2021屆人教a版 集合單元測試

集合

評卷人得分

一、單選題

1.集合M={xcN+[0<x<8},N={1,3,5,7,8},則Mp|N=()

A.{1,3,5,7}B.{3,5,7}C.{3,5,7,8}D.{1,3,5,7,8}

【答案】A

【解析】

試題分析：因為M={xeN,[0<x<8}={l,2,3,4,5,6,7},所以

MIN={1,2,3,4,5,6,7}I{1,3,5,7,8}={1,3,5,7},故選擇A.

考點：集合的運算.

2.已知集合A==JlogJx—l)>,B=則()

A.ABB.BAC.A=BD.=0

【答案】C

【解析】

【分析】

分別化簡集合A8,根據(jù)集合的關系得出選項.

【詳解】

由logi(xT)N0得Oc-iwi,即A=(l,2]；

2

由七2?0得1<XW2,即8=(1,2]；

X—1

所以A=5.

故選：C.

【點睛】

本題主要考查集合間的關系，化簡集合為最簡形式是求解的關鍵，側(cè)重考查數(shù)學運算的

核心素養(yǎng).

3.設集合A=(e,2),8={x|log3X<l},則ADB=()

A.(-00,2)B.(-00,3)c.(0,2)D.(0,3)

【答案】c

【解析】

【分析】

根據(jù)對數(shù)不等式求解集合B再求解即可.

【詳解】

8={x|log3X<l}={x[0<x<3卜故4nB=(0,2).

故選：C

【點睛】

本題主要考查了對數(shù)不等式的求解以及交集的運算,屬于基礎題.

4.己知集合A={0,1,2,3,4,6},4={X|X=2",〃GN},則的元素個數(shù)是(

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】

3集合中的元素為1,2,4,8,16…，得到ACS,可得其元素個數(shù).

【詳解】

?.?A={0,l,2,3,4,6},8={x|x=2",〃eN}

.".AA5={1,2,4},即AD8中的元素個數(shù)為3.

故選D項.

【點睛】

考查自然數(shù)定義，集合的運算，屬于簡單題.

5.已知集合4={乂/<4},8={%,<2-耳，則AU8=()

A.1x|-2<x<2}B.{x|x<2}C.|x|x>-1}D.{xjx>-2}

【答案】B

【解析】

【分析】

解不等式可得集合A,8,根據(jù)并集的概念即可得結(jié)果.

【詳解】

由A={x,2<4}={x卜2<x<2},8={x|x<2-x}={xk<l},則

A<JB=^x\x<2^

故選B.

【點睛】

本題主要考查了一元二次不等式的解法，以及集合并集的運算，屬于基礎題.

6.已知集合Mf+》一2<0},N={x|log?x<1}則MPIN=()

A.(-2,1)B.(-1,2)C.(0,1)D.(1,2)

【答案】C

【解析】

試題分析：由/+%一2<0,解得一2<*<1,所以加={劃―2<》<1}.由1082》<1,

解得0〈尤<2,所以N={x[0<x<2},所以MflN=(0,l),故選C.

考點：1、不等式的解法；2、集合的交集運算.

7.設U={-1,2,3,4,5},4={-1,5},B={2,4},貝！]((:以)=()

A.{2}B.{1,3,4,5}C.{2,3,4}D.{2,4}

【答案】D

【解析】

【分析】

由全集U及A,求出A的補集，再求出8與4補集的交集即可.

【詳解】

解：'：U={-1,2,3,4,5},A={-1,5},B={2,4},

：.QuA=[2,3,4),

則BC(CM)={2,4}.

故選:。.

【點睛】

此題考查了交、并、補集的混合運算，熟練掌握交、并、補集的概念是解本題的關鍵.

8.如果A={x|x<l},那么()

A.0cAB.{0}eAC.{0}qAD.

【答案】C

【解析】

【分析】

直接利用元素與集合之間的關系、集合與集合之間的關系判斷各選項即可得結(jié)果.

【詳解】

因為集合與集合之間的關系不能用符號“€”，所以選項8、D錯誤；

因為元素與集合之間的關系不能用符號"G”,所以選項A錯誤；

因為0<1,所以OeA,由子集的定義可得{0}=A正確，故選C.

【點睛】

本題主要考查集合與元素、集合與集合的關系，意在考查對基礎知識的掌握與應用，屬

于簡單題.

9.設集合A={X[!<2"2<1},3={x|l-V”o},則人門⑶等于（）

4

A.{x|-l?x<l}B.{x|1<x<2}

C.{x|0<x<l}D.{x|0<x<2}

【答案】B

【解析】

試題分析：對于集合A,!<242<1等價于2-2<21<2°,0<》<2,對于集合3,

4

解得xK—1,尤21,所以Ac8=[l,2）.

考點：1.集合交集；2.指數(shù)不等式；3.一元二次不等式.

【易錯點晴】高考對集合知識的考查要求較低，均是以小題的形式進行考查，一般難度

不大，要求考生熟練掌握與集合有關的基礎知識.縱觀近幾年的高考試題，主要考查以

下兩個方面：一是考查具體集合的關系判斷和集合的運算.解決這類問題的關鍵在于正

確理解集合中元素所具有屬性的含義，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪

些元素.二是考查抽象集合的關系判斷以及運算.注意區(qū)間端點的取舍.

10.集合A=Ny=?,0?x44},B={x|x2-x〉0},則4cB=（）

A.（—oo,l]<J（2,+oo）B.（―oo,0）U（l,2）C.0D.（L2]

【答案】D

【解析】

試題分析：?；A={），|y=?,0Kx<4},B={X|X2-X>0},AA=[0,2],

8={x|x<0或r〉l},

AnB=(l,2].故選D.

考點：集合的交集運算、一元二次不等式、函數(shù)的值域.

11.A={x|y=lg(x-l)},8=卜[y="一/卜則()

A.(0,2]B.(1,2]C.[1,2)D.(1,4]

【答案】B

【解析】

因為A={x|y=lg(x-l)}={x|x〉l},B={y\y=^4-x2}={y\2>y>0}i所

以Ac8=(l,2],故選B.

12.已知集合4={x|y=12—x},8={x|y=log2(x—l)},則()

A.1x|0<x<3jB.{x[l<x?2}C.{x|l<x<3}D.{x|x<2}

【答案】B

【解析】

由題意得，集合A={X|X42},8={HX〉1},所以An8={x[l<x<2},故選B.

評卷人得分

13.已知集合-3x+220},8=MxN”.若AU8=A,則實數(shù)f的取值范圍

為.

【答案】[2,招>)

【解析】

試題分析：由題意，則集合A={x|xN2或xWl},若ADJ?=A,則A江8,因此122,

即.e[2,+oo).

考點:不等式、集合的運算

14.已知數(shù)集A={《，/，。3,。4,生}(°<4<。2<。3<“4</)具有性質(zhì)P：對任

意i,j&Z,其中1?iWj<5,均有a.-%屬于A,若“5=60,則4=.

【答案】30

【解析】

試題分析：因為數(shù)集A={tz,,a2,a3,,a5}(0<at<a2<a3<a4<%)具有性質(zhì)P：

對任意i,JeZ,其中1KiW/W5,均有盯一生屬于A,所以A={10,20,30,40,50},

即4=30.

考點：集合性質(zhì)及新定義問題.

15.對于E={q,出,…,4（）}的子集X={4,%「..,%},定義X的“特征數(shù)列”為

王，》2，…，玉00，其中飛=聞=~=%=1，其余項均為。.例如：子集{%,%}的

“特征數(shù)列”為0,1,1,0,0,…，0.若￡的子集P的“特征數(shù)列"Pi，P2,…，Pioo

滿足的子集。的“特征數(shù)列"%,

Pi=l,A+P,+I=l,1</<99；E%，…，0oo

滿足0=1,%+為+1+%+2=1，1W98,則pnQ的元素個數(shù)為.

【答案】17

【解析】

【分析】

利用“特征數(shù)列”的定義分別求出子集P、。的“特征數(shù)列”，再找出相同“1”個數(shù)即可.

【詳解】

據(jù)已知定義可知，

Pl=1,必=°，=1，。4=0，...，

即奇數(shù)項為I,偶數(shù)項為0,

故集合。={4，%,%，…，%}={4N=2女+1#wN跳W49},

又％=1,%=%=°，44=1，％=46=°，％=1，...1

因此集合。={4，。4，%，40，3}={4上=3左+1,丘"且左433},

若％ePn。，則左=2匕+1=3&+1,院,k2&N,左<49,左<33,

即2k=3kli,

不妨設6k3=2kl=3kz,

所以占=3&,k2=2k3,OK3左3<49,OK2&433,&eN,

得"w{0,l,2,3,…,16},%=6<+l,共有17個，

故尸no的元素個數(shù)為17.

故答案為：17.

【點睛】

本題考查了遞推數(shù)列的應用，考查了交集運算，正確理解“特征數(shù)列”的定義是解題的

關鍵，屬于較難題.

16.己知集合4={0,2],0},則集合AUB=.

【答案】{T，0,2}

【解析】

【分析】

直接根據(jù)并集運算的定義求解即可.

【詳解】

解：；A={0,2},B={-1,0},

.?.AUS』-1,0,2},

故答案為：{-1,0.2).

【點睛】

本題主要考查集合的并集運算，屬于基礎題.

評卷人得分

17.已知集合A={乂-1?2},B=^x\m+l<x<2m+3^.

(1)當機=1時，求AD8；

(2)若=求實數(shù)，〃的取值范圍.

【答案】(1)Ac3={2}；(2)18,一g.

【解析】

【分析】

(1)將桃=1代入集合5,可得出集合5,然后利用交集的定義可求出集合AD8；

(2)由A73=A,可得出B=4,然后分8=0和6。0兩種情況討論，根據(jù)6=A

列出關于實數(shù)M的不等式組，解出即可.

【詳解】

(1)當，”=1時，B-1%|2<%<51,,因此，Ac8={2}；

(2)A<JB=B^A.

①當8=0時符合題意，止匕時根+1>2加+3,即〃2<—2；

m+l<2m+3m>-2

②當時，要滿足8=則<m+12-1n<m>-2=>-2<w<—.

2m+3<2

綜上所述，當A=3=A時，實數(shù)機的取值范圍是1一8,一;.

【點睛】

本題考查交集的運算，同時也考查了利用集合的包含關系求參數(shù)，解題的關鍵就是對含

參集合分空集和非空集合兩種情況討論，考查分類討論思想的應用，屬于中等題.

18.已知集合A={x|x?-2x-8?0},B={x|x-m<0}.

（1）若全集U=R，求Q/A；

（2）若=求實數(shù)，〃的取值范圍.

【答案】（1）{幻犬<-2或x>4}；⑵（4,+oo）.

【解析】

【分析】

（1）由一元二次不等式的解法化簡集合A，由補集的定義可得結(jié)果；（2）

AD8=6等價于AaB,根據(jù)包含關系，結(jié)合數(shù)軸列不等式求解即可.

【詳解】

（1）由一元二次不等式的解法可得集合A={X|X2-2X-8<0}

=1x|-2<x<4},

又因為全集U=R,所以電A={x|x<-2或x>4}；

（2）4。3=3等價于413,

化簡8={x|x-"加<0}={x|x<〃"，由⑴得A={x|-2W4},

在數(shù)軸上表示集合A、B,如圖，

_______?_______?_______?]j_]_______?_______?

-5-4-3-2-1012345

m

由圖可知加>4,即實數(shù)血的取值范圍（4,+8）.

【點睛】

集合的基本運算的關注點：

（1）看元素組成.集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運

算問題的前提；

（2）有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關系并進行運算，可使問題簡單明了，

易于解決；

（3）注意數(shù)形結(jié)合思想的應用，常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標系和他〃圖.

19.數(shù)列{4}的前"項q,%〃wN*）組成集合A={?,,4,…},從集合A“

中任取k*=1,2,3,…,〃）個數(shù)，其所有可能的k個數(shù)的乘積的和為1（若只取一個數(shù)，

規(guī)定乘積為此數(shù)本身），例如:對于數(shù)列{2〃一1},當〃=1時，4={1},7；=1;〃=2時，

A={1,3},7；=1+3,7；=1.3；

⑴若集合4={1,3,5,…,2〃一1},求當〃=3時，幾耳看的值；

（2）若集合4={1,3,7,…,2"-1},證明：〃=左時集合4的￡“與〃=攵+1時集合

4+1的7；（為了以示區(qū)別，用窘表示）有關系式以=（21—l）7；i+7；,其中

m,k€N\2<m<k；

（3）對于（2）中集合A〃,定義S〃=7J+（+…+<，求S〃（用”表示）.

?（?+!）

【答案】（1）（=9,1=23,n=15；（2）證明見解析；（3）3=2丁一上

【解析】

【分析】

（1）利用《的定義可得T],T2,7；的值.

（2）〃=左+1時，集合的北；中乘積由兩部分構(gòu)成，一部分是乘積中含

另一部分不含2k+'-l，從而可得7；；,T…7；之間的關系.

（3）可先證明{q,4,???,％}所有非空子集中各元素的乘積和為

從而可得

（1+OI）（1+O2）X...XQ-1,Sa.

【詳解】

(1)〃=3時，A3={1,3,5},

所以Z=l+3+5=9,T2=1X3+1X5+3X5=23,京=1X3X5=15.

(2)〃=攵+1時，集合A』的z；中各乘積由兩部分構(gòu)成，

一部分是乘積中含因數(shù)乘積的其他因數(shù)來自集合&，故諸乘積和為

(2*一)加；

另一部分不含21—1，乘積的所有因數(shù)來自集合4,故諸乘積的和為

故以=(2皿一1)7；1+7；.

(3)我們先證明一個性質(zhì)：

｛q,%,…,凡｝所有非空子集中各元素的乘積和為(1+4)(l+%)x…x(l+a“)-1.

證明：考慮(l+q)(l+4)x…x(l+4)—l的展開式，該展開式共有2"—1項，

每一項均為各因式中選取1或①后的乘積(除去各項均選1).

對于｛《,外,…,凡｝的任意非空子集｛”，氣,…,”｝,

該集合中各元素的乘積4x%x…x4,為…+的展開式

中的某一項：即第％個因式選擇唳，\<k<m，其余的因式選擇1,

注意到非空子集的個數(shù)為2"-1，

故｛q,4,???,《,｝的所有非空子集中各元素的乘積均在

(l+4)(l+4)x...x(l+a,J-l的展開式中恰好出現(xiàn)一次，

所以｛4,4,???,為｝所有非空子集中各元素的乘積和為

(l+q)(l+%)x?—x(l+a“)-1.

故對于A=｛1,3,7,…,2"—1｝,

=(l+l)(3+I)x…x(2"-1+1)-1

n(n+l)

=2x22x?--x2"-1=2l+2+3+-+n-1=2~~2--r

【點睛】

本題考查集合的子集、數(shù)列的遞推關系以及數(shù)列的求和，注意數(shù)列遞推關系的證明需結(jié)

合關鍵元素分類，而求和需將乘積與代數(shù)式的展開式的項一一對應，從而達到簡潔求和,

本題為難題.

20.已知集合A=B={a2,a+b,0},若A=B,求*8+*9的值.

【答案】1

【解析】

【分析】

由要使分式有意義，則。工0,由集合相等的充要條件及集合中元素的互異性可

b

/=1且。工1且一=0,求出。力的值，再代入運算即可得解.

a

【詳解】

解：因為集合4,8={/,4+/?,()},

要使2有意義，則。中0

a

/=1

又A=B，由集合相等的充要條件及集合中元素的互異性可得<。彳1,

.a

即《a=-\，

b=Q

即