北京市海淀區(qū)某校2024-2025學(xué)年高三年級(jí)上冊入學(xué)測試數(shù)學(xué)試題

北京市海淀區(qū)精華學(xué)校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期入學(xué)測試數(shù)

學(xué)試題

學(xué)校：—__________姓名：____________班級(jí)：____________考號(hào)：_________

一、單選題

1.若集合/=]x|Vx<2^,B=|x|x=ieN},則=()

A.0B.{3}C.{153}D.{-U,3}

7

2.已知復(fù)數(shù)2:=2+i,貝IJ——=()

z—z

1.1.1.1.

A.------1B.——1C.—HiD.——+1

2222

4

3.在區(qū)+工、

|的展開式中，彳2的系數(shù)為()

1X)

A.2B.8C.16D.24

4.若過點(diǎn)尸(0,1)可作圓/+/_2》-4尸“=0的兩條切線，貝L的取值范圍是(

A.(3,+oo)B.(-1,3)C.(3,5)D.(5,+oo)

5.已知向量@b=(x,-2),貝ij"x<2”是“，與5的夾角為鈍角”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.函數(shù)〃x)=Nsin(ox+0)[/>0,。>0用勺部分圖象如圖所示，則其解析式為()

B.f(x)=V2sinx+

C./(x)=V2sin^x+yD./'(x)=V^sin[x+烏]

7.已知某種鉛蓄電池由于硫酸濃度的降低，每隔一個(gè)月其性能指數(shù)都要損失10%,且一般

認(rèn)為當(dāng)該種類型的電池的性能指數(shù)降低到原來的;以下時(shí)就需要更換其中的硫酸來達(dá)到持

試卷第1頁，共4頁

久續(xù)航，則最多使用（）個(gè)月就需要更換純硫酸（參考數(shù)據(jù)lg370.477,1g2go.301）

B.12C.13D.14

8.如圖，已知三棱柱NBC-4可。的所有棱長均為2,滿足4夕，8。，則該三棱柱體積的

最大值為（）

A.V3273

9.已知函數(shù)下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

A./（x）的圖像有對(duì)稱軸當(dāng)X€（-兀,0）0（0,兀）時(shí)，cos尤</（無）<1

C./。）=*有最小值fl/W=-cosxInX(1,7T)上無解

X

10.設(shè)函數(shù)/。）=/+2/,則點(diǎn)集｛（x,y）|〃x）+/e）V2Jk"/Q）｝所構(gòu)成圖形的面積是

A.4%B.2萬D.前三個(gè)答案都不對(duì)

11.一組數(shù)據(jù)如下：13,7,9,10,8,15,21,12,該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是，

12.拋物線/=4x上與焦點(diǎn)距離等于3的點(diǎn)的橫坐標(biāo)是.

22

13.已知雙曲線C:匕-±=1的一條漸近線方程為y=2x,則機(jī)=.

14.若函數(shù)/（無）=asinx-6cosx的一個(gè)零點(diǎn)是:，則函數(shù)y=的最大值為

15.設(shè)等差數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為整數(shù)，首項(xiàng)q=3,且對(duì)任意正整數(shù)”，總存在正整數(shù)加，

使得用+出+…+??=am,則關(guān)于此數(shù)列公差d的論述中，正確的序號(hào)有.

①公差d可以為1；

②公差d可以不為1；

③符合題意的公差d有有限個(gè)；

試卷第2頁，共4頁

④符合題意的公差d有無限多個(gè).

三、解答題

2

16.在V/BC中，角4B,C所對(duì)邊分別為a,b,c.已知/=—兀,。=26cosB.

3

(1)求3；

(2)請(qǐng)從條件①②③中選出一個(gè)作為已知，使V/5C存在且唯一確定，并求出/C邊上的中線

長.

①0=亞；②VN8C周長為3+26；③V/3C面積為

4

17.如圖，正四棱錐尸-/BCD的底面邊長和高均為2,E,F分別為PD,P8的中點(diǎn).

(1)證明：EF1PC；

⑵若點(diǎn)M是線段PC上的點(diǎn)，S.PM=hc,判斷點(diǎn)M是否在平面/所內(nèi)，并證明你的結(jié)

論；

(3)求直線PB與平面AEF所成角的正弦值.

18.某城市一條地鐵新線開通了試運(yùn)營，此次開通了A、B、C、D、E、尸共6座車站.在

試運(yùn)營期間，地鐵公司隨機(jī)選取了乘坐該地鐵新線的200名乘客，記錄了他們的乘車情況,

得到下表(單位：人)：

下車站上車站ABCDEF合計(jì)

A///5642724

B12///20137860

C57III38124

D1399III1638

試卷第3頁，共4頁

E410162III335

F25543III19

合計(jì)363656262125200

⑴在試運(yùn)營期間，從在8站上車的乘客中任選1人，估計(jì)該乘客在C站下車的概率；

(2)以頻率估計(jì)概率，在試運(yùn)營期間，從在A站上車的所有乘客和在B站上車的所有乘客中

各隨機(jī)選取1人，設(shè)其中在C站下車的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列以及數(shù)學(xué)期望；

(3)為了研究各站客流量的相關(guān)情況,用④示所有在3站上下車的乘客的上、下車情況,=1.

表示上車，4=0”表示下車.相應(yīng)地，用乙，芻分別表示在C站，。站上、下車情況，直

接寫出方差。大小關(guān)系.

221

19.已知橢圓石彳+與曰伊一)的離心率為萬.

(1)求橢圓￡的方程和短軸長；

(2)設(shè)直線4:丁=履+加與橢圓￡相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P,不過原點(diǎn)。且平行于4的直線/2與

橢圓E交于不同的兩點(diǎn)4,B,點(diǎn)/關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)為C,證明：OP//BC.

20.已知函數(shù)/(x)=x+--alnx(a,6eR,a劈0)

(1)若4=1,b=2,若“X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)6=1時(shí)，若/'(X)存在唯一的零點(diǎn)X。，且迎?%"+1),其中〃eN,求”.

(參考數(shù)據(jù)：In2ao.7,ln3?l.l)

21.在數(shù)字1,2,…,〃(〃22)的任意一個(gè)排列A：中，如果對(duì)于z；/eN*,有

%＞啊,那么就稱(q,%)為一個(gè)逆序?qū)?記排列A中逆序?qū)Φ膫€(gè)數(shù)為S(N).如〃=4時(shí)，在

排列8：3,2,4,1中，逆序?qū)τ?3,2),(3,1),(2,1),(4,1),則S(B)=4.

⑴設(shè)排列C：ai,a2,a3,a4,寫出兩組具體的排列C,分別滿足：①S(C)=5,②S(C)=4；

(2)對(duì)于數(shù)字1,2,…，〃的一切排列A,求所有S(/)的算術(shù)平均值；

(3)如果把排列4ax,a2,-,an中兩個(gè)數(shù)字%％交換位置，而其余數(shù)字的位置保持不變,

那么就得到一個(gè)新的排列，A'：4也，…也，求證：S(Z)+S(H)為奇數(shù).

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案CADCBDCBDB

1.C

【分析】根據(jù)交集定義運(yùn)算.

【詳解】因?yàn)?=[0,4],8={-1,1,3,5…},

所以Nc8={l,3}.

故選：C.

2.A

【分析】根據(jù)共輾復(fù)數(shù)定義及復(fù)數(shù)的乘除法得出選項(xiàng).

2-i2-i2i-i22i+l1.

【詳解】----------1

2+i-（2-i）2i2-22

故選：A.

3.D

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式通項(xiàng)公式計(jì)算求解.

|（2x?丫=6x4><x2=24x2,

【詳解】T3=C1

x2的系數(shù)為24.

故選：D.

4.C

【分析】根據(jù)點(diǎn)在圓外即可求解.

【詳解】圓/-2x-4y+a=0,即圓（x-l）。+（y-2『=5-a,貝！]5-a>0,解得a<5.

過點(diǎn)尸（0,1）有兩條切線，則點(diǎn)P在圓外，0『+（2-1）2>5]，即2>5-a,解得a>3.

故3<a<5.

故選：C

5.B

【分析】根據(jù)向量&與B的夾角為鈍角，可得展在<0且&與B不共線，求得x的范圍，再利

用充分條件和必要條件的定義判斷.

答案第1頁，共15頁

【詳解】由已知得75=x-2;

當(dāng)4與3共線時(shí)，可得lx(-2)=x,解得x=-2.

當(dāng)苕與B的夾角為鈍角時(shí)，可得展彼<0且&與5不共線，

則x-2<0且xW-2,解得x<2且xw-2.

因此，當(dāng)x<2時(shí)，若％=-2,則2=(1,1),5=(-2,-2),

此時(shí)力=-2』，4與3的夾角為兀，不是鈍角，則充分性不成立；

當(dāng)苕與B的夾角為鈍角時(shí)，有x<2且尤W-2,可知x<2成立，則必要性成立.

綜上，“x<2”是“方與B的夾角為鈍角”的必要不充分條件.

故選：B.

6.D

【分析】由最小值求得A,由〃0)=1求得。，再結(jié)合最小值點(diǎn)和周期求得。.

【詳解】由圖象知4=拒，/(0)=1

所以&sin°=1,

TT37r

貝!j(p=2k7i+—,左或Q=2左兀H，左￡Z,

44

又時(shí)所以0=%

rr.,5COTI兀、仁5am兀…3兀8k,

72sin(------1—)——v2,-------1—=2ATIH-----,co-Fl,ksZ,

444425

又7>型，?=-<-,已知。>0,所以。=1,所以/(x)=VIsin(x+3,

4T54

故選：D.

7.C

【分析】依題意建立通過x(xeN*)月后性能指數(shù)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，得到不等式

k-0.9x<-,通過兩邊取對(duì)數(shù)，整理化簡即得.

4

【詳解】設(shè)最初該種電池的性能指數(shù)為左，通過x(xeN*)月后性能指數(shù)變?yōu)榫艅ty=h0.9,

L11

由題意得即3"兩邊取常用對(duì)數(shù)，可得加9<叼.

lg

Vlg0.9<Igl=0,4-21g2-0.602

X〉-------------------x-----------

lg0.921g3-10.954-1

又XEN*,故最多使用13個(gè)月就需要更換純硫酸.

答案第2頁，共15頁

故選：c.

8.B

【詳解】如圖：取/C的中點(diǎn)連接耳跖瓦幺/4,

因?yàn)镹544是菱形，所以/用工/田，又因?yàn)?耳，且Cu平面430,

ABXcB{C=Bx,

所以42,平面430,因?yàn)?Cu平面/&C，所以48L/C,

因?yàn)?W=MC,AB=BC,所以8M_L4C,又因?yàn)?瓦臺(tái)加u平面4氏欣，&BCBM=B,

所以NCL平面4收，因?yàn)槠矫?收，所以

4M=44用1160。=6，當(dāng)側(cè)面NCC14,底面48C時(shí)，三棱柱的體積最大，

1

此時(shí)三棱柱的高即為4M=g,V=y/3S4BC=V3x—X2=3.

故選：B

9.D

cinx

【分析】選項(xiàng)A,根據(jù)條件可得〃x）==為偶函數(shù)，即可判斷選項(xiàng)A的正誤，選項(xiàng)B,

X

利用偶函數(shù)的性質(zhì)，先判斷xe（0,兀）時(shí)，cosx＜/（x）＜1成立，分xe］,7i）和xe（。，萬］兩種

情況，當(dāng)xe］，兀］時(shí)，利用三角函數(shù)的符號(hào)即可判斷成立，當(dāng)工€（0,冷］時(shí)，利用三角函數(shù)

的定義及弧長公式，即可判斷成立；選項(xiàng)C,利用＞=sinx的周期性及〃尤）=吧的奇偶性,

X

當(dāng)尤＞0,得到〃苫）=詈存在最小值，則最小值只會(huì)在區(qū)間（兀,2無）內(nèi)取到，再利用導(dǎo)數(shù)與

函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，即可判斷出選項(xiàng)C的正誤；選項(xiàng)D,利用零點(diǎn)存在性原理，即可判

斷出選項(xiàng)D的正誤，從而得出結(jié)果.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,易知〃尤）=?吧的定義域?yàn)閧x|x20},關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

答案第3頁，共15頁

又/（_、）=竺且=吧±=/（尤），所以〃x）=2U為偶函數(shù)，關(guān)于y軸對(duì)稱，所以選項(xiàng)A

-XXX

結(jié)論正確，

對(duì)于選項(xiàng)B,當(dāng)xe工，兀|時(shí)，cosx<0,X0<sinx<1,x>—>1,

L2）2

cmYjri

所以0</（x）=——<1,即當(dāng)不兀時(shí)，cosx</（x）<l成立，

XL2；

當(dāng)時(shí)，如圖，在單位圓中，設(shè)。尸是角x的終邊，過A作x軸的垂線交。尸于7,

過尸作無軸的垂線交x軸于“，

易知前=x，由三角函數(shù)的定義知，PH=smx,AT=tanx,

由圖易知邑0"<S扇形如<S@r,^.\\—PH<—x<—AT,

.sinx

得至善<力7，所以sinx<x<tanx,即有cosx<----<1,

x

所以xe(om時(shí)，cosx</(x)<l成立，又由選項(xiàng)A知，〃尤)=」cinV為偶函數(shù),

X

當(dāng)Xe(-7T,0)時(shí)，-xG(-7t,0),所以cos(-x)</(-x)<1,gpcosx</(x)<1,

所以選項(xiàng)B中結(jié)論正確，

對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)閥=sinx周期函數(shù)，最小正周期為如，

當(dāng)x>0時(shí)，如果〃x）=/存在最小值，則最小值只會(huì)在區(qū)間（兀,2兀）內(nèi)取到,

sx11

當(dāng)x￡（兀,2兀）時(shí)，/'（X）=猶0s'",令h（x）=xcosx-sinx,

貝!Jh'（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx>唯區(qū)間（兀,2兀）上，恒成立,

又〃⑺=-兀<0,/z（m）=l>0,所以存在％使〃（Xo）=o,

當(dāng)xe（n,Xo）時(shí)，/?（x）<0,當(dāng)xe優(yōu),2兀）時(shí)，A（x）>0,

所以=*在區(qū)間（私方）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（％,2兀）上單調(diào)遞增，

答案第4頁，共15頁

所以〃切=*在》=/處取到最小值，即當(dāng)x>0時(shí)，〃x)=*存在最小值，

由選項(xiàng)A知，〃x)=吧為偶函數(shù)，所以選項(xiàng)C的結(jié)論正確，

X

sinx

對(duì)于選項(xiàng)D,由/(x)=—cosxlnx,得到-----Fcosxlnx=0,

x

sinx

令h(x)=------+cosxlnx,所以〃⑴=sinl〉0,。(兀)=-ln兀<0,

x

cinx

由零點(diǎn)存在性原理知，A(x)=—^+cos尤Inx在區(qū)間(1,兀)至少有一個(gè)零點(diǎn)，所以選項(xiàng)D的結(jié)

x

論錯(cuò)誤，

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于選項(xiàng)C,利用y=sinx的周期性及〃x)=/的奇偶

性，得到當(dāng)x>0時(shí)，〃X)=生產(chǎn)存在最小值，則最小值只會(huì)在區(qū)間(私2兀)內(nèi)取到，再利用

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系來解決問題.

10.B

【分析】利用配方法和因式分解可得不等式組對(duì)應(yīng)的區(qū)域，故可求其面積.

【詳解】題中集合即｛(x/)N+2x+/+2j<2,x2+2x2/+2》，

也即｛(x,y)|(x+l/+(y+l)2<4,(x-y)(x+y+2)>01,

該集合對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)樯刃嗡髨D形面積為2萬，

故選：B.

11.11

【分析】根據(jù)中位數(shù)的計(jì)算公式即可.

【詳解】首先將數(shù)據(jù)從小到大排列：7,8,9,10,12,13,15,21,

則其中位數(shù)為：U宇=11.

2

故答案為：11.

答案第5頁，共15頁

12.2

【分析】根據(jù)拋物線的定義求解即可.

【詳解】拋物線y=4x的焦點(diǎn)為尸(1,0),準(zhǔn)線方程為％=-1,

設(shè)拋物線上一點(diǎn)尸(x。,%)到焦點(diǎn)廠(1,0)的距離為3,

貝111PH=%+=X。+1=3,

所以％o=2,

故答案為：2.

13.1

【分析】首先表示出雙曲線的漸近線方程，即可得到方程，解得即可.

227

【詳解】雙曲線c：匕-±=1的漸近線為y=±『x(加＞0),

4m7m

2

依題意-7==2,解得加=1.

7m

故答案為：1

14.2

【分析】根據(jù)求得。=1,再用輔助角公式化簡/(X),從而得到/(X)的最大值.

【詳解】由題意sin；-geos1=0,所以a=l,

所以/(x)=sinx-6cosx=2gsinx一孝cosx=2sin[x-g],

又sin(x_；]e[Tl],所以〃x)e[_2,2],故/(x)的最大值為2.

故答案為：2.

15.①②③

【分析】取〃=2,可利用正整數(shù)上表示出1=3,利用等差數(shù)列求和公式可整理得到

k-2

S“=%+(”-1)1-2)+絲E4,根據(jù)各項(xiàng)為正數(shù)可確定3?Z,由此可討論得到左/

2Jk-2

的值，從而判斷出正確結(jié)果.

【詳解】取〃=2,則存在正整數(shù)左，使得q+。2=%，

答案第6頁，共15頁

則2q+d=%+(左一l)d,:\k-2)d=ax,又〃1wO,:.k手2,解得：d=—^―；

k-2

記%^---^?！?，貝!J

n(n-\\/、n(n-\\/、/、n(n-\\

L

Sn=nax-\——--d=ax+yn-\)axH——-d=ax+——--d,

幾(幾—1)

｛叫的各項(xiàng)均為整數(shù)，.?馮+(〃-1)9-2)+七」1為整數(shù)，

又叫eZ,[(n-l)(A;-2)]eZ,"(丁￡,

，對(duì)任意正整數(shù)力，總存在正整數(shù)機(jī)，使得工=冊，則必有deZ,

即，?_=—3_eZ,.,.后=1或3或5,.1d=-3或3或1,

k-2k-2

，公差d可以為1,可以不為1,符合題意的公差d有有限個(gè).

故答案為：①②③.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列中的恒能成立問題，解題關(guān)鍵是能夠?qū)⒐?表示

為關(guān)于正整數(shù)左的形式，通過各項(xiàng)均為整數(shù)的條件，將恒能成立問題轉(zhuǎn)化為公差d為整數(shù)的

問題，從而討論變量上的取值求得結(jié)果.

兀

16.(1)-；

6

(2)答案見解析.

【分析】(1)利用正弦定理邊化角，再結(jié)合二倍角公式計(jì)算即得.

(2)由(1)求得“=揚(yáng)=&,條件①不可選；條件②③，求出邊長，再利用余弦定理

求解即得.

_26

【詳解】(1)在VABC中，由/=—Ti,a=26cos2及正弦定理，得siM=2sinScosS=sin25=——，

32

顯然貝?。?B=E，所以3=

336

(2)由(1)知，C=B=y,由正弦定理號(hào)=”,「，得a=y/3b=出c，

6SUMsinBsinC

選①，afb,V4BC的3個(gè)內(nèi)角確定，沒有邊長信息，此三角形不唯一，不能選①;

選②，V/8C周長為3+26，則b=c=g,a=3,A/3C存在且唯一，設(shè)/C邊上中線8。,

答案第7頁，共15頁

i3321

在中，BD2=AB2+AD2-2AB-AD-(-^)=?,+-+-=—

所以包.

2

選③，s=-bcsinA^—b2^—,貝Ub=c=&,a=3,A4BC存在且唯一，設(shè)NC邊上中

244

線BD,

i3321

在△48。中，BD1=AB2+AD2-2AB-AD-(——)=3+-+-=—,

所以BD=YH.

2

17.(1)證明見解析

(2)在，證明見解析

【分析】(1)連接/C、BD交于O,連接OP,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA.OB、0P為x、＞、

z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出示，］，計(jì)算出而.定=0即可.

_-----2—2.

(2)求出赤、AF，而，即可得到/可=^/￡+§/尸，從而得到A、M、E、P四點(diǎn)

共面，即可得證；

(3)求出相關(guān)向量和平面法向量，利用公式計(jì)算可得.

【詳解】(1)連接/C、BD交于O,連接。尸，由正四棱錐的性質(zhì)可得尸。，平面/3C。，

底面N8CD為正方形，則/C1AD,

所以以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，04、OB、OP為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(^2,0,0),5(0,V2,0),P(0,0,2),C(-加,0,0),。(0,-加,0),E(0,-*,1),尸(0,學(xué)』)，

則麗=(0,也,0),定=(一0,0,-2),貝1J正.定=0，

答案第8頁，共15頁

所以即_LPC.

(2)由(1)知方=(—行，—三,1),AF=(—C,%,D，

AP=(-6,0,2),AP+—PC=(—V2,0,2)+—(-V2,0,—2)=(-—V2,0,y),

----?1—?-----■----?.1—?4i~~4

又PM=—PC,^AM=AP+PM=AP+-PC=(一一V2,0,-),

3333

AE+AF=(-2V2,0,2),所以押=§池+§萬，

所以A、M、E、尸四點(diǎn)共面，即點(diǎn)M在平面/E/內(nèi).

(3)由(2)可得而=(0,也,-2),

_------V+Z—0

一n-AE=02

設(shè)平面/￡尸的法向量〃=(x,y,z),由《一，得＜

n'AF-0~42xy+z=0

令x=l,則z=0,歹=0,所以3=(1,0,收)，

所以cos(A5,0=PBn_-2V22

\PB[\r\V6-V33'

2

所以直線總與平面尸所成角的正弦值為§.

18.(l)j

7

(2)分布列見解析；期望為，

【分析】(1)利用頻率來求概率即可；

(2)由題意可知，X可取0,1,2,求出相應(yīng)的概率，從而可求出隨機(jī)變量X的分布列及

數(shù)學(xué)期望；

(3)利用兩點(diǎn)分布的方差公式依次求出進(jìn)行比較即可.

【詳解】(1)設(shè)選取的乘客在3站上車、在C站下車為事件M,

由已知，在3站上車的乘客有60人，其中在C站下車的乘客有20人，

所以P(“)=U201

603

(2)從在A站上車的所有乘客中任選1人，該乘客在C站下車的概率為三=1

244

答案第9頁，共15頁

由題意可知，X可取0,1,2

尸(X=0)=(l—；)x(lf

5

P(X=1)=_x(1—)+(1---)x-=

434312

111

P(X=2)=—x—=——

4312

隨機(jī)變量X的分布列為

X012

]_51

P

21212

所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為

7

￡(X)=0x—F1x----F2x—

21212n

(3)因?yàn)樵?站上車的有60人,下車的有36人,

所以“川嘿=$%=。)噎$

所以。?)=：315

x-=—?0.2344

O864

因?yàn)樵?。站上車的?4人，下車的有56人,

所以P(4=1)=旦=3,尸?o)=區(qū)=2_,

2801028010

一3721

所以D?2)=—x—=----=0.21,

21010100

因?yàn)樵?。站上車的?8人，下車的有26人,

所以尸(一)嚕唱“二°)寸13

32

所以。?)=』19x1'3=-247-?0.2412,

332321024

所以。

19.⑴橢圓￡的方程為:+；=1,短軸長為26

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)橢圓的離心率求出從，即可得解；

(2)根據(jù)直線4與橢圓相切，求出切點(diǎn)尸的坐標(biāo)，再求出直線。尸的斜率左；根據(jù)〃〃2,設(shè)

答案第10頁，共15頁

出4的方程，表示出B,C的坐標(biāo)，得到8C的斜率色，再探索左=/的值.

【詳解】（1）由題意可得nH=_L,解得人2=3,

22

22

所以橢圓E的方程為土+匕=1,短軸長為28；

43

x2+Skmx+4m2-12=0①,

由公=（8加7）2-4（4左2+3）（4川-12）=0,得病=4/+3,

此時(shí)方程①可化：m2x2+8kmx+16k2=0,

解得：x=-"（由條件可知：k,m異號(hào)

m

4km2-4k2_3

設(shè)PQo,yo），則％=---,y=kx+m=k-

m0Qmm

3_

即尸（一竺,3],所以左=左8=常丁=一[,

lmmJ_竺4k

m

因?yàn)?幽，所以可設(shè)直線4：y=kx+n（〃H0,n^m）,

y=kx+n

由，x?y1消y得（4左2+3產(chǎn)+8版X+4〃2-12=0,

—+—=1

U3

當(dāng)A'>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根,

設(shè)40141）,8（比2。2），

-8kn4M2-12

則X[+x=

24F+3中2=m

因?yàn)?c兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以C（-再，-%）,

2n

2〃=k+4k2+33

所以人心=匹埴=5+"+牝+"〃+Skn=k—

x2+Xjx2+%1x2+%14k4k

4k2+3

答案第11頁，共15頁

所以左=左2，即OP//3C.

20.(1)/(x)單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2),/(X)單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+8)；(2)n=3.

【分析】(1)將0=1，6=2代入函數(shù)/(“解析式，求得了'(X)并令/'卜)=0,即可由導(dǎo)函

數(shù)的符號(hào)判斷單調(diào)區(qū)間.

(2)將6=1代入函數(shù)/(x)解析式，求得/'(x).結(jié)合定義域及二次函數(shù)性質(zhì)可知/(x)的單

調(diào)區(qū)間，并根據(jù)零點(diǎn)意義代入方程和函數(shù)，可得零點(diǎn)的函數(shù)表達(dá)式.構(gòu)造函數(shù)

=XH—%--llnX,并求得"(x)可證明〃(x)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理及所給

X

參考數(shù)據(jù)，即可求得〃的值.

2

【詳解】(1)將。=1,6=2代入函數(shù)〃尤)解析式可得/(x)=x+1-lnx,定義域?yàn)?0,+8),

x-2)

令廣(x)=0,解得x=2,x=-l(舍)，

所以當(dāng)x?0,2)時(shí),r(x)<o.

當(dāng)xe(2,+oo)時(shí)，//(x)>0；

故1(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2)；/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+“).

(2)將6=1代入函數(shù)/'(x)解析式可得/(x)=x+：-alnx,

milr(\1ax1-ax—\

貝U/t⑺7一一r-二----2—

XXX

因?yàn)椤?gt;0,且對(duì)于/一依_i=o來說，A=6Z2+4>0,

所以/—收—1=0有兩個(gè)不等式實(shí)數(shù)根%,％2，

且西+%2=。項(xiàng)X2=—1<0,

所以兩根異號(hào)，不妨設(shè)西<0,則工2>1，

則由定義域?yàn)?0,+8)可得/(X)在(0,X2)內(nèi)遞減,在(％,+動(dòng)內(nèi)遞增,

因?yàn)椤?)=1+1-0=2>0,

要「(X)存在唯一的零點(diǎn)看,且和?%"+1)，則演=無2>1，

答案第12頁，共15頁

XQ2-CIXQ-1—0

化簡可得x（）--------工0-------卜n入0=0.

所以'/（X。）=X。+L。Inx。=0

Ix0jVx0）

1

所以M、）=XH—Inx在x〉l時(shí)單調(diào)遞減,

X

由題可知In2?0.7,In3?