河南省鄲城縣第二高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期網(wǎng)上學(xué)習(xí)第二次月考試題含解析

PAGE18-河南省鄲城縣其次高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期網(wǎng)上學(xué)習(xí)其次次月考試題（含解析）一、選擇題（每小題5分共60分）1.函數(shù)在區(qū)間上的平均改變率為（）A.-1 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】干脆利用平均改變率公式進行求值.【詳解】因為，所以在區(qū)間上的平均改變率為.故選：B【點睛】本題考查函數(shù)的平均改變率，考查運算求解實力，屬于基礎(chǔ)題.2.設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，且=，則的值為（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)定義，求解即可得解.【詳解】解：因為，又，所以，故選：C.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的定義，屬基礎(chǔ)題.3.曲線在點處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)曲線在某點處導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可求出切線的斜率，然后利用點斜式可得結(jié)果.【詳解】依題意：，故，故切線斜率，，故所求切線方程為，即，故選：A【點睛】本題考查曲線在某點處的切線方程，重在理解曲線在這點處導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬基礎(chǔ)題.4.設(shè)為曲線上的點，且曲線在點處切線的傾斜角的取值范圍為，則點橫坐標(biāo)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為,又因為曲線在點處切線的傾斜角的取值范圍為，則切線的斜率，所以,解得，故選A.5.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為且滿意，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運算法則求得，令得，即得，即可求解.【詳解】∵函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿意，∴，令，則，即，∴，故.故選：B.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算法則，解決此題的關(guān)鍵是是一個常數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.6.某班班會打算從甲、乙等7名學(xué)生中選派4名學(xué)生發(fā)言，要求甲、乙至少有一人參與.當(dāng)甲乙同時參與時，他們兩人的發(fā)言不能相鄰，那么不同的發(fā)言依次的種數(shù)為（）A. B. C.600 D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意，分2種狀況探討，①只有甲乙其中一人參與，②甲乙兩人都參與，由排列、組合計算可得其符合條件的狀況數(shù)目，由加法原理計算可得答案．【詳解】依據(jù)題意，分2種狀況探討，若只有甲乙其中一人參與，有種狀況；若甲乙兩人都參與，有種狀況，其中甲乙相鄰的有種狀況；則不同的發(fā)言依次種數(shù)種，故選：C.【點睛】本小題主要考查排列組合，考查分類加法計數(shù)原理以及分步乘法計數(shù)原理，解題的難點在于“甲乙兩人至少有一人參與”，也就是要對狀況進行分類探討，屬于中檔題.7.對于問題“已知關(guān)于的不等式的解集為，解關(guān)于的不等式”，給出如下一種解法：由的解集為，得的解集為，即關(guān)于的不等式的解集為.類比上述解法，若關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】把題設(shè)中兩個一元二次不等式的代數(shù)結(jié)構(gòu)關(guān)系與對應(yīng)的解集關(guān)系類比推廣到兩個分式不等式的代數(shù)結(jié)構(gòu)關(guān)系與對應(yīng)的解集關(guān)系即可得到要求的解集.【詳解】將關(guān)于的不等式變形可得，從而由條件可得.利用對數(shù)換底公式有，即，于是所求不等式的解集為，故選A.【點睛】類比推理中有一類是解題方法上的類比推理，即原有的解題方法是建立在代數(shù)式的合理變形的基礎(chǔ)上，因此對我們須要解決的問題，假如它們也有代數(shù)式上類似的變形，那么解決問題的手段應(yīng)當(dāng)是相同的，從而使得新問題得到解決.8.《聊齋志異》中有這樣一首詩：“挑水砍柴不堪苦，請歸但求穿墻術(shù).得訣自詡無所阻，額上墳起終不悟.”在這里，我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術(shù)”：，則依據(jù)以上規(guī)律，若具有“穿墻術(shù)”，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通過視察四個等式，發(fā)覺存在相同性質(zhì)，從而得出即可.【詳解】因，，，，所以，即.故選：C.【點睛】歸納推理的一般步驟是：（1）通過視察個別狀況發(fā)覺某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．9.已知在上為單調(diào)遞增函數(shù)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得對隨意的恒成立，轉(zhuǎn)化為對隨意的恒成立，分別參數(shù)，進而可得取值范圍.【詳解】由題意知對隨意的恒成立，即對隨意的恒成立，即，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，所以.故選：D.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、分別參數(shù)方法、不等式的解法，考查了推理實力與計算實力，屬于中檔題．10.函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極大值，依據(jù)區(qū)間上的圖像包括且不能高過極大值列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.【詳解】由于，故函數(shù)在和上遞增，在上遞減，，畫出函數(shù)圖像如下圖所示，由于函數(shù)在區(qū)間上有最大值，依據(jù)圖像可知，即，故選D.【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性、極值，考查函數(shù)在開區(qū)間上有最值的問題，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.11.已知定義在上的函數(shù)導(dǎo)函數(shù)為，且，則不等式的解集是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意，令，對其求導(dǎo)可得，結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系分析可得函數(shù)在上為減函數(shù)，進而分析可得，得（1），結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，分析可得答案．【詳解】依據(jù)題意，令，其導(dǎo)數(shù)，又由對于隨意實數(shù)有，則有，即函數(shù)在上為減函數(shù)，又由（1），則（1）（1），則，得（1），又由函數(shù)在上為減函數(shù)，則有，即不等式的解集為；故選：．【點睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，涉及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性．12.若是函數(shù)的極值點，函數(shù)恰好有一個零點，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可得是函數(shù)的根，則可得，利用導(dǎo)數(shù)得函數(shù)的單調(diào)性，再由函數(shù)恰有一個零點，即只有一個交點，得到結(jié)論.【詳解】由函數(shù)，得，因是函數(shù)的極值點，則，解得，即，，令，即，解得或，所以，函數(shù)在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，又，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；要使函數(shù)恰有一個零點，即只有一個交點，所以，或.故實數(shù)的取值范圍為.故選：B.【點睛】本題考查函數(shù)的極值，函數(shù)的零點，屬于中檔題.二、填空題（每小題5分共20分）13.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為_______

．【答案】.【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)單調(diào)性即可得到結(jié)論.【詳解】解：∵，，

則，

由，即，解得，

，即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，

故答案為：.【點睛】本題主要考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，依據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.14.設(shè)，則________.【答案】【解析】【分析】由題意得，，依據(jù)定積分的幾何意義可知，可得表示的是四分之一的圓的面積，再依據(jù)微積分基本定理，可求，最終相加即可得到結(jié)果.詳解】由題意得，，依據(jù)定積分的幾何意義可知，表示的是在x軸上方的半徑為1的四分之一圓的面積，如圖（陰影部分）：故，又，所以.所以本題答案為.【點睛】本題考查微積分基本定理和定積分的幾何意義，利用定積分精確表示封閉圖形的面積并正確計算是解答的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題.15.若曲線上點處的切線斜率為，則曲線上的點到直線的最短距離是_________.【答案】【解析】【分析】先求導(dǎo)數(shù)，結(jié)合切線斜率可得切點坐標(biāo)，求出切點到直線的距離即為所求.【詳解】由得切點為，最短距離為點到直線的距離，.故答案為：.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，明準(zhǔn)確點處的導(dǎo)數(shù)值即為切線的斜率是求解這類問題的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).16.在一個正六邊形的六個區(qū)域栽種欣賞植物（如圖），要求同一塊中種同一種植物，相鄰的兩塊種不同的植物．現(xiàn)有3種不同的植物可供選擇，則有_____種栽種方案．【答案】66【解析】【分析】依據(jù)題意，分3種狀況探討：①當(dāng)A、C、E種同一種植物，②當(dāng)A、C、E種二種植物，③當(dāng)A、C、E種三種植物，再由分類計數(shù)原理，即可求得，得到答案．【詳解】依據(jù)題意，分3種狀況探討：①當(dāng)A、C、E種同一種植物，此時共有3×2×2×2=24種方法；②當(dāng)A、C、E種二種植物，此時共有C32×A32×2×1×1=36種方法；③當(dāng)A、C、E種三種植物，此時共有A33×1×1×1=6種方法；則一共有24+36+6=66種不同的栽種方案；故答案為66．【點睛】本題主要考查分類計數(shù)原理，及有關(guān)排列組合綜合問題，解答這類問題理解題意很關(guān)鍵，肯定多讀題才能挖掘出隱含條件，解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應(yīng)用分類計數(shù)加法原理探討時，既不能重復(fù)交叉探討又不能遺漏，同時在某些特定問題上，也可充分考慮“正難則反”的思維方式．三、解答題（17題10分，其他每小題12分）17.已知復(fù)數(shù)滿意（是虛數(shù)單位）.求：（1）；（2）.【答案】(1)；(2)【解析】【分析】(1)易得,再利用復(fù)數(shù)的除法運算即可.(2)由(1)分別求得再計算求模長即可.【詳解】(1)由題.即(2)由(1),故,故.即【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運算與模長的計算等.屬于基礎(chǔ)題.18.設(shè)函數(shù)的圖象上一點處的切線與的圖象的另一交點為．（1）確定點的坐標(biāo)；（2）求函數(shù)與切線圍成的封閉圖形面積．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在點處的切線方程，將此切線方程與函數(shù)的解析式聯(lián)立，可求出點的坐標(biāo)；（2）利用圖象確定被積函數(shù)與被積區(qū)間，利用定積分可計算出由函數(shù)的圖象與切線圍成的封閉圖形面積.【詳解】（1）點，，故，所以切線的方程為，即.聯(lián)立，得，解得或（舍去），所以點．（2）由圖，設(shè)函數(shù)與切線圍成的封閉圖形面積為，則，所以所求面積為．【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線方程，同時也考查了利用定積分計算封閉區(qū)域的面積，考查計算實力，屬于中等題.19.一個口袋內(nèi)有個不同的紅球，個不同的白球，（1）從中任取個球，紅球的個數(shù)不比白球少的取法有多少種？（2）若取一個紅球記分，取一個白球記分，從中任取個球，使總分不少于分的取法有多少種？【答案】（1）115（2）186【解析】【詳解】（1）從中任取4個球，紅球的個數(shù)不比白球少的取法，紅球4個，紅球3個和白球1個，紅球2個和白球2個，紅球4個，取法有種，紅球3個和白球1個，取法有種；紅球2個和白球2個，取法有種；依據(jù)分類計數(shù)原理，紅球的個數(shù)不比白球少的取法有種．（2）使總分不少于7分狀況有三種狀況，4紅1白，3紅2白，2紅3白.第一種，4紅1白，取法有種；其次種，3紅2白，取法有種，第三種，2紅3白，取法有種，依據(jù)分類計數(shù)原理，總分不少于7分的取法有20.（1）求證：.（2）已知，用分析法證明：.【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解.【解析】【分析】（1）利用分析法，不等式的兩邊平方后，進行比較大小，從而問題得證；（2）依據(jù)分析法的證明步驟，利用不等式的基本性質(zhì)，即可證明.【詳解】（1）證明：因為和都是正數(shù)，所以要證，只需證，即證，只需證，只需證，又因為成立，所以成立.即證.（2）若證.即證，即證，即證.因為，所以恒成立，故原不等式成立.即證.【點睛】本題考查不等式的證明，涉及不等式證明的方法（分析法），屬基礎(chǔ)題.21.已知數(shù)列滿意.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）令，用數(shù)學(xué)歸納法證明：【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析【解析】【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義證明即可；（2）由數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，先證明時，不等式成立；再假設(shè)當(dāng)時，不等式成立，然后證明時不等式成馬上可.【詳解】證明：（1）令，則，，，即，數(shù)列是等比數(shù)列，故是等比數(shù)列；（2）由（1）得，，，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)，時，．①當(dāng)時，不等式的左邊，右邊，而，時，不等式成立；②假設(shè)當(dāng)時，不等式成立，即；當(dāng)時，當(dāng)時，不等式也成立．由①②可得，當(dāng)，時，．【點睛】本題考查了利用定義法證明等比數(shù)列，重點考查了數(shù)學(xué)歸納法，屬中檔題.22.已知函數(shù)f（x）＝xlnx﹣x+1，g（x）＝ex﹣ax，a∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）若g（x）≥1在R上恒成立，求a的值；（Ⅲ）求證：．【答案】（Ⅰ）0（Ⅱ）a＝1；（III）見解析【解析】【分析】（I）對f(x)求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得到函數(shù)f(x)的單調(diào)性，即得解.（Ⅱ）由g（x）＝ex﹣ax≥1恒成立可得ax+1≤ex恒成立，可求得函數(shù)y＝h（x）在（0，1）處的切線方程為y＝x+1，故可得證.（III）由（Ⅱ）兩邊取對數(shù)得ln（x+1）≤x，令x，可得證.【詳解】（I）f'（x）＝lnx，∴當(dāng)0＜x＜1時，f'（x）＜0，x＞1時，f'（x）＞0，∴f