3.3垂徑定理（A卷基礎(chǔ)鞏固）-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)分層練習(xí)（基礎(chǔ)鞏固＋能力拓展北師大版）

3.3垂徑定理學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________A卷（基礎(chǔ)鞏固）一、選擇題1．下列說(shuō)法正確的是（）A．垂直于弦的直線平分弦所對(duì)的兩條弧 B．平分弦的直徑垂直于弦C．垂直于直徑的弦平分這條直徑 D．弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心【答案】D【分析】根據(jù)垂徑定理對(duì)選項(xiàng)A、C進(jìn)行判斷，根據(jù)垂徑定理的推論對(duì)B、D選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：A．垂直于弦的直徑平分弦所對(duì)的兩條弧，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．垂直于直徑的弦被這條直徑平分，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，所以D選項(xiàng)正確．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理及垂徑定理的推論，掌握并理解定理的內(nèi)容是解答此題的關(guān)鍵2．（2021—2022山東臨沂九年級(jí)期中）如圖，若，，則的長(zhǎng)為()A． B． C． D．【答案】A【分析】垂直于，如圖，則利用垂徑定理得到，再利用勾股定理計(jì)算出，則，然后在中利用勾股定理計(jì)算出．【詳解】解：垂直于，如圖，則，在中，，，在中，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。部疾榱斯垂啥ɡ恚?．（2021—2022福建省廈門(mén)九年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)，，，在圓上，弦和交于點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若平分，則 B．若，則平分C．若垂直平分，則圓心在上 D．若圓心在上，則垂直平分【答案】C【分析】根據(jù)垂徑定理的內(nèi)容和垂徑定理的推論的內(nèi)容進(jìn)行判斷．【詳解】解：A、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；B、垂直于弦的直徑平分弦，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；C、弦的垂直平分線必經(jīng)過(guò)圓心，原說(shuō)法正確，符合題意；D、若也是直徑，則原說(shuō)法不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理以及推論，解答時(shí)熟悉垂徑定理的內(nèi)容以及推論的內(nèi)容是關(guān)鍵．4．（2021—2022浙江九年級(jí)期中）如圖，⊙O的半徑為5，弦AB＝8，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，連接OC，則OC的長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)垂徑定理的推論，勾股定理即可求得的長(zhǎng)【詳解】點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，⊙O的半徑為5，弦AB＝8，在中故選C【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．5．（2021—2022湖北武漢九年級(jí)月考）如圖，在半徑為的⊙O中，AB是直徑，AC是弦，D是的中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)E．若BE＝ED，則弦AC的長(zhǎng)是（）A．4 B．4 C．4 D．6【答案】C【分析】連接，交于，根據(jù)垂徑定理得出，，進(jìn)而證得，根據(jù)三角形中位線定理求得，從而求得，利用勾股定理即可求得．【詳解】解：如圖示，連接，交于，是的中點(diǎn)，，，，，，，是直徑，，在和中，，，∴，，，在中，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．6．（2021—2022北京清華附中九年級(jí)月考）⊙O的半徑為5，M是圓外一點(diǎn)，MO＝6，∠OMA＝30°，則弦AB的長(zhǎng)為（）A．4 B．6 C．6 D．8【答案】D【分析】過(guò)作于，連接，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)垂徑定理得出，最后求出答案即可．【詳解】解：過(guò)作于，連接，則，，，，在中，由勾股定理得：，，過(guò)，，即，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了含角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是能熟記垂直于弦的直徑平分弦．7．（2021—2022福建省福州九年級(jí)月考）筒車(chē)是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，如圖1，筒車(chē)盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2.已知圓心O在水面上方，且被水面截得的弦長(zhǎng)為6米，半徑長(zhǎng)為4米．若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，則點(diǎn)C到弦所在直線的距離是（）A．1米 B．米 C．2米 D．米【答案】B【分析】連接OC交AB于D，連接OA，根據(jù)垂徑定理得到，根據(jù)勾股定理求出OD，結(jié)合圖形計(jì)算，得出答案．【詳解】解：連接OC交AB于D，連接OA，是運(yùn)行軌道最低點(diǎn)（米）中，（米）則點(diǎn)C到弦所在直線的距離是（米）故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理的應(yīng)用，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．8．（2021—2022江蘇無(wú)錫市九年級(jí)月考）如圖，已知⊙O的半徑為5，弦AB的長(zhǎng)為8，P是AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BP＝2，則OP等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】過(guò)O作OC⊥AB于C，根據(jù)垂徑定理求出AC、BC，根據(jù)勾股定理求出OC，根據(jù)勾股定理求出OP即可．【詳解】解：過(guò)O作OC⊥AB于C，則∠OCP＝∠ACO＝90°，∵OC⊥AB，OC過(guò)O，∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，∵BP＝2，∴PC＝BC＋BP＝6，在Rt△ACO中，由勾股定理得：OC＝，在Rt△PCO中，由勾股定理得：OP＝，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和垂徑定理的應(yīng)用，能靈活運(yùn)用垂徑定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：垂直于弦的直徑平分弦．9．（2021·四川省宜賓市中考一模）如圖，為的直徑，弦，垂足為，，，則的半徑為（）A．3 B．4 C．5 D．無(wú)法確定【答案】C【分析】連接OA，由垂徑定理得AE=3，設(shè)OA=OC=x，根據(jù)勾股定理列出方程，進(jìn)而即可求解．【詳解】連接OA，∵為的直徑，弦，∴AE=AB=3，設(shè)OA=OC=x，則OE=x1，∴，解得：x=5，∴的半徑為5．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理和勾股定理，添加輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．10．（2021—2022湖北江漢九年級(jí)期中）如圖，⊙O的半徑為5，弦AB長(zhǎng)為8，P為弦AB上動(dòng)點(diǎn)，則線段OP長(zhǎng)的取值范圍是（）A．3＜OP＜5 B．3≤OP≤5 C．4＜OP＜5 D．4≤OP≤5【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C，連接OA，則有AC=4，進(jìn)而根據(jù)勾股定理可得OC=3，然后問(wèn)題可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C，連接OA，如圖所示：

∵⊙O的半徑為5，弦AB長(zhǎng)為8，∴，在Rt△ACO中，，∵P為弦AB上動(dòng)點(diǎn)，∴線段OP長(zhǎng)的取值范圍是3≤OP≤5；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．（2021—2022江蘇溧陽(yáng)九年級(jí)期中）如圖在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為6，圓心O到AB的距離為4，則⊙O的半徑長(zhǎng)_______．【答案】5【分析】連接半徑，利用垂徑定理求出AD=BD=3，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解：連接OA，∵OD⊥AB，∴AD=BD=3，∵OD=4，∴，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理，解題關(guān)鍵是連接半徑，構(gòu)建直角三角形．12．（2021—2022福建省福州九年級(jí)期中）如圖，在⊙O中，直徑垂直弦于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)________．【答案】【分析】求出半徑長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出DE，再根據(jù)垂徑定理求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：∵，，∴，∵直徑垂直弦于點(diǎn)，∴，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用垂徑定理求圓中的弦長(zhǎng)．13．（2021—2022江蘇九年級(jí)月考）如圖，⊙O的直徑AB＝26，弦CD⊥AB，垂足為E，OE：BE＝5：8，則CD的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】24【分析】連接OC，由題意得OE=5，BE=8，再由垂徑定理得CE=DE，∠OEC=90°，然后由勾股定理求出CE=12，即可求解．【詳解】解：連接OC，如圖所示：∵直徑AB=26，∴OC=OB=13，∵OE：BE=5：8，∴OE=5，BE=8，∵弦CD⊥AB，∴CE=DE，∠OEC=90°，∴CE==12，∴CD=2CE=24，故答案為：24．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握垂徑定理，由勾股定理求出CE的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．14．（2021—2022河南九年級(jí)期中）已知的直徑，是的弦，，垂足為M，且，則的長(zhǎng)為_(kāi)________．【答案】或【分析】連接，由，根據(jù)垂徑定理得到，再根據(jù)勾股定理計(jì)算出，然后分類(lèi)討論：當(dāng)如圖1時(shí)，；當(dāng)如圖2時(shí)，，再利用勾股定理分別計(jì)算即可．【詳解】解：連接，，，在中，，，當(dāng)如圖1時(shí)，，在中，；當(dāng)如圖2時(shí)，，在中，．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握垂徑定理即平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧，同時(shí)需要利用分類(lèi)討論的思想進(jìn)行求解．15．（2021—2022江蘇無(wú)錫市九年級(jí)期中）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)F，OE⊥AC于點(diǎn)E，若OE＝3，OB＝5，，則AE的長(zhǎng)度是_____，CD的長(zhǎng)度是____．【答案】49.6【分析】根據(jù)垂徑定理求出AE可得AC的長(zhǎng)度，利用△AEO∽△AFC，求出CF，即可求解．【詳解】解：∵OE⊥AC于點(diǎn)E，∴AE＝EC，∵OE＝3，OB＝5．∴AE＝＝4．∴AC＝8．∵∠A＝∠A，∠AEO＝∠AFC．∴△AEO∽△AFC．∴，即：，∴FC＝．∵CD⊥AB．∴CD＝2CF＝9.6．故答案是：4，9.6．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，三角形相似的判定和性質(zhì)、勾股定理知識(shí)，關(guān)鍵在于合理運(yùn)用垂徑定理和勾股定理求出邊的長(zhǎng)度．16．（2021—2022江蘇九年級(jí)月考）如圖，將半徑為2cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過(guò)圓心O，則折痕AB的長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn),連接，由折疊的性質(zhì)可知：，根據(jù)勾股定理可求出的長(zhǎng)，再由垂徑定理可得;即可得出答案．【詳解】如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于，連接，，，，在中，由勾股定理得：，由垂徑定理得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，正確應(yīng)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．17．（2021·青海西寧·中考真題）如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)E，，，則的半徑_______．【答案】【分析】設(shè)半徑為r，則，得到，由垂徑定理得到，再根據(jù)勾股定理，即可求出答案．【詳解】解：由題意，設(shè)半徑為r，則，∵，∴，∵是的直徑，弦于點(diǎn)E，∴點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∵，∴，在直角△OCE中，由勾股定理得，即，解得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理和勾股定理進(jìn)行解題．18．（2021—2022黑龍江哈爾濱九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，是半的直徑，點(diǎn)均在半上，于點(diǎn)，若，則的值為_(kāi)___________．【答案】4【分析】根據(jù)垂徑定理得到AE＝EC，根據(jù)三角形中位線定理得到OE＝BC，根據(jù)勾股定理求出AE，計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)BC＝6a，則DE＝2a，

∵OD⊥AC，

∴AE＝EC，又AO＝OB，

∴OE＝BC＝3a，

∴OD＝2a＋3a＝5a，

在Rt△AOE中，AE＝，

∴AC＝8a，

則，

故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理、勾股定理、三角形中位線定理，掌握三角形中位線定理、垂徑定理是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．（2020—2021廣東麻章九年級(jí)期中）如圖，CD為圓O的直徑，CD⊥AB，垂足為F，AO⊥BC，垂足為E，連接AC．（1）求∠B的度數(shù)．（2）若，求圓O的半徑．【答案】（1）60°；（2）8【分析】（1）根據(jù)垂徑定理求出，，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)求出，，由此可證得為等邊三角形，進(jìn)而可得；（2）先求出，由此可得，進(jìn)而可設(shè)，則，再根據(jù)勾股定理列出方程求解即可．【詳解】解：（1），過(guò)點(diǎn)，，，，過(guò)點(diǎn)，，，，∴為等邊三角形，，（2），，，，又∵，，，設(shè)，則，∵，且，∴，解得：（舍負(fù)），∴，即的半徑為8．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，線段垂直平分線性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定以及含30°的直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，綜合性比較強(qiáng)，難度適中．20．（2021—2022湖北黃梅九年級(jí)期中）如圖，AB是⊙O的直徑，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，交AC于點(diǎn)，．（1）求證：；（2）若，，求BC的長(zhǎng)．

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）6．【分析】（1）由根據(jù)垂徑定理可得，，由三角形中位線定理即可判定；（2）由垂徑定理和勾股定理可求圓的半徑OA=5，OE=3，在由中位線定理可得BC的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）∵，OD是半徑，∴，，又∵，∴，（2）∵，，∴，，又∵在中，，∴，∴，∵，，∴【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理，勾股定理；解答此類(lèi)題常常利用垂徑定理由垂直得中點(diǎn)，進(jìn)而由弦長(zhǎng)的一半，弦心距及圓的半徑構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來(lái)解決問(wèn)題．21．（2021—2022江蘇溧陽(yáng)九年級(jí)期中）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙P經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)A（4，0），交y軸于點(diǎn)B（0，3），點(diǎn)C是劣弧OA的中點(diǎn)，連接BC．（1）求⊙P的半徑（2）求弦BC的長(zhǎng)【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用A，B點(diǎn)坐標(biāo)得出AO，BO的長(zhǎng)，進(jìn)而得出AB的長(zhǎng)，即可得出圓的半徑；（2）連接PC交OA于點(diǎn)H，連接AC，先根據(jù)勾股定理得出PH=，AC=，最后根據(jù)勾股定理求出結(jié)果．【詳解】（1）解：∵⊙P過(guò)原點(diǎn)O，與x軸交于A（4，0），與y軸交于B（0，3），

∴AB是⊙O的直徑，AO=4，BO=3，

由題意可得出：OA2+OB2=AB2，

∴AB=5，

∴⊙P的半徑為；（2）連接PC交OA于點(diǎn)H，連接AC，∵點(diǎn)C是劣弧OA的中點(diǎn)，∴OH=AH==2，PH⊥OA，∵PA=，∴PH==，∴CH=PCPH==1，∴AC=，∵AB為⊙P的直徑，∴∠ACB=90°，∴BC==2．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理以及勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線．22．（2021—2022北京清華附中九年級(jí)月考）如圖，AB為⊙O的直徑，C、D為圓上的兩點(diǎn)，OC∥BD，OC交AD于點(diǎn)E．（1）求證：AC＝CD；（2）若CE＝2，AD＝8，求⊙O的半徑．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）5【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)證明，根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理證明結(jié)論；（2）根據(jù)垂徑定理求得．設(shè)的半徑為，則，在直角中，根據(jù)勾股定理列出方程并解答．【詳解】解：（1）是的直徑，，，．，，；（2）由（1）可知，又，．設(shè)的半徑為，，，由勾股定理得：，，，的半徑為5．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理、垂徑定理以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是利用了方程思想求得相關(guān)線段的長(zhǎng)度．23．（2021·湖北遠(yuǎn)安·九年級(jí)期末）如圖，在平行四邊行ABCD中，AB＝5，BC＝8，BC邊上的高AH＝3，點(diǎn)P