山西省長治市屯留縣第一中學校2025屆高二數(shù)學第一學期期末預測試題含解析

山西省長治市屯留縣第一中學校2025屆高二數(shù)學第一學期期末預測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在正方體中，點，分別是面對角線與的中點，若，，，則（）A. B.C. D.2．已知過拋物線焦點的直線交拋物線于，兩點，則的最小值為（）A. B.2C. D.33．已知數(shù)列的前項和為，當時，（）A.11 B.20C.33 D.354．已知橢圓及以下3個函數(shù)：①；②；③，其中函數(shù)圖象能等分該橢圓面積的函數(shù)個數(shù)有（）A.0個 B.1個C.2個 D.3個5．為了調(diào)查全國人口的壽命，抽查了11個?。ㄊ校┑?500名城鎮(zhèn)居民，這2500名城鎮(zhèn)居民的壽命的全體是（）A.總體 B.個體C.樣本 D.樣本容量6．2021年7月，某文學網(wǎng)站對該網(wǎng)站的數(shù)字媒體內(nèi)容能否滿足讀者需要進行了調(diào)查，調(diào)查部門隨機抽取了名讀者，所得情況統(tǒng)計如下表所示：滿意程度學生族上班族退休族滿意一般不滿意記滿分為分，一般為分，不滿意為分.設命題：按分層抽樣方式從不滿意的讀者中抽取人，則退休族應抽取人；命題：樣本中上班族對數(shù)字媒體內(nèi)容滿意程度的方差為.則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.7．平行直線：與：之間的距離等于（）A. B.C. D.8．已知等比數(shù)列的前項和為，首項為，公比為，則（）A. B.C. D.9．已知等比數(shù)列的前項和為，若，，則（）A.20 B.30C.40 D.5010．如圖，在三棱錐S—ABC中，點E，F(xiàn)分別是SA，BC的中點，點G在棱EF上，且滿足，若，，，則（）A. B.C. D.11．已知，，若，則實數(shù)（）A. B.C.2 D.12．“”是“方程表示橢圓”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．命題，恒成立是假命題，則實數(shù)a取值范圍是________________14．某甲、乙兩人練習跳繩，每人練習10組，每組不間斷跳繩計數(shù)的莖葉圖如圖，則下面結論中所有正確的序號是___________.①甲比乙的極差大；②乙的中位數(shù)是18；③甲的平均數(shù)比乙的大；④乙的眾數(shù)是21.15．設，為實數(shù)，已知經(jīng)過點的橢圓與雙曲線有相同的焦點，則___________.16．已知曲線在點處的切線方程是，則的值為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，圓錐的底面直徑與母線長均為4，PO是圓錐的高，點C是底面直徑AB所對弧的中點，點D是母線PA的中點（1）求圓錐的表面積；（2）求點B到直線CD的距離18．（12分）如圖，已知四邊形中，，，，且，求四邊形的面積19．（12分）已知數(shù)列{}的前n項和為，且2=3-3（n∈）（1）求數(shù)列{}的通項公式（2）若=（n+1），求數(shù)列{}的前n項和20．（12分）已知圓的圓心在直線上，與軸正半軸相切，且被直線：截得的弦長為.（1）求圓的方程；（2）設點在圓上運動，點，且點滿足，記點的軌跡為.①求的方程，并說明是什么圖形；②試探究：在直線上是否存在定點(異于原點)，使得對于上任意一點，都有為一常數(shù)，若存在，求出所有滿足條件的點的坐標，若不存在，說明理由.21．（12分）已知橢圓C：的長軸長為4，離心率e是方程的一根（1）求橢圓C的方程；（2）已知O是坐標原點，斜率為k的直線l經(jīng)過點，已知直線l與橢圓C相交于點A，B，求面積的最大值22．（10分）已知函數(shù)（1）填寫函數(shù)的相關性質(zhì)；定義域值域零點極值點單調(diào)性性質(zhì)（2）通過（1）繪制出函數(shù)的圖像，并討論方程解的個數(shù)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由空間向量運算法則得,利用向量的線性運算求出結果.【詳解】因為點，分別是面對角線與的中點，，，，所以故選:D.2、D【解析】設出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，得到韋達定理，求得，利用拋物線定義，將目標式轉(zhuǎn)化為關于的代數(shù)式，消元后，利用基本不等式即可求得結果.【詳解】因為拋物線的焦點的坐標為，顯然要滿足題意，直線的斜率存在，設直線的方程為聯(lián)立可得，其，設坐標為，顯然，則，，根據(jù)拋物線定義，MF=故=4+4令，故4+4當且僅當，即時取得最小值.故選：D.【點睛】本題考察拋物線中的最值問題，涉及到韋達定理的使用，基本不等式的使用；其中利用的關系，以及拋物線的定義轉(zhuǎn)化目標式，是解決問題的關鍵.3、B【解析】由數(shù)列的性質(zhì)可得，計算可得到答案.【詳解】由題意，.故答案為B.【點睛】本題考查了數(shù)列的前n項和的性質(zhì)，屬于基礎題.4、C【解析】由橢圓的幾何性質(zhì)可得橢圓的圖像關于原點對稱，因為函數(shù),函數(shù)為奇函數(shù),其圖像關于原點對稱，則①②滿足題意,對于函數(shù)在軸右側時，，只有時，，即函數(shù)在軸右側的圖像顯然不能等分橢圓在軸右側的圖像的面積,又函數(shù)為偶函數(shù),其圖像關于軸對稱，則函數(shù)在軸左側的圖像顯然也不能等分橢圓在軸左側的圖像的面積,即函數(shù)的圖像不能等分該橢圓面積，得解.【詳解】解：因為橢圓的圖像關于原點對稱，對于①，函數(shù)為奇函數(shù)，其圖像關于原點對稱，即可知的圖象能等分該橢圓面積；對于②，函數(shù)為奇函數(shù)，其圖像關于原點對稱，即可知的圖象能等分該橢圓面積；對于③，對于函數(shù)在軸右側時，，只有時，，即函數(shù)在軸右側的圖像（如圖）顯然不能等分橢圓在軸右側的圖像的面積,又函數(shù)為偶函數(shù),其圖像關于軸對稱，則函數(shù)在軸左側的圖像顯然也不能等分橢圓在軸左側的圖像的面積,即函數(shù)的圖像不能等分該橢圓面積，即函數(shù)圖象能等分該橢圓面積的函數(shù)個數(shù)有2個，故選C.【點睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)、函數(shù)的奇偶性及函數(shù)的對稱性，重點考查了函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎題.5、C【解析】由樣本的概念即知.【詳解】由題意可知，這2500名城鎮(zhèn)居民的壽命的全體是樣本.6、A【解析】由抽樣比再乘以可得退休族應抽取人數(shù)可判斷命題，求出上班族對數(shù)字媒體內(nèi)容滿意程度的平均分，由方差公式計算方差可判斷，再由復合命題的真假判斷四個選項，即可得正確選項.【詳解】因為退休族應抽取人，所以命題正確；樣本中上班族對數(shù)字媒體內(nèi)容滿意程度的平均分為，方差為，命題正確，所以為真，、、為假命題，故選：7、B【解析】先由兩條直線平行解出，再按照平行線之間距離公式求解.【詳解】，則：，即，距離為.故選：B.8、D【解析】根據(jù)求解即可.【詳解】因為等比數(shù)列，，所以.故選：D9、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列前項和的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】因為是等比數(shù)列，所以成等比數(shù)列，即成等比數(shù)列，顯然，故選：B10、D【解析】利用空間向量的加、減運算即可求解.詳解】由題意可得故選：D11、D【解析】根據(jù)給定條件利用空間向量平行的坐標表示計算作答.【詳解】因，，又，則，解得，所以實數(shù).故選：D12、B【解析】方程表示橢圓，可得，解出的范圍即可判斷出結論.【詳解】∵方程表示橢圓，∴解得或，故“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由命題為假命題可得命題為真命題，由此可求a范圍.【詳解】∵命題，恒成立是假命題，∴，，∴，，又函數(shù)在為減函數(shù)，∴，∴，∴實數(shù)a的取值范圍是,故答案為：.14、①③④【解析】根據(jù)莖葉圖提供的數(shù)據(jù)求出相應的極差、中位數(shù)、均值、眾數(shù)再判斷【詳解】由莖葉圖，甲的極差是37－8＝29，乙的極差是23－9＝14，甲極差大，①正確；乙中位數(shù)是，②錯；甲平均數(shù)是：，乙的平均數(shù)為：16.9，③正確；乙的眾數(shù)是21，④正確故答案為：①③④15、1【解析】由點P在橢圓上，可得的值，再根據(jù)橢圓與雙曲線有相同的焦點即可求解.【詳解】解：因為點在橢圓上，所以，解得，所以橢圓方程為，又橢圓與雙曲線有相同的焦點，所以，解得，故答案為：1.16、11【解析】根據(jù)給定條件結合導數(shù)的幾何意義直接計算作答.【詳解】因曲線在點處的切線方程是，則，，所以.故答案為：11三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）直接運用圓錐的表面積公式計算即可；（2）建立空間直角坐標，然后運用向量法計算可求得答案.【小問1詳解】【小問2詳解】如圖，建立直角坐標系，，，，∴B在CD上投影的長度∴B到CD的距離解法2：設直線CD上一點E滿足令，則∴，∴，∴∴，故B到CD距離為.18、.【解析】在中由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，再利用四邊形的面積，結合三角形面積公式可得答案.【詳解】在中，由，，，可得在中，由，，，可得又，故．所以四邊形的面積=【點睛】本題主要考查余弦定理解三角形，考查了三角形面積公式的應用，屬于中檔題.19、（1）；（2）.【解析】（1）利用的關系可得，即可知為等比數(shù)列，寫出等比數(shù)列通項公式即可.（2）由（1）得，利用錯位相減求和法即可求出前n項和.【小問1詳解】當時，，解得，當時，，則，即，又，則，∴，故是以為首項，以3為公比的等比數(shù)列，∴數(shù)列的通項公式為；【小問2詳解】由(1)知，所以，所以①，則②，①-②，得，整理，得，，所以.20、（1）；（2）①，圓；②存在，.【解析】（1）設圓心，根據(jù)題意，得到半徑，根據(jù)弦長的幾何表示，由題中條件，列出方程求解，得出，從而可得圓心和半徑，進而可得出結果；（2）①設，根據(jù)向量的坐標表示，由題中條件，得到，代入圓的方程，即可得出結果；②假設存在一點滿足（其中為常數(shù)），設，根據(jù)題意，得到，再由①，得到，兩式聯(lián)立化簡整理，得到，推出，求解得出，即可得出結果.【詳解】（1）設圓心，則由圓與軸正半軸相切，可得半徑.∵圓心到直線的距離，由，解得.故圓心為或，半徑等于.∵圓與軸正半軸相切圓心只能為故圓的方程為；（2）①設，則：，，∵點A在圓上運動即：所以點的軌跡方程為，它是一個以為圓心，以為半徑的圓；②假設存在一點滿足（其中為常數(shù)）設，則：整理化簡得：，∵在軌跡上，化簡得：，所以整理得，解得：；存在滿足題目條件.【點睛】本題主要考查求圓的方程，考查圓中的定點問題，涉及圓的弦長公式等，屬于?？碱}型.21、（1）；（2）.【解析】（1）待定系數(shù)法求橢圓的方程；（2）設直線的方程為，，，用“設而不求法”表示出三角形OAB的面積.令轉(zhuǎn)化為關于t的函數(shù)，利用函數(shù)求最值.【詳解】（1）依題意得：，∴.方程的根為或.∵橢圓的離心率，∴，∴∴∴橢圓方程為.（2）設直線的方程為，，由，得，則，點到直線的距離為，.令，則..∵在單調(diào)遞增，∴時.有最小值3.此時有最大值.∴面積的最大值為.22、（1）詳見解析（2）詳見解析【解析】（1）利用導數(shù)判斷函數(shù)的性質(zhì)；（