江蘇省南通市如東縣2025屆高二數學第一學期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

江蘇省南通市如東縣2025屆高二數學第一學期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．傾斜角為45°，在y軸上的截距為2022的直線方程是（）A. B.C. D.2．劉徽是一個偉大的數學家，他的杰作《九章算術注》和《海島算經》是中國寶貴的數學遺產，他所提出的割圓術可以估算圓周率π，理論上能把π的值計算到任意精度.割圓術的第一步是求圓的內接正六邊形的面積.若在圓內隨機取一點，則此點取自該圓內接正六邊形的概率是（）A. B.C. D.3．已知平面直角坐標系內一動點P，滿足圓上存在一點Q使得，則所有滿足條件的點P構成圖形的面積為（）A. B.C. D.4．如圖，我市某地一拱橋垂直軸截面是拋物線，已知水利人員在某個時刻測得水面寬，則此時刻拱橋的最高點到水面的距離為（）A. B.C. D.5．已知空間向量，則（）A. B.C. D.6．如圖，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為A. B.C. D.7．已知數列是遞減的等比數列，的前項和為，若，，則=（）A.54 B.36C.27 D.188．拋物線的焦點到準線的距離為（）A. B.C. D.9．已知f(x)是定義在R上的偶函數，當時，，且f(-1)=0，則不等式的解集是（）A. B.C. D.10．已知隨機變量服從正態(tài)分布，，則（）A. B.C. D.11．在直三棱柱中，側面是邊長為的正方形，，，且，則異面直線與所成的角為（）A. B.C. D.12．丹麥數學家琴生（Jensen）是19世紀對數學分析作出卓越貢獻的巨人，特別是在函數的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果．設函數在區(qū)間內的導函數為，在區(qū)間內的導函數為，在區(qū)間內恒成立，則稱函數在區(qū)間內為“凸函數”，則下列函數在其定義域內是“凸函數”的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若隨機變量，則______.14．如圖，已知橢圓＋y2＝1的左焦點為F，O為坐標原點，設過點F且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，則點G橫坐標的取值范圍為________15．將邊長為2的正方形繞其一邊所在的直線旋轉一周，所得的圓柱體積為________.16．設拋物線的焦點為，直線過焦點，且與拋物線交于兩點，，則__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓，直線（1）求證：對，直線l與圓C總有兩個不同交點；（2）當時，求直線l被圓C截得的弦長18．（12分）已知直線與直線交于點.（1）求過點且平行于直線的直線的方程，并求出兩平行直線間的距離；（2）求過點并且在兩坐標軸上的截距互為相反數的直線的方程.19．（12分）圓錐曲線的方程是.（1）若表示焦點在軸上的橢圓，求的取值范圍；（2）若表示焦點在軸上且焦距為的雙曲線，求的值.20．（12分）設命題對于任意，不等式恒成立．命題實數a滿足（1）若命題p為真，求實數a的取值范圍；（2）若“p或q”為真，“p且q”為假，求實數a的取值范圍21．（12分）為迎接2022年北京冬奧會，推廣滑雪運動，某滑雪場開展滑雪促銷活動.該滑雪場的收費標準是：滑雪時間不超過1小時免費，超過1小時的部分每小時收費標準為40元（不足1小時的部分按1小時計算）.有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動，設甲、乙不超過1小時離開的概率分別為，；1小時以上且不超過2小時離開的概率分別為，；兩人滑雪時間都不會超過3小時.求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率；22．（10分）已知命題實數滿足不等式，命題實數滿足不等式.（1）當時，命題，均為真命題，求實數的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實數的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據直線斜率與傾斜角的關系，結合直線斜截式方程進行求解即可.【詳解】因為直線的傾斜角為45°，所以該直線的斜率為，又因為該直線在y軸上的截距為2022，所以該直線的方程為：，故選：A2、B【解析】此點取自該圓內接正六邊形的概率是正六邊形面積除以圓的面積，分別求出即可.【詳解】如圖，在單位圓中作其內接正六邊形，該正六邊形是六個邊長等于半徑的正三角形，其面積，圓的面積為則所求概率.故選：B【點睛】此題考查幾何概率模型求解，關鍵在于準確求出正六邊形的面積和圓的面積.3、D【解析】先找臨界情況當PQ與圓C相切時，，進而可得滿足條件的點P形成的圖形為大圓（包括內部），即求.【詳解】當PQ與圓C相切時，，這種情況為臨界情況，當P往外時無法找到點Q使，當P往里時，可以找到Q使，故滿足條件的點P形成的圖形為大圓（包括內部），如圖，由圓，可知圓心，半徑為1，則大圓的半徑為，∴所有滿足條件的點P構成圖形的面積為.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是找出臨界情況時點所滿足的條件，進而即可得到動點滿足條件的圖形，問題即可解決.4、D【解析】代入計算即可.【詳解】設B點的坐標為，由拋物線方程得，則此時刻拱橋的最高點到水面的距離為2米.故選：D5、A【解析】求得，即可得出.【詳解】，，，.故選：A.6、D【解析】設AA1=2AB=2，因為，所以異面直線A1B與AD1所成角，，故選D.7、C【解析】根據等比數列的性質及通項公式計算求解即可.【詳解】由，解得或（舍去），，，故選：C8、B【解析】根據拋物線的幾何性質可得選項.【詳解】由得，所以，所以拋物線的焦點到準線的距離為1，故選：B.9、D【解析】根據題意可知，當時，，即函數在上單調遞增，再結合函數f(x)的奇偶性得到函數的奇偶性，并根據奇偶性得到單調性，進而解得答案.【詳解】由題意，當時，，則函數在上單調遞增，而f(x)是定義在R上的偶函數，容易判斷是定義在上的奇函數，于是在上單調遞增，而f(-1)=0，則.于是當時，.故選：D.10、B【解析】直接利用正態(tài)分布的應用和密度曲線的對稱性的應用求出結果【詳解】根據隨機變量服從正態(tài)分布，所以密度曲線關于直線對稱，由于，所以，所以，則，所以故選：B.【點睛】本題考查的知識要點：正態(tài)分布的應用，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題11、C【解析】分析得出，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得異面直線與所成的角.【詳解】由題意可知，，因為，，則，，因為平面，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則點、、、，，，，因此，異面直線與所成的角為.故選：C.12、B【解析】根據基本初等函數的導函數公式求各函數二階導函數，判斷其在定義域上是否恒有，即可知正確選項.【詳解】A：，則，顯然定義域內有正有負，故不是“凸函數”；B：，則，故是“凸函數”；C：，則，故不是“凸函數”；D：，則，顯然定義域內有正有負，故不是“凸函數”；故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】根據給定條件利用二項分布的期望公式直接計算作答.【詳解】因為隨機變量，所以.故答案：214、【解析】設直線的方程為，設點、，將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，求出線段的垂直平分線方程，可求得點的橫坐標，利用不等式的基本性質可求得點的橫坐標的取值范圍.【詳解】設直線的方程為，聯立，整理可得，因為直線過橢圓的左焦點，所以方程有兩個不相等的實根設點、，設的中點為，則，，直線的垂直平分線的方程為，令，則.因為，所以故點的橫坐標的取值范圍.故答案為：15、【解析】依題意可得圓柱的底面半徑、高，再根據圓柱的體積公式計算可得；【詳解】解：依題意可得圓柱的底面半徑，高，所以；故答案為：16、【解析】拋物線焦點為,由于直線和拋物線有兩個交點,故直線斜率存在.根據拋物線的定義可知,故的縱坐標為,橫坐標為.不妨設,故直線的方程為,聯立直線方程和拋物線方程,化簡得,解得,故.所以.【點睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關系,考查拋物線的幾何性質和定義.考查三角形面積公式.在解題過程中,先根據題目所給拋物線的方程求得焦點的坐標,然后利用拋物線的定義:到定點的距離等于到定直線的距離,由此求得點的坐標,進而求得直線的方程,聯立直線方程和拋物線方程求得點的坐標.最后求得面積比.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由直線過定點，只需判斷定點在圓內部，即可證結論.（2）由點線距離公式求弦心距，再利用半徑、弦心距、弦長的幾何關系求弦長即可.【小問1詳解】直線恒過定點，又，所以點在圓的內部，所以直線與圓總有兩個不同的交點，得證.【小問2詳解】由題設，，又的圓心為，半徑為，所以到直線的距離，所以所求弦長為18、（1）；.（2）或.【解析】(1)首先求得交點坐標，然后利用待定系數法確定直線方程，再根據兩平行直線之間距離公式即可計算距離；(2)根據截距式方程的求法解答【小問1詳解】由得設直線的方程為，代入點坐標得，∴直線的方程為∴兩平行線間的距離【小問2詳解】當直線過坐標原點時，直線的方程為，即；當直線不過坐標原點時，設直線的方程為，代入點坐標得，∴直線的方程的方程為，即綜上所述，直線的方程為或19、（1）且（2）【解析】（1）由條件可得，解出即可；（2）由條件可得，解出即可.【小問1詳解】若表示焦點在軸上橢圓，則，解得且【小問2詳解】若表示焦點在軸上且焦距為的雙曲線，則，解得20、（1）（2）【解析】(1)由即可獲解(2)p、q一真一假,分情況討論即可【小問1詳解】由命題為真,得任意,不等式恒成立所以即所以實數的取值范圍為【小問2詳解】由命題為真,得因為“或”為真,“且”為假,所以p、q一真一假若真假,則,即若假真,即所以實數的取值范圍為21、【解析】甲、乙兩人所付費用相同即為、、，求出相應的概率，利用互斥事件的概率公式，可求出甲、乙兩人所付費用相同的概率；【詳解】兩人所付費用相同，相同費用可能為0，40，80元，兩人都付0元的概率為，兩人都付40元的概率為，兩人都付80元的概率為，故兩人所付費用相同的概率為.22、（1）；（2）.【解析】（1）分別求出命題，均為真命題時的取值范圍，再求交集即可.（2）利用集