10.2二元一次方程組-2020-2021學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)課堂幫幫幫（蘇科版）

二元一次方程組知識(shí)點(diǎn)一、二元一次方程組的概念1. 二元一次方程組：把具有相同未知數(shù)的兩個(gè)二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組；2. 二元一次方程組應(yīng)同時(shí)滿足的條件：（1）方程組中每個(gè)方程都是整式方程；（2）方程組中一共含有兩個(gè)未知數(shù)；（3）方程組中含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1.3. 二元一次方程組一共含有兩個(gè)未知數(shù)，而不是每個(gè)方程都必須含有兩個(gè)未知數(shù)，如也是二元一次方程組；一個(gè)方程組中的每個(gè)方程應(yīng)該含有相同的未知數(shù)，如不是二元一次方程組.例：已知方程組3x-(m-3)【分析】根據(jù)二元一次方程組的定義得到|m﹣2|﹣2＝1，且m﹣3≠0、m+1≠0．由此可以求得m的值．【解答】解：依題意，得|m﹣2|﹣2＝1，且m﹣3≠0、m+1≠0，解得m＝5．故m的值是5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的定義．二元一次方程組也滿足三個(gè)條件：①方程組中的兩個(gè)方程都是整式方程．②方程組中共含有兩個(gè)未知數(shù)．③每個(gè)方程都是一次方程．知識(shí)點(diǎn)二、二元一次方程組的解1. 二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解；2. 判斷一對(duì)數(shù)值是否為二元一次方程組的解 檢驗(yàn)一對(duì)數(shù)值是否為二元一次方程組的解，必須將這對(duì)數(shù)值代入方程組中的每一個(gè)方程進(jìn)行檢驗(yàn)，若滿足每一個(gè)方程，則這對(duì)數(shù)值就是這個(gè)方程組的解；若不滿足其中的任何一個(gè)方程，則這對(duì)數(shù)值就不是這個(gè)方程組的解；3. 一般地，二元一次方程組的解只有一個(gè)，但也有特殊情況，如方程組無解，而方程組的解有無數(shù)個(gè).例：已知方程組2x-y=-3ax+5y=4與x【分析】根據(jù)題意得出方程組2x-y=-3x-y=3，進(jìn)而得出x，y【解答】解：將第一個(gè)方程組中的第一個(gè)方程和第二個(gè)方程組中的第一個(gè)方程聯(lián)立，組成新的方程組2x-解這個(gè)方程組，得，x=-將x=-6y=-9代入第一個(gè)方程組中的第二個(gè)方程和第二個(gè)方程組中的第二個(gè)方程，得，﹣6a﹣45＝4，﹣30﹣9b解得，a=-496，【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二元一次方程的解，根據(jù)題意得出兩方程的同解方程是解題關(guān)鍵．鞏固練習(xí)一．選擇題（共12小題）1．某中學(xué)組織全區(qū)優(yōu)秀九年級(jí)畢業(yè)生參加學(xué)校冬令營，一共有x名學(xué)生，分成y個(gè)學(xué)習(xí)小組．若每組10人，則還差5人；若每組9人，還余下3人．若求冬令營學(xué)生的人數(shù)，所列的方程組為（）A．10x=y+59x=y-3 B．10y=xC．10y=x+59y=x-3 D．【分析】相應(yīng)的關(guān)系式為：10×組數(shù)+5＝實(shí)際人數(shù)；9×組數(shù)﹣3＝實(shí)際人數(shù)，即可列出方程．【解答】解：每組10人時(shí)，實(shí)際人數(shù)可表示為10y﹣5；每組9人時(shí)，實(shí)際人數(shù)可表示為9y+3；可列方程組為：10y=x+59y=x-3故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找到兩種分組方法得到的總?cè)藬?shù)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．2．某玩具車間每天能生產(chǎn)甲種玩具零件100個(gè)或乙種玩具零件200個(gè)，甲種玩具零件1個(gè)與乙種玩具零件2個(gè)能組成一個(gè)完整的玩具，怎樣安排生產(chǎn)才能在30天內(nèi)組裝出最多的玩具？設(shè)生產(chǎn)甲種玩具零件x天，生產(chǎn)乙種玩具零件y天，則有（）A．x+y=302×200x=100y B．x+y=30C．x+y=30200x=100y D．【分析】根據(jù)某玩具車間每天能生產(chǎn)甲種玩具零件100個(gè)或乙種玩具零件200個(gè)，甲種玩具零件1個(gè)與乙種玩具零件2個(gè)能組成一個(gè)完整的玩具，可以列出相應(yīng)的二元一次方程組，從而可以解答本題．【解答】解：由題意可得，x+y=302×100x=200y故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組．3．為了表彰品學(xué)兼優(yōu)的育才學(xué)子，黃老師用280元買了甲、乙兩種圖書，甲圖書每本40元，乙圖書每本60元，且乙圖書比甲圖書少買了2本，黃老師買甲、乙兩種圖書各多少本？設(shè)黃老師買了甲圖書x本，乙圖書y本，則可列方程組為（）A．40x+60y=280x=y+2 B．40y+60x=280C．40x+60y=280x=y-2 D．【分析】根據(jù)購買兩種圖書共用了280元且乙圖書比甲圖書少買了2本，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．【解答】解：依題意得：40x+60y=280x=y+2故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．4．某商店出售兩種規(guī)格口罩，2大盒、4小盒共裝80個(gè)口罩；3大盒、5小盒共裝110個(gè)口罩，大盒與小盒每盒各裝多少個(gè)口罩？設(shè)大盒裝x個(gè)，小盒裝y個(gè)，則下列方程組中正確的是（）A．2x+3y=805x+3y=110 B．2x+4y=80C．2x+4y=803x+5y=110 D．【分析】根據(jù)“2大盒、4小盒共裝80個(gè)口罩；3大盒、5小盒共裝110個(gè)口罩”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．【解答】解：依題意得：2x+4y=803x+5y=110故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．5．下列屬于二元一次方程組的是（）A．x+y2=1y=xC．x3+y2【分析】根據(jù)二元一次方程組的定義求解即可．【解答】解：A、其中一個(gè)方程是二元二次方程，故不是二元一次方程組，故不符合題意；B、有三個(gè)未知數(shù)，故不是二元一次方程組，故不符合題意；C、其中一個(gè)方程是二元二次方程，故不是二元一次方程組，故不符合題意；D、是二元一次方程組，故符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二元一次方程的定義．一定要緊扣二元一次方程組的定義“由兩個(gè)二元一次方程組成的方程組”，細(xì)心觀察排除，得出正確答案6．用一根繩子環(huán)繞一棵大樹，若環(huán)繞大樹3周，則繩子還多5尺；若環(huán)繞大樹4周，則繩子又少了2尺，這根繩子有多長？環(huán)繞大樹一周需要多少尺？設(shè)繩子有x尺，環(huán)繞大樹一周需要y尺，所列方程組中正確的是（）A．3x-5=y4x+2=y BC．3y-5=x4y+2=x 【分析】根據(jù)“若環(huán)繞大樹3周，則繩子還多5尺；若環(huán)繞大樹4周，則繩子又少了2尺”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．【解答】解：依題意得：3y+5=x4y-2=x故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．7．一工坊用鐵皮制作糖果盒，每張鐵皮可制作盒身20個(gè)，或制作盒底30個(gè)，一個(gè)盒身與兩個(gè)盒底配成一套糖果盒．現(xiàn)有35張鐵皮，設(shè)用x張制作盒身，y張制作盒底，恰好配套制成糖果盒．則下列方程組中符合題意的是（）A．x+y=35y=2x B．x+y=35C．x+y=3520x=30y2 【分析】根據(jù)題意可知，本題中的相等關(guān)系是：（1）盒身的個(gè)數(shù)×2＝盒底的個(gè)數(shù)；（2）制作盒身的鐵皮張數(shù)+制作盒底的鐵皮張數(shù)＝35，再列出方程組即可．【解答】解：設(shè)用x張制作盒身，y張制作盒底，恰好配套制成糖果盒，根據(jù)題意可列方程組：x+y=3520x=故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查從實(shí)際問題中抽出二元一次方程組，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系注意運(yùn)用本題中隱含的一個(gè)相等關(guān)系：“一個(gè)盒身與兩個(gè)盒底配成一套盒”．8．已知關(guān)于x，y的方程組4x+3y=11ax+by=-2和3x-5y=1bx-ay=6的解相同，則（a+A．0 B．﹣1 C．1 D．2021【分析】聯(lián)立不含a與b的方程組成方程組，求出方程組的解得到x與y的值，進(jìn)而求出a與b的值，即可求出所求．【解答】解：聯(lián)立得：4x+3y=11①①×5+②×3得：29x＝58，解得：x＝2，把x＝2代入①得：y＝1，代入得：2a+b=-解得：a=-則原式＝（﹣2+2）2021＝0．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二元一次方程組的解，以及解二元一次方程組，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數(shù)的值．9．已知x=2y=-1是關(guān)于x，y的二元一次方程組ax+by=-52bx-ay=2的解，則A．﹣5 B．﹣1 C．3 D．7【分析】將x與y的值代入原方程組即可求出答案．【解答】解：將x=2y=-1代入方程組ax+by=得2a-①+②，得3a+3b＝﹣3，即3（a+b）＝﹣3，所以a+b＝﹣1．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二元一次方程組的解，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二元一次方程組的解的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．10．某船順?biāo)叫?5千米需要3小時(shí)，逆水航行65千米需要5小時(shí)，若設(shè)船在靜水中的速度為x千米時(shí)，水流速度為y千米時(shí)，則根據(jù)題意，可列方程組（）A．3(x+y)=455(x-y)=65 B．3(xC．3(y+x)=455(y-x)=65 D．【分析】根據(jù)：順?biāo)叫兴俣龋酱陟o水中航行速度+水流速度、逆水航行速度＝船在靜水中航行速度﹣水流速度及路程公式可得方程組．【解答】解：設(shè)船在靜水中的速度為x千米時(shí)，水流速度為y千米時(shí)，根據(jù)題意，可列方程組3(x+y)=455(x-y)=65故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是理解題意，找到題目蘊(yùn)含的相等關(guān)系．11．若關(guān)于x，y的二元一次方程組x+2y=5k+1x-y=2k-5的解滿足x+y＝7，則kA．1 B．2 C．3 D．4【分析】把k看做已知數(shù)表示出方程組的解，代入x+y＝7求出k的值即可．【解答】解：x+2y=5k+1①①﹣②得：3y＝3k+6，即y＝k+2，把y＝k+2代入②得：x＝3k﹣3，代入x+y＝7得：3k﹣3+k+2＝7，解得：k＝2，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二元一次方程組的解，以及二元一次方程的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數(shù)的值．12．古代《折繩測(cè)井》“以繩測(cè)井，若將繩三折測(cè)之，繩多四尺；若將繩四折測(cè)之，繩多一尺，繩長、井深各幾何？“譯文大致是：“用繩子測(cè)水井深度，如果將繩子折成三等分，井外余繩4尺；如果將繩子折成四等分，井外余繩1尺，問繩長、井深各是多少尺？“如果設(shè)繩長x尺，井深y尺，根據(jù)題意列方程組正確的是（）A．13x=y+414x=y+1C．13x+4=y14【分析】用代數(shù)式表示井深即可得方程．此題中的等量關(guān)系有：①將繩三折測(cè)之，繩多四尺；②繩四折測(cè)之，繩多一尺．【解答】解：設(shè)繩長x尺，井深y尺，根據(jù)題意列方程組正確的是13故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組．二．填空題（共8小題）13．編寫一個(gè)二元一次方程組，它的解為x=1y=2，則此方程組為x+y=3x-y=-1【分析】由1與2列出兩個(gè)算式，即可確定出所求方程組．【解答】解：根據(jù)題意得：x+y=3x-y=-1故答案為：x+y=3x-y=-1【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值．14．小明和小麗同時(shí)到一家水果店買水果．小明買1kg蘋果和2kg雪梨，共花了33元；小麗買2kg蘋果和1kg雪梨，共花了36元，設(shè)蘋果每千克x元，雪梨每千克y元，請(qǐng)根據(jù)題意，列出方程組：x+2y=332x+y=36【分析】設(shè)蘋果每千克x元，雪梨每千克y元，根據(jù)關(guān)鍵語句“買1kg蘋果和2kg雪梨，共花了33元；小麗買2kg蘋果和1kg雪梨，共花了36元”列出方程即可．【解答】解：設(shè)蘋果每千克x元，雪梨每千克y元，根據(jù)題意得：x+2y=332x+y=36故答案為：x+2y=332x+y=36【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系．15．已知關(guān)于x、y的方程組x+2y=4m2x+y=2m-3的解滿足x+y＝2，則m＝32【分析】方程組中的兩個(gè)方程相加，即可求出3（x+y）＝6m﹣3，根據(jù)題意得出2m﹣1＝2，解關(guān)于m的方程即可．【解答】解：兩式相加，得3（x+y）＝6m﹣3，∴x+y＝2m﹣1，∵x+y＝2，∴2m﹣1＝2，解得：m=3故答案為：32【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二元一次方程組的解及解一元一次方程，能夠用含m的式子表示出x+y是解決此題的關(guān)鍵．16．已知方程組3x+2y=k+12x+3y=k的解x，y滿足x+y＝2，則k的值為92【分析】把兩方程相加，利用整體代入的方法得到2k+15=2，然后解關(guān)于【解答】解：3x+2y=k+1①①+②得5x+5y＝2k+1，即x+y=2k+1∵x+y＝2，∴2k+15=2，解得k故答案為92【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的解：二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解．17．已知：非負(fù)數(shù)x、y．z滿足3-x2=y+23=z+54，W＝3x﹣2y+z，則W的最大值為﹣【分析】首先設(shè)3-x2=y+23=z+54=k，求得x＝﹣2k+3，y＝3k﹣2，z＝4k﹣5，又由x，【解答】解：設(shè)3-x2=y+23=z+54=k，則x＝﹣2k+3，y＝3k﹣2∵x，y，z均為非負(fù)實(shí)數(shù)，∴-2k+3解得54于是W＝3x﹣2y+z＝3（﹣2k+3）﹣2（3k﹣2）+（4k﹣5）＝﹣8k+8，∴﹣8×32+8≤﹣8k+8≤﹣8即﹣4≤W≤﹣2．∴W的最大值是﹣2，最小值是﹣4．故答案為：﹣2；﹣4．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了最值問題．解此題的關(guān)鍵是設(shè)比例式：3-x2=y+2318．已知方程組x+y=3ax+y=4和x-2y=6x+by=1有相同的解，則a的值為【分析】因?yàn)榉匠探M有相同的解，所以只需求出一組解代入另一組，即可求出未知數(shù)的值．【解答】解：解方程組x+y=3x-2y=6解得x=4y=-1代入ax+y＝4得，4a﹣1＝4，解答a=5故答案為：54【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二元一次方程的解及二元一次方程組的解法，正確理解題意，然后根據(jù)題意得到關(guān)于待定系數(shù)的方程組，解方程組是解答此題的關(guān)鍵．19．若方程組x+y=42x-y=-1的解也是2x﹣ay＝14的解，則a＝﹣4【分析】求出方程組的解，把方程組的解代入方程，即可求出a．【解答】解：x+y=4①∵①+②得：3x＝3，解得：x＝1，把x＝1代入①得：y＝3，∴方程組的解為：x=1y=3∵方程組的解是方程2x﹣ay＝14的解，∴代入得：2﹣3a＝14，解得：a＝﹣4，故答案為：﹣4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次方程和解二元一次方程組的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力．20．某商店準(zhǔn)備用每千克19元的A糖果和每千克10元的B糖果混合成什錦糖果出售，混合后糖果的價(jià)格是每千克16元．現(xiàn)在要配制這種什錦糖果150千克，需要兩種糖果各多少千克？設(shè)A糖果x千克，B糖果y千克，根據(jù)題意可列二元一次方程組：x+y=15019x+10y=16×150【分析】設(shè)需要每千克19元的糖果x千克，每千克10元糖果y千克，根據(jù)題意可得：糖果150千克；混合后糖果的價(jià)格是每千克16元；據(jù)此列方程組解答即可．【解答】解：設(shè)需要每千克19元的糖果x千克，每千克10元糖果y千克，根據(jù)題意可得：x+y=15019x+10y=16×150故答案為：x+y=15019x+10y=16×150【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程組．三．解答題（共8小題）21．已知非負(fù)數(shù)x、y滿足x-24=3-y3=k，設(shè)L＝3（1）求k的取值范圍；（2）求L的最大值和最小值．【分析】（1）用含有k的代數(shù)式表示出x，y，再根據(jù)x、y是非負(fù)數(shù)列不等式求解即可；（2）把含有k的代數(shù)式表示出L，再根據(jù)k法取值范圍求解即可．【解答】解：（1）∵x-24∴x-24=k，∴x＝4k+2，y＝3﹣3k，又∵x≥0，y≥0，∴4k-∴-1（2）把x＝4k+2，y＝3﹣3k代入L＝3x﹣2y得：L＝12k+6﹣6+6k＝18k，由（1）知-1∴當(dāng)k=-12時(shí)，L的最小值＝18×（-當(dāng)k＝1時(shí)，L的最大值＝18×1＝18，∴L的最大值為18，最小值為﹣9．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二元一次方程組的解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．22．已知m滿足x+2y-m=02x+y+1+2m=0，且滿足|x+y﹣2020|＝﹣|2020﹣x﹣y|【分析】根據(jù)已知等式求出x+y的值，原方程①+②后，再兩邊同除3，得到用m表示x+y的式子，求出m的值．【解答】解：∵|x+y﹣2020|＝﹣|2020﹣x﹣y|，∴x+y-即x+y＝2020，x+2y-（①+②）÷3得，x+y=-∴-m+1解得m＝﹣6061．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二元一次方程組的解法和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用絕對(duì)值的性質(zhì)求出x+y的值是解題的關(guān)鍵，解方程組時(shí)，根據(jù)方程組的特點(diǎn)，運(yùn)用整體思想解答比較簡單．23．已知關(guān)于x，y的方程組3x+2y=16k5x-4y=-10k的解也滿足方程4x﹣3y＝21，求k【分析】先求出方程組的解，代入4x﹣3y＝21，即可求出k的值．【解答】解：3x+2y=16k①①×2+②得：11x＝22k，解得：x＝2k，把x＝2k代入①得：6k+2y＝16k，解得：y＝5k，∵4x﹣3y＝21，∴8k﹣15k＝21，解得：k＝﹣3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解二元一次方程組和解一元二次方程，能得出關(guān)于k的一元一次方程是解此題的關(guān)鍵．24．已知方程組2x-y=4m+32y-x=-3的解x、y【分析】方程組兩方程相加表示出x+y，由x與y互為相反數(shù)得到x+y＝0，代入計(jì)算即可求出m的值．【解答】解：2x-①+②得：x+y＝4m，由x與y互為相反數(shù)，得到x+y＝0，代入得：4m＝0，解得：m＝0．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數(shù)的值．25．甲、乙兩人同時(shí)解方程組mx+y=5①2x-ny=13②甲解題看錯(cuò)了①中的m，解得x=72y=-2，乙解題時(shí)看錯(cuò)②【分析】把甲的解代入②中求出n的值，把乙的解代入①中求出m的值；把m與n的值代入方程組求出解即可．【解答】解：（1）把x=72y=-2代入②得：7+2n解得：n＝3，把x=3y=-7代入①得：3m﹣7＝5解得：m＝4；把m＝4，n＝3代入方程組得：4x+y=5①①×3+②得：14x＝28，即x＝2，把x＝2代入①得：y＝﹣3，則方程組的解為x=2y=-3【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值．26．小明和小華同時(shí)解方程組mx+y=52x-ny=13，小明看錯(cuò)了m，解得x=72y=-2，小華看錯(cuò)了【分析】根據(jù)二元一次方程組的解的定義把x=72，y＝﹣2代入2x﹣ny＝13可求出n＝3，把x＝3，y＝﹣7代入mx+y＝13可求出m＝【解答】解：把x=72，y＝﹣2代入2x﹣ny＝13得7+2n＝13，解得n＝把x＝3，y＝﹣7代入mx+y＝5得3m﹣7＝5，解得m＝4，所以原方程組為4x+y=52x-3y=13，解得x=2【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解．27．已知方程組4x-3y=19ax-by=-6和bx-