2020-2021學(xué)年西藏昌都某中學(xué)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（附答案詳解）

2020-2021學(xué)年西藏昌都第三高級(jí)中學(xué)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷

（理科）

1.已知全集為/?集合力={刈乂<3,X€2},8={玨0-1)0—4)>0},則4|"^7?8=()

A.{1,2}B.[1,3]C.(-oo,l)D.[0,1,2)

2.已知在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是(1,-2),則復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)2=()

A.2—iB.2+iC.1—2iD.1+2i

x—120

3.已知x,y滿足不等式組卜一y40，則目標(biāo)函數(shù)z=3x+y的最小值是()

x4-y—4<0

A.4B.6C.8D.10

-117

4.已知Q=log12，b=loglC=log3§,則（）

A.b>a>cB.a>b>cC.c>b>aD.a>c>b

5.已知角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)則sin2a的值為（）

A.yB.-fC.D.一手

6.已知平面向量五、b,滿足|日|=|方|=1,若（2日-3）力=。，則向量五、3的夾角為（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

7.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式,

所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或

者高次差成等差數(shù)列.對(duì)這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有

高階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為1,5,11,21,37,61,95,則該數(shù)列的第8項(xiàng)為（）

A.99B.131C.139D.141

8.把函數(shù)f（x）=2sin（2x+$的圖像向右平移汐單位長(zhǎng)度，再把圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸

長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)g（x）的圖像，則下列說(shuō)法不正確的是（）

A.函數(shù)g（x）的最小正周期為2兀B.函數(shù)g（x）的最大值為2

C.函數(shù)g（x）在區(qū)間與系上單調(diào)遞增D.函數(shù)或乃的圖象關(guān)于直線x=會(huì)對(duì)稱

9.在AABC中，B=*AC=遍,且cos2C-cos2A-sin2B=-V^sinBsinC,貝必ABC的面

積為（）

A.竽p3V3廠1+V3D.y

4C?

10.函數(shù)/（x）=號(hào)的大致圖象為（）

11.己知雙曲線圣一《=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi，F(xiàn)2,過(guò)F2作一條直線與雙曲

線右支交于A，B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為O,若|。*=c,田片|=5a,則該雙曲線的離心率為()

逗B逗C百D包

D

a.2-2J33

12.若不等式萼<a(l+2cos2|)對(duì)Vx6(0,利恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

111

A.[l,+oo)B.[-.+00)C.%,+8)D.[3,+<?)

13.。-1)6的展開(kāi)代中常數(shù)項(xiàng)是.(用數(shù)字作答)

14.如表是x,y之間的一組數(shù)據(jù)：

X01234

y578C19

且y關(guān)于x的回歸方程為y=3.2x+3.6,則表中的c=.

15.曲線y=X?+Inx在點(diǎn)(l,b)處的切線方程與直線ax-y-1=0垂直，則a+b=.

16.“圓材埋壁”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題：“今有

圓材，埋在壁中，不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺.問(wèn)徑幾何."

用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述是：“如圖所示，一圓柱形埋在墻壁中，AB=1尺，

。為A8的中點(diǎn)，AB1CD,CD=1寸。，則圓柱底面的直徑長(zhǎng)是寸”.(

注：/尺=10寸)

17.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛an｝滿足的+a2=6,a3—a2=4.

(1)求數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式；

?)記匕=,求數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和

l?og2a0nlL°g2,%i+l

18.某學(xué)校開(kāi)設(shè)了射擊選修課，規(guī)定向4、B兩個(gè)靶進(jìn)行射擊：先向A靶射擊一次，命中得I

分，沒(méi)有命中得0分，向8靶連續(xù)射擊兩次，每命中一次得2分，沒(méi)命中得0分；小明同學(xué)

經(jīng)訓(xùn)練可知：向A靶射擊，命中的概率為，向8靶射擊，命中的概率為假設(shè)小明同學(xué)每

次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立.現(xiàn)對(duì)小明同學(xué)進(jìn)行以上三次射擊的考核.

(回)求小明同學(xué)恰好命中一次的概率；

(圈)求小明同學(xué)獲得總分X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).

19.如圖，菱形A8C。的邊長(zhǎng)為a/D=60。,點(diǎn)，為QC邊中點(diǎn)，現(xiàn)以線段A/7為折痕將△

折起使得點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)尸的位置且平面PH41平面A8CH,點(diǎn)E,B分別為A8,AP的中點(diǎn)

(1)求證：平面PBC〃平面EFH

(2)若三棱錐P-EFH的體積等于去求。的值

20.己知橢圓C：^+^=l(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,上頂點(diǎn)為A,左、右焦點(diǎn)分別為&,F2,

且乙04『2=60°,O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)M、N為橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若麗?而=0,問(wèn)：點(diǎn)O到直線MN的距離4是否

為定值？若是，求出d的值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.已知函數(shù)f(%)=21nx-ax(aGR).

(團(tuán))討論/(%)的單調(diào)性；

(El)若函數(shù)g(%)=f(Q+?有兩個(gè)極值點(diǎn)%i，%2(%1<%2),且g(%i)->0恒成立，求實(shí)

數(shù)用的取值范圍.

22.已知在極坐標(biāo)系中，曲線G的極坐標(biāo)方程為p(bcos。-sin。)=2V3+2.以極點(diǎn)為平面直

角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程為

為參數(shù)).

(團(tuán))求曲線Cl的直角坐標(biāo)方程和C2的普通方程；

(團(tuán))設(shè)曲線C1與曲線C2相交于4,8兩點(diǎn)，求|4B|的值.

23.已知函數(shù)/(x)=|2x-l|+|x+2|.

(團(tuán))求不等式f(x)>4的解集；

(回)若/(x)的最小值為〃?，且實(shí)數(shù)”，。滿足3a-4b=2m,求(a-2>+(b+1產(chǎn)的最小值.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：由已知可得集合4={0,1,2),

集合B={x\x>4或久<1},

則CRB={X|1<X<4},所以4nCRB={1,2},

故選：A.

由已知分別求出集合4,B,以及集合3的補(bǔ)集，然后根據(jù)交集的定義即可求解.

本題考查了集合的運(yùn)算關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】

【分析】

由已知求得z,再由共軌復(fù)數(shù)的概念得答案.

本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.

【解答】

解：由題意可知，z=1-2i,

Az=1+2i.

故選：D.

3.【答案】A

【解析】解：畫(huà)出可行域如圖1所示，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)y=-3x+z經(jīng)過(guò)

點(diǎn)時(shí)，z的值為4；

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)丫=一3%+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)8(2,2)時(shí)，z的值為8

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)y=-3x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(1,3)時(shí)，z的值為6

故選：A.

畫(huà)出可行域，求出A,8坐標(biāo)，利用角點(diǎn)法求解即可

本題考查線性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用，角點(diǎn)法求法具體目標(biāo)函數(shù)的最值的求

法的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想以及計(jì)算能力.

4.【答案】A

11117

【解析】解：0=logil<logi5Vlogia=1,logia>logi5=1，10g3-<log3l=0,

???b>a>c.

故選：A.

119

可以得出0<logj_5<l,log[Q>l,log3Q<o，從而得出a,6,c的大小關(guān)系.

本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，增函數(shù)和減函數(shù)的定義，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了計(jì)算能力，屬

于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，任意角的三角函數(shù)的定義，考查了學(xué)生的分析以及計(jì)算能力，是

基礎(chǔ)題.

利用任意角的三角函數(shù)的定義求得sina,cosa的值，再由二倍角公式求解.

【解答】

解：???角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-1,V5),

???r=\0P\=2,則sina=亨，cosa=-g.

V31V3

:.sin2a=2sinacosa=2x—x(——)=—

故選B.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算及向量的夾角公式，屬簡(jiǎn)單題.

由向量的數(shù)量積運(yùn)算得：a-b=^b=\,由向量的夾角公式得：cos”尚余=看得解.

【解答】

解：由題意知：(2a-b)-b=0,則日4=頡2=g,

設(shè)向量口、3的夾角為。，

則3。=晶=最

又。e[0,?r],

即向量之坂的夾角為60。，

故選：c.

7.【答案】D

【解析】解：由題意可知：1,5,11,21,37,61,95,…的差的數(shù)列為：4,6,10,16,24,

34,???

這個(gè)數(shù)列的差組成的數(shù)列為：2,4,6,8,10,12…是等差數(shù)列，

所以前7項(xiàng)分別為1,5,11,21,37,61,95,則該數(shù)列的第8項(xiàng)為：95+34+12=141.

故選：D.

利用已知條件，推出數(shù)列的差數(shù)列的差組成的數(shù)列是等差數(shù)列，轉(zhuǎn)化求解即可.

本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，等差數(shù)列的定義的應(yīng)用，是中檔題.

8.【答案】D

【解析】解：函數(shù)〃x)=2sin(2x+g)的圖像向右平移］個(gè)單位長(zhǎng)度，再把圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)

OO

伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)g(x)=2sin(x-令的圖像，

則：函數(shù)的最小正周期為2叫故A正確；

函數(shù)的最大值為2,故8正確；

當(dāng)xw*系時(shí)，*冶eg］，故函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增，故C正確；

當(dāng)時(shí)，/(^)=2sin^=1.故￡＞錯(cuò)誤.

故選：D.

直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的平移變換和伸縮變換的應(yīng)用及函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的

運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】A

【解析】解:cos2C—cos2i4—sin2F=—V2sinFsinC,可得:(1—sin2C)—(1—si解4)—sin2B=

-V2sinBsinC,

??.由正弦定理整理可得：c2+h2-a2=V2&c,

c2+i>2—a2>f2bc42

二由余弦定理可得cosA=

2bc2bc2

vAe(0,7T),

4

,:8=*AC=V3,

???由正弦定理黑=痣可得BC=WM=3,

T

11Lr~V67T7T

ACBC

???S&ABC=2'-sEC='xV3xv2xsin(7r—A—B)=xsin(4+可)

V6V21V2V3V3+3

TX(TX2+-2-XT)=^—

故選：4

由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，正弦定理化簡(jiǎn)已知等式得，2+爐-02=或比，由余弦定理可得

cos4=亨，結(jié)合范圍4e(0,兀)，可求4=%結(jié)合已知利用正弦定理可得BC的值，進(jìn)而根據(jù)三角

形的面積公式，兩角和的正弦函數(shù)公式即可計(jì)算得解.

本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式，兩角和的

正弦函數(shù)公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的圖象，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔.

求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性，比照后，可得答案.

【解答】

解：?.?函數(shù)/(%)=匕~，

故當(dāng)x<0時(shí)，f(x)<0,函數(shù)/(x)為減函數(shù)，

,

當(dāng)0<x<l時(shí)，/"(%)<0,函數(shù)/'(x)為減函數(shù)，

當(dāng)x>l時(shí)，f'(x)>0,函數(shù)>x)為增函數(shù),

故選：B.

11.【答案】B

【解析】解：如圖，???|0*=c,

二1。&|=|OF2I=\OA\=c,又。為FiF2的中點(diǎn),

:.Z.F1AF2=90°,

v|5^|=5a,\BF2\=\BFX\-2a=3a,

由勾股定理可得：|4&『+|48|2=陽(yáng)&|2,

2

即(|仍|+2a產(chǎn)+(\AF2\+3a產(chǎn)=(5a),

解得MFz|=a,則|4&|=3a,

在Rt△尸遇尸2中,有|力&E+“F=正聲匕

EP9a2+a2=4c2,10a2=4c2>

故選:B.

由已知可得4耳4尸2=90。，由雙曲線定義得|BFz|=3a,通過(guò)求解直角三角形得NF2I=a,則

|AF/=3a,在RtAFS七中，再由勾股定理列式求解雙曲線的離心率.

本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查雙曲線定義的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

12.【答案】D

【解析】解：不等式等＜Q(1+2cos2》對(duì)以e(0㈤恒成立，＞4

即為＜Q(2+cos%)對(duì)VxG(0,捫恒成立，

等價(jià)為ax＞橙?對(duì)"％e(0,TT]恒成立，I

由、=懸的導(dǎo)數(shù)為V=名爵,方尸二

f

在％e(0,n]fy=0,解得x=y,

可得0Vx＜等時(shí)，y=舒4遞增^＜%＜兀時(shí)，y=蕓三遞減，

3J2+cosx3'2+cosx

函數(shù)丁=喘工的圖象如右圖：

由于直線y=ax和y=端3的圖象都過(guò)原點(diǎn)，

考慮直線y=ax和y=-黑的圖象相切，且切點(diǎn)為(0,0),

可得切線的斜率為且、=,,

由圖象可得。的范圍是停,+8).

故選：D.

由題意可得ax＞端?對(duì)VxG(0,網(wǎng)恒成立，考慮直線y=ax和y=搭七的圖象，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾

何意義，求得切線的斜率，可得所求范圍.

本題考查不等式成立問(wèn)題解法，考查數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想、運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔

題.

13.【答案】60

【解析】解：。一》的展開(kāi)式的通項(xiàng)為C"6f(—?jiǎng)?(_2pC*-3k,

令6-3k=0,解得k=2,

故("?的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為(—2)2盤=60.

故答案為：60.

根據(jù)已知條件，結(jié)合二項(xiàng)式定理，即可求解.

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】11

5+7+8+C+1939+c

【解析】解：.=0+比+3+4=2,歹=

55

則樣本點(diǎn)的中心為（2,軍），

代入y=3.2X+3.6,得平=3.2x2+3.6,解得c=11.

故答案為：11.

由已知求得樣本點(diǎn)的中心的坐標(biāo)，代入線性回歸方程可得c值.

本題考查線性回歸方程，明確線性回歸方程恒過(guò)樣本點(diǎn)的中心是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

15.【答案】|

【解析】解：：y=x2+inx,y'=2x+1,

則y'lx=i=3，又曲線y=x2+lnx在點(diǎn)（1，）處的切線方程與直線ax-y-1=0垂直，

**?3cz=-1?即Q=——,

又b=I2+Ini=1,a+b=-.

故答案為：宗

求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可得函數(shù)在％=1處的導(dǎo)數(shù)，由兩直線垂直與斜率的關(guān)系求得〃值，再求出

6值，作和得答案.

本題考查棱臺(tái)導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查兩直線垂直與斜率的關(guān)系，是基礎(chǔ)題.

16.【答案】26

【解析】解：AB1CD,AD=BD,

??AB=10寸，

AD=5寸，

^.Rt^AOD^,"OA2=OD2+AD2,

OA2=（OA-I）2+52,

???OA=13寸，

二圓柱底面的直徑長(zhǎng)是24。=26寸.

故答案為：26.

由勾股定理。42=OD2+AD2,代入數(shù)據(jù)即可求得.

考查了學(xué)生對(duì)勾股定理的熟練應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】（1）設(shè)數(shù)列｛aj的公比為q,由已知q>0,……（1分）

由題意得"6

UiQ-arq=4

所以3q2—5q-2=0.……（3分）

解得q=2,%=2....（5分）

因此數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式為冊(cè)=2\……（6分）

（2）由（1）知，bn=----p-----=（177，....（8分）

Jv7log2aMiog2Q?i+in（n+l）nn+1'7

-T=1+----1-=177=...（12分）

n"223nn+ln+ln+1'"

【解析】（1）求出數(shù)列的思想以及公比，得到通項(xiàng)公式.

（2）化簡(jiǎn)數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)消項(xiàng)法求解數(shù)列的和即可.

本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，數(shù)列求和，考查計(jì)算能力.

18.【答案】解：（回）記：“小明恰好命中一次”為事件C,“小明射擊4靶命中”為事件。，“該

射手第一次射擊B靶命中”為事件E,“該射手第二次射擊8靶命中”為事件尸，

3

=

由題意可知P(D)=土P(E)=P(F)4-

————————1

由于C=DEF+DEF+DEF,P(C)=P(DEF+DEF+DEF)=，

o

由±

1214d21G

“

_“

=-X=,==-X=,==-XX

552)5

8020

1334131249

X-%XdXX%2X2

--===---==-X===-XZ31J=

443)5444)55)5~

408020

4v

X012345

p113399

802040Io8020

11339919

F（X）=0x-+lx-+2x-+3x-+4x-+5x-=y.

【解析】（團(tuán)）記：“小明恰好命中一次”為事件C,“小明射擊A靶命中”為事件。，“該射手第

一次射擊B靶命中”為事件E,“該射手第二次射擊8靶命中”為事件F,利用互斥事件的概率

求解即可.

（回）X=0,1,2,3,4,5,求出概率，得到分布列，然后求解期望即可.

本題考查古典概型及其概率計(jì)算公式的應(yīng)用，求離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，屬于

中檔題.

19.【答案】（1）證明：菱形ABC。中，TE,”分別為AB,C。的中點(diǎn)，BE=CH,

.,?四邊形BCHE為平行四邊形，則BC〃EH,

又EHC平面PBC,???EH〃平面PBC,

H

又點(diǎn)E,F分別為AB,AP的中點(diǎn)，則EF〃BP,

又EFC平面PBC,???EF〃平面PBC,

由EFCEH=E,；.平面EFH〃平面PBC；

(2)解：在菱形ABC。中，NO=60。，則△?!(；￡)為正三角形，

To1

.-.AH1CD,AH=^a,DH=PH=CH=^a,

折疊后，PH1.AH,又平面P/L41平面A8CH,平面P/Mn平面ABCH=4H,

從而PH1平面4BCH.

在△PAE中，點(diǎn)F為A尸的中點(diǎn)，則SMEF=SA4EF，

"VH-PEF=^H-AEF'而％-PEF+^H-AEF~^H-PAE)

__1_111

"Vp-EFH=^H-PEF=2%-PAE=2Kp-AEH=Q''h

1111V31V3,

=2X3X2X2aXTaX2a=96a=12-

a3=8.即a=2.

故a=2.

【解析】(1)在菱形ABC。中，由E,，分別為A8,CO的中點(diǎn)，得BE//CH,BE=CH,得到四

邊形8CHE為平行四邊形，貝進(jìn)一步得到EH〃平面P8C,再證明EF〃平面P8C,由

面面平行的判定可得平面EFH〃平面PBC；

(2)在菱形A8C。中，△D=60。，則AACD為正三角形，求解三角形可得AH,DH,PH,CH的值，

再證明PH_L平面4BC從然后利用等積法列式求得“值.

本題考查平面與平面平行的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的

體積，是中檔題.

20.【答案】解：(1)設(shè)橢圓C的半焦距為c,由已知可得2a=4,a=2,

vZ.FrAF2=60°,在RCAO4F2中，可得NOAF2=30°,|0*=b,|0尸2|=c,

???\AF2\=a=2,

COS^OAF2=《=苧，解得b=V3.

???橢圓C的方程為。+4=1；

(2)當(dāng)直線MN的斜率存不在時(shí)，MN1x軸,

由施?麗=0,可得0M10N,

結(jié)合橢圓的對(duì)稱性，可設(shè)M(x,x),N(x,—x),則d=|x|,

將點(diǎn)M(x,x)代入橢圓方程，可得9+9=1,

AZJZB,2V21,2V21

解得X=±—^―,:.d=.

當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為y=kx+m,

此時(shí)點(diǎn)。到直線的距離d=即d2=鼻，

Jl+/1+k

設(shè)MQi，%),N(x2,y2),

y=kx+m

2

聯(lián)立y21,可得(3+4k2)x2+Skmx+4m-12=0,

—H----

U143

由4=64k2m2—4(3+4k2)(4m2—12)>0,得?n2<4k2_|_3,

8km4m2—12

??

,%1+x23+4乒’無(wú)1無(wú)2-3+4/'

:.xrx2+y1y2=+4-m)(fcx2+瓶)

2y

=(1+k)xrx2+km(x1+x2)+62

4m2—128k2m2,7m2-12(/c2+1)

=(1+k2)-+蘇=------------5--------

3+4/3+4k23+4/c2

又TOM?ON=0,?,?xrx2+yyyz—o，

即7"；法+?=。，解得癥=y(l+fc2),

d2=即4=卒.

77

綜上所述，點(diǎn)。到直線MN的距離d=竿是定值.

【解析】(1)由已知求得a=2,求解RtACMB，可得b=遮,則橢圓C的方程可求；

(2)當(dāng)直線MN的斜率存不在時(shí)，MN1x軸，由而-'ON=0,可得OM1ON,結(jié)合橢圓的對(duì)稱性，

可設(shè)W(x,-x),則d=|x|,把M的坐標(biāo)代入橢圓方程可得d=^.當(dāng)直線MN的斜率存

在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為、=/^+m，此時(shí)點(diǎn)O到直線MN的距離d=tt，即42=三，

聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合西?而Z=0,求得巾2=竽(1+卜2),得到

距離d.

本題考查橢圓的性質(zhì)及應(yīng)用，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

21.【答案】解：(0)/(x)=2lnx-ax(aGR),

/'。)的定義域是(0,+8),f'[x)=|-a,

當(dāng)aWO時(shí)、f(%)>0,/(%)在(0,+8)遞增，

當(dāng)a>0時(shí)，令/''(x)=0,解得：x=I，

當(dāng)0<x<；時(shí)，f'(x)>0,f(x)遞增，

當(dāng)時(shí)，f'(x)<0,/(%)遞減,

綜上：當(dāng)a40時(shí)，/(x)在(0,+8)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，/(x)在(0,今遞增，在《,+8)遞減：

(0)5(%)=/(%)4-x2=2lnx—ax+x2,

則“(%)=^—a+2%=2":"2(%>0),

若函數(shù)gQ)=/(%)+/有兩個(gè)極值點(diǎn)％i，x2(%1<x2),

則%1，%2是方程2%2-ax+2=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

故L.r_a>n，解得：a>4,

十%2—E>u

故》i4-x2=1>2①，xrx2=1②，故0<<1<上，

要使g(%i)-mx2>0恒成立，只需四式>小恒成立，

x2

由①②得：啜=幽?出=變吟?丘=_%3_2%i+2XllnX1,

X1

令九(￡)=—t3—2t+2tlnt(0<t<1),則九'(t)=-3t2+21nt,

當(dāng)ovtvl時(shí)，h!(t)<0,h(t)遞減,

故九(t)>h(l)=-3,

故要使g(%i)-mx2>0恒成立，只需滿足m<-3,

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(一8,—3].

【解析】(團(tuán))求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論。的范圍，求出函數(shù)的