浙江省臺(tái)州市聯(lián)誼五校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

浙江省臺(tái)州市聯(lián)誼五校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．直線(xiàn)（t為參數(shù)）被圓所截得的弦長(zhǎng)為（）A. B.C. D.2．德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，有“數(shù)學(xué)王子”之稱(chēng)，在歷史上有很大的影響．他幼年時(shí)就表現(xiàn)出超人的數(shù)學(xué)天才，10歲時(shí)，他在進(jìn)行的求和運(yùn)算時(shí)，就提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱(chēng)之為高斯算法．已知數(shù)列，則（）A.96 B.97C.98 D.993．設(shè)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)（，）的兩條漸近線(xiàn)分別交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)滿(mǎn)足，則該雙曲線(xiàn)的離心率是（）A. B.C. D.4．已知，,2成等差數(shù)列，則在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M(x，y)的軌跡為()A. B.C. D.5．如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則直線(xiàn)到直線(xiàn)的距離為（）A. B.C. D.6．設(shè)直線(xiàn)，．若，則的值為（）A.或 B.或C. D.7．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則的公差為（）A.1 B.2C.4 D.88．圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.9．點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在直線(xiàn)上，則的最小值是（）A. B.C. D.10．下列雙曲線(xiàn)中，以為一個(gè)焦點(diǎn)，以為一個(gè)頂點(diǎn)的雙曲線(xiàn)方程是（）A. B.C. D.11．音樂(lè)與數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系，我國(guó)春秋時(shí)期有個(gè)著名的“三分損益法”：以“宮”為基本音，“宮”經(jīng)過(guò)一次“損”，頻率變?yōu)樵瓉?lái)的，得到“微”，“微”經(jīng)過(guò)一次“益”，頻率變?yōu)樵瓉?lái)的，得到“商”……依此規(guī)律損益交替變化，獲得了“宮”“微”“商”“羽”“角”五個(gè)音階.據(jù)此可推得（）A.“商”“羽”“角”的頻率成公比為的等比數(shù)列B.“宮”“微”“商”的頻率成公比為的等比數(shù)列C.“宮”“商”“角”的頻率成公比為的等比數(shù)列D.“角”“商”“宮”的頻率成公比為的等比數(shù)列12．以下說(shuō)法：①將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，方差不變；②設(shè)有一個(gè)回歸方程，變量增加1個(gè)單位時(shí)，平均增加5個(gè)單位③線(xiàn)性回歸方程必過(guò)④設(shè)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)為，那么越接近于0，之間的線(xiàn)性相關(guān)程度越高；⑤在一個(gè)列聯(lián)表中，由計(jì)算得的值，那么的值越大，判斷兩個(gè)變量間有關(guān)聯(lián)的把握就越大。其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（）A.0 B.1C.2 D.3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．以下數(shù)據(jù)為某校參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的名同學(xué)的成績(jī)：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.則這人成績(jī)的第百分位數(shù)可以是______14．已知球面上的三點(diǎn)A，B，C滿(mǎn)足，，，球心到平面ABC的距離為，則球的表面積為_(kāi)_____15．設(shè)、為正數(shù)，若，則的最小值是______，此時(shí)______.16．某公司青年、中年、老年員工的人數(shù)之比為10∶8∶7，從中抽取100名作為樣本，若每人被抽中的概率是0.2，則該公司青年員工的人數(shù)為_(kāi)_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，在直三棱柱中，，，（1）求三棱柱的表面積；（2）求異面直線(xiàn)與所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）18．（12分）已知橢圓的焦距為，點(diǎn)在橢圓上.過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l交橢圓于A，B兩點(diǎn).（1）求該橢圓的方程；（2）若點(diǎn)P為直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，記直線(xiàn)PA，PM，PB的斜率分別為，，.求證：，，成等差數(shù)列.19．（12分）已知數(shù)列滿(mǎn)足且.（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.20．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，D為的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值；（3）若E為的中點(diǎn)，求與所成的角21．（12分）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓的圓心在軸上，點(diǎn)、均在圓上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線(xiàn)與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)、，點(diǎn)在圓上，求面積的最大值.22．（10分）已知展開(kāi)式中，第三項(xiàng)的系數(shù)與第四項(xiàng)的系數(shù)相等（1）求n的值；（2）求展開(kāi)式中有理項(xiàng)的系數(shù)之和（用數(shù)字作答）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】求得直線(xiàn)普通方程以及圓的直角坐標(biāo)方程，利用弦長(zhǎng)公式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€(xiàn)的參數(shù)方程為：（t為參數(shù)），故其普通方程為，又，根據(jù)，故可得，其表示圓心為，半徑的圓，則圓心到直線(xiàn)的距離，則該直線(xiàn)截圓所得弦長(zhǎng)為.故選：C.2、C【解析】令，利用倒序相加原理計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】令，，兩式相加得：，∴，故選:C3、C【解析】先求出，的坐標(biāo)，再求中點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)滿(mǎn)足，可得，從而求雙曲線(xiàn)的離心率.【詳解】解:由雙曲線(xiàn)方程可知，漸近線(xiàn)為，分別于聯(lián)立，解得：，，所以中點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)滿(mǎn)足，所以，所以，即，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的離心率，考查直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.4、A【解析】已知，,2成等差數(shù)列,得到，化簡(jiǎn)得到【詳解】已知，,2成等差數(shù)列,得到，化簡(jiǎn)得到可知是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線(xiàn)的一支.故答案為A.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查的是對(duì)數(shù)的運(yùn)算以及化簡(jiǎn)公式的應(yīng)用，也涉及到了軌跡的問(wèn)題，求點(diǎn)的軌跡，通常是求誰(shuí)設(shè)誰(shuí)，再根據(jù)題干將等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，從而列出方程，化簡(jiǎn)即可.5、C【解析】連接，，，，在平面中，作，為垂足，將兩平行線(xiàn)的距離轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，結(jié)合余弦定理即同角三角函數(shù)基本關(guān)系，求得，因此可得，進(jìn)而可得直線(xiàn)到直線(xiàn)的距離；【詳解】解：如圖，連接，，，，在平面中，作，為垂足，因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，所以，同理，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以即為直線(xiàn)到直線(xiàn)的距離，在三角形中，由余弦定理得因?yàn)?，所以是銳角，所以，在直角三角形中，，故直線(xiàn)到直線(xiàn)的距離為；故選：C6、A【解析】由兩直線(xiàn)垂直可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，即可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?，則，解得或.故選：A.7、C【解析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式利用條件，列出關(guān)于與的方程組，通過(guò)解方程組求數(shù)列的公差.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，聯(lián)立，解得.故選：C.8、D【解析】先根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到圓的圓心和半徑，求出圓心關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，進(jìn)而寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，且關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，所以所求圓的圓心為、半徑為，即所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D.9、B【解析】根據(jù)題意可知圓心，又由于線(xiàn)外一點(diǎn)到已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)段最短，結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，圓心，所以圓心到的距離為，所以的最小值為.故選：B.10、C【解析】設(shè)出雙曲線(xiàn)方程，根據(jù)題意，求得，即可選擇.【詳解】因?yàn)殡p曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)是，故可設(shè)雙曲線(xiàn)方程為，且；又為一個(gè)頂點(diǎn)，故可得，解得，則雙曲線(xiàn)方程為：.故選：.11、C【解析】根據(jù)文化知識(shí)，分別求出相對(duì)應(yīng)的頻率，即可判斷出結(jié)果【詳解】設(shè)“宮”的頻率為a，由題意經(jīng)過(guò)一次“損”，可得“徵”的頻率為a，“徵”經(jīng)過(guò)一次“益”，可得“商”的頻率為a，“商”經(jīng)過(guò)一次“損”，可得“羽”頻率為a，最后“羽”經(jīng)過(guò)一次“益”，可得“角”的頻率是a，由于a，a，a成等比數(shù)列，所以“宮、商、角”的頻率成等比數(shù)列，且公比為，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的定義，考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題12、C【詳解】方差反映一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，方差不變，故①正確；一個(gè)回歸方程，變量增加1個(gè)單位時(shí)，平均減少5個(gè)單位，故②不正確；線(xiàn)性回歸方程必過(guò)樣本中心點(diǎn)，故③正確；根據(jù)線(xiàn)性回歸分析中相關(guān)系數(shù)的定義：在線(xiàn)性回歸分析中，相關(guān)系數(shù)為r，越接近于1，相關(guān)程度越大，故④不正確；對(duì)于觀察值來(lái)說(shuō)，越大，“x與y有關(guān)系”的可信程度越大，故⑤正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查用樣本估計(jì)總體、線(xiàn)性回歸方程、獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用百分位數(shù)的求法直接求解即可.【詳解】解：將所給數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.數(shù)據(jù)量，∵是整數(shù)，∴故答案為：.14、【解析】由題意可知為直角三角形，求出外接圓的半徑，可求出球的半徑，然后求球的表面積.【詳解】由題意，，，，則，可知，所以外接圓的半徑為，因?yàn)榍蛐牡狡矫娴木嚯x為，所以球的半徑為：，所以球的表面積為：.故答案為：.15、①.4②.【解析】巧用“1”改變目標(biāo)式子的結(jié)果，借助均值不等式求最值即可.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)等號(hào)成立.故答案為，【點(diǎn)睛】本題考查最值的求法，注意運(yùn)用“1”的代換法和基本不等式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題16、200【解析】先根據(jù)分層抽樣的方法計(jì)算出該單位青年職工應(yīng)抽取的人數(shù)，進(jìn)而算出青年職工的總?cè)藬?shù).【詳解】由題意，從中抽取100名員工作為樣本，需要從該單位青年職工中抽?。ㄈ耍?因?yàn)槊咳吮怀橹械母怕适?.2，所以青年職工共有（人）.故答案：200.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）利用S＝2S△ABC+S側(cè)，可得三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面積S；（2）連接BC1，確定∠BA1C1就是異面直線(xiàn)A1B與AC所成的角（或其補(bǔ)角），在△A1BC1中，利用余弦定理可求結(jié)論【詳解】（1）在△ABC中，因?yàn)锳B＝2，AC＝4，∠ABC＝90°，所以BC＝．S△ABC＝AB×BC＝2所以S＝2S△ABC+S側(cè)＝4+（2+2+4）×4＝24+12（2）連接BC1，因?yàn)锳C∥A1C1，所以∠BA1C1就是異面直線(xiàn)A1B與AC所成的角（或其補(bǔ)角）在△A1BC1中，A1B＝2，BC1＝2，A1C1＝4，由余弦定理可得cos∠BA1C1＝，所以∠BA1C1＝arccos，即異面直線(xiàn)A1B與AC所成角的大小為arccos【點(diǎn)睛】本題考查三棱柱的表面積，考查線(xiàn)線(xiàn)角，解題的關(guān)鍵是正確作出線(xiàn)線(xiàn)角，屬于中檔題18、（1）;（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)及橢圓上的點(diǎn)，利用橢圓的定義求出a，再由關(guān)系求b，即可得解；（2）分直線(xiàn)斜率存在與不存在兩種情況討論，利用斜率公式計(jì)算出，根據(jù)等差中項(xiàng)計(jì)算，即可證明成等差數(shù)列.【小問(wèn)1詳解】∵橢圓的焦距，橢圓的兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，又點(diǎn)在橢圓上，，即.該橢圓方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè).當(dāng)直線(xiàn)l的斜率為0時(shí)，其方程為，代入，可得.不妨取，則，成等差數(shù)列.當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不為0時(shí)，設(shè)其方程為，由，消去x得.即，成等差數(shù)列，綜上可得，，成等差數(shù)列.19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意可得，根據(jù)等比數(shù)列的定義，即可得證；（2）由（1）可得，可得，利用累加法即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，所以是首?xiàng)為1公比為3的等比數(shù)列（2）由（1）可知，所以因?yàn)椋浴?，，各式相加得：，又，所以，又?dāng)n=1時(shí)，滿(mǎn)足上式，所以20、（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【解析】（1）連接，交于O，連接OD，根據(jù)中位線(xiàn)的性質(zhì)，可證，根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理，即可得證；（2）如圖建系，求得各點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求得平面與平面法向量，根據(jù)二面角的向量求法，即可得答案；（3）求得坐標(biāo)，根據(jù)線(xiàn)線(xiàn)角的向量求法，即可得答案.【小問(wèn)1詳解】連接，交于O，連接OD，則O為的中點(diǎn)，在中，因?yàn)镺、D分別為、BC中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面【小?wèn)2詳解】由題意得，兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，為x，y，z軸正方向建系，如圖所示：設(shè)，則，所以，則，，因?yàn)槠矫嬖谄矫鍭BC內(nèi)，且平面ABC，所以即為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，所以，令，則，所以法向量，所以，由圖象可得平面與平面的夾角為銳角，所以平面與平面的夾角的余弦值為【小問(wèn)3詳解】由（2）可得，設(shè)與所成的角為，則，解得，所以與所成的角為21、（1）；（2）.【解析】（1）求出圓心坐標(biāo)，可求得圓的半徑，進(jìn)而可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求得點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，將直線(xiàn)的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求得的表達(dá)式，利用三角形的面積公式結(jié)合基本不等式可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】解：由題知，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，直線(xiàn)的斜率，所以線(xiàn)段的中垂線(xiàn)為，即為，所以圓的圓心為軸與的交點(diǎn)，所以圓的半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】解：由題知：圓心到直線(xiàn)的距離，因?yàn)?，所以圓心到直線(xiàn)的距離，所以到直線(xiàn)的距離，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，，，則，所以，，所以，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線(xiàn)中的最值問(wèn)題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線(xiàn)的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)