專(zhuān)題1.7全等三角形的性質(zhì)與判定大題專(zhuān)練（重難點(diǎn)培優(yōu)）-2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生培優(yōu)題典

【講練課堂】20222023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典【蘇科版】專(zhuān)題1.7全等三角形的性質(zhì)與判定大題專(zhuān)練（重難點(diǎn)培優(yōu)）【名師點(diǎn)睛】1.全等三角形的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用用全等尋找下一個(gè)全等三角形的條件，全等的性質(zhì)和判定往往是綜合在一起應(yīng)用的，這需要認(rèn)真分析題目的已知和求證，分清問(wèn)題中已知的線(xiàn)段和角與所證明的線(xiàn)段或角之間的聯(lián)系．2.作輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形常見(jiàn)的輔助線(xiàn)做法：①把三角形一邊的中線(xiàn)延長(zhǎng)，把分散條件集中到同一個(gè)三角形中是解決中線(xiàn)問(wèn)題的基本規(guī)律．②證明一條線(xiàn)段等于兩條線(xiàn)段的和，可采用“截長(zhǎng)法”或“補(bǔ)短法”，這些問(wèn)題經(jīng)常用到全等三角形來(lái)證明．【典例剖析】【例1】（2019秋?東海縣期中）如圖，AB＝AC，E、D分別是AB、AC的中點(diǎn)，AF⊥BD，垂足為點(diǎn)F，AG⊥CE，垂足為點(diǎn)G，試判斷AF與AG的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【分析】結(jié)論：AF＝AG．先證明△ABD≌△ACE（SAS），推出∠ABD＝∠ACE，再證明△ABF≌△ACG（AAS）即可解決問(wèn)題．【解析】結(jié)論：AF＝AG．理由：∵AB＝AC，E、D分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴AD＝AC＝AB＝AE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AF⊥BD，AG⊥CE，∴∠AFB＝∠AGC＝90°．在△ABF和△ACG中，，∴△ABF≌△ACG（AAS），∴AF＝AG．【變式1】（2021秋?錫山區(qū)校級(jí)期中）如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF．（1）求證：△ADE≌△ADF；（2）已知AC＝18，AB＝12，求BE的長(zhǎng)．【分析】（1）先用（HL）證明Rt△EBD≌Rt△EBD，推DE＝DF，再用（HL）證明Rt△AED≌Rt△AFD；（2）由全等推AE＝AF，把AC長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為AC＝AB+BE+FC，代入數(shù)值求解即可．【解答】（1）證明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E＝∠DFC＝∠DFA＝90°，在Rt△EBD與Rt△EBD中，∴Rt△EBD≌Rt△EBD（HL）；∴DE＝DF，在Rt△AED與Rt△AFD中，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）；（2）解：∵Rt△AED≌Rt△AFD，∴AE＝AF，∴AF＝12+BE，∵AC＝AF+FC∴AC＝AB+BE+FC，∴18＝12+BE+CF，∵BE＝CF．∴18＝12+2BE，∴BE＝3．【例2】（2020春?江陰市期中）如圖，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度數(shù)．【分析】（1）利用已知得出∠1＝∠EAC，進(jìn)而借助SAS得出即可；（2）利用全等三角形的性質(zhì)得出∠ABD＝∠2＝30°，再利用三角形的外角得出得出即可．【解答】（1）證明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠1＝∠EAC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠2＝30°，∵∠1＝25°，∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°．【變式2】（2021秋?鹽都區(qū)期中）如圖，已知在四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，∠BCE＝∠ACD，∠BAC＝∠D，BC＝CE．（1）求證：AC＝CD．（2）若AC＝AE，∠ACD＝80°，求∠DEC的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等可得到∠3＝∠5，結(jié)合條件可得到∠1＝∠D，再加上BC＝CE，可證得結(jié)論；（2）根據(jù)∠ACD＝80°，AC＝CD，得到∠2＝∠D＝50°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠4＝∠6＝65°，由平角的定義得到∠DEC＝180°﹣∠6＝115°．【解析】（1）∵∠BCE＝∠ACD，∴∠3+∠4＝∠4+∠5，∴∠3＝∠5，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS），∴AC＝CD；（2）∵∠ACD＝80°，AC＝CD，∴∠2＝∠D＝50°，∵AE＝AC，∴∠4＝∠6＝65°，∴∠DEC＝180°﹣∠6＝115°．【滿(mǎn)分訓(xùn)練】一．解答題（共20小題）1．（2022?豐縣二模）如圖，點(diǎn)F是△ABC的邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在AB上，連接DF并延長(zhǎng)至點(diǎn)E，DF＝EF，連接CE．（1）求證：△ADF≌△CEF；（2）若DE∥BC，DE＝4，求BC的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)線(xiàn)段中點(diǎn)求出AF＝CF，再根據(jù)全等三角形的判定定理SAS推出即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠A＝∠ACE，根據(jù)平行線(xiàn)的判定得出AB∥CE，根據(jù)平行四邊形的判定定理得出四邊形BCED是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出即可．【解答】（1）證明：∵F為AC的中點(diǎn)，∴AF＝CF，在△ADF和△CEF中，，∴△ADF≌△CEF（SAS）；（2）解：∵△ADF≌△CEF，∴∠A＝∠ACE，∴AB∥CE，∵DE∥BC，∴四邊形BCED是平行四邊形，∴BC＝DE，∵DE＝4，∴BC＝4．2．（2022?姑蘇區(qū)一模）如圖，點(diǎn)D在射線(xiàn)AE上，BD＝CD，DE平分∠BDC．求證：AB＝AC．【分析】由“SAS”判定△ADC≌△ADB，得出AB＝AC即可．【解答】證明：∵DE平分∠BDC，∴∠BDE＝∠CDE，∴∠ADB＝∠ADC，在△ADC和△ADB中，，∴△ADC≌△ADB（SAS），∴AB＝AC．3．（2022?工業(yè)園區(qū)模擬）已知：如圖，AB＝AC，AD＝AE，∠BAE＝∠CAD．求證：∠D＝∠E．【分析】先證∠BAD＝∠CAE，再證△BAD≌△CAE（SAS），即可得出結(jié)論．【解答】證明：∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE+∠DAE＝∠CAD+∠DAE，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD與△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠D＝∠E．4．（2022?江陰市模擬）如圖，在△ABC中，O為BC中點(diǎn)，BD∥AC，直線(xiàn)OD交AC于點(diǎn)E．（1）求證：△BDO≌△CEO；（2）若AC＝6，BD＝4，求AE的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)已知條件，可證△BDO≌△CEO（AAS）；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BD＝CE，進(jìn)一步可得AE的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵O為BC的中點(diǎn)，∴BO＝CO，∵BD∥AC，∴∠C＝∠OBD，∠CEO＝∠BDO，在△BDO和△CEO中，，∴△BDO≌△CEO（AAS）；（2）解：∵△BDO≌△CEO，∴BD＝CE，∵BD＝4，∴CE＝4，∵AC＝6，∴AE＝6﹣4＝2．5．（2022?宜興市校級(jí)二模）已知：如圖，在△ABC中，D是BC邊中點(diǎn)，CE⊥AD于點(diǎn)E，BF⊥AD于點(diǎn)F．（1）求證：△BDF≌△CDE；（2）若AD＝5，CE＝2，求△ABC的面積．【分析】（1）易證BD＝CD，∠BFD＝∠CED＝90°，再由AAS即可證得△BDF≌△CDE；（2）由S△ABC＝S△ABD+S△ACD，即可得出結(jié)果．【解答】（1）證明：∵D是BC邊中點(diǎn)，∴BD＝CD，∵CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠BFD＝∠CED＝90°，在△BDF和△CDE中，，∴△BDF≌△CDE（AAS）；（2）解：由（1）得：△BDF≌△CDE，∴CE＝BF，∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝AD?BF+AD?CE＝AD?CE＝5×2＝10．6．（2022?太倉(cāng)市模擬）如圖，AB＝AC，BE⊥AC，CD⊥AB垂足分別為點(diǎn)E，點(diǎn)D．（1）求證：△ABE≌△ACD；（2）若AB＝13，AE＝5，求CD的長(zhǎng)度．【分析】（1）利用AAS即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理可得BE＝12，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可解決問(wèn)題．【解答】（1）證明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC＝∠AEB＝90°，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（AAS）；（2）在Rt△ABE中，AB＝13，AE＝5，∴BE＝＝12，∵△ABE≌△ACD，∴CD＝BE＝12．7．（2022?金壇區(qū)一模）如圖，D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，CF∥AB，DF交AC于點(diǎn)E，DE＝EF．（1）求證：AE＝EC；（2）若AB＝5，CF＝4，求BD的長(zhǎng)．【分析】（1）證明△ADE≌△CFE（AAS），即可得出結(jié)論；（2）由全等三角形的性質(zhì)得AD＝CF＝4，即可得出答案．【解答】（1）證明：∵CF∥AB，∴∠A＝∠ECF，在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AE＝EC；（2）解：由（1）可知，△ADE≌△CFE，∴AD＝CF＝4，∴BD＝AB﹣AD＝5﹣4＝1，即BD的長(zhǎng)為1．8．（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．求證：∠ABD＝∠ACE．【分析】由“SAS”可證△ABD≌△ACE，可得結(jié)論．【解答】證明：在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE．9．（2021秋?淮安區(qū)期末）如圖，已知AB＝CB，AD＝CD．求證：∠A＝∠C．【分析】連接BD，利用邊邊邊證明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】證明：連接BD，在△ABD與△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠A＝∠C．10．（2021秋?沭陽(yáng)縣校級(jí)期末）如圖，已知AD＝AE，AB＝AC．求證：BE＝CD．【分析】已知兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等，由SAS即可判定兩三角形全等，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答．【解答】證明：在△AEB與△ADC中，，∴△AEB≌△ADC（SAS），∴BE＝CD．11．（2020秋?常州期末）已知：如圖，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB+∠D＝180°．求證：△ABC≌△EAD．【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法解答即可．【解答】證明：∵AB∥DE，∴∠CAB＝∠E，∵∠ECB+∠D＝180°，∠ECB+∠ACB＝180°，∴∠D＝∠ACB，在△ABC與△EAD中，，∴△ABC≌△EAD（AAS）．12．（2020秋?蘇州期末）如圖，點(diǎn)E、F在AB上，且AE＝BF，∠C＝∠D，AC∥BD．求證：CF∥DE．【分析】根據(jù)已知條件證明△ACF≌△BDE可得∠AFC＝∠BED，進(jìn)而可得CF∥DE．【解答】證明：∵AE＝BF，∴AE+EF＝BF+EF，即AF＝BE，∵AC∥BD，∴∠A＝∠B，在△ACF和△BDE中，，∴△ACF≌△BDE（AAS），∴∠AFC＝∠BED，∴CF∥DE．13．（2020秋?建鄴區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，點(diǎn)A、E、B、D在同一直線(xiàn)上，BC、EF交于點(diǎn)M，AC＝DF，AB＝DE．求證：（1）∠CBA＝∠FED；（2）AM＝DM．【分析】（1）利用HL證明Rt△ABC≌Rt△DEF可證明結(jié)論；（2）利用SAS證明△AEM≌△DBM可證明結(jié)論．【解答】證明：（1）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），∴∠CBA＝∠FED；（2）∵∠CBA＝∠FED，∴ME＝MB，且∠AEM＝∠DBM，∵AB＝DE，∴AB﹣EB＝DE﹣EB，即AE＝DB，在△AEM和△DBM中，，∴△AEM≌△DBM（SAS），∴AM＝DM．14．（2021?蘇州模擬）如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在一條直線(xiàn)上，AB＝DE，∠B＝∠E，BF＝CE．求證：CG＝FG．【分析】由“SAS”可證△ABC≌△DEF，可得∠ACB＝∠DFE，可得結(jié)論．【解答】證明：∵BF＝CE∴BF+CF＝CE+CF∴BC＝EF在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS）∴∠ACB＝∠DFE∴CG＝FG15．（2021?蘇州模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，AD、BE相交于點(diǎn)H，AE＝BE．試說(shuō)明：（1）△AEH≌△BEC．（2）AH＝2BD．【分析】（1）由“ASA”可證△AEH≌△BEC；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得AH＝BC，由等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．【解析】（1）∵AD⊥BC，∴∠DAC+∠C＝90°，∵BE⊥AC，∴∠EBC+∠C＝90°，∴∠DAC＝∠EBC，在△AEH與△BEC中，，∴△AEH≌△BEC（ASA）；（2）∵△AEH≌△BEC，∴AH＝BC，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∴AH＝2BD．16．（2021?洪澤區(qū)二模）如圖，線(xiàn)段AC交BD于O，點(diǎn)E，F(xiàn)在線(xiàn)段AC上，△DFO≌△BEO，且AF＝CE，連接AB、CD，求證：AB＝CD．【分析】先由△BEO≌△DFO，即可得出OF＝OE，DO＝BO，進(jìn)而得到AO＝CO，再證明△ABO≌△CDO，即可得到AB＝CD．【解答】證明：∵△BEO≌△DFO，∴OF＝OE，DO＝BO，又∵AF＝CE，∴AO＝CO，在△ABO和△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（SAS），∴AB＝CD．17．（2020秋?鹽池縣期末）如圖，點(diǎn)E在CD上，BC與AE交于點(diǎn)F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2．（1）求證：△ABE≌△CBD；（2）證明：∠1＝∠3．【分析】（1）由已知角相等，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS即可得證；（2）利用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得到一對(duì)角相等，再由對(duì)頂角相等及內(nèi)角和定理即可得證．【解答】證明：（1）∵∠1＝∠2，∴∠1+∠CBE＝∠2+∠CBE，即∠ABE＝∠CBD，在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（SAS）；（2）∵△ABE≌△CBD，∴∠A＝∠C，∵∠AFB＝∠CFE，∴∠1＝∠3．18．（2020秋?泰興市期末）如圖，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，圖中AE、BD有怎樣的大小和位置關(guān)系？試證明你的結(jié)論．【分析】根據(jù)SAS即可求得△DCB≌△ECA，求得∠B＝∠A．因?yàn)椤螦ND＝∠BNC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理就可求得∠A+∠AND＝90°，從而證得BD⊥AE．【解析】AE＝BD，AE⊥BD，如圖，∵∠ACB＝∠DCE＝90°