的一個重要原則是對一個數(shù)學(xué)問題，改變它的形式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價值的東西．知識與方法上的類比是探索發(fā)展的重要途徑，是思想閥門發(fā)現(xiàn)新問題、新結(jié)論的重要方法．【知識方法】（1）如圖1，，，交于點，則與的關(guān)系是，；【類比遷移】（2）四邊形是矩形，，，點是邊上的一個動點．①如圖2，過點作，，連接、．判斷線段與有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；②如圖3，以為邊在的右側(cè)作正方形，連接、，則面積的最小值為；【拓展應(yīng)用】（3）四邊形是矩形，，，點是邊上的一個動點（與點、不重合），連接，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到，交于點，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到，連接、．求四邊形面積的最小值．【答案】見解析【詳解】（1）如圖1，延長交于，，，，，，，，，，故答案為：，；（2）①，，理由如下：如圖2，延長，交于點，，，，，，，，，，，，，，，；②設(shè)，，正方形的面積，面積，當(dāng)時，面積的最小值為，故答案為．（3）如圖，由折疊的性質(zhì)可得：，，，，，，，，，，四邊形面積，，，又，，，，當(dāng)時，有最大值，即的最小值為，四邊形面積．21．（2022?射陽縣校級二模）（1）①如圖1，中，點在上，請用無刻度的直尺和圓規(guī)在上作一點，使得點到、兩點的距離相等（保留作圖痕跡）；②在所作的圖中，若，平分，，、所對的邊記為、，試說明；（如需畫草圖，請使用備用圖）（2）如圖2，中，，平分，點到、兩點的距離相等，若，，求的周長．【答案】見解析【詳解】（1）①解：如圖1中，點即為所求．②證明：如圖3中，連接，過點作交于點．，，，平分，，是等邊三角形，，，，，，；（2）解：如圖2中，設(shè)，，平分，，，，，，，，，，，，（負值已經(jīng)舍去），的周長為.22．（2022?亭湖區(qū)校級三模）如果一個四邊形的對角線相等，我們稱這個四邊形為美好四邊形．【問題提出】（1）如圖①，點是四邊形內(nèi)部一點，且滿足，，，請說明四邊形是美好四邊形；【問題探究】（2）如圖②，，請利用尺規(guī)作圖，在平面內(nèi)作出點使得四邊形是美好四邊形，且滿足．保留作圖痕跡，不寫畫法；（3）在（2）的條件下，若圖②中滿足：，，，求四邊形的面積；【問題解決】（4）如圖③，某公園內(nèi)需要將4個信號塔分別建在、、、四處，現(xiàn)要求信號塔建在公園內(nèi)一個湖泊的邊上，該湖泊可近似看成一個半徑為的圓，記為．已知點到該湖泊的最近距離為，是否存在這樣的點，滿足，且使得四邊形的面積最大？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．【答案】見解析【詳解】（1）連接，，如圖：，，即，在和中，，，，四邊形是美好四邊形；（2）如圖：四邊形即為所求；（3）連接，過作于，如圖：，，，，四邊形是美好四邊形，，，，，在中，，，，；（4）存在這樣的點，滿足，且使得四邊形的面積最大，理由如下：當(dāng)對角線相等的四邊形對角線不垂直時，如圖，過點作于，過點作于，則，，，，，當(dāng)對角線相等的四邊形對角線垂直時，如圖：當(dāng)對角線相等的四邊形對角線垂直時，面積最大，如圖，當(dāng)過圓心，最長，四邊形中，時，其面積最大，的半徑為，點到該湖泊的最近距離為，，，，故四邊形的面積最大為．23．（2022?亭湖區(qū)校級一模）如圖，