2025屆黑龍江省克東縣第一中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題含解析

2025屆黑龍江省克東縣第一中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線(xiàn)的離心率為，左焦點(diǎn)為F，實(shí)軸右端點(diǎn)為A，虛軸上端點(diǎn)為B，則為（）A.直角三角形 B.鈍角三角形C.等腰三角形 D.銳角三角形2．一條光線(xiàn)從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射后與圓相切，則反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)的斜率為（）A.或 B.或C.或 D.或3．在中，已知，則的形狀是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.正三角形4．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且對(duì)任意正整數(shù)n都有，若，則（）A.2019 B.2020C.2021 D.20225．橢圓與(0<k<9)的（）A.長(zhǎng)軸的長(zhǎng)相等B.短軸的長(zhǎng)相等C.離心率相等D.焦距相等6．有一機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方程為，(是時(shí)間，是位移)，則該機(jī)器人在時(shí)刻時(shí)的瞬時(shí)速度為（）A. B.C. D.7．已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作圓的切線(xiàn)分別交雙曲線(xiàn)的左、右兩支于，，且，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.8．圓與直線(xiàn)的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相切C.相離 D.不能確定9．如圖所示，為了測(cè)量A，B處島嶼的距離，小張?jiān)贒處觀測(cè)，測(cè)得A，B分別在D處的北偏西、北偏東方向，再往正東方向行駛10海里至C處，觀測(cè)B在C處的正北方向，A在C處的北偏西方向，則A，B兩處島嶼間的距離為（）海里.A. B.C. D.1010．若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)，,兩點(diǎn)，則直線(xiàn)的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.11．若命題“或”與命題“非”都是真命題，則A.命題與命題都是真命題B.命題與命題都是假命題C.命題是真命題，命題是假命題D.命題是假命題，命題是真命題12．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為棱A1B1上一點(diǎn)，且AB＝2，若二面角B1﹣BC1﹣E為45°，則四面體BB1C1E的外接球的表面積為（）A.π B.12πC.9π D.10π二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若直線(xiàn)與直線(xiàn)互相垂直，則___________.14．某公司青年、中年、老年員工的人數(shù)之比為10∶8∶7，從中抽取100名作為樣本，若每人被抽中的概率是0.2，則該公司青年員工的人數(shù)為_(kāi)_________15．已知橢圓的弦AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線(xiàn)AB的斜率與直線(xiàn)OM的斜率之積等于_________16．已知，若共線(xiàn)，m+n＝__.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿(mǎn)足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前100項(xiàng)和18．（12分）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為2（1）求C的方程;（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q滿(mǎn)足，求直線(xiàn)斜率最大值.19．（12分）已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為F，且E上一點(diǎn)P到F的最大距離3（1）求橢圓E的方程；（2）若A，B為橢圓E上的兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB過(guò)點(diǎn)F，且其垂直平分線(xiàn)交x軸于H點(diǎn)，，求20．（12分）如圖，四棱錐的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，M為BC的中點(diǎn)，（1）證明：；（2）設(shè)平面平面，求l與平面MND所成角的正弦值21．（12分）如圖，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，∠ADC＝∠BAD＝90°，F(xiàn)為PA中點(diǎn)，，．四邊形PDCE為矩形，線(xiàn)段PC交DE于點(diǎn)N（1）求證：AC∥平面DEF；（2）求二面角A－BC－P的余弦值22．（10分）如圖，扇形AOB的半徑為2，圓心角，點(diǎn)C為弧AB上一點(diǎn)，平面AOB且，點(diǎn)且，面MOC（1）求證：平面平面POB；（2）求平面POA與平面MOC所成二面角的正弦值的大小

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)三邊的關(guān)系即可求出【詳解】因，所以，而，，，所以，即，所以為直角三角形故選：A2、D【解析】由光的反射原理知，反射光線(xiàn)的反向延長(zhǎng)線(xiàn)必過(guò)點(diǎn)，設(shè)反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)的斜率為，則反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)方程為：，即：.又因?yàn)楣饩€(xiàn)與圓相切，所以，,整理：，解得：，或,故選D考點(diǎn)：1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線(xiàn)的方程；3、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系.3、B【解析】利用誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)已知條件，由此判斷出三角形的形狀.【詳解】由，得，得，由于，所以，所以.故選：B4、C【解析】先令代入中，求得，再根據(jù)遞推式得到，將與已知相減，可判斷數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而確定，求得答案.【詳解】因?yàn)?，令，則，又，故，即，故數(shù)列是等比數(shù)列，則，所以，所以，故選：C.5、D【解析】根據(jù)橢圓方程求得兩個(gè)橢圓的，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】橢圓與(0<k<9)的焦點(diǎn)分別在x軸和y軸上，前者a2＝25，b2＝9，則c2＝16，后者a2＝25－k，b2＝9－k，則顯然只有D正確故選：D6、B【解析】對(duì)運(yùn)動(dòng)方程求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)意義即速度求得在時(shí)的導(dǎo)數(shù)值即可.【詳解】由題知，，當(dāng)時(shí)，，即速度為7.故選：B7、D【解析】直線(xiàn)的斜率為，計(jì)算，，利用余弦定理得到，化簡(jiǎn)知，得到答案【詳解】由題意知直線(xiàn)的斜率為，，又，由雙曲線(xiàn)定義知，，.由余弦定理：，，即，即，解得.故雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的方程為.故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)，與圓的關(guān)系，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和計(jì)算能力.8、B【解析】用圓心到直線(xiàn)的距離與半徑的大小判斷【詳解】解：圓的圓心到直線(xiàn)的距離，等于圓的半徑，所以圓與直線(xiàn)相切，故選：B9、C【解析】分別在和中，求得的長(zhǎng)度，再在中，利用余弦定理，即可求解.【詳解】如圖所示，可得，所以，在中，可得，在直角中，因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理可得，所?故選：C.10、D【解析】應(yīng)用兩點(diǎn)式求直線(xiàn)斜率得，結(jié)合及，即可求的范圍.【詳解】根據(jù)題意，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)，,，∴直線(xiàn)的斜率，又，∴，即，又，∴；故選：D11、D【解析】因?yàn)榉莗為真命題，所以p為假命題，又p或q為真命題，所以q為真命題，選D.12、D【解析】連接交于，可得，利用線(xiàn)面垂直的判定定理可得：平面，于是，可得而為二面角的平面角，再求出四面體的外接球半徑，進(jìn)而利用球的表面積計(jì)算公式得出結(jié)論【詳解】連接交于，則，易知，則平面，所以，從而為二面角的平面角，則.因?yàn)?，所以，所以四面體的外接球半徑故四面體BB1C1E的外接球的表面積為故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的性質(zhì)、線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)定理、二面角的平面角、球的表面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】由直線(xiàn)垂直的性質(zhì)求解即可.【詳解】由題意得，解得.故答案為：14、200【解析】先根據(jù)分層抽樣的方法計(jì)算出該單位青年職工應(yīng)抽取的人數(shù)，進(jìn)而算出青年職工的總?cè)藬?shù).【詳解】由題意，從中抽取100名員工作為樣本，需要從該單位青年職工中抽?。ㄈ耍?因?yàn)槊咳吮怀橹械母怕适?.2，所以青年職工共有（人）.故答案：200.15、【解析】根據(jù)點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，利用點(diǎn)差法求解.【詳解】設(shè)，且，則，（1），（2）得：，，.又，，.故答案為：16、【解析】根據(jù)空間向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算求出m,n，進(jìn)而求得答案.【詳解】由于，因?yàn)?，所以存在，使得，于是，則.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由題意得出，然后與原式結(jié)合，兩式相減并化簡(jiǎn)求出，最后根據(jù)等差數(shù)列的定義求得答案；（2）結(jié)合（1），分別討論，和三種情況，分別求出，進(jìn)而求出.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，兩式相減得，所以又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列，所以.【小問(wèn)2詳解】由得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.18、（1）；（2）最大值為.【解析】（1）由拋物線(xiàn)焦點(diǎn)與準(zhǔn)線(xiàn)的距離即可得解；（2）設(shè)，由平面向量的知識(shí)可得，進(jìn)而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【詳解】（1）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，由題意，該拋物線(xiàn)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，所以該拋物線(xiàn)的方程為；（2）[方法一]：軌跡方程+基本不等式法設(shè)，則，所以，由在拋物線(xiàn)上可得，即，所以直線(xiàn)的斜率，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，；綜上，直線(xiàn)斜率的最大值為.[方法二]：【最優(yōu)解】軌跡方程+數(shù)形結(jié)合法同方法一得到點(diǎn)Q的軌跡方程為設(shè)直線(xiàn)的方程為，則當(dāng)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相切時(shí)，其斜率k取到最值．聯(lián)立得，其判別式，解得，所以直線(xiàn)斜率的最大值為[方法三]：軌跡方程+換元求最值法同方法一得點(diǎn)Q的軌跡方程為設(shè)直線(xiàn)的斜率為k，則令，則的對(duì)稱(chēng)軸為，所以．故直線(xiàn)斜率的最大值為[方法四]參數(shù)+基本不等式法由題可設(shè)因，所以于是，所以則直線(xiàn)的斜率為當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以直線(xiàn)斜率的最大值為【整體點(diǎn)評(píng)】方法一根據(jù)向量關(guān)系，利用代點(diǎn)法求得Q的軌跡方程，得到直線(xiàn)OQ的斜率關(guān)于的表達(dá)式，然后利用分類(lèi)討論，結(jié)合基本不等式求得最大值；方法二同方法一得到點(diǎn)Q的軌跡方程，然后利用數(shù)形結(jié)合法，利用判別式求得直線(xiàn)OQ的斜率的最大值，為最優(yōu)解；方法三同方法一求得Q的軌跡方程，得到直線(xiàn)的斜率k的平方關(guān)于的表達(dá)式，利用換元方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求得最大值，進(jìn)而得到直線(xiàn)斜率的最大值；方法四利用參數(shù)法，由題可設(shè)，求得x,y關(guān)于的參數(shù)表達(dá)式，得到直線(xiàn)的斜率關(guān)于的表達(dá)式，結(jié)合使用基本不等式，求得直線(xiàn)斜率的最大值.19、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)離心率和最大距離建立等式即可求解；（2）根據(jù)弦長(zhǎng)，求出直線(xiàn)方程，解出點(diǎn)的坐標(biāo)即可得解.【詳解】（1）橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為F，且E上一點(diǎn)P到F的最大距離3，所以，所以，所以橢圓E的方程；（2）A，B為橢圓E上的兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB過(guò)點(diǎn)F，且其垂直平分線(xiàn)交x軸于H點(diǎn)，所以線(xiàn)段AB所在直線(xiàn)斜率一定存在，所以設(shè)該直線(xiàn)方程代入，整理得：，設(shè)，，，整理得：，當(dāng)時(shí)，線(xiàn)段中點(diǎn)坐標(biāo)，中垂線(xiàn)方程：，；當(dāng)時(shí)，線(xiàn)段中點(diǎn)坐標(biāo)，中垂線(xiàn)方程：，，綜上所述：.20、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證得.（2）利用向量法求得與平面所成角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】∵PD⊥平面ABCD，，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線(xiàn)分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D（0，0，0），N（，0，），P（0，0，2），M（1，2，0）所以，，所以,所以.【小問(wèn)2詳解】由正方形ABCD得，CD//AB，∵平面PAB，平面PAB，∴CD//平面PAB；又∵平面PCD，平面平面∴CD//l；于是CD與平面MND所成的角即為l與平面MND所成的角由（1）知，設(shè)平面MND的一個(gè)法向量，則，取，則，于是是平面MND的一個(gè)法向量，因?yàn)椋O(shè)l與平面MND所成角為，則21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）記PC交DE于點(diǎn)N，然后證明FN∥AC，進(jìn)而通過(guò)線(xiàn)面平行的判定定理證明問(wèn)題；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而通過(guò)空間向量夾角公式求得答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)樗倪呅蜳DCE為矩形，線(xiàn)段PC交DE于點(diǎn)N，所以N為PC的中點(diǎn)連接FN，在△PAC中，F(xiàn)，N分別為PA，PC的中點(diǎn)，所以FN∥AC，因?yàn)槠矫鍰EF，平面DEF，所以AC∥平面DEF.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)镻D垂直于梯形ABCD所在的平面，∠ADC＝∠BAD＝90°，所以DA，DC，DP兩兩垂直，如圖以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DP所在直線(xiàn)為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系則，，，，所以，設(shè)平面PBC的法向量為，則，令x=1，則.因?yàn)镻D垂直于梯形ABCD所在的平面，所以是平面ABC的一個(gè)法向量，所以.由圖可知所求二面角為銳角，即所求二面角的余弦值為.22、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）連接，設(shè)與相交于點(diǎn)，連接MN，利用余弦定理可求得，，的長(zhǎng)度，進(jìn)而得到，又，由此可得平