壓軸題04圓的綜合(原卷版+解析)

圓的綜合圓的綜合問題在中考中常常以選擇題以及解答題的形式出現(xiàn)，解答題居多且分值較大，難度較高．多考查切線的性質(zhì)與判定、圓中求線段長(zhǎng)度問題和圓中最值問題，一般會(huì)用到特殊三角形、特殊四邊形、相似三角形、銳角三角函數(shù)、勾股定理、圖形變換等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，以及數(shù)形結(jié)合、整體代入等數(shù)學(xué)思想.此類題型常涉及以下問題：①切線的判定；②計(jì)算線段長(zhǎng)及證明線段比例關(guān)系；③求三角函數(shù)值；④利用“輔助圓”求最值.右圖為圓的綜合問題中各題型的考查熱度.題型1：切線的判定解題模板：1.（2022?阜新）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC邊上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB相交于點(diǎn)D，連接CD，且CD＝AC．求證：CD是⊙O的切線；【變式1-1】（2022?鄂爾多斯）如圖，以AB為直徑的⊙O與△ABC的邊BC相切于點(diǎn)B，且與AC邊交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，連接DE、BD．求證：DE是⊙O的切線；【變式1-2】（2022?荊門）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在直徑AB上（點(diǎn)C與A，B兩點(diǎn)不重合），OC＝3，點(diǎn)D在⊙O上且滿足AC＝AD，連接DC并延長(zhǎng)到E點(diǎn)，使BE＝BD．（1）求證：BE是⊙O的切線；題型2：圓中求線段長(zhǎng)度解題模板：2.（2022?西寧）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在AB上，以BD為直徑的⊙O與AC相切于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接DF，OE交于點(diǎn)M．（1）求證：四邊形EMFC是矩形；（2）若AE＝，⊙O的半徑為2，求FM的長(zhǎng)．【變式2-1】（2022?盤錦）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)A，點(diǎn)B在⊙O上，邊DA的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E，對(duì)角線DB的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)F，連接EF并延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使∠FBG＝∠FAB．（1）求證：BG與⊙O相切；（2）若⊙O的半徑為1，求AF的長(zhǎng)．【變式2-2】（2022?聊城）如圖，點(diǎn)O是△ABC的邊AC上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作⊙O，與BC相切于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)D，連接OE，連接OD并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∠AOD＝∠EOD．（1）連接AF，求證：AF是⊙O的切線；（2）若FC＝10，AC＝6，求FD的長(zhǎng)．題型3：圓中的最值問題解題模板：技巧精講：輔助圓模型3.（碑林區(qū)校級(jí)模擬）問題提出：（1）如圖①，半圓O的直徑AB＝10，點(diǎn)P是半圓O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△PAB的面積最大值是．問題探究：（2）如圖②，在邊長(zhǎng)為10的正方形ABCD中，點(diǎn)G是BC邊的中點(diǎn)，E、F分別是AD和CD邊上的點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄坎⑶蟪鏊倪呅蜝EFG的周長(zhǎng)的最小值．問題解決：（3）如圖③，四邊形ABCD中，AB＝AD＝6，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，四邊形ABCD的周長(zhǎng)是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式3-1】（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）【問題情境】如圖①，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，求證：A、B、C、D四點(diǎn)共圓．小吉同學(xué)的作法如下：連結(jié)AC，取AC的中點(diǎn)O，連結(jié)OB、OD，請(qǐng)你幫助小吉補(bǔ)全余下的證明過程；【問題解決】如圖②，在正方形ABCD中，AB＝2，點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AE，AF，作EP⊥AF于點(diǎn)P．（1）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P恰好落在正方形ABCD對(duì)角線BD上時(shí)，線段AP的長(zhǎng)度為；（2）如圖③，過點(diǎn)P分別作PM⊥AB于點(diǎn)M，PN⊥BC于點(diǎn)N，連結(jié)MN，則MN的最小值為．【變式3-2】（2020秋?盱眙縣期末）如圖，△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，過點(diǎn)C任作一條直線CD，將線段BC沿直線CD翻折得線段CE，直線AE交直線CD于點(diǎn)F．（1）小智同學(xué)通過思考推得當(dāng)點(diǎn)E在AB上方時(shí)，∠AEB的角度是不變的，請(qǐng)按小智的思路幫助小智完成以下推理過程：∵AC＝BC＝EC，∴A、B、E三點(diǎn)在以C為圓心以AC為半徑的圓上．∴∠AEB＝∠ACB＝°．（2）若BE＝2，求CF的長(zhǎng)．（3）線段AE最大值為；若取BC的中點(diǎn)M，則線段MF的最小值為．4.如圖（1），在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，D、E分別是AB，AC的中點(diǎn)．若等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到等腰Rt△AD1E1，如圖（2），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a（0°＜a≤180°），記直線BD1與CE1的交點(diǎn)為P．（1）求證：BD1＝CE1；（2）當(dāng)∠CPD1＝2∠CAD1時(shí)，則旋轉(zhuǎn)角為a＝（直接寫結(jié)果）（3）連接PA，△PAB面積的最大值為（直接寫結(jié)果）【變式4-1】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點(diǎn)F在邊AC上，并且CF＝2，點(diǎn)E為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，將△FCE沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，求點(diǎn)P到邊AB距離的最小值．【變式4-2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M在x軸負(fù)半軸上，⊙M與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在y軸正半軸上），且，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)P為優(yōu)弧CAD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CP，過點(diǎn)M作ME⊥CP于點(diǎn)E，交BP于點(diǎn)N，連結(jié)AN．（1）求⊙M的半徑長(zhǎng)；（2）當(dāng)BP平分∠ABC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段AN的最小值．5.問題發(fā)現(xiàn)（1）如圖1，在△ABC中，AB＝2，∠C＝60°，試猜想△ABC面積的最大值為；問題探究（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB∥DC，∠A＝90°，AB＝BC，∠C＝120°，連接BD，求cos∠ADB的值；問題解決（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，DC＝2AD，AB＝10，C為AB為直徑的半圓上一點(diǎn)，O為圓心，請(qǐng)問四邊形ABCD的面積是否存在最大值？若存在，求這個(gè)最大值；若不存在，試說明理由．【變式5-1】問題提出：如圖1：在△ABC中，BC＝10且∠BAC＝45°，點(diǎn)O為△ABC的外心，則△ABC的外接圓半徑是．問題探究：如圖2，正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD兩邊上點(diǎn)且∠EAF＝45°，請(qǐng)問線段BE、DF、EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．問題解決：如圖3，四邊形ABCD中，AB＝AD＝4，∠B＝45°，∠D＝135°，點(diǎn)E、F分別是射線CB、CD上的動(dòng)點(diǎn)，并且∠EAF＝∠C＝60°，試問△AEF的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值．若不存在，請(qǐng)說明理由．1.（2022?東營(yíng)）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，BD⊥CE于點(diǎn)D，BC平分∠ABD．（1）求證：直線CE是⊙O的切線；（2）若∠ABC＝30°，⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．2．（2022?錦州）如圖，在⊙O中，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)E在⊙O上，D為的中點(diǎn)，連接AE，BD并延長(zhǎng)交于點(diǎn)C．連接OD，在OD的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F，連接BF，使∠CBF＝∠BAC．（1）求證：BF為⊙O的切線；（2）若AE＝4，OF＝，求⊙O的半徑．3．（2022?鞍山）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)E為⊙O上一點(diǎn)，EF∥AC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，CE與AB交于點(diǎn)D，連接BE，若∠BCE＝∠ABC．（1）求證：EF是⊙O的切線．（2）若BF＝2，sin∠BEC＝，求⊙O的半徑．4．（2022?菏澤）如圖，在△ABC中，以AB為直徑作⊙O交AC、BC于點(diǎn)D、E，且D是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)G，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．（1）求證：直線HG是⊙O的切線；（2）若HA＝3，cosB＝，求CG的長(zhǎng)．5．（2022?棗莊）如圖，在半徑為10cm的⊙O中，AB是⊙O的直徑，CD是過⊙O上一點(diǎn)C的直線，且AD⊥DC于點(diǎn)D，AC平分∠BAD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，OE＝6cm．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）求AD的長(zhǎng)．6．（2022?蘭州）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，OD⊥OC，連接AD，∠ADO＝∠BOC，AC與OD相交于點(diǎn)E．（1）求證：AD是⊙O的切線；（2）若tan∠OAC＝，AD＝，求⊙O的半徑．7．（2022?郴州）如圖，在△ABC中，AB＝AC．以AB為直徑的⊙O與線段BC交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，ED的延長(zhǎng)線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P．（1）求證：直線PE是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為6，∠P＝30°，求CE的長(zhǎng)．8．（2022?遼寧）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AC是⊙O的直徑，過OA上的點(diǎn)P作PD⊥AC，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，連接BF．（1）求證：BF與⊙O相切；（2）若AP＝OP，cosA＝，AP＝4，求BF的長(zhǎng)．9．（2022秋?黃埔區(qū)期末）如圖1，⊙O為△ABC的外接圓，半徑為6，AB＝AC，∠BAC＝120°，點(diǎn)D為優(yōu)弧上異于B、C的一動(dòng)點(diǎn)，連接DA、DB、DC．（1）求證：AD平分∠BDC；（2）如圖2，CM平分∠BCD，且與AD交于M．花花同學(xué)認(rèn)為：無論點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到哪里，始終有AM＝AC；都都同學(xué)認(rèn)為：AM的長(zhǎng)會(huì)隨著點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)而變化．你贄同誰的觀點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．（3）求DA+DB+DC的最大值．10．（2022秋?江都區(qū)月考）在半徑為5的⊙O中，AB是直徑，點(diǎn)C是直徑AB上方半圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AC、BC．（1）如圖1，則△ABC面積的最大值是；（2）如圖2，如果AC＝8，①則BC＝；②作∠ACB的平分線CP交⊙O于點(diǎn)P，求長(zhǎng)CP的長(zhǎng)．（3）如圖3，連接AP并保持CP平分∠ACB，D為線段BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DH⊥AP，在C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，請(qǐng)直接寫出DH長(zhǎng)的最大值．11．（2022秋?姑蘇區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知半徑為2的⊙O與直線l相切于點(diǎn)A，點(diǎn)P是直徑AB左側(cè)半圓上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥l，垂足為點(diǎn)C，PC與⊙O交于點(diǎn)D，連接PA，PB，設(shè)PC的長(zhǎng)為x（2＜x＜4）．（1）當(dāng)x＝3時(shí)，求弦PA，PB的長(zhǎng)度；（2）用含有x的代數(shù)式表示PD?CD，并求出當(dāng)x為何值時(shí)，PD?CD的值最大？最大值是多少？12．（2022?嵩縣模擬）如圖，Rt△ABC的中，∠BAC＝90°，AB＝4cm，AC＝3cm，點(diǎn)G是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，以AG為直徑的⊙O交CG于點(diǎn)D，E是邊AC的中點(diǎn)，連接DE．（1）求證：DE與⊙O相切；（2）填空：①當(dāng)AG＝3cm時(shí)，⊙O與直線BC相切；②當(dāng)點(diǎn)G在邊AB上移動(dòng)時(shí)，△CDE面積的最大值是cm2．13．（1）如圖，△ABC中，OA＝OB＝OC，試求∠ACO和∠ABC的關(guān)系．（2）已知△ABC中，∠A和∠B都是銳角，D和E在AB上，滿足：AD＝BD，CE⊥AB，已知∠ACD＝∠BCE，試判斷△ABC的形狀．14．（2021秋?自貢期末）在△ABC中，AB＝AC，過點(diǎn)C作CD⊥BC，垂足為C，∠BDC＝∠BAC，AC與BD交于點(diǎn)E．（1）如圖1，∠ABC＝60°，BD＝6，求DC的長(zhǎng)；（2）如圖2，AM⊥BD，AN⊥CD，垂足分別為M，N，CN＝4，求DB+DC的長(zhǎng)．15．（2021秋?越秀區(qū)校級(jí)期中）如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，且AD⊥BD于點(diǎn)D．（1）判斷△ABD的形狀；（2）如圖2，在（1）的結(jié)論下，若BQ＝2，DQ＝3，∠BQD＝75°，求AQ的長(zhǎng)；（3）如圖3，在（1）的結(jié)論下，若將DB繞著點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°）得到DP，連接BP，作DE⊥BP交AP于點(diǎn)F．試探究AF與DE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．圓的綜合圓的綜合問題在中考中常常以選擇題以及解答題的形式出現(xiàn)，解答題居多且分值較大，難度較高．多考查切線的性質(zhì)與判定、圓中求線段長(zhǎng)度問題和圓中最值問題，一般會(huì)用到特殊三角形、特殊四邊形、相似三角形、銳角三角函數(shù)、勾股定理、圖形變換等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，以及數(shù)形結(jié)合、整體代入等數(shù)學(xué)思想.此類題型常涉及以下問題：①切線的判定；②計(jì)算線段長(zhǎng)及證明線段比例關(guān)系；③求三角函數(shù)值；④利用“輔助圓”求最值.右圖為圓的綜合問題中各題型的考查熱度.題型1：切線的判定解題模板：1.（2022?阜新）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC邊上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB相交于點(diǎn)D，連接CD，且CD＝AC．求證：CD是⊙O的切線；【分析】連接OD．由等腰三角形的性質(zhì)及圓的性質(zhì)可得∠A＝∠ADC，∠B＝∠BDO．再根據(jù)余角性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可得∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．最后由切線的判定定理可得結(jié)論；【解答】證明：連接OD．∵AC＝CD，∴∠A＝∠ADC．∵OB＝OD，∴∠B＝∠BDO．∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°．∴∠ADC+∠BDO＝90°．∴∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．又∵OD是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線．【變式1-1】（2022?鄂爾多斯）如圖，以AB為直徑的⊙O與△ABC的邊BC相切于點(diǎn)B，且與AC邊交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，連接DE、BD．求證：DE是⊙O的切線；【分析】連接OD，可推出∠BDC＝90°，進(jìn)而得出DE＝BE，進(jìn)而證明△DOE≌△BOE，進(jìn)一步得出結(jié)論；【解答】證明：如圖，連接OD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠BDC＝∠ADB＝90°，∵E是BC的中點(diǎn)，∴DE＝BE＝EC＝，在△DOE和△BOE中，，∴△DOE≌△BOE（SSS），∴∠ODE＝∠ABC＝90°，∴OD⊥DE∵點(diǎn)D在⊙O上，∴DE是⊙O的切線；【變式1-2】（2022?荊門）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在直徑AB上（點(diǎn)C與A，B兩點(diǎn)不重合），OC＝3，點(diǎn)D在⊙O上且滿足AC＝AD，連接DC并延長(zhǎng)到E點(diǎn)，使BE＝BD．（1）求證：BE是⊙O的切線；【分析】根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠ADB＝90°，從而可得∠BDE+∠ADC＝90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及對(duì)頂角相等可得∠ECB＝∠ADC，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠E＝∠BDE，從而可得∠E+∠BCE＝90°，最后利用三角形內(nèi)角和定理可得∠EBC＝90°，即可解答；【解答】證明：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠BDE+∠ADC＝90°，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∵∠ACD＝∠ECB，∴∠ECB＝∠ADC，∵EB＝DB，∴∠E＝∠BDE，∴∠E+∠BCE＝90°，∴∠EBC＝180°﹣（∠E+∠ECB）＝90°，∵OB是⊙O的半徑，∴BE是⊙O的切線；題型2：圓中求線段長(zhǎng)度解題模板：2.（2022?西寧）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在AB上，以BD為直徑的⊙O與AC相切于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接DF，OE交于點(diǎn)M．（1）求證：四邊形EMFC是矩形；（2）若AE＝，⊙O的半徑為2，求FM的長(zhǎng)．【分析】（1）利用直徑所對(duì)的圓周角是直角及鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，可求出∠CFD＝90°，由⊙O與AC相切于點(diǎn)E，利用圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑可得出OE⊥AC，進(jìn)而可得出∠OEC＝∠OEA＝90°，結(jié)合∠C＝90°，三個(gè)角是直角即可證明矩形即可；（2）在Rt△AEO中，利用勾股定理可求出OA的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出AB的長(zhǎng)，由∠AEO＝∠C，利用“同位角相等，兩直線平行”可得出OE∥BC，進(jìn)而可得出△AEO∽△ACB，利用相似三角形的性質(zhì)可求出AC的長(zhǎng)，結(jié)合CE＝AC﹣AE可求出CE的長(zhǎng)，再利用矩形的對(duì)邊相等，即可求出FM的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵BD是⊙O的直徑，∴∠BFD＝90°，∴∠CFD＝90°．∵⊙O與AC相切于點(diǎn)E，∴OE⊥AC，∴∠OEC＝∠OEA＝90°．又∵∠C＝90°，∴∠C＝∠CFD＝∠OEC＝90°，∴∠EMF＝90°，∴四邊形EMFC是矩形．（2）解：在Rt△AEO中，∠AEO＝90°，AE＝，OE＝2，∴OA＝＝＝3，∴AB＝OA+OB＝3+2＝5．∵∠AEO＝∠C＝90°，∴OE∥BC，∴△AEO∽△ACB，∴＝，即＝，∴AC＝，∴CE＝AC﹣AE＝﹣＝．又∵四邊形EMFC是矩形，∴FM＝CE＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定、相切、勾股定理、平行線的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各角之間的關(guān)系，找出四邊形EMFC的四個(gè)角均為直角；（2）利用勾股定理及相似三角形的性質(zhì)，求出AC的長(zhǎng)度．【變式2-1】（2022?盤錦）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)A，點(diǎn)B在⊙O上，邊DA的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E，對(duì)角線DB的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)F，連接EF并延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使∠FBG＝∠FAB．（1）求證：BG與⊙O相切；（2）若⊙O的半徑為1，求AF的長(zhǎng)．【分析】（1）連接BE，根據(jù)四邊形ABCD是正方形，得到∠BAE＝90°，從而得到BE是圓O的直徑，結(jié)合∠BAF+∠EAF＝90°，∠EAF＝∠EBF，∠FBG＝∠FAB，證明∠FBG+∠EBF＝90°即可；（2）連接OA，OF，證明∠FED＝45°，從而證明∠AOF＝90°，利用勾股定理計(jì)算即可．【解答】（1）證明：連接BE，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAE＝90°，∴BE是圓O的直徑，∵∠BAF+∠EAF＝90°，∠EAF＝∠EBF，∠FBG＝∠FAB，∴∠FBG+∠EBF＝90°，∴∠OBG＝90°，故BG是圓O的切線；（2）解：如圖，連接OA，OF，∵四邊形ABCD是正方形，BE是圓的直徑，∴∠EFD＝90°，∠FDE＝45°，∴∠FED＝45°，∴∠AOF＝90°，∵OA＝OF＝1，∴AF2＝AO2+FO2＝1+1＝2，∴AF＝，AF＝﹣（舍去）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的切線判定，圓周角定理，勾股定理，熟練掌握切線的判定定理，圓周角定理，勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022?聊城）如圖，點(diǎn)O是△ABC的邊AC上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作⊙O，與BC相切于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)D，連接OE，連接OD并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∠AOD＝∠EOD．（1）連接AF，求證：AF是⊙O的切線；（2）若FC＝10，AC＝6，求FD的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)SAS證△AOF≌△EOF，得出∠OAF＝∠OEF＝90°，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)勾股定理求出AF，證△OEC∽△FAC，設(shè)圓O的半徑為r，根據(jù)線段比例關(guān)系列方程求出r，利用勾股定理求出OF，最后根據(jù)FD＝OF﹣OD求出即可．【解答】（1）證明：在△AOF和△EOF中，，∴△AOF≌△EOF（SAS），∴∠OAF＝∠OEF，∵BC與⊙O相切，∴OE⊥FC，∴∠OAF＝∠OEF＝90°，即OA⊥AF，∵OA是⊙O的半徑，∴AF是⊙O的切線；（2）解：在Rt△CAF中，∠CAF＝90°，F(xiàn)C＝10，AC＝6，∴AF＝＝8，∵∠OCE＝∠FCA，∠OEC＝∠FAC＝90°，∴△OEC∽△FAC，∴，設(shè)⊙O的半徑為r，則，解得r＝，在Rt△FAO中，∠FAO＝90°，AF＝8，AO＝，∴OF＝＝，∴FD＝OF﹣OD＝﹣，即FD的長(zhǎng)為﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查切線的判定和性質(zhì)，熟練掌握切線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型3：圓中的最值問題解題模板：技巧精講：輔助圓模型3.（2020?碑林區(qū)校級(jí)模擬）問題提出：（1）如圖①，半圓O的直徑AB＝10，點(diǎn)P是半圓O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△PAB的面積最大值是．問題探究：（2）如圖②，在邊長(zhǎng)為10的正方形ABCD中，點(diǎn)G是BC邊的中點(diǎn)，E、F分別是AD和CD邊上的點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄坎⑶蟪鏊倪呅蜝EFG的周長(zhǎng)的最小值．問題解決：（3）如圖③，四邊形ABCD中，AB＝AD＝6，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，四邊形ABCD的周長(zhǎng)是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）如圖1，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至半圓O的中點(diǎn)時(shí)，底邊AB上的高最大，即P'O＝r＝5，求出此時(shí)△P'AB的面積即可；（2）如圖2，作點(diǎn)G關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)G′，作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接B′G′，B'E，F(xiàn)G'，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可解決問題；（3）如圖3，連接AC、BD，在AC上取一點(diǎn)，使得DM＝DC．首先證明AC＝CD+CB，再證明當(dāng)AC為△ABC的外接圓的直徑時(shí)，四邊形ABCD的周長(zhǎng)最大．【解答】解：（1）如圖1，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至半圓O的中點(diǎn)時(shí)，底邊AB上的高最大，即P'O＝r＝5，此時(shí)△PAB的面積最大值，∴S△P'AB＝×10×5＝25，故答案為：25；（2）如圖2，作點(diǎn)G關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)G′，作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接B′G′，B'E，F(xiàn)G'，∵EB＝EB′，F(xiàn)G＝FG′，∴BE+EF+FG+BG＝B′E+EF+FG′+BG，∵EB′+EF+FG′≥B′G′，∴四邊形BEFG的周長(zhǎng)的最小值＝BG+B′G′，∵BG＝BC＝5，BB′＝20，BG′＝15，∴B′G′＝＝＝25，∴四邊形BEFG的周長(zhǎng)的最小值為30．（3）如圖3，連接AC、BD，在AC上取一點(diǎn)，使得DM＝DC．∵∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓，∵AD＝AB，∠DAB＝60°，∴△ADB是等邊三角形，∴∠ABD＝∠ADB＝60°，∴∠ACD＝∠ADB＝60°∵DM＝DC，∴△DMC是等邊三角形，∴∠ADB＝∠MDC＝60°，CM＝DC，∴∠ADM＝∠BDC，∵AD＝BD，∴△ADM≌△BDC（SAS），∴AM＝BC，∴AC＝AM+MC＝BC+CD，∵四邊形ABCD的周長(zhǎng)＝AD+AB+CD+BC＝AD+AB+AC，∵AD＝AB＝6，∴當(dāng)AC最大時(shí)，四邊形ABCD的周長(zhǎng)最大，∴當(dāng)AC為△ABC的外接圓的直徑時(shí)，四邊形ABCD的周長(zhǎng)最大，∵，∴AC的最大值＝4，∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)最大值為12+4．【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合題，考查了三角形的面積、軸對(duì)稱、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、圓的直徑最大等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)利用輔助圓解決最值問題．【變式3-1】（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）【問題情境】如圖①，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，求證：A、B、C、D四點(diǎn)共圓．小吉同學(xué)的作法如下：連結(jié)AC，取AC的中點(diǎn)O，連結(jié)OB、OD，請(qǐng)你幫助小吉補(bǔ)全余下的證明過程；【問題解決】如圖②，在正方形ABCD中，AB＝2，點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AE，AF，作EP⊥AF于點(diǎn)P．（1）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P恰好落在正方形ABCD對(duì)角線BD上時(shí)，線段AP的長(zhǎng)度為；（2）如圖③，過點(diǎn)P分別作PM⊥AB于點(diǎn)M，PN⊥BC于點(diǎn)N，連結(jié)MN，則MN的最小值為．【解答】【問題情境】證明：如圖，連結(jié)AC，取AC的中點(diǎn)O，連結(jié)OB、OD，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，O為AC的中點(diǎn)，∴OA＝OB＝OC＝OD＝AC，∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓；【問題解決】解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，AB＝2，∴AD＝2，DE＝1，∴AE＝，由【問題情境】結(jié)論可知，A、D、E、P四點(diǎn)共圓，如圖，∴∠PAE＝∠PDE，∵BD為正方形ABCD的對(duì)角線，∴∠PDE＝∠PAE＝45°，∵EP⊥AF，∴△PAE為等腰直角三角形，設(shè)AP長(zhǎng)為a，則PE長(zhǎng)為a，∴AP2+PE2＝AE2，即，解得：a1＝，（不合題意，舍去），∴線段AP的長(zhǎng)度為；故答案為：；（2）由【問題情境】結(jié)論可知，A、D、E、P四點(diǎn)共圓，如圖，過點(diǎn)O作OG⊥AD于點(diǎn)G，作OH⊥AB于點(diǎn)H，連接OB交⊙O于點(diǎn)P′，連接PB，∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠PMB＝∠MBN＝∠PNB＝90°，∴四邊形MBNP為矩形，∴MN＝PB，要求MN的最小值，即求PB的最小值，由（1）知，AE＝，∴，∵OG⊥AD，且點(diǎn)O為AE的中點(diǎn)，∴OG∥DE，∴OG為△ADE的中位線，∴AG＝1，OG＝，∵OG⊥AD，OH⊥AB，∴四邊形AHOG為矩形，∴AH＝OG＝，OH＝AG＝1，∴BH＝，在Rt△BHO中，，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得，PB+OP≥OB，PB≥OB﹣OP＝，∴PB的最小值為，∴MN的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查四點(diǎn)共圓、正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、中位線的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)，屬于圓的綜合題，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．【變式3-2】（2020秋?盱眙縣期末）如圖，△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，過點(diǎn)C任作一條直線CD，將線段BC沿直線CD翻折得線段CE，直線AE交直線CD于點(diǎn)F．（1）小智同學(xué)通過思考推得當(dāng)點(diǎn)E在AB上方時(shí)，∠AEB的角度是不變的，請(qǐng)按小智的思路幫助小智完成以下推理過程：∵AC＝BC＝EC，∴A、B、E三點(diǎn)在以C為圓心以AC為半徑的圓上．∴∠AEB＝∠ACB＝°．（2）若BE＝2，求CF的長(zhǎng)．（3）線段AE最大值為；若取BC的中點(diǎn)M，則線段MF的最小值為．【分析】（1）根據(jù)AC＝BC＝EC，得A、B、E三點(diǎn)在以C為圓心以AC為半徑的圓上，根據(jù)圓周角定理可知∠AEB的度數(shù)；（2）由△EFG是等腰三角形可求出FG＝1，利用勾股定理求出CG的長(zhǎng)，從而得出答案；（3）根據(jù)直徑是圓中最大的弦知當(dāng)AE經(jīng)過圓心C時(shí)，線段AE的最大值為2AC＝8，取AB的中點(diǎn)O，連接OF，可證∠AFB＝90°，則點(diǎn)F在以AB為直徑的圓O上，當(dāng)OF經(jīng)過點(diǎn)M時(shí)，MF最短，此時(shí)OF⊥BC，從而解決問題．【解答】解：（1）∵AC＝BC＝EC，∴A、B、E三點(diǎn)在以C為圓心以AC為半徑的圓上，∴∠AEB＝，故答案為：，45；（2）由折疊可知，CD垂直平分BE，∴BE⊥CD，設(shè)CD、BE交于點(diǎn)G，則GE＝BG＝，∴∠FGE＝90°，∵∠AEB＝45°，∴FG＝GE＝1，在Rt△CEG中，由勾股定理得，CG＝＝，∴CF＝CG﹣FG＝﹣1；（3）∵A，B，E，三點(diǎn)在以C為圓心，以AC為半徑的圓上，∴當(dāng)AE經(jīng)過圓心C時(shí)，線段AE的最大值為2AC＝8，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝＝4，BM＝CM＝，∠ABC＝∠BAC＝45°，連接BF，取AB的中點(diǎn)O，連接OF，如圖，∵CD垂直平分BE，∠AEB＝45°，∴BF＝EF，∴∠EBF＝∠AEB＝45°，∴∠EFB＝90°，∴∠AFB＝90°，∴OF＝，∴點(diǎn)F在以點(diǎn)O為圓心，AB為直徑的圓上，∵∠ACB＝90°，∴點(diǎn)C在⊙O上，∴當(dāng)OF經(jīng)過點(diǎn)M時(shí)，MF最短，此時(shí)OF⊥BC，∴OM＝BM?tan∠ABC＝2×1＝2，∴MF＝OF﹣OM＝2﹣2，即線段MF的最小值為2﹣2，故答案為：8；2﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，圓周角定理，利用定點(diǎn)定長(zhǎng)構(gòu)造輔助圓是解題的關(guān)鍵．4.如圖（1），在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，D、E分別是AB，AC的中點(diǎn)．若等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到等腰Rt△AD1E1，如圖（2），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a（0°＜a≤180°），記直線BD1與CE1的交點(diǎn)為P．（1）求證：BD1＝CE1；（2）當(dāng)∠CPD1＝2∠CAD1時(shí)，則旋轉(zhuǎn)角為a＝（直接寫結(jié)果）（3）連接PA，△PAB面積的最大值為（直接寫結(jié)果）【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)得到△ABD1≌△ACE1的條件即可；（2）由（1）的結(jié)論，得出∠ABD1＝∠ACE1，即可得出結(jié)論；（3）作出輔助線，利用勾股定理建立方程求出即可．【解答】解：（1）在△ABD1和△ACE1中∴△ABD1≌△ACE1∴BD1＝CE1；（2）BD1與AC的交點(diǎn)記作點(diǎn)G，如圖（2），由（1）知△ABD1≌△ACE1，∴∠ABD1＝∠ACE1，∵∠AGB＝∠CGP，∴∠CPG＝∠BAG＝90°∴∠CPD1＝90°，∵∠CPD1＝2∠CAD1，∴∠CAD1＝∠CPD1＝45°，∴旋轉(zhuǎn)角α＝90°+∠CAD1＝135°故答案為135°；（3）如圖3，∵AC＝AB＝4，∵點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴AD＝AE＝2，由旋轉(zhuǎn)知，AD1＝AE1＝AD＝2作PH⊥AB，交AB所在直線于點(diǎn)G，∵D1，E1在以A為圓心，AD為半徑的圓上，當(dāng)BD1所在直線與⊙A相切時(shí)，直線BD1與CE1的交點(diǎn)P到直線AB的距離最大，此時(shí)四邊形AD1PE1是正方形，PD1＝2，則BD1＝＝2，∴∠ABP＝30°，∴PB＝BD1+PD1＝2+2，∴點(diǎn)P到AB所在直線的距離的最大值為：PH＝+．∴△PAB的面積最大值為AB×PH＝4+4，故答案為4+4．【點(diǎn)評(píng)】此題是幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．【變式4-1】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點(diǎn)F在邊AC上，并且CF＝2，點(diǎn)E為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，將△FCE沿直線EF翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，求點(diǎn)P到邊AB距離的最小值．【分析】延長(zhǎng)FP交AB于M，當(dāng)FP⊥AB時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離最小，利用△AMF∽△ACB，得FM的長(zhǎng)，從而解決問題．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)FP交AB于M，∵FP＝CF＝2，∴點(diǎn)P在以F為圓心，CF為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)FP⊥AB時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離最小，∵∠A＝∠A，∠AMF＝∠C＝90°，∴△AMF∽△ACB，∴，∵CF＝2，AC＝6，BC＝8，∴AF＝4，AB＝＝10，∴，∴FM＝3.2，∵PF＝CF＝2，∴PM＝1.2，∴點(diǎn)P到邊AB距離的最小值為1.2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了翻折的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，確定點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M在x軸負(fù)半軸上，⊙M與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于C、D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在y軸正半軸上），且，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)P為優(yōu)弧CAD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CP，過點(diǎn)M作ME⊥CP于點(diǎn)E，交BP于點(diǎn)N，連結(jié)AN．（1）求⊙M的半徑長(zhǎng)；（2）當(dāng)BP平分∠ABC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段AN的最小值．【分析】（1）連接CM，由CD＝2OM，CD⊥MB，得CM＝＝2OM，得∠MCO＝30°，∠CMO＝60°，從而證明結(jié)論；（2）連接AP，過點(diǎn)P作PF⊥AB于F，由BP平分∠ABC，得∠ABP＝30°，則AP＝，在Rt△PFB中，由∠ABP＝30°，得PF＝，BF＝＝9，從而得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）由∠PNE＝∠BNM＝60°，BM＝6，可知點(diǎn)N在以G為圓心，GM為半徑的圓上，連接AG，此時(shí)AN的最小值為AG﹣GM，再利用勾股定理分別求出AG和GM的長(zhǎng)即可．【解答】解：（1）如圖，連接CM，∵CD＝2OM，∴OM，∵CD⊥MB，∴CM＝＝2OM，∴∠MCO＝30°，∠CMO＝60°，∵M(jìn)C＝MB，∴△CMB為等邊三角形，∵B（3，0），∴OB＝3，∴MB＝2OB＝6，∴⊙M的半徑長(zhǎng)為6；（2）連接AP，過點(diǎn)P作PF⊥AB于F，∵AB為⊙M的直徑，AB＝2MB＝12，∴∠APB＝90°，∴△APB為直角三角形，由（1）得△CMB是等邊三角形，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝30°，∴AP＝，∴BP＝＝6，在Rt△PFB中，由∠ABP＝30°，∴PF＝，∴BF＝＝9，∴OF＝BF﹣OB＝6，∴OF＝6，PF＝3，∴P（﹣6，3）；（3）∵CD垂直平分MB，∴在OC上取點(diǎn)G，使∠GMB＝30°，連接GM，GB，∵M(jìn)E⊥PC，∴∠PEM＝90°，∵∠CPB＝∠CMB＝30°，∴∠PNE＝∠BNM＝60°，∴BM＝6，∴點(diǎn)N在以G為圓心，GM為半徑的圓上，連接AG，此時(shí)AN的最小值為AG﹣GM，∵BM＝6，∠GMB＝30°，∴OG＝，GM＝2，在Rt△AOG中，由勾股定理得，AG＝，∴AN的最小值為2﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合題，主要考查了圓周角定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，運(yùn)用定弦對(duì)定角確定點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)路徑是解題的關(guān)鍵．5.問題發(fā)現(xiàn)（1）如圖1，在△ABC中，AB＝2，∠C＝60°，試猜想△ABC面積的最大值為；問題探究（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB∥DC，∠A＝90°，AB＝BC，∠C＝120°，連接BD，求cos∠ADB的值；問題解決（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，DC＝2AD，AB＝10，C為AB為直徑的半圓上一點(diǎn)，O為圓心，請(qǐng)問四邊形ABCD的面積是否存在最大值？若存在，求這個(gè)最大值；若不存在，試說明理由．【分析】（1）作△ABC的外接圓，當(dāng)C處于點(diǎn)C'時(shí)，△ABC面積最大；（2）連接AC，過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，由△ABC為等邊三角形，設(shè)AB＝2m，則AE＝m，則CE＝＝m，再證明四邊形AECD為矩形，得DA＝CE＝m，利用勾股定理求出BD＝＝＝m，從而得出答案；（3）連接AC，過點(diǎn)D作DH⊥AC于H，過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，由△CDA∽△DHA，△ADC∽△DCH，由DH＝2AH，CH＝2DH，得AH＝，DH＝，設(shè)BE＝m，AE＝10﹣m，利用m的代數(shù)式表示△ACD和△ABC的面積，根據(jù)Δ≥0，從而得出S的范圍．【解答】解：（1）作△ABC的外接圓，∵AB＝2，∠C＝60°，∴當(dāng)C處于點(diǎn)C'時(shí)，△ABC面積最大，∵C'A＝C'B，∠C'＝60°，∴△ABC'為等邊三角形，邊長(zhǎng)為2，過點(diǎn)C'作C'D⊥AB于D，則AD＝1，∴C'D＝＝，∴S＝，故答案為：；（2）如圖，連接AC，過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，∵AB∥DC，∠A＝90°，∴∠ADC＝90°，∵∠BCD＝120°，∴∠CBA＝60°，∵AB＝BC，∴△ABC為等邊三角形，設(shè)AB＝2m，則AE＝m，∴CE＝＝m，∵∠ADC＝∠DAB＝∠CEA＝90°，∴四邊形AECD為矩形，∴DA＝CE＝m，在Rt△DAB中，BD＝＝＝m，∴cos＝；（3）存在，如圖，連接AC，過點(diǎn)D作DH⊥AC于H，過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，∵∠DAC＝∠HAD，∠CDA＝∠DHA＝90°，∠DCA＝∠HCD，∴△CDA∽△DHA，△ADC∽△DCH，∵DC＝2AD，∴DH＝2AH，CH＝2DH，∴AH＝，DH＝，∴S＝，設(shè)BE＝m，AE＝10﹣m，∵∠B+∠CAB＝90°，∠B+∠BCE＝90°，∴∠BCE＝∠BAC，∵∠CEB＝∠ACB＝90°，∴△ACB∽△CEB，∴，∴BC2＝AB?BE，即AC2+AB?BE＝AB2，∴AC2+AB?（AB﹣AE）＝AB2，∴AC2＝AB?AE＝10×（10﹣m），∵∠B+∠ECB＝90°，∠ECB+∠ACE＝90°，∴∠B＝∠ACE，∵∠CEB＝∠AEC＝90°，∴△CEB∽△AEC，∴，∴CE2＝AE?EB＝m（10﹣m），∴CE＝，∴S＝5，S四邊形ABCD＝S△ADC+S△ABC，S＝，∴S＝2（10﹣m）+5，兩邊平方整理得：29m2﹣（330﹣4S）m+S2﹣40S+400＝0，Δ＝（330﹣4S）2﹣4×29×（S2﹣40S+400）≥0，整理得：S2﹣20S﹣625≤0，即（S﹣10）2≤725，∴﹣5+10+10，∴S的最大值為5+10．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，一元二次方程根的情況等知識(shí)，運(yùn)用代數(shù)方法解決幾何問題是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】問題提出：如圖1：在△ABC中，BC＝10且∠BAC＝45°，點(diǎn)O為△ABC的外心，則△ABC的外接圓半徑是．問題探究：如圖2，正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、CD兩邊上點(diǎn)且∠EAF＝45°，請(qǐng)問線段BE、DF、EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．問題解決：如圖3，四邊形ABCD中，AB＝AD＝4，∠B＝45°，∠D＝135°，點(diǎn)E、F分別是射線CB、CD上的動(dòng)點(diǎn)，并且∠EAF＝∠C＝60°，試問△AEF的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值．若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）如圖1，作出△ABC的外接圓⊙O，得出OB＝sin45°×BC代入計(jì)算即可；（2）延長(zhǎng)EB，使BG＝DF，連接AG，先證△ABG≌△ADF（SAS），得AG＝AF，∠GAB＝∠DAF，再證△GAE≌△FAE（SAS），從而有EF＝GE＝DF+BE；（3）類比（2）兩次全等，可得△AEF中EF邊上的高為4，再結(jié)合（1）中輔助圓求出EF的最小值解決問題．【解答】解：（1）如圖1，作出△ABC的外接圓⊙O，∵∠A＝45°，∴∠BOC＝90°，∵BC＝10，∴OB＝sin45°×BC＝，故答案為：5．（2）EF＝BE+DF，理由如下：如圖2，延長(zhǎng)EB，使BG＝DF，連接AG，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABG＝∠D＝90°，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠GAB＝∠DAF，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°，∴∠GAE＝45°，在△GAE和△FAE中，，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴EF＝GE＝DF+BE，（3）存在最小值，如圖3，延長(zhǎng)CB，使BG＝DF，∵∠ABC＝45°，∴∠ABG＝135°，∴∠ABG＝∠ADF，又∵AB＝AD，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠GAB＝∠FAD，AG＝AF，∵∠ABC＝45°，∠D＝135°，∠C＝60°，∴∠BAD＝120°，∵∠EAF＝60°，∴∠BAE+∠DAF＝60°，∴∠GAE＝60°，∴△GAE≌△FAE（SAS），在△AEF中，∵∠EAF＝60°，AH＝4，∴EF邊上的高AK＝4，畫△AEF的外接圓⊙O，作OM⊥EF于M，∵∠EAF＝60°，∴∠EOM＝60°，設(shè)OM＝x，EM＝，OE＝2x，EF＝2，∵OM+OA≥AK，∴x+2x≥4，∴x≥，∴EF的最小值為2×，∴S△AEF的最小值為．【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何類閱讀理解題，考查了三角形的外接圓、三角形全等的判定與性質(zhì)、三角形面積的最值問題等知識(shí)，解決此類問題注意“前為后用，后化為前”的處理策略．1.（2022?東營(yíng)）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，BD⊥CE于點(diǎn)D，BC平分∠ABD．（1）求證：直線CE是⊙O的切線；（2）若∠ABC＝30°，⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．【分析】（1）連接OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義得到∠DBC＝∠OCB，證明OC∥BD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OC⊥CE，根據(jù)切線的判定定理證明結(jié)論；（2）過點(diǎn)O作OH⊥BC于H，根據(jù)垂徑定理得到BH＝HC，根據(jù)余弦的定義求出BH，進(jìn)而求出BC，根據(jù)正弦的定義求出OH，根據(jù)扇形面積公式、三角形的面積公式計(jì)算，得到答案．【解答】（1）證明：連接OC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠DBC，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥BD，∵BD⊥CE，∴OC⊥CE，∵OC為⊙O的半徑，∴CE是⊙O的切線；（2）解：過點(diǎn)O作OH⊥BC于H，則BH＝HC，在Rt△OHB中，∠OBH＝30°，OB＝2，∴BH＝OB?cos∠OBH＝2×＝，OH＝OB＝1，∴BC＝2，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝30°，∴∠BOC＝120°，∴S陰影部分＝S扇形BOC﹣S△BOC＝﹣×2×1＝﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的判定、扇形面積計(jì)算，掌握經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線是解題的關(guān)鍵．2．（2022?錦州）如圖，在⊙O中，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)E在⊙O上，D為的中點(diǎn)，連接AE，BD并延長(zhǎng)交于點(diǎn)C．連接OD，在OD的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F，連接BF，使∠CBF＝∠BAC．（1）求證：BF為⊙O的切線；（2）若AE＝4，OF＝，求⊙O的半徑．【分析】（1）連接AD，由圓周角定理可得∠ADB＝90°，由等弧對(duì)等角可得∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，再進(jìn)行等量代換可得∠ABF＝90°便可證明；（2）連接BE，由圓周角定理可得∠AEB＝90°，∠BOD＝2∠BAD，于是∠BOD＝∠BAC，由△OBF∽△AEB可得OB：AE＝OF：AB，再代入求值即可．【解答】（1）證明：如圖，連接AD，AB是圓的直徑，則∠ADB＝90°，D為的中點(diǎn)，則∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，∵，∴∠CBF＝∠BAD，∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠ABF＝∠ABD+∠CBF＝90°，∴AB⊥BF，∵OB是⊙O的半徑，∴BF是⊙O的切線；（2）解：如圖，連接BE，AB是圓的直徑，則∠AEB＝90°，∵∠BOD＝2∠BAD，∠BAC＝2∠BAD，∴∠BOD＝∠BAC，又∵∠ABF＝∠AEB＝90°，∴△OBF∽△AEB，∴OB：AE＝OF：AB，∴OB：4＝：2OB，OB2＝9，OB＞0，則OB＝3，∴⊙O的半徑為3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)；正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．3．（2022?鞍山）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)E為⊙O上一點(diǎn)，EF∥AC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，CE與AB交于點(diǎn)D，連接BE，若∠BCE＝∠ABC．（1）求證：EF是⊙O的切線．（2）若BF＝2，sin∠BEC＝，求⊙O的半徑．【分析】（1）根據(jù)切線的判定定理，圓周角定理解答即可；（2）根據(jù)相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理解答即可．【解答】（1）證明：連接OE，∵∠BCE＝∠ABC，∠BCE＝∠BOE，∴∠ABC＝∠BOE，∴OE∥BC，∴∠OED＝∠BCD，∵EF∥AC，∴∠FEC＝∠ACE，∴∠OED+∠FEC＝∠BCD+∠ACE，即∠FEO＝∠ACB，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠FEO＝90°，∴FE⊥EO，∵EO是⊙O的半徑，∴EF是⊙O的切線．（2）解：∵EF∥AC，∴△FEO∽△ACB，∴，∵BF＝2，sin∠BEC＝，設(shè)⊙O的半徑為r，∴FO＝2+r，AB＝2r，BC＝r，∴，解得：r＝3，檢驗(yàn)得：r＝3是原分式方程的解，∴⊙O的半徑為3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了切線的判定和性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握相關(guān)的定理是解答本題的關(guān)鍵．4．（2022?菏澤）如圖，在△ABC中，以AB為直徑作⊙O交AC、BC于點(diǎn)D、E，且D是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)G，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．（1）求證：直線HG是⊙O的切線；（2）若HA＝3，cosB＝，求CG的長(zhǎng)．【分析】（1）連接OD，根據(jù)三角形中位線定理得到OD∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OD⊥HG，根據(jù)切線的判定定理證明結(jié)論；（2）根據(jù)余弦的定義求出⊙O的半徑，根據(jù)三角形中位線定理求出BC，再根據(jù)余弦的定義求出BG，計(jì)算即可．【解答】（1）證明：連接OD，∵AD＝DC，AO＝OB，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥BC，OD＝BC，∵DG⊥BC，∴OD⊥HG，∵OD是⊙O的半徑，∴直線HG是⊙O的切線；（2）解：設(shè)⊙O的半徑為x，則OH＝x+3，BC＝2x，∵OD∥BC，∴∠HOD＝∠B，∴cos∠HOD＝，即＝＝，解得：x＝2，∴BC＝4，BH＝7，∵cosB＝，∴＝，即＝，解得：BG＝，∴CG＝BC﹣BG＝4﹣＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的判定、三角形中位線定理、銳角三角函數(shù)的定義，掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．5．（2022?棗莊）如圖，在半徑為10cm的⊙O中，AB是⊙O的直徑，CD是過⊙O上一點(diǎn)C的直線，且AD⊥DC于點(diǎn)D，AC平分∠BAD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，OE＝6cm．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）求AD的長(zhǎng)．【分析】（1）連接OC，由AC平分∠BAD，OA＝OC，可得∠DAC＝∠OCA，AD∥OC，根據(jù)AD⊥DC，即可證明CD是⊙O的切線；（2）由OE是△ABC的中位線，得AC＝12，再證明△DAC∽△CAB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：連接OC，如圖：∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠CAO，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC，∵AD⊥DC，∴CO⊥DC，∵OC是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；（2）解：∵E是BC的中點(diǎn)，且OA＝OB，∴OE是△ABC的中位線，AC＝2OE，∵OE＝6cm，∴AC＝12cm，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°＝∠ADC，又∠DAC＝∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴，即＝，∴AD＝cm．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的切線及圓中的計(jì)算，涉及圓周角定理、相似三角形的判定及性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用圓的相關(guān)性質(zhì)，轉(zhuǎn)化圓中的角和線段．6．（2022?蘭州）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，OD⊥OC，連接AD，∠ADO＝∠BOC，AC與OD相交于點(diǎn)E．（1）求證：AD是⊙O的切線；（2）若tan∠OAC＝，AD＝，求⊙O的半徑．【分析】（1）根據(jù)垂直、平角的定義可得∠D+∠AOD＝90°，進(jìn)而得到AD⊥OA即可；（2）根據(jù)圓周角定理、三角形的內(nèi)角和定理以及等腰三角形的判定和性質(zhì)，可得到AD＝DE，再根據(jù)銳角三角函數(shù)可得OE＝OC，在Rt△AOD中由勾股定理可求半徑．【解答】（1）證明：∵OD⊥OC，∴∠COD＝90°，∴∠BOC+∠AOD＝180°﹣90°＝90°，又∵∠ADO＝∠BOC，∴∠ADO+∠AOD＝90°，∴∠OAD＝180°﹣90°＝90°，即OA⊥AD，∵OA是半徑，∴AD是⊙O的切線；（2）解：∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴tan∠OAC＝＝tan∠OCA＝，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°＝∠OAD，即∠OCB+∠OCA＝90°＝∠OAC+∠DAE，∴∠DAE＝∠OCB，又∵∠ADO＝∠BOC，∴∠DEA＝∠B，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠DAE＝∠DEA，∴AD＝DE＝，設(shè)半徑為r，則OE＝r，OD＝r+，在Rt△AOD中，由勾股定理得，AD2+OA2＝OD2，即（）2+r2＝（r+）2，解得r＝2或r＝0（舍去），即半徑為2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，切線的判定和性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系以及等腰三角形，掌握切線的判定方法，直角三角形的邊角關(guān)系是解決問題的前提．7．（2022?郴州）如圖，在△ABC中，AB＝AC．以AB為直徑的⊙O與線段BC交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，ED的延長(zhǎng)線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P．（1）求證：直線PE是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為6，∠P＝30°，求CE的長(zhǎng)．【分析】（1）連接OD，根據(jù)AB＝AC，OB＝OD，得∠ACB＝∠ODB，從而OD∥AC，由DE⊥AC，即可得PE⊥OD，故PE是⊙O的切線；（2）連接AD，連接OD，由DE⊥AC，∠P＝30°，得∠PAE＝60°，又AB＝AC，可得△ABC是等邊三角形，即可得BC＝AB＝12，∠C＝60°，而AB是⊙O的直徑，得∠ADB＝90°，可得BD＝CD＝BC＝6，在Rt△CDE中，即得CE的長(zhǎng)是3．【解答】（1）證明：連接OD，如圖：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB，∴∠ACB＝∠ODB，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，即PE⊥OD，∵OD是⊙O的半徑，∴PE是⊙O的切線；（2）解：連接AD，連接OD，如圖：∵DE⊥AC，∴∠AEP＝90°，∵∠P＝30°，∴∠PAE＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠C＝60°，∵⊙O的半徑為6，∴BC＝AB＝12，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴BD＝CD＝BC＝6，在Rt△CDE中，CE＝CD?cosC＝6×cos60°＝3，答：CE的長(zhǎng)是3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的綜合應(yīng)用，涉及圓的切線，等腰三角形性質(zhì)及應(yīng)用，含特殊角的直角三角形三邊關(guān)系等，解題的關(guān)鍵是判定△ABC是等邊三角形．8．（2022?遼寧）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AC是⊙O的直徑，過OA上的點(diǎn)P作PD⊥AC，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，連接BF．（1）求證：BF與⊙O相切；（2）若AP＝OP，cosA＝，AP＝4，求BF的長(zhǎng)．【分析】（1）連接OB，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠ABC＝90°，從而可得∠ABD＝90°，進(jìn)而利用直角三角形三角形斜邊上的中線可得BF＝EF＝DE，然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠FEB＝∠FBE，從而可得∠FBE＝∠AEP，最后根據(jù)垂直定義可得∠EPA＝90°，從而可得∠A+∠AEP＝90°，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠A＝∠OBA，從而可得∠OBA+∠FBE＝90°，進(jìn)而可得∠OBF＝90°，即可解答；（2）在Rt△AEP中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AE的長(zhǎng)，從而利用勾股定理求出PE的長(zhǎng)，然后利用同角的余角相等可得∠AEP＝∠C，從而可證△APE∽△DPC，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)可求出DP的長(zhǎng)，最后求出DE的長(zhǎng)，即可解答．【解答】（1）證明：連接OB，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°，∴∠ABD＝180°﹣∠ABC＝90°，∵點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，∴BF＝EF＝DE，∴∠FEB＝∠FBE，∵∠AEP＝∠FEB，∴∠FBE＝∠AEP，∵PD⊥AC，∴∠EPA＝90°，∴∠A+∠AEP＝90°，∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，∴∠OBA+∠FBE＝90°，∴∠OBF＝90°，∵OB是⊙O的半徑，∴BF與⊙O相切；（2）解：在Rt△AEP中，cosA＝，AP＝4，∴AE＝＝＝5，∴PE＝＝＝3，∵AP＝OP＝4，∴OA＝OC＝2AP＝8，∴PC＝OP+OC＝12，∵∠A+∠AEP＝90°，∠A+∠C＝90°，∴∠AEP＝∠C，∵∠APE＝∠DPC＝90°，∴△APE∽△DPC，∴＝，∴＝，∴DP＝16，∴DE＝DP﹣PE＝16﹣3＝13，∴BF＝DE＝，∴BF的長(zhǎng)為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，三角形的外接圓與外心，直線與圓的位置關(guān)系，熟練掌握解直角三角形，以及切線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋?黃埔區(qū)期末）如圖1，⊙O為△ABC的外接圓，半徑為6，AB＝AC，∠BAC＝120°，點(diǎn)D為優(yōu)弧上異于B、C的一動(dòng)點(diǎn)，連接DA、DB、DC．（1）求證：AD平分∠BDC；（2）如圖2，CM平分∠BCD，且與AD交于M．花花同學(xué)認(rèn)為：無論點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到哪里，始終有AM＝AC；都都同學(xué)認(rèn)為：AM的長(zhǎng)會(huì)隨著點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)而變化．你贄同誰的觀點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．（3）求DA+DB+DC的最大值．【分析】（1）根據(jù)等弦對(duì)等弧，等弧或同弧所對(duì)圓周角相等，以此即可證明；（2）由同弧所對(duì)圓周角相等得∠ACB＝∠BDA，由角平分線的性質(zhì)得∠BCM＝∠DCM，∠BDA＝∠ADC，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得∠AMC＝∠ADC+∠DCM＝∠ACB+∠BCM＝∠ACM，則AC＝AM，以此即可求解；（3）在AD右側(cè)作∠DAE＝120°，與DC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AF⊥CD于點(diǎn)F，由∠E＝∠ADC＝30°可得△ADE為等腰三角形，即可通過SAS證明△ABD≌△ACE，得到BD＝CE，以此推出BD+CD＝CE+CD＝DE，在Rt△ADF中，∠ADC＝30°，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)可得，則DE＝2DF＝，因此DA+DB+DC＝DE+AD＝，顯然當(dāng)AD為直徑時(shí)取得最大值，以此即可求解．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，∴，∴∠BDA＝∠ADC，∴AD平分∠BDC；（2）解：贄同花花的觀點(diǎn)，理由如下：如圖，連接BC，∵CM平分∠BCD，AD平分∠BDC，∴∠BCM＝∠DCM，∠BDA＝∠ADC，∵∠ACB＝∠BDA，∴∠ACB＝∠ADC，∴∠AMC＝∠ADC+∠DCM＝∠ACB+∠BCM＝∠ACM，∴AC＝AM，∴無論點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到哪里，始終有AM＝AC；（3）解：如圖，在AD右側(cè)作∠DAE＝120°，與DC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AF⊥CD于點(diǎn)F，∵∠BAC＝120°，∴∠BDC＝180°﹣∠BAC＝60°，∴∠ADC＝30°，∴∠E＝∠ADC＝30°，∴AD＝AE，∵∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE＝120°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∴BD+CD＝CE+CD＝DE，∵AF⊥CD，∴DE＝2DF，在Rt△ADF中，∠ADC＝30°，∴AD＝2AF，∴AD2＝AF2+DF2，即，∴，∴DE＝2DF＝，∴DA+DB+DC＝DE+AD＝，當(dāng)AD為直徑時(shí)，AD取得最大值，即AD＝12，∴DA+DB+DC的最大值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形，熟練掌握并綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．10．（2022秋?江都區(qū)月考）在半徑為5的⊙O中，AB是直徑，點(diǎn)C是直徑AB上方半圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AC、BC．（1）如圖1，則△ABC面積的最大值是；（2）如圖2，如果AC＝8，①則BC＝；②作∠ACB的平分線CP交⊙O于點(diǎn)P，求長(zhǎng)CP的長(zhǎng)．（3）如圖3，連接AP并保持CP平分∠ACB，D為線段BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DH⊥AP，在C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，請(qǐng)直接寫出DH長(zhǎng)的最大值．【分析】（1）利用三角形的底一定，高最大時(shí)三角形的面積最大，得到當(dāng)AB邊上的高為半徑是三角形的面積取得最大值；（2）①利用圓周角定理和勾股定理解答即可；②過點(diǎn)B作BD⊥PC于點(diǎn)D，連接PB，利用等腰直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可；（3）利用三角形的三邊關(guān)系定理和垂徑定理即可．【解答】解：（1）∵⊙O的半徑為5，AB是直徑，∴AB＝10．∴當(dāng)AB邊上的高最大時(shí)，△ABC面積的最大，∵點(diǎn)C是直徑AB上方半圓上一動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)CO⊥AB時(shí)，即CO＝5時(shí)，△ABC面積的最大，∴△ABC面積的最大值是AB?OC＝10×5＝25，故答案為：25．（2）①∵⊙O的半徑為5，AB是直徑，∴AB＝10，∠BCA＝90°，∴BC＝＝＝6．故答案為：6；②過點(diǎn)B作BD⊥PC于點(diǎn)D，連接PB，PA，如圖，∵CP為∠ACB的平分線，∠ACB＝90°，∴∠ACP＝∠BCP＝45°，∴△CDB為等腰直角三角形，∴CD＝BD．∵AB是直徑，∴∠APB＝90°，∵∠ABP＝∠ACP＝45°，∴△APB為等腰直角三角形，∴PB＝AB＝5．∵BD⊥PC，∴∠PDB＝90°，∴∠PDB＝∠ACB＝90°，∵∠BPC＝∠BAC，∴△PDB∽△ACB，∴，∵AC＝8，BC＝6，∴PD＝4，BD＝3，∴CD＝BD＝3，∴CP＝PD+CD＝4+3＝7；（3）連接OD，OH，如圖，∵D為線段BC的中點(diǎn)，∴OD⊥BC，∵DH≤OD+OH，∴當(dāng)點(diǎn)D，O，H三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，DH＝OD+OH，DH取最大值．如圖，∵CP平分∠ACB，∴．∵OD⊥BC，DH⊥AP，點(diǎn)D，O，H三點(diǎn)在一條直線上，∴BC∥AP，∴四邊形APBC為正方形，∴DH＝AC＝5，∴DH長(zhǎng)的最大值為5．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓周角定理，圓的直徑的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，三角形的三邊關(guān)系定理，熟練掌握元的有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋?姑蘇區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知半徑為2的⊙O與直線l相切于點(diǎn)A，點(diǎn)P是直徑AB左側(cè)半圓上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥l，垂足為點(diǎn)C，PC與⊙O交于點(diǎn)D，連接PA，PB，設(shè)PC的長(zhǎng)為x（2＜x＜4）．（1）當(dāng)x＝3時(shí)，求弦PA，PB的長(zhǎng)度；（2）用含有x的代數(shù)式表示PD?CD，并求出當(dāng)x為何值時(shí)，PD?CD的值最大？最大值是多少？【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得AB⊥l，則AB∥PC，所以∠CPA＝∠PAB，再根據(jù)AB為⊙O的直徑得到∠APB＝90°，則可判斷△PCA∽△APB，利用相似比可計(jì)算出AP，然后利用勾股定理可計(jì)算出PB；（2）如圖，過O作OE⊥PD，垂足為E，根據(jù)垂徑定理得到PE＝ED，易得四邊形OECA為矩形，則CE＝OA＝2，所以PE＝ED＝x﹣2，接著表示出PD和CD，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解．【解答】解：（1）∵⊙O與直線l相切于點(diǎn)A，AB為⊙O的直徑，∴AB⊥l，又∵PC⊥l，∴AB∥PC，∴∠CPA＝∠PAB，∵AB為⊙O的直徑，∴∠APB＝90°，∴∠PCA＝∠APB，∴△PCA∽△APB，∴PC：AP＝AP：AB，∵PC＝x＝3，∴3：AP＝AP：4，∴AP＝2，在Rt△APB中，PB＝＝2；（2）如圖，過O作OE⊥PD，垂足為E，∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，∴PE＝ED，在矩形OECA中，CE＝OA＝2，∴PE＝ED＝x﹣2，∴CD＝PC﹣PD＝x﹣2（x﹣2）＝4﹣x，∴PD?PC＝2（x﹣2）?（4﹣x）＝﹣2x2+12x﹣16＝﹣2（x﹣3）2+2，∵2＜x＜4，∴當(dāng)x＝3時(shí)，PD?CD的值最大，最大值為2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)．12．（2022?嵩縣模擬）如圖，Rt△ABC的中，∠BAC＝90°，AB＝4cm，AC＝3cm，點(diǎn)G是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，以AG為直徑的⊙O交CG于點(diǎn)D，E是邊AC的中點(diǎn)，連接DE．（1）求證：DE與⊙O相切；（2）填空：①當(dāng)AG＝3cm時(shí)，⊙O與直線BC相切；②當(dāng)點(diǎn)G在邊AB上移動(dòng)時(shí)，△CDE面積的最大值是cm2．【分析】（1）連接AD，OD，利用圓周角定理，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，同圓的半徑相等和等腰三角形的性質(zhì)以及圓的切線的判定定理解答即可；（2）①設(shè)⊙O與BC相切于點(diǎn)F，連接OF，設(shè)OA＝OG＝rcm，則AG＝2rcm，OF＝rcm，BO＝（4﹣r）cm，利用切線的性質(zhì)定理和相似三角形的判定與性質(zhì)列出比例式求得r值，則結(jié)論可得；②利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和高相等的三角形的面積的關(guān)系可得，則得當(dāng)△ADC面積最大時(shí)滿足題意；由題意求得△ADC的面積最大值則結(jié)論可求．【解答】（1）證明：連接AD，OD，如圖，∵AG為⊙O的直徑，∴AD⊥CG，∴∠AGD+∠DAG＝90°．∵∠BAC＝90°，∴∠DAG+∠CAD＝90°∴∠AGD＝∠CAD．∵AD⊥CD，E是邊AC的中點(diǎn)，∴DE＝AE＝AC．∴∠EDA＝∠CAD，∴∠EDA＝∠AGD．∴OG＝OD，∴∠AGD＝∠ODG，∴∠ODG＝ADE．∵∠ADG＝90°，∴∠ODG+ODA＝90°，∴∠ODA+∠ADE＝90°，即∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∵OD為⊙O的半徑，∴DE與⊙O相切；（2）解：①設(shè)⊙O與BC相切于點(diǎn)F，連接OF，如圖，設(shè)OA＝OG＝rcm，則AG＝2rcm，OF＝rcm，BO＝（4﹣r）cm，∵∠BAC＝90°，AB＝4cm，AC＝3cm，∴BC＝＝5cm．∵⊙O與BC相切，∴OF⊥BC，∴∠BFO＝∠BAC＝90°，