重難點專項突破04二次函數(shù)綜合之“特殊四邊形存在性”問題

重難點專項突破04二次函數(shù)綜合之“特殊四邊形存在性”問題【知識梳理】一、平行四邊形的存在性問題1.要先明確定點和動點，常以定點為對角線和邊進行分類;2.三定一動，有三種情況，可借助平移，全等、中點公式等知識確定坐標..(坐標平移規(guī)律:左減右加變x上加下減變y如何平移?可先確定其中兩點的變化作參照，以此變化確定)3.兩定兩動:以定線段作邊或對角線，確定分類;常借助對應邊相等、坐標間關系及中點坐標公式建等式求解常見設問:已知A、B，求另外兩點C、D與A、B兩點構成平行四邊形分類討論:當AB為邊時，找AB平行且等于的CD利用距離建立數(shù)量關系，求出相應點的坐標;當AB為對角線時，AB的中點即為對角線的交點，結合圖形的對稱性，圍繞對角頂點的橫坐標和縱坐標之和分別相等進行求解，列出兩個二元一次方程組來求解.4.三動點或四動點:往往有不變特征，如兩邊始終平行，滿足相等即可二、菱形的存在性問題(常為含60°角的菱形)通常有兩大類:1.已知三個定點探究菱形時，分別以三個定點中的任意兩個定點確定線段為要探究的菱形的對角線畫出所有菱形，結合題干要求找出滿足條件的菱形;2已知兩個定點去探究菱形時，以兩個定點連線所成的線段作為要探究菱形的對角線或邊長畫出符合題意的菱形，結合題干要求找出滿足條件的菱形:3.計算:建立類似平行四邊形的存在性問題來解三、矩形的存在性問題等價于直角三角形的存在性問題（其特點往往是2定點2動點），通過構造一線三等角模型或勾股定理，可以求出其中一個頂點的坐標，再根據(jù)對稱性求出另一個頂點的坐標。分類的依據(jù)往往是以已知兩點所在線段為邊或對角線進行分類討論。四、正方形存在性問題正方形是菱形和矩形特征的集結，因此同時采取菱形或矩形存在性問題解決的方法去求點的坐標?！究键c剖析】題型一：平行四邊形的存在性問題1．（2023·廣西貴港·統(tǒng)考三模）如圖，拋物線與軸負半軸交于點，與軸交于A，兩點，點A在點左側，點的坐標為，．

(1)求拋物線的解析式；(2)若點是第三象限拋物線上的動點，連接，當?shù)拿娣e為3時，求出此時點的坐標；(3)將拋物線向右平移2個單位，平移后的拋物線與原拋物線相交于點，在原拋物線的對稱軸上，為平移后的拋物線上一點，當以A、、、為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出點的坐標．【答案】(1)(2)，(3)點的坐標為或或【分析】（1）根據(jù)點的坐標及可得出點的坐標，再根據(jù)點、的坐標利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）過點作軸的垂線交直線于點，先求出點，用待定系數(shù)法求出直線的解析式為，設，則，得到，由，得：，，即可得到點D的坐標；（3）先求得平移后的拋物線解析式為，設，，分三種情況討論即可．【詳解】（1）解：∵點的坐標為，，∴點的坐標為，將點、代入，得，解得：，∴拋物線的解析式為．（2）過點作軸的垂線交直線于點．

由，解得：，，∴，設直線的解析式為，把、代入，得，解得：，∴直線的解析式為，設，則，∴∴，由，得：，，當時，，時，，∴點的坐標為，；（3），對稱軸為直線，將拋物線向右平移個單位后的拋物線解析式為，聯(lián)立，解得：，，設，，又，，以、為對角線，則、的中點重合，，解得：，此時，；以、為對角線，則、的中點重合，，解得：，此時，；以、為對角線，則、的中點重合，，解得：，此時，；綜上所述，點的坐標為或或．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形面積，二次函數(shù)的圖象和性質，平行四邊形性質等知識，解題的關鍵是利用平行四邊形對角線互相平分列方程組解決問題．2．（2023·山西大同·校聯(lián)考三模）綜合與探究：如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，點D是拋物線上一個動點，設點D的橫坐標為，連接．

(1)求A，B，C三點的坐標；(2)當?shù)拿娣e等于的面積的時，求m的值；(3)在（2）的條件下，若點M是x軸上一動點，點N是拋物線上一動點，試探究是否存在這樣的點M，使得以點B，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形．若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，，(2)3(3)存在，或或或【分析】（1）令和求解即可；（2）過點C作交的延長線于F，首先求出，求出直線BC的函數(shù)表達式為：，得到，，然后根據(jù)列方程求解即可；（3）首先得到，然后設，，然后根據(jù)題意分3種情況討論：是平行四邊形的邊，是平行四邊形的邊，是平行四邊形的對角線，分別根據(jù)平行四邊形的性質列方程求解即可．【詳解】（1）由，得．解，得，．∴點A，B的坐標分別為，，由，得．∴點C的坐標為．（2）如圖，過點D作軸于E，交BC于G，

過點C作交的延長線于F．∵點A的坐標為，點C的坐標為．∴，．∴．∴．∵點B的坐標為，點C的坐標為，設直線BC的函數(shù)表達式為．則．解得∴直線BC的函數(shù)表達式為：．∵點D的橫坐標為，∴點D的坐標為，點G的坐標為：．∴，，．∴∴．解得：（不合題意舍去），，∴m的值為3．（3）將代入∴，設，，∵，∴如圖所示，當是平行四邊形的邊時，

∴由平行四邊形的性質可得，，解得或∴點M的坐標為或；當是平行四邊形的邊時，

∴由平行四邊形的性質可得，，解得或（不合題意，應舍去）∴點M的坐標為；如圖所示，當是平行四邊形的對角線時，

∴由平行四邊形的性質可得，，解得或（不合題意，應舍去）∴點M的坐標為；綜上所述，點M的坐標為或或或．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法、三角形的面積、解一元二次方程、平行四邊形的性質等知識，運用了數(shù)形結合思想、分類討論思想等數(shù)學思想，熟練掌握和靈活運用相關知識是解題的關鍵．3．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線（）與軸交于，兩點，與軸交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)點P在拋物線上，點Q在x軸上，以B，C，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形，求點P的坐標；(3)如圖2，拋物線頂點為D，對稱軸與x軸交于點E，過點的直線（直線除外）與拋物線交于G，H兩點，直線，分別交x軸于點M，N．試探究是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由．【答案】(1)(2)或或(3)定值，理由見詳解【分析】（1）將兩點代入拋物線的解析式即可求解；（2）根據(jù)P，Q的不確定性，進行分類討論：①過作軸，交拋物線于，過作，交軸于，可得，由，可求解；②在軸的負半軸上取點，過作，交拋物線于，同時使，連接、，過作軸，交軸于，，即可求解；③當為平行四邊形的對角線時，在①中，只要點Q在點B的左邊，且滿足，也滿足條件，只是點P的坐標仍是①中的坐標；（3）可設直線的解析式為，，，可求，再求直線的解析式為，從而可求，同理可求，即可求解．【詳解】（1）解：拋物線與x軸交于兩點，，解得，故拋物線的解析式為．（2）解：①如圖，過作軸，交拋物線于，過作，交軸于，四邊形是平行四邊形，，，解得：，，；②如圖，在軸的負半軸上取點，過作，交拋物線于，同時使，連接、，過作軸，交軸于，四邊形是平行四邊形，，在和中，，()，，，，解得：，，；如上圖，根據(jù)對稱性：，③當為平行四邊形的對角線時，由①知，點Q在點B的左邊，且時，也滿足條件，此時點P的坐標仍為；綜上所述：的坐標為或或．（3）解：是定值，理由：如圖，直線經(jīng)過，可設直線的解析式為，、在拋物線上，可設，，，整理得：，，，，當時，，，設直線的解析式為，則有，解得，直線的解析式為，當時，，解得：，，，同理可求：，；當與對調位置后，同理可求；故的定值為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，求函數(shù)圖象與坐標軸交點坐標，動點產(chǎn)生的平行四邊形判定，一元二次方程根與系數(shù)的關系，理解一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象的交點，與對應一元二次方程根的關系，掌握具體的解法，并會根據(jù)題意設合適的輔助未知數(shù)是解題的關鍵．題型二：菱形的存在性問題4．（2023·四川達州·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過點．

(1)求拋物線的解析式；(2)設點是直線上方拋物線上一點，求出的最大面積及此時點的坐標；(3)若點是拋物線對稱軸上一動點，點為坐標平面內一點，是否存在以為邊，點為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)的最大面積為，(3)存在，或或，，見解析【分析】（1）利用待定系數(shù)法代入求解即可；（2）利用待定系數(shù)法先確定直線的解析式為，設點，過點P作軸于點D，交于點E，得出，然后得出三角形面積的函數(shù)即可得出結果；（3）分兩種情況進行分析：若為菱形的邊長，利用菱形的性質求解即可．【詳解】（1）解：將點代入解析式得：，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）設直線的解析式為，將點B、C代入得：，解得：，∴直線的解析式為，∵，∴，設點，過點P作軸于點D，交于點E，如圖所示：

∴，∴，∴，∴當時，的最大面積為，，∴（3）存在，或或或，，證明如下：∵，∵拋物線的解析式為，∴對稱軸為：，設點，若為菱形的邊長，菱形，則，即，解得：，，∵，∴，∴，；若為菱形的邊長，菱形，則，即，解得：，，∵，∴，∴，；綜上可得：或或，．【點睛】題目主要考查二次函數(shù)的綜合應用，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，三角形面積問題及特殊四邊形問題，全等三角形的判定和性質等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關鍵．5．（2023·山東日照·日照市新營中學?？既＃┤鐖D1，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于和，與y軸交于點C，連接．

(1)求該拋物線的解析式；(2)如圖1，在x軸上有一動點D，平面內是否存在一點E，使以點A、D、C、E為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出點E的坐標，若不存在，請說明理由．(3)如圖2，點M為拋物線上的一動點：①若點M為直線上方的拋物線上任意一點，過點M作y軸的平行線，交于點N，過點M作x軸的平行線，交直線于點Q，求周長的最大值；②若點M為拋物線上的任意一動點，且，請直接寫出滿足條件的點M的坐標．【答案】(1)(2)存在，，，，(3)①，②，【分析】（1）待定系數(shù)法即可完成；（2）分4種情況解決，注意菱形性質的應用；（3）①用含有一個參數(shù)的式子表示周長，再用二次函數(shù)的最值求法即可解決；②作輔助線，用待定系數(shù)法和兩函數(shù)圖像交點坐標的求法即可解決【詳解】（1）∵拋物線與x軸交于A（－4，0）和B（1，0）∴∴∴該拋物線的解析式（2）∵以點A、D、C、E為頂點的四邊形是菱形∴①如圖，當為對角線時，點E和點C關于原點對稱

∵點∴點②如圖，當，點D在點A右側時

∵點，∴點③如圖，當，點D在點A左側時

∵點，∴點④當為對角線時，如圖所示：

設，則∵∴∴∴點故點E的坐標為：，，，（3）①設∵點N在直線∶上∴∴∵過點M作y軸的平行線，交于點N，過點M作x軸的平行線，交直線于點Q∴，∴∴，∴，∴，∴故當時，②如圖，情況一：在上取點，連接，延長后交拋物線于點，此時點就是所求的點，理由如下：

∵，∴∴∵設直線為，過點）和∴∴∴直線為∵直線與拋物線聯(lián)立方程組：∴或故情況二：作點關于的對稱點，連接，延長后交拋物線于點，此時點就是所求的點，理由如下：由于點關于的對稱點，則設直線為∵，直線為∴∵直線過點∴直線為∵解方程組得：∴點∴點設直線為∵直線過點，∴∴∴直線為∵直線與拋物線聯(lián)立方程組：∴或故綜上，點M的坐標為，【點睛】本體考查了二次函數(shù)的圖像和性質，待定系數(shù)法，函數(shù)圖像交點的求法，菱形的性質等，關鍵是熟練應用數(shù)形結合思想．6．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于點，交軸于點，點的坐標為，對稱軸是直線，點是軸上一動點，軸，交直線于點，交拋物線于點．

(1)求這個二次函數(shù)的解析式．(2)若點在線段上運動（點與點、點不重合），求四邊形面積的最大值，并求出此時點的坐標．(3)若點在軸上運動，則在軸上是否存在點，使以、為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)最大值為，此時(3)或或【分析】（1）先根據(jù)二次函數(shù)對稱軸公式求出，再把代入二次函數(shù)解析式中進行求解即可；（2）先求出，，則，，求出直線的解析式為，設，則，，則；再由得到，故當時，最大，最大值為，此時點P的坐標為；（3）分如圖31，圖32，圖33，圖34，圖35，圖36所示，為對角線和邊，利用菱形的性質進行列式求解即可．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的對稱軸為直線，∴，∴，∵二次函數(shù)經(jīng)過點，∴，即，∴，∴二次函數(shù)解析式為；（2）解：∵二次函數(shù)經(jīng)過點，且對稱軸為直線，∴，∴，∵二次函數(shù)與y軸交于點C，∴，∴；設直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，設，則，，∴；∵，∴，∵，∴當時，最大，最大值為，∴此時點P的坐標為；（3）解：設，則，，∵軸，∴軸，即，∴是以、為頂點的菱形的邊；如圖31所示，當為對角線時，

∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴軸，∴軸，即軸，∴點C與點N關于拋物線對稱軸對稱，∴點N的坐標為，∴，∴；如圖32所示，當為邊時，則，

∵，，∴，∴，解得或（舍去），∴，∴；如圖33所示，當為邊時，則，

同理可得，∴，解得或（舍去），∴，∴；如圖34所示，當為邊時，則，

同理可得，解得（舍去）或（舍去）；如圖35所示，當為對角線時，

∴，∵，∴，∴，∴軸，∴軸，這與題意相矛盾，∴此種情形不存在如圖36所示，當為對角線時，設交于S，

∵軸，∴，∵，∴，這與三角形內角和為180度矛盾，∴此種情況不存在；綜上所述，或或．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，菱形的性質，勾股定理，求二次函數(shù)解析式等等，利用分類討論的思想求解是解題的關鍵．題型三：矩形的存在性問題7．（2023春·遼寧阜新·九年級阜新實驗中學?？茧A段練習）如圖，拋物線經(jīng)過點，，．

(1)求拋物線的表達式；(2)若點為第一象限內拋物線上的一點，設的面積為S，求S的最大值及此時點的坐標；(3)已知是拋物線對稱軸上一點，在平面內是否存在點，使以、、、為頂點的四邊形是矩形？若存在，直接寫出點坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)S最大值為，(3)存在，點或或或．【分析】（1）運用拋物線交點式解析式求解，設拋物線，點代入求解；（2）如圖，過點P作，垂足為點D，交于點E，設，確定的解析式，于是，從而，所以時，S最大值為，進而求得；（3）設，如圖，，，，分類討論：當為對角線時，，由勾股定理，，解得，設點，則，從而得點或；另當為對角線時，，同法求得，當為對角線時，，同法求得點．【詳解】（1）解：設拋物線，由經(jīng)過點，得，∴∴．（2）如圖，過點P作，垂足為點D，交于點E，

設設直線的解析式為，得，解得∴則點，∴∴當時，S最大值為，∴；（3）存在．設，如圖，，，當為對角線時，由勾股定理，∴，解得，設點，則解得∴點或

如圖，當為對角線時，

，即，解得，則解得∴點如圖，當為對角線時，

，即，解得，則解得∴點綜上，點或或或．【點睛】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)與面積最值問題，二次函數(shù)與矩形存在性問題，注意分類討論，運用數(shù)形結合思想，將圖形信息轉化為數(shù)量關系是解題的關鍵．8．（2023·山東東營·東營市勝利第一初級中學?？既＃┮阎獟佄锞€交x軸于點和點，交y軸于點C．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點P是拋物線上位于直線下方的動點，過點P分別作x軸、y軸的平行線，交直線于點D，交x軸于點E，當取最大值時，求點P的坐標及最大值．(3)在拋物線上是否存在點M，對于平面內任意點N，使得以A、C、M、N為頂點且為一條邊的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出M、N的坐標，不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)；(3)、【分析】（1）把點和點代入拋物線，解方程即可得到a、b的值；（2）先用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再設，則，，然后求出，由函數(shù)的性質求出取最大值時t的值，即可求出點P的坐標；（3）假設拋物線上是存在點M，對于平面內任意點N，使得以A、C、M、N為頂點且為一條邊的四邊形為矩形，過點O作于一點H，可求得的解析式，則可設出過點A且與平行的直線解析式，經(jīng)計算驗證可得過點A的直線與拋物線有交點M，聯(lián)立方程可求得M的坐標，通過平移即可求得點N的坐標．【詳解】（1）解：把點和點代入拋物線，得，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：由（1）知，點C的坐標為，設直線的解析式為，則，解得，∴直線的解析式為，設，則，，∴，∴當時，有最大值，最大值為，此時點P的坐標為；（3）解：過點O作于一點H，如圖所示：

，∵，，∴為等腰直角三角形，∴點H為的中點，即，則所在的直線方程為，∵四邊形為矩形，∴過A與直線相垂直的直線函數(shù)解析式中的k值與的解析式的k值相同，∴設所在的直線解析式為，∵點A在直線上，∴可求得，即所在的直線解析式為，聯(lián)立的直線方程與拋物線的解析式，得，解得或，其中為點A的坐標，即，∵四邊形為矩形，且，根據(jù)點A與點C的關系，把點M向下平移4個單位長度，再向左平移4個單位長度，可得到點N的坐標，即．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點，求二次函數(shù)的最值，特殊四邊形的交點坐標，坐標平移，用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式是解本題的關鍵．9．（2023·吉林松原·校聯(lián)考三模）如圖，拋物線過點，，點為x軸上一個動點（點M不與點A，C重合），過點M作垂直于x軸的直線與直線和拋物線分別交于點D，N．

(1)求此拋物線的解析式；(2)求當點D是線段的中點時m的值；(3)當與的面積相等時，求點M的坐標；(4)過點D作軸于E，過點N作軸于F．直接寫出在矩形內部的拋物線當y隨x增大而增大時m的取值范圍．【答案】(1)(2)1(3)或或(4)且【分析】（1）利用待定系數(shù)法可進行求解；（2）由題意可得直線的解析式，然后可得，，，進而問題可求解；（3）由題意可得，然后可得方程，進而求解即可；（4）根據(jù)題意畫出圖象，進而問題可求解．【詳解】（1）解：把，代入得，，解得，所以拋物線的解析式為．（2）解：設直線的解析式為，把，代入得，，解得，所以直線的解析式為．由題知，，，，當點D為線段的中點時，如圖1，

，，由，解得，（不合題意，舍去），所以當點D是線段的中點時m的值是1．（3）解：由題知，，，由，得，即，解得，，．所以當與的面積相等時，點M的坐標為或或．（4）解：由可知開口向下，當時，y隨x的增大而增大，當時，y隨x的增大而減小，∴只需矩形包含對稱軸左側的二次函數(shù)圖象即可，由（2）可知直線的解析式為，由圖4知：當時，則，即，，即，此時矩形不包含二次函數(shù)的圖象，∴由圖2、圖3、圖4可知，在矩形內部的拋物線當y隨x增大而增大時m的取值范圍是且．

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質是解題的關鍵．題型四：正方形存在性問題10．（2023·陜西西安·校考模擬預測）如圖，已知拋物線與軸交于點與軸交于點．

(1)求的值及該拋物線的對稱軸；(2)若點在直線上，點是平面內一點．是否存在點，使得以點為頂點的四邊形為正方形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，二次函數(shù)對稱軸為直線(2)或【分析】（1）將點A的坐標代入到二次函數(shù)的解析式即可求出c的值，然后將二次函數(shù)的解析式化成頂點式的即可確定二次函數(shù)對稱軸；（2）分AB是正方形的邊、AB是正方形的對角線兩種情況，通過畫圖，利用正方形性質即可解答．【詳解】（1）解：把代入二次函數(shù)得：∴，解得：；∴二次函數(shù)的解析式為：，∴二次函數(shù)對稱軸為直線．（2）解：存在，理由如下：令y=0，即，解得或，∴點B的坐標為，∵，∴；①當是正方形的對角線時，此時，對應的矩形為，∵是正方形對角線，∴線段和線段互相垂直平分，∴點E在拋物線對稱軸上，且到x軸的距離為，∴點E的坐標為；②當AB是正方形的邊時，此時，對應的正方形為，

∵，，∴，∴，∵B的坐標為,∴，∴點的坐標為；故點E的坐標為或．【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查的是二次函數(shù)的性質、正方形的性質等知識點，掌握正方形存在性問題需要分類求解是解答本題的關鍵．11．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，點在拋物線上．

(1)求拋物線的解析式；(2)點在第一象限內，過點作軸，交于點，作軸，交拋物線于點，點在點的左側，以線段為鄰邊作矩形，當矩形的周長為11時，求線段的長；(3)點在直線上，點在平面內，當四邊形是正方形時，請直接寫出點的坐標．【答案】(1)拋物線的解析式為；(2)；(3)點的坐標為或．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）先求得直線的解析式為，設，則，利用對稱性質求得，推出，，利用矩形周長公式列一元二次方程計算即可求解；（3）先求得直線的解析式為，分別過點M、E作y的垂線，垂足分別為P、Q，證明，推出，，設，則，由點M在直線上，列式計算，可求得m的值，利用平移的性質即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點和，∴，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：∵點和，設直線的解析式為，則，解得，∴直線的解析式為，設，且，則，∴，∵解析式的對稱軸為，∴，∴，依題意得，解得（舍去）或，∴；（3）解：令，則，解得或，∴，同理，直線的解析式為，∵四邊形是正方形，∴，，分別過點M、E作y的垂線，垂足分別為P、Q，如圖，

，，∴，∴，，設，∴，，則，∵點M在直線上，∴，解得或，當時，，，即點M與點C重合，點E與點B重合時，四邊形是正方形，此時；當時，，，點O向左平移個單位，再向下平移1個單位，得到點M，則點E向左平移個單位，再向下平移1個單位，得到點N，∴，即．綜上，點的坐標為或．【點睛】本題考查的是待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，兩點之間的距離公式和正方形的性質，是一道綜合性較強的題，解題的關鍵是求出二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式以及分情況討論．12．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線的圖象經(jīng)過，，三點，且一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式．(2)點，為平面內兩點，若以、、、為頂點的四邊形是正方形，且點在點的左側．這樣的，兩點是否存在？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標：如果不存在，請說明理由．(3)將拋物線的圖象向右平移個單位長度得到拋物線，此拋物線的圖象與軸交于，兩點（點在點左側）．點是拋物線上的一個動點且在直線下方．已知點的橫坐標為．過點作于點．求為何值時，有最大值，最大值是多少？【答案】(1)，(2)滿足條件的E、F兩點存在，，，(3)當時，的最大值為【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）①當為正方形的邊長時，分別過點點作，，使，，連接、，證明，得出，，則同理可得，；②以為正方形的對角線時，過的中點作，使與互相平分且相等，則四邊形為正方形，過點作軸于點，過點作于點，證明，得出，在中，，解得或4，進而即可求解；（3）得出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，則，點在拋物線上，且橫坐標為得出，進而可得，則，根據(jù)二次函數(shù)的性質即可求解．【詳解】（1）解：把，，代入得

解得

∴

把代入得∴（2）滿足條件的、兩點存在，，，

解：①當為正方形的邊長時，分別過點點作，，使，，連接、.

過點作軸于.∵，又，∴，∴，∴同理可得，②以為正方形的對角線時，過的中點作，使與互相平分且相等，則四邊形為正方形，過點作軸于點，過點作于點

∵，又∴∴，∵∴∴在中，∴解得或4當時，，此時點在點右側故舍去；當時，.綜上所述：，，（3）∵向右平移8個單位長度得到拋物線當，即解得：∴，∵過，，三點∴

在直線下方的拋物線上任取一點，作軸交于點，過點作軸于點

∵，∴∴是等腰直角三角形∵，∴又∴是等腰直角三角形∴∵點在拋物線上，且橫坐標為∴∴

∵∴∴∴

∴∴當時，的最大值為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運用，正方形的性質，二次函數(shù)的性質，分類討論，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．【過關檢測】一、單選題1．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，直線y＝x+2與y軸交于點A，與直線y=x交于點B，以AB為邊向右作菱形ABCD，點C恰與點O重合，拋物線y＝（x﹣h）2+k的頂點在直線y＝﹣x上移動．若拋物線與菱形的邊AB、BC都有公共點，則h的取值范圍是（）A．﹣2≤h≤ B．﹣2≤h≤1 C．﹣1≤h≤ D．﹣1≤h≤【答案】A【分析】聯(lián)立y＝x+2與直線y=x，得到點，再由拋物線y＝（x﹣h）2+k的頂點在直線y＝﹣x上移動．可得，從而得到拋物線解析式為，根據(jù)題意可得拋物線過點B和點C時拋物線與菱形的邊AB、BC都有公共點，然后把點C、B的坐標代入拋物線解析式，即可求解．【詳解】解：把y＝x+2與直線y=x聯(lián)立得：，解得：，∴點，根據(jù)題意得拋物線的頂點坐標為，把代入直線y=x，得：，∴拋物線解析式為，如圖，當拋物線經(jīng)過點C時，把點代入得：，解得：或（舍去），如圖，當拋物線經(jīng)過點B時，將點代入得：，解得：或（舍去），綜上所述，拋物線與菱形的邊AB、BC都有公共點，h的取值范圍是．故選：A【點睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，解答本題主要應用了一次函數(shù)的交點與一元二次方程組的關系、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，通過平移拋物線探究出拋物線與形的邊AB、BC均有交點時拋物線經(jīng)過的“臨界點”為點B和點C是解題解題的關鍵．2．（2021·山東濟南·統(tǒng)考二模）如圖，直線與y軸交于點A，與直線交于點D，以為邊向左作菱形，點C恰與原點O重合，拋物線的頂點在直線上移動．若拋物線與菱形的邊、都有公共點，則h的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將與聯(lián)立可求得點D的坐標，然后由拋物線的頂點在直線可求得k=h，于是可得到拋物線的解析式為y＝（x?h）2+h，由圖形可知當拋物線經(jīng)過點D和點C時拋物線與菱形的邊、都有公共點，然后將點C和點D的坐標代入拋物線的解析式可求得h的值，從而可判斷出h的取值范圍．【詳解】解：∵將與聯(lián)立得：，解得：，∴點D的坐標為（2，1）．由拋物線的解析式可知拋物線的頂點坐標為（h，k），∵將x＝h，y＝k，代入得得：h=k，解得：k=h，∴拋物線的解析式為y＝（x?h）2+h，當拋物線經(jīng)過點C時．將C（0，0）代入y＝（x?h）2+h，得：h2+h=0，解得：h1＝0（舍去），h2=．當拋物線經(jīng)過點D時．將D（2，1）代入y＝（x?h）2+h，得：（2?h）2+h＝1，整理得：2h27h＋6＝0，解得：h1=2，h2=（舍去）．綜上所述，h的范圍是．故選：A．【點睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，解答本題主要應用了一次函數(shù)的交點與一元二次方程組的關系、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，通過平移拋物線探究出拋物線與菱形的邊、均有交點時拋物線經(jīng)過的“臨界點”為點D和點C是解題的關鍵．3．（2022秋·吉林松原·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD四個頂點的坐標分別為A（1，1）、B（1，2）、C（2，2）、D（2，1）．若拋物線y＝向下平移m個單位（m＞0）與正方形ABCD的邊（包括四個頂點）有交點，則m的值不可能是（）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】A【分析】根據(jù)向下平移橫坐標不變，分別代入B的橫坐標和D的橫坐標求得對應的函數(shù)值，即可求得m的取值范圍．【詳解】解：設平移后的解析式為y＝﹣m，將B點坐標代入，得4﹣m＝2，解得m＝2，將D點坐標代入，得9﹣m＝1，解得m＝8，∴y＝向下平移m個單位（m＞0）與正方形ABCD的邊（包括四個頂點）有交點，則m的取值范圍是2≤m≤8，觀察選項，只有選項A符合題意．故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的平移，二次函數(shù)的圖像與點的關系，準確設出向下平移的函數(shù)解析式，利用數(shù)形結合思想確定關鍵點，代入解析式確定m的范圍界點值是解題的關鍵．4．（2021·全國·九年級專題練習）如圖，OABC是邊長為1的正方形，OC與x軸正半軸的夾角為15°，點B在拋物線y＝ax2（a＜0）的圖象上，則a的值為（）A． B． C．﹣2 D．【答案】B【分析】連接OB，過B作BD⊥x軸于D，若OC與x軸正半軸的夾角為15°，那么∠BOD＝30°；在正方形OABC中，已知了邊長，易求得對角線OB的長，進而可在Rt△OBD中求得BD、OD的值，也就得到了B點的坐標，然后將其代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數(shù)a的值．【詳解】解：如圖，連接OB，過B作BD⊥x軸于D，∴∠BOC＝45°，∵∠DOC＝15°，∴∠BOD＝30°；已知正方形的邊長為1，則OB＝，Rt△OBD中，OB＝，∠BOD＝30°，∴BD＝OB＝，OD＝cos∠BOD?OB＝×＝；故B（，），將B（，）代入y＝ax2，得：（）2a＝，解得a＝；故選：B．【點睛】此題主要考查了正方形的性質、直角三角形的性質以及用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的方法，能夠正確地構造出與所求相關的直角三角形，是解決問題的關鍵．5．（2021春·九年級課時練習）如圖，已知拋物線與x軸分別交于A、B兩點，頂點為M．將拋物線l1沿x軸翻折后再向左平移得到拋物線l2．若拋物線l2過點B，與x軸的另一個交點為C，頂點為N，則四邊形AMCN的面積為（）A．32 B．16 C．50 D．40【答案】A【分析】由拋物線l1的解析式可求AB的長，根據(jù)對稱性可知BC=AB，再求拋物線的頂點坐標，用計算三角形面積的方法求四邊形AMCN的面積．【詳解】解：由y=x2﹣6x+5得y=（x﹣1）（x﹣5）或y=（x﹣3）2﹣4，∴拋物線l1與x軸兩交點坐標為A（5，0），B（1，0），頂點坐標M（3，﹣4），∴AB=5﹣1=4，由翻折，平移的知識可知，BC=AB=4，N（﹣1，4），∴AC=AB+BC=8，S四邊形AMCN=S△ACN+S△ACM=×8×4+×8×4=32．故選：A．【點睛】本題主要考查了軸對稱的性質、二次函數(shù)綜合題，準確計算是解題的關鍵．6．（2022·四川眉山·?？家荒＃┤鐖D，矩形OABC，點A的坐標為，AB＝1．若拋物線與矩形OABC的邊界總有兩個公共點，則實數(shù)c的取值范圍是（

）．A．c＞8或c＜－1 B．－1＜c＜8 C．c＞1或c＜－8 D．－8＜c＜1【答案】D【分析】求得拋物線經(jīng)過點A時的c的值，然后根據(jù)圖象即可求得．【詳解】解：矩形OABC，點A的坐標為（2，0），AB＝1，∴OC＝AB＝1，把A（2，0）代入y＝2x2＋c得，0＝8＋c，解得c＝?8，由圖象可知，?8＜c＜1，故D正確．故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖形與系數(shù)的關系，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，矩形的性質，數(shù)形結合是解題的關鍵．7．（2022秋·福建南平·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，點A在拋物線上運動．過點A作軸于點C，以為對角線作矩形，連接，則對角線的最小值（

）A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【答案】B【分析】由矩形的性質可知，即說明當最小時，最小．再根據(jù)當點A與拋物線頂點重合時最小，即可求解．【詳解】∵四邊形為矩形，∴，∴當最小時，最?。唿cA在拋物線上運動，∴的長為的值．∵，∴當時，最小，最小值為1，∴對角線的最小值為1．故選B．【點睛】本題為二次函數(shù)與幾何的綜合題，考查求二次函數(shù)的頂點坐標，矩形的性質．正確求出拋物線的頂點坐標、掌握矩形的對角線相等是解題的關鍵．8．（2023·陜西西安·?？寄M預測）已知，拋物線L：（a和h都是常數(shù)，且）與x軸的一個交點為，頂點為C．將拋物線L繞點旋轉，點A的對應點為，點C的對應點為．若四邊形面積為8，則m的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)題意畫出大致圖象，結合旋轉的性質可證四邊形為平行四邊形，即得出，即．再求出，結合三角形面積公式求解即可．【詳解】解：∵拋物線L：的頂點坐標為，，∴拋物線開口向上．∵，∴可畫出大致圖象如圖．由旋轉的性質可得出，，∴四邊形為平行四邊形，∴，即．∵，，∴，∴，∴，解得：．故選C．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質，旋轉的性質，平行四邊形的判定和性質．利用數(shù)形結合的思想是解題關鍵．9．（2021·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）如圖，直線與，軸分別交于點，，與直線交于點.，在線段上，動點以每秒1個單位長度的速度從點出發(fā)向點做勻速運動，過點作軸交直線于點，過點作軸交直線于點，軸于點，設運動時間為秒，四邊形的面積為（點，重合除外），在運動過程中，當時，的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【分析】依題意，當點在點的左邊時，設，，表示矩形的面積，令其為求解即可；同理可求，當點在點的右邊時；【詳解】如圖，當點在點的左邊時，可知為矩形；∵，∴，即F的縱坐標為：t；又點F在一次函數(shù)上，∴，∴，∴.當時，；如圖，當點在點的右邊時，∵，，即F的縱坐標為：t；又點F在一次函數(shù)上，∴，∴；.∴解，得或（舍）；故選：C【點睛】本題考查一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質，動點及矩形面積，難點在于分點P、Q的位置討論和二次函數(shù)中已知函數(shù)值求解未知數(shù)x；10．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，四邊形是正方形，點E是線段上的動點，以為邊作正方形，連接，M為的中點，且，則線段的最小值是(

)

A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】取的中點N，連接交于P，正方形的邊長為，利用中位線定理求出，利用四邊形是矩形求出EP，繼而求出，利用二次函數(shù)的頂點式求的最小值，從而得到的最小值．【詳解】解：取的中點N，連接交于P，設正方形的邊長為，即，

∵N是的中點，M為的中點，，∴，，∴又∵四邊形是正方形，∴四邊形是矩形，，，∴∵，∴∴當時，，即故選：B．【點睛】本題考查中位線定理，勾股定理，正方形的性質，矩形的判定與性質，二次函數(shù)的最值等知識，正確畫出圖形是解題的關鍵．二、填空題11．（2023秋·河北承德·九年級統(tǒng)考期末）已知，，拋物線頂點在線段上運動，形狀保持不變，與軸交于，兩點（在的右側），若時，四邊形的形狀為：________，此時點橫坐標的最大值為：________．【答案】平行四邊形【分析】先根據(jù)點的坐標求出，軸，從而得到，再根據(jù)根與系數(shù)關系、頂點坐標，，求得，從而得到，即可得出四邊形為平行四邊形；根據(jù)當頂點在點B時，點橫坐標的取最大值，求出點橫坐標的最大值即可．【詳解】解：點，的坐標分別為和，∴，軸，線段與軸的交點坐標為，∵C、D在x軸上，∴，令，則，，根據(jù)頂點坐標公式，，，即，，∵，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形；當拋物線對稱軸為直線時，點D橫坐標最大，∵，∴此時點D橫坐標為，即此時點橫坐標的最大值為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的頂點坐標，二次函數(shù)的對稱性，根與系數(shù)的關系，平行四邊形的判定，屬二次函數(shù)的綜合題型，熟練掌握相關性質判定定理是解題的關鍵．12．（2023秋·九年級單元測試）如圖，拋物線的頂點為，對稱軸與軸交于點，當以為對角線的正方形的另外兩個頂點、恰好在拋物線上時，我們把這樣的拋物線稱為“美麗拋物線”，正方形為它的內接正方形.（1）當拋物線是“美麗拋物線”時，則________；當拋物線是“美麗拋物線”時，則________；（2）若拋物線是“美麗拋物線”，則，之間的數(shù)量關系為________.【答案】8【分析】（1）根據(jù)拋物線解析式，確定對稱軸以及頂點坐標，再根據(jù)“美麗拋物線”求解即可；（2）根據(jù)拋物線解析式，確定對稱軸以及頂點坐標，再根據(jù)“美麗拋物線”求解即可；【詳解】解：（1）拋物線的頂點坐標為，對稱軸為，則，拋物線是“美麗拋物線”，則四邊形為正方形，則將代入可得：，解得，拋物線的頂點坐標，對稱軸為，則，拋物線是“美麗拋物線”，則四邊形為正方形，則將代入可得：，解得（舍去）或（2）拋物線的頂點坐標，對稱軸為，則，拋物線是“美麗拋物線”，則四邊形為正方形，則將代入可得：，解得（舍去）或故答案為：，，．【點睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象與性質，正方形的性質，解題的關鍵是理解“美麗拋物線”的含義，掌握二次函數(shù)的有關性質．13．（2022秋·湖北黃岡·九年級?？计谥校┒魏瘮?shù)的圖像如圖，點位于坐標原點，點，，，…，在y軸的正半軸上，點，，，…，在二次函數(shù)位于第一象限的圖像上，點，，，…，在二次函數(shù)位于第二象限的圖像上，四邊形，四邊形，四邊形，…，四邊形都是菱形，，菱形的周長為______．【答案】【分析】由于，，，…，都是等邊三角形，因此，可先設出的邊長，然后表示出的坐標，代入拋物線的解析式中即可求得的邊長，用同樣的方法可求得，，…，的邊長，然后根據(jù)各邊長的特點總結出此題的一般化規(guī)律，根據(jù)菱形的性質易求菱形的周長．【詳解】解：∵四邊形四邊形是菱形，，是等邊三角形．，設的邊長為，則；代入拋物線的解析式中得：，解得(舍去)，；的邊長為1，同理可求得的邊長為2，…依此類推，等邊的邊長為n，故菱形的周長為，故答案是：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合．解題時，利用了二次函數(shù)圖像上點的坐標特征，菱形的性質，等邊三角形的判定與性質等知識點．解答此題的難點是推知等邊的邊長為n．14．（2022秋·遼寧葫蘆島·九年級統(tǒng)考期中）如圖所示，四邊形的兩條對角線，相互垂直，，則四邊形的最大面積是___________．【答案】【分析】設，則，而四邊形的面積為S=，根據(jù)二次函數(shù)的性質即可求得面積的最大值．【詳解】解：如圖，設、交于點,設，則，其中,∵∴，∵，∴當時，有最大值．故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質，四邊形的面積，當四邊形的兩條對角線垂直時，其面積與菱形面積一樣，等于兩條對角線乘積的一半，把面積最大值轉化為函數(shù)問題是關鍵．15．（2022秋·浙江溫州·九年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中，正方形的頂點在軸正半軸上，頂點在軸的負半軸上，頂點在第四象限，已知點坐標為，以為頂點的拋物線恰好經(jīng)過點，則的值為______．【答案】【分析】根據(jù)正方形的性質即可得到全等三角形，進而得到線段的長度，最后利用二次函數(shù)的待定系數(shù)法即可求得結果．【詳解】解：過作軸，交軸于；過點做于，；過點作于，∵∴∵正方形∴且∴∵∴∵，∴在和中∴∴≌∴且∵∴∵∴∵且∴四邊形為正方形∴∴∴∴即∴設函數(shù)解析式為∴將代入解析式得到解得：故答案為：【點睛】本題考查了二次函數(shù)與正方形性質的綜合應用，掌握二次函數(shù)的頂點式與正方形性質的綜合應用是解題的關鍵．16．（2022秋·甘肅隴南·九年級?？茧A段練習）拋物線與直線圍成的正方形有公共點，則實數(shù)的取值范圍是___________．【答案】【分析】畫出圖形找出范圍，利用數(shù)形結合的思想解答即可．【詳解】解：由圖可知：，，再根據(jù)拋物線的性質，越大開口越小，把點代入得，把點代入得，則的范圍介于這兩點之間，故．故答案為：．【點睛】此題考查學生的觀察能力，把函數(shù)性質與正方形連接起來，要學會數(shù)形結合．17．（2023·福建寧德·統(tǒng)考模擬預測）已知拋物線的頂點為A，交y軸于點B；拋物線的頂點為C，交y軸于點D．若，且以A，B，C，D四點為頂點的四邊形為矩形，則______．【答案】【分析】根據(jù)拋物線的性質分別求出A，B，C，D四點坐標，結合矩形性質列式求解即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，當時，，當時，，∴，，當時，，當時，，∴，，，∴該四邊形是、作對角線，∵四邊形為矩形，，∴，即：，化簡得：，解得，（不符合題意，舍去），故答案為：．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質，矩形的性質，解題的關鍵是求出A，B，C，D四點坐標，并確定其位置，利用矩形性質列式求解．18．（2023·新疆·模擬預測）如圖，拋物線與交于點，且分別與軸交于點，．過點作軸的平行線，交拋物線于點，．則以下結論：①無論取何值，總是負數(shù)；②拋物線可由拋物線向右平移3個單位，再向下平移3個單位得到；③當時，隨著的增大，的值先增大后減?。虎芩倪呅螢檎叫危渲姓_的是__________．（填寫正確的序號）【答案】①②④【分析】①根據(jù)非負數(shù)的相反數(shù)或者直接由圖像判斷即可；②先求拋物線的解析式，再根據(jù)拋物線的頂點坐標，判斷平移方向和平移距離即可判斷②；③先根據(jù)題意得出時，觀察圖像可知，然后計算，進而根據(jù)一次函數(shù)的性質即可判斷；④分別計算出的坐標，根據(jù)正方形的判定定理進行判斷即可．【詳解】①，，，無論取何值，總是負數(shù)，故①正確；②拋物線與拋物線交于點，，即，解得，拋物線，拋物線的頂點，拋物線的頂點為，將向右平移3個單位，再向下平移3個單位即為，即將拋物線向右平移3個單位，再向下平移3個單位可得到拋物線，故②正確；③，將代入拋物線，解得，，將代入拋物線，解得，，，從圖像可知拋物線的圖像在拋物線圖像的上方，當，隨著的增大，的值減小，故③不正確；④設與軸交于點，，，由③可知，，，，當時，，即，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是正方形，故④正確，綜上所述，正確的有①②④，故答案為：①②④．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖像與性質，一次函數(shù)的性質，平移，正方形的判定定理，解題的關鍵是綜合運用以上知識．三、解答題19．（2023·寧夏銀川·?？级＃┤鐖D，拋物線與軸交于，兩點，過點的直線交拋物線于點．

(1)求拋物線的解析式．(2)點是線段上一個動點，過點作軸的垂線交拋物線于點，求線段最大時點的坐標．(3)點是拋物線上的動點，在軸的正半軸上是否存在點，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)或或【分析】（1）將點A和點B的坐標代入即可求出結論；（2）先利用拋物線解析式求出點C的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，設點P的坐標為，點E的坐標為且，從而求出與x的函數(shù)解析式，然后利用二次函數(shù)求最值即可；（3）設點D的坐標為，點F的坐標為，根據(jù)平行四邊形的對角線分類討論，然后根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分和中點公式列出方程，即可分別求解．【詳解】（1）將，兩點坐標分別代入拋物線解析式中，得，，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）將點代入拋物線解析式中，得，，∴點C的坐標為，設直線的解析式為，將和點的坐標分別代入，得，，解得：，∴直線的解析式為，設點P的坐標為，點E的坐標為且，∴，，，∵，∴拋物線的開口向下，∴當時，PE有最大值，最大值為，此時點P的坐標為；（3）存在，設點D的坐標為，點F的坐標為，若和為平行四邊形的對角線時，∴的中點即為的中點，∴，解②，得，，將代入①，解得：；將代入①，解得：；∴此時點D的坐標為或；若和為平行四邊形的對角線時，∴的中點即為的中點，∴，解②，得，（此時點F和點C重合，故舍去），將代入①，解得：；∴此時點D的坐標為；若和為平行四邊形的對角線時，∴的中點即為的中點，∴，解②，得，（此時點F和點C重合，故舍去），將代入①，解得：，∵點在軸的正半軸上，故舍去；綜上：存在，此時點D的坐標為或或．

【點睛】此題考查的是二次函數(shù)與幾何圖形的綜合大題，掌握利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式、利用二次函數(shù)求最值和平行四邊形的性質是解題關鍵．20．（2023·江蘇連云港·連云港市新海實驗中學校考三模）如圖1，平面直角坐標系中，拋物線與x軸分別交于點和點，與y軸交于點C，P為拋物線上一動點．

(1)寫出拋物線的對稱軸為直線______，拋物線的解析式為______；(2)如圖2，連結，若P在上方，作軸交于Q，把上述拋物線沿射線的方向向下平移，平移的距離為h，在平移過程中，該拋物線與直線始終有交點，求h的最大值；(3)若P在上方，設直線，與拋物線的對稱軸分別相交于點F，E，請?zhí)剿饕訟，F(xiàn)，B，G（G是點E關于x軸的對稱點）為頂點的四邊形面積是否隨著P點的運動而發(fā)生變化，若不變，求出這個四邊形的面積；若變化，說明理由．(4)設M為拋物線對稱軸上一動點，當P，M運動時，在坐標軸上是否存在點N，使四邊形為矩形？若存在，直接寫出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)h的最大值為(3)不變，這個四邊形的面積為16(4)存在，點P的橫坐標為，【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸的交點坐標即可求得對稱軸，再利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）利用待定系數(shù)法求直線的解析式，設平移后函數(shù)解析式為：，建立方程組可得，再根據(jù)拋物線與直線始終有交點，可得，再進行計算即可；（3）分別求出直線、的解析式，再令，分別求得點F、E、G的坐標，從而求得、的值，即可求得四邊形的面積；（4）分兩種情況，點N在y軸上，點N在x軸上，分別進行求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸分別交于點和點，∴拋物線對稱軸為：，把點和點代入得：，解得，∴二次函數(shù)解析式為：，故答案為：，；（2）解；∵拋物線，∴，設直線的解析式為；，把點和點代入得：，解得：，∴一次函數(shù)解析式為：，設平移后函數(shù)解析式為：，建立方程組得：，∵拋物線與直線始終有交點，∴，∴，∴h的最大值為：；（3）解：如圖，設，設直線的解析式為：，∵，∴，解得：，∴直線的解析式為：，當時，，∴，設直線的解析式為：，∵，∴，解得：，∴直線的解析式為：，當時，，∴，∵G是點E關于x軸的對稱點，∴，∵，，∴；

（4）解：存在，理由如下：如圖1，當點N在y軸上時，四邊形是矩形，此時點P的橫坐標為：，

如圖2，當四邊形是矩形時，設，，則，由題意得：，得，解得：，綜上所述，點P的橫坐標為：，．【點睛】本題考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)與x軸的交點坐標與對稱軸的關系、二次函數(shù)與一元二次方程、一次函數(shù)與二元一次方程組、解二元一次方程，熟練掌握相關知識，運用分類討論的思想，利用參數(shù)構建方程是解題的關鍵．21．（2023·陜西西安·?？级＃┮阎獟佄锞€經(jīng)過點，，頂點為．(1)求拋物線的表達式及頂點的坐標；(2)將拋物線平移得到拋物線，點的對應點為，點的對應點為，點的對應點為，當以、、、為頂點的四邊形是面積為20的菱形，且點在軸右側時，求平移后得到的拋物線的表達式．【答案】(1)，頂點的坐標為(2)或．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）由（1）得的表達式為，證得在直線或上，拋物線向上或向下平移4個單位，得到拋物線,分兩種情況求解即可．【詳解】（1）解：把代入得，，解得，∴拋物線的表達式為；，∴頂點的坐標為（2）解：由（1）得的表達式為，∵拋物線平移得到拋物線，其中點平移后的對應點記為，點平移后的對應的點記為，∴，，∵以、、、為頂點的四邊形為面積為的菱形，∴，解得，∴在直線或上，拋物線向上或向下平移個單位，得到拋物線,分兩種情況，當拋物線向上平移個單位，得到,可設拋物線為：，當時，，解得，，∴點，，則由得，解得，，，∴平移后的表達式為，

當拋物線向下平移4個單位，得到,可設拋物線為：，當時，，解得，，∴點，，則由得，解得，，，∴平移后的表達式為，，

綜上所述，平移后得到的拋物線的表達式為或或或．∵在軸右側，∴或．【點睛】此題是二次函數(shù)幾何綜合題，考查了待定系數(shù)法、二次函數(shù)的平移、菱形的性質等知識，熟練掌握二次函數(shù)的平移是解題的關鍵．22．（2023秋·廣東惠州·九年級統(tǒng)考期末）如下圖，已知拋物線的頂點坐標為，且與軸交于點，與軸交于兩點（點在點的右側），點是拋物線上的一動點，從點沿拋物線向點運動（點與不重合），過點作軸，交于點．

(1)求該拋物線的函數(shù)關系式及點的坐標；(2)求點在運動的過程中，線段的最大值；(3)若點與點重合，點在軸上，點在拋物線上，當以為頂點的四邊形為平行四邊形時，直接寫出點的坐標．【答案】(1)，點的坐標為(2)(3)或【分析】（1）由拋物線的頂點坐標，可得出拋物線的頂點式，代入點的坐標可求出的值，進而可得出拋物線的函數(shù)關系式，再利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點，的坐標；（2）由點，的坐標，利用待定系數(shù)法可求出直線的函數(shù)關系式，設點的坐標為，，則點的坐標為，進而可得出，再利用二次函數(shù)的性質即可解決最值問題；（3）分兩種情況考慮：①以為邊構造平行四邊形，平移直線交軸于點，交拋物線于點，由點的坐標可設點的坐標為，利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出的值，進而可得出點的坐標；②以為對角線進行構造平行四邊形，由點，的縱坐標為0，可得出點的縱坐標為，此時點，重合，進而可得出不存在這種情況，舍去．綜上，此題得解．【詳解】（1）解：拋物線的頂點為，拋物線的函數(shù)關系式為，將代入，得：，解得：，拋物線的函數(shù)關系式為，即．當時，有，即，解得：，，又拋物線與軸交于，兩點（點在點的右側），點的坐標為．（2）解：設直線的函數(shù)關系式為，將，代入，得：，解得：，直線的函數(shù)關系式為．設點的坐標為，，則點的坐標為，，，當時，取得最大值，最大值為．（3）解：分兩種情況考慮：①以為邊構造平行四邊形，平移直線交