安徽省蚌埠二中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末預(yù)測(cè)試題含解析

安徽省蚌埠二中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末預(yù)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)：同一平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是卡西尼卵形線.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)定點(diǎn)為，，，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足(且為常數(shù))，化簡(jiǎn)得曲線E：.當(dāng)，時(shí)，關(guān)于曲線E有下列四個(gè)命題：①曲線E既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形；②的最大值為；③的最小值為；④面積的最大值為.其中，正確命題的個(gè)數(shù)為（）A.1個(gè) B.2個(gè)C.3個(gè) D.4個(gè)2．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則點(diǎn)到平面的距離是（）A. B.C. D.3．直線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的直線方程為（）A. B.C. D.4．已知橢圓的離心率為.雙曲線的漸近線與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓的方程為A. B.C. D.5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（0,4）關(guān)于直線x－y+1＝0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（）A.(－1,2) B.(2,－1)C.(1,3) D.(3,1)6．在長(zhǎng)方體中，，，分別是棱，的中點(diǎn)，則異面直線，的夾角為（）A. B.C. D.7．若復(fù)數(shù)，則（）A B.C. D.8．已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，并且與定圓外切，則動(dòng)圓的圓心的軌跡是（）A.拋物線 B.橢圓C.雙曲線 D.雙曲線的一支9．已知點(diǎn)與不重合的點(diǎn)A，B共線，若以A，B為圓心，2為半徑的兩圓均過(guò)點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B.C. D.10．下列結(jié)論中正確的有（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則11．已知是邊長(zhǎng)為6的等邊所在平面外一點(diǎn)，，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，三棱錐外接球的表面積為（）A. B.C. D.12．直線（t為參數(shù)）被圓所截得的弦長(zhǎng)為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若a，b，c都為正數(shù)，，且，，成等比數(shù)列，則的最大值為_(kāi)___________.14．定義在上的函數(shù)滿足，且對(duì)任意都有，則不等式的解集為_(kāi)_________.15．由曲線圍成的圖形的面積為_(kāi)______________16．如圖，在直三棱柱中，，為中點(diǎn)，則平面與平面夾角的正切值為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c．已知b＝3，c＝6，，且AD為BC邊上的中線，AE為∠BAC的角平分線（1）求及線段BC的長(zhǎng)；（2）求△ADE的面積18．（12分）為深入學(xué)習(xí)貫徹總書(shū)記在黨史學(xué)習(xí)教育動(dòng)員大會(huì)上的重要講話精神和中共中央有關(guān)決策部署，推動(dòng)教育系統(tǒng)圍繞建黨百年重大主題，深化中學(xué)在校師生理想信念教育，引導(dǎo)師生學(xué)史明理、學(xué)史增信、學(xué)史崇德、學(xué)史力行，以昂揚(yáng)的狀態(tài)迎接中國(guó)共產(chǎn)黨建黨周年，哈工大附中高二年級(jí)組織本年級(jí)同學(xué)開(kāi)展了一場(chǎng)黨史知識(shí)競(jìng)賽．為了解本次知識(shí)競(jìng)賽的整體情況，隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖（1）求直方圖中a的值，并求該次知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的第50百分位數(shù)（精確到0.1）；（2）已知該樣本分?jǐn)?shù)在的學(xué)生中，男生占，女生占現(xiàn)從該樣本分?jǐn)?shù)在的學(xué)生中隨機(jī)抽出人，求至少有人是女生的概率.19．（12分）寫(xiě)出下列命題的逆命題、否命題以及逆否命題：（1）若，則；（2）已知為實(shí)數(shù)，若，則20．（12分）如圖，已知橢圓的焦點(diǎn)是圓與x軸的交點(diǎn)，橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)等于圓O的直徑（1）求橢圓C的方程；（2）F為橢圓C的右焦點(diǎn)，A為橢圓C的右頂點(diǎn)，點(diǎn)B在線段FA上，直線BD，BE與橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)分別是D，E，直線BD與直線BE的傾斜角互補(bǔ)，直線BD與圓O相切，設(shè)直線BD的斜率為．當(dāng)時(shí)，求k21．（12分）如圖甲，在直角三角形中，已知，，，D，E分別是的中點(diǎn).將沿折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)的位置，且，連接，得到如圖乙所示的四棱錐，M為線段上一點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）過(guò)B，C，M三點(diǎn)的平面與線段A'E相交于點(diǎn)N，從下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，求直線DN與平面A'BC所成角的正弦值.①；②直線與所成角的大小為；③三棱錐的體積是三棱錐體積的注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.22．（10分）動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小，記M的軌跡為曲線C.（1）求C的方程；（2）已知圓，設(shè)P，A，B是C上不同的三點(diǎn)，若直線PA，PB均與圓D相切，若P的縱坐標(biāo)為，求直線AB的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】①：根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形、中心對(duì)稱(chēng)圖形的方程特征進(jìn)行判斷即可；②：結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式、曲線方程特征進(jìn)行判斷即可；③：根據(jù)卡西尼卵形線的定義，結(jié)合基本不等式進(jìn)行判斷即可；④：根據(jù)方程特征，結(jié)合三角形面積公式進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng)，時(shí)，.①：因?yàn)橐源匠滩蛔儯源匠滩蛔儯瑫r(shí)代，以代方程不變，所以曲線E既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，因此本命題正確；②：由，所以有，所以，當(dāng)時(shí)成立，因此本命題正確；③：因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，因此本命題正確；④：，因?yàn)?，所以，的面積為，因此本命題正確，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用方程特征進(jìn)行求解判斷是解題的關(guān)鍵.2、D【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量所學(xué)點(diǎn)到面的距離公式求解即可.【詳解】建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸.因?yàn)檎襟w的邊長(zhǎng)為4，所以，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量，所以，，即，設(shè)，所以，，即，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，所以，故選：D.3、C【解析】先聯(lián)立方程得，再求得直線的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，進(jìn)而根據(jù)題意得所求直線過(guò)點(diǎn)，，進(jìn)而得直線方程.【詳解】解：聯(lián)立方程得，即直線與直線的交點(diǎn)為設(shè)直線的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，解得所以直線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的直線過(guò)點(diǎn)，所以所求直線方程的斜率為，所以所求直線的方程為，即故選：C4、D【解析】由題意，雙曲線的漸近線方程為，∵以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，其面積為16，故邊長(zhǎng)為4，∴（2，2）在橢圓C：上，∴，∵，∴，∴，∴∴橢圓方程為：.故選D.考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)；雙曲線的幾何性質(zhì).5、D【解析】設(shè)出點(diǎn)(0,4)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出方程組，解方程組即可【詳解】解：設(shè)點(diǎn)(0,4)關(guān)于直線x－y+1＝0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是(a,b),則，解得：，故選：D6、C【解析】設(shè)出長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量求異面直線所成角即可.【詳解】如下圖所示，以，，所在直線方向，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，，，所以，，設(shè)異面直線，的夾角為，所以，所以，即異面直線，的夾角為.故選：C.7、A【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可求解.【詳解】由，故選：A8、D【解析】結(jié)合雙曲線定義的有關(guān)知識(shí)確定正確選項(xiàng).【詳解】圓圓心為，半徑為，依題意可知，結(jié)合雙曲線的定義可知，的軌跡為雙曲線的一支.故選：D9、D【解析】由題意可得兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓，然后由圓的性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)最小，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，弦長(zhǎng)最長(zhǎng)，再根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可【詳解】設(shè)點(diǎn)，則以A，B為圓心，2為半徑的兩圓方程分別為和，因?yàn)閮蓤A過(guò)，所以和，所以兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓，因?yàn)辄c(diǎn)與不重合的點(diǎn)A，B共線，所以為圓的一條弦，所以當(dāng)弦長(zhǎng)最小時(shí)，，因?yàn)椋霃綖?，所以弦長(zhǎng)的最小值為，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，弦長(zhǎng)最長(zhǎng)為4，因?yàn)?，所以?dāng)弦長(zhǎng)最小時(shí)，的最大值為，當(dāng)弦長(zhǎng)最大時(shí)，的最小值為，所以的取值范圍為，故選：D10、D【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和運(yùn)算法則分別計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可判斷選項(xiàng).【詳解】A.若，則，故A錯(cuò)誤；B.若，則，故B錯(cuò)誤；C.若，則，故C錯(cuò)誤；D.若，則，故D正確.故選：D11、C【解析】由題意分析可得，當(dāng)時(shí)三棱錐的體積最大，然后作圖，將三棱錐還原成正三棱柱，按照正三棱柱外接球半徑的計(jì)算方法來(lái)計(jì)算，即可計(jì)算出球半徑，從而完成求解.【詳解】由題意可知，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)是時(shí)，為正三角形，如圖所示，將三棱錐補(bǔ)成正三棱柱，該正三棱柱的外接球就是三棱錐的外接球，而正三棱柱的外接球球心落在上下底面外接圓圓心連線的中點(diǎn)上，設(shè)外接圓半徑為，三棱錐外接球半徑為，由正弦定理可得：，所以，，所以三棱錐外接球的表面積為.故選：C.12、C【解析】求得直線普通方程以及圓的直角坐標(biāo)方程，利用弦長(zhǎng)公式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€的參數(shù)方程為：（t為參數(shù)），故其普通方程為，又，根據(jù)，故可得，其表示圓心為，半徑的圓，則圓心到直線的距離，則該直線截圓所得弦長(zhǎng)為.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由等比數(shù)列性質(zhì)知，即可得，再利用基本不等式求解即可.【詳解】由，，成等比數(shù)列，得，即又，則，所以，即，即所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為故答案為：14、【解析】利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來(lái)求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，，所以在上遞減，由，得，即，所以，即等式的解集為.故答案為：15、【解析】當(dāng)時(shí)，曲線表示的圖形為以為圓心，以為半徑的圓在第一象限的部分，所以面積為，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可知由曲線圍成的圖形的面積為考點(diǎn)：本小題主要考查曲線表示的平面圖形的面積的求法，考查學(xué)生分類(lèi)討論思想的運(yùn)用和運(yùn)算求解能力.點(diǎn)評(píng)：解決此題的關(guān)鍵是看出所求圖形在四個(gè)象限內(nèi)是相同的，然后求出在一個(gè)象限內(nèi)的圖形的面積即可解決問(wèn)題.16、【解析】由條件可得均為等腰直角三角形，從而，先證明平面，從而，即得到為平面與平面夾角的平面角，從而可求解.【詳解】由，則，則在直三棱柱中,平面，又平面,則又，所以平面平面,所以由由條件可得均為等腰直角三角形，則所以，即,由所以平面,又平面所以，即為平面與平面夾角的平面角.在直角中,所以故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），BC＝6（2）【解析】（1）利用正弦定理、二倍角公式化簡(jiǎn)已知條件，求得，結(jié)合余弦定理求得，也即.（2）求得三角形的面積，結(jié)合角平分線、中線的性質(zhì)求得三角形的面積.小問(wèn)1詳解】∵，∴，∴，∴由余弦定理得（負(fù)值舍去），即BC＝6.【小問(wèn)2詳解】∵，，∴，∴，∵AE平分∠BAC，，由正弦定理得：，其中，∴，∵AD為BC邊的中線，∴，∴.18、（1）（2）【解析】（1）利用頻率和為1求出a；利用百分位數(shù)的定義求出知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的第50百分位數(shù)；（2）先利用分層抽樣求出男、女生的人數(shù)，利用古典概型求概率.【小問(wèn)1詳解】，由，解得設(shè)該次知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的第50百分位數(shù)為x，則，解得：.即該次知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的第50百分位數(shù)為【小問(wèn)2詳解】由頻率分布直方圖可知：分?jǐn)?shù)在）的人數(shù)有人，所以這人中，女生有人，記為、，男生有人，記為、、、從這人中隨機(jī)選取人，基本事件為：、、、、、、、、、、、、、、，共種不同取法；則至少有人是女生的基本事件為、、、、、、、、，共種不同取法，則所求的概率為19、（1）答案見(jiàn)解析（2）答案見(jiàn)解析【解析】（1）（2）根據(jù)逆命題、否命題以及逆否命題的定義作答即可；【小問(wèn)1詳解】解：逆命題：若，則；否命題：若，則；逆否命題：若，則【小問(wèn)2詳解】解：逆命題：已知為實(shí)數(shù)，若，則；否命題：已知為實(shí)數(shù)，若或，則；逆否命題：已知實(shí)數(shù)，若，則或20、（1）；（2）-1【解析】（1）由題設(shè)可得，求出參數(shù)b，即可寫(xiě)出橢圓C的方程；（2）延長(zhǎng)線段DB交橢圓C于點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性設(shè)B，為，，聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理并結(jié)合已知條件可得，直線與圓相切可得，進(jìn)而求參數(shù)t，即可求直線BD的斜率.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閳A與x軸的交點(diǎn)分別為，，所以橢圓C的焦點(diǎn)分別為，，∴，根據(jù)條件得，∴，故橢圓C的方程為【小問(wèn)2詳解】延長(zhǎng)線段DB交橢圓C于點(diǎn)，因直線BD與直線BE的傾斜角互補(bǔ)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得由條件可設(shè)B的坐標(biāo)為，設(shè)D，的縱坐標(biāo)分別為，，直線的方程為，由于，即，所以由得：∴，∴①，②，由①得：，代入②得，∴∵直線與圓相切，∴，即∴，解得，又，∴，故，即直線BD斜率【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將已知線段的長(zhǎng)度關(guān)系轉(zhuǎn)化為D，的縱坐標(biāo)的數(shù)量關(guān)系，設(shè)直線的含參方程，聯(lián)立橢圓方程及其與圓的相切求參數(shù)關(guān)系，進(jìn)而求參數(shù)即可.21、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）由線面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理可得證；（2）分別選①，②，③可求得為的中點(diǎn)，再以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量的方向分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系.利用空間向量求得所求的線面角.【小問(wèn)1詳解】分別為的中點(diǎn)，.，，.，，平面.又平面，∴平面平面.【小問(wèn)2詳解】（2）選①，；，，，，為的中點(diǎn).選②，直線與所成角的大小為；，∴直線與所成角為.又直線與所成角的大小為，，，為的中點(diǎn).選③，三棱錐的體積是三棱錐體積的，又，即，為的中點(diǎn).∵過(guò)三點(diǎn)的平面與線段相交于點(diǎn)平面，平面.又平面平面，，為的中點(diǎn).兩兩互相垂直，∴以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則；.設(shè)平面的一個(gè)法