專題22.16梯形的性質(zhì)與判定大題專練（重難點(diǎn)培優(yōu)）-2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)尖子生培優(yōu)題典

20212022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典【滬教版】專題22.16梯形的性質(zhì)與判定大題專練姓名：__________________班級(jí)：______________得分：_________________一．解答題（共24小題）1．（2021秋?普陀區(qū)校級(jí)月考）如圖，在梯形ABCD中，上底AD＝5厘米，下底BC＝11厘米，高是4厘米，點(diǎn)P、Q分別是AD、BC上的點(diǎn)，BQ＝2DP，設(shè)DP＝t厘米．（1）求梯形ABQP的面積；（2）求梯形ABQP的面積與梯形QCDP的面積相等時(shí)t的值．【分析】（1）根據(jù)題意用t表示出AP、BQ，根據(jù)梯形的面積公式計(jì)算，得到答案；（2）根據(jù)梯形的面積公式列出方程，解方程即可得到答案．【解答】解：（1）∵AD＝5厘米，BQ＝2DP，設(shè)DP＝t厘米，∴AP＝（5﹣t）厘米，BQ＝2t厘米，∴S梯形ABQP＝×（5﹣t+2t）×4＝（10+2t）平方厘米；（2）當(dāng)梯形ABQP的面積與梯形QCDP的面積相等時(shí)，梯形ABQP的面積等于梯形ABCD的面積的一半，則10+2t＝×（5+11）×4×，解得：t＝3．2．（2021春?徐匯區(qū)期末）如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E、G分別是AB、CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊BC上，且BF＝（AD+BC）．（1）求證：四邊形AEFG是平行四邊形；（2）若四邊形AEFG是矩形，求證：AG平分∠FAD．【分析】（1）連接EG，根據(jù)梯形的中位線定理得到EG＝（AD+BC），EG∥AD∥BC，根據(jù)題意得到EG＝BF，得到四邊形BEGF是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到BE＝GF，BE∥GF，進(jìn)而證明AE＝GF，根據(jù)平行四邊形的判斷定理證明結(jié)論；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到OA＝OG，得到∠OAG＝∠OGA，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DAG＝∠OGA，根據(jù)角平分線的定義證明即可．【解答】證明：（1）連接EG交AF于點(diǎn)O，∵E、G分別是AB、CD的中點(diǎn)，∴EG是梯形ABCD的中位線，∴EG＝（AD+BC），EG∥AD∥BC，∵BF＝（AD+BC），∴EG＝BF，∴四邊形BEGF是平行四邊形，∴BE＝GF，BE∥GF，∵AE＝BE，∴AE＝GF，∴四邊形AEFG是平行四邊形；（2）∵四邊形AEFG是矩形，∴OA＝OG，∴∠OAG＝∠OGA，∵AD∥EG，∴∠DAG＝∠OGA，∴∠OAG＝∠DAG，即AG平分∠FAD．3．（2021春?青浦區(qū)期末）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝2，BC＝3，點(diǎn)E為邊AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥EC交AB于點(diǎn)F，求線段AF的長(zhǎng)．【分析】過(guò)E作EH⊥BC于H，得到四邊形ABHE是矩形，證得△CEH是等腰直角三角形得到∠HEC＝45°，進(jìn)而證得∠AEF＝45°，由等腰三角形的判定證得△AEF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求出AF．【解答】解：過(guò)E作EH⊥BC于H，∵AB⊥BC，∴∠B＝∠EHB＝90°，∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∴∠A＝90°，∴四邊形ABHE是矩形，∴AE＝BH，AB＝EH＝2，∵點(diǎn)E為邊AD的中點(diǎn)，∴AE＝BH＝1，∵BC＝3，∴HC＝2，∴EH＝HC，∵∠EHC＝90°，∴∠HEC＝45°，∵EF⊥EC，∴∠FEC＝90°，∵∠AEH＝90°，∴∠AEF＝∠HEC＝90﹣∠FEH＝45°，在Rt△AEF中，∠AFE＝90°﹣∠AEF＝45°，∴∠AFE＝∠AEF，∴AF＝AE＝1．4．（2021春?松江區(qū)期末）如圖，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分別是兩腰的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AF，過(guò)點(diǎn)F作FG∥AB，交BC于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)EG．（1）求證：四邊形AEGF是平行四邊形；（2）當(dāng)∠GFC＝2∠EGB時(shí)，求證：四邊形AEGF是矩形．【分析】（1）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得到∠B＝∠C，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠FGC＝∠B，得到∠FGC＝∠C，推出AE＝FG，于是得到四邊形AEGF是平行四邊形；（2）連接DG，根據(jù)直角三角形的判定得到∠DGC＝90°，∠FDG＝∠FGD，由三角形的外角的性質(zhì)得到∠CFG＝2∠DGF，等量代換得到∠DGF＝∠BGE，求得∠EGF＝90°，于是得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∴∠B＝∠C，∵AB∥FG，∴∠FGC＝∠B，∴∠FGC＝∠C，∴FG＝FC，∵AB＝CD，E、F分別是腰AB、CD的中點(diǎn)，∴AE＝CF，∴AE＝FG，∴四邊形AEGF是平行四邊形；（2）證明：連接DG，∵FG＝DF＝CF，∴∠DGC＝90°，∠FDG＝∠FGD，∵∠CFG＝∠FDG+∠DGF，∴∠CFG＝2∠DGF，∵∠GFC＝2∠EGB，∴∠DGF＝∠BGE，∵∠DGF+∠FGC＝90°，∴∠FGC+∠BGE＝90°，∴∠EGF＝90°，∴四邊形AEGF是矩形．5．（2021春?閔行區(qū)期末）如圖，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，點(diǎn)E是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE并延長(zhǎng)，交邊BC于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)AF．（1）求證：四邊形AFCD是平行四邊形；（2）聯(lián)結(jié)BE，如果AF垂直平分BE，求證：四邊形AFCD是菱形．【分析】（1）根據(jù)AAS證明△ADE≌△CFE得出ED＝EF，進(jìn)而可得四邊形AFCD是平行四邊形；（2）根據(jù)AF垂直平分BE，可得AB＝AE，BF＝EF，然后證明△ABF≌△AEF，可得∠B＝∠AEF＝90°，得AC⊥DF，進(jìn)而可得結(jié)論．【解答】（1）證明：∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠FCE，∠ADE＝∠CFE，∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，∴AE＝CE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴ED＝EF，∵AE＝CE，∴四邊形AFCD是平行四邊形；（2）證明：如圖，連接BE，∵AF垂直平分BE，∴AB＝AE，BF＝EF，在△ABF和△AEF中，，∴△ABF≌△AEF（SSS），∴∠B＝∠AEF＝90°，∴AC⊥DF，∵四邊形AFCD是平行四邊形，∴四邊形AFCD是菱形．6．（2021春?黃浦區(qū)期末）在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝45°，AB＝4，BC＝7，點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上，EF∥AD，點(diǎn)P與AD在直線EF的兩側(cè)，∠EPF＝90°，PE＝PF，射線EP、FP與邊BC分別相交于點(diǎn)M、N，設(shè)AE＝x，MN＝y(tǒng)．（1）求邊AD的長(zhǎng)；（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在梯形ABCD內(nèi)部時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（3）如果MN的長(zhǎng)為2，求梯形AEFD的面積．【分析】（1）過(guò)D作DH⊥BC，DH與EF、BC分別相交于點(diǎn)G、H，從而判定四邊形ABHD是矩形，在RT△DHC中求出CH的長(zhǎng)，利用AD＝BH＝BC﹣CH可得出AD的長(zhǎng)；（2）首先確定PM＝PN，過(guò)點(diǎn)P作QR⊥EF，QR與EF、MN分別相交于Q、R，根據(jù)∠MPN＝∠EPF＝90°，QR⊥MN，可表示出PQ、PR，繼而可得出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（3）①當(dāng)點(diǎn)P在梯形ABCD內(nèi)部時(shí)，由MN＝2及（2）的結(jié)論得2＝﹣3x+5，AE＝x＝1，可求得梯形的面積，②當(dāng)點(diǎn)P在梯形ABCD外部時(shí)，由MN＝2及與（2）相同的方法得：（x+3）﹣2＝4﹣x，AE＝x＝，可求得梯形的面積．【解答】解：（1）如圖1，過(guò)D作DH⊥BC，DH與EF、BC分別相交于點(diǎn)G、H，∵梯形ABCD中，∠B＝90°，∴DH∥AB，又∵AD∥BC，∴四邊形ABHD是矩形，∵∠C＝45°，∴∠CDH＝45°，∴CH＝DH＝AB＝4，∴AD＝BH＝BC﹣CH＝3．（2）∵DH⊥EF，∠DFE＝∠C＝∠FDG＝45°，∴FG＝DG＝AE＝x，∵EG＝AD＝3，∴EF＝x+3，∵PE＝PF，EF∥BC，∴∠PFE＝∠PEF＝∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN，如圖2，過(guò)點(diǎn)P作QR⊥EF，QR與EF、MN分別相交于Q、R，∵∠MPN＝∠EPF＝90°，QR⊥MN，∴PQ＝EF＝（x+3），PR＝MN＝，∵QR＝BE＝4﹣x，∴（x+3）+y＝4﹣x，∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝﹣3x+5；（3）當(dāng)點(diǎn)P在梯形ABCD內(nèi)部時(shí)，由MN＝2及（2）的結(jié)論得2＝﹣3x+5，AE＝x＝1，∴S梯形AEFD＝（AD+EF）?AE＝（3+3+1）×1＝，當(dāng)點(diǎn)P在梯形ABCD外部時(shí)，由MN＝2及與（2）相同的方法得：（x+3）﹣2＝4﹣x，AE＝x＝，∴S梯形AEFD＝（AD+EF）?AE＝（3+3+）×＝，綜上所述，梯形AEFD的面積為或．7．（2020春?松江區(qū)期末）如圖，已知在梯形ABCD中，AD∥BC．AD＝AB，BC＝2AD．E是BC邊的中點(diǎn)，AE、BD相交于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形AECD是平行四邊形；（2）設(shè)邊CD的中點(diǎn)為G，聯(lián)結(jié)EG．求證：四邊形FEGD是矩形．【分析】（1）根據(jù)“有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”證明；（2）根據(jù)題意，首先判定四邊形DFEG是平行四邊形，然后推知其有一內(nèi)角為直角，此題得證．【解答】（1）證明：如圖，∵AD∥BC，∴AD∥EC．∵BC＝2AD，E是BC邊的中點(diǎn)，∴AD＝EC．∴四邊形AECD是平行四邊形；（2）證明：如圖，連接GE，由（1）知，四邊形AECD是平行四邊形，則FE∥DG．又∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G是CD的中點(diǎn)，∴EG∥BD，即EG∥FD，∴四邊形DFEG是平行四邊形．∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠1＝∠2．又∵AD＝AB，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，即BF是∠ABE的平分線．∵BC＝2AD，E是BC邊的中點(diǎn)，∴AD＝BE．∴AB＝BE，∴BF⊥AE，∴平行四邊形FEGD是矩形．8．（2020春?浦東新區(qū)期末）如圖，等腰三角形ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，CE⊥BF于點(diǎn)O．（1）求證：四邊形EBCF是等腰梯形；（2）EF＝1，求四邊形EBCF的面積．【分析】（1）根據(jù)三角形的中位線定理和等腰梯形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）如圖，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)G，使FG∥EC，連接FG，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到FG＝EC＝BF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形中位線定理即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵點(diǎn)E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC，BE＝AB＝AC＝CF，∴四邊形EBCF是等腰梯形；（2）如圖，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)G，使FG∥EC，連接FG，∵四邊形EFGC是平行四邊形，∴FG＝EC＝BF，∵EF＝CG，F(xiàn)C＝BE，∴△EFB≌△CGF（SSS），∴S四邊形EBCF＝S△BFG，∵GC＝EF＝1，且EF＝BC，∴BC＝2，∴BG＝BC+CG＝1+2＝3．∵FG∥EC，∴∠GFB＝∠BOC＝90°，∴FH＝BG＝，∴四邊形EBCF的面積＝S△BFG＝×3×＝．9．（2020春?浦東新區(qū)期末）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝12，AB＝DC＝8．∠B＝60°．（1）求梯形的中位線長(zhǎng)．（2）求梯形的面積．【分析】（1）過(guò)A作AE∥CD交BC于E，則四邊形AECD是平行四邊形，得AD＝EC，AE＝DC，證出△ABE是等邊三角形，得BE＝AB＝8，則AD＝EC＝4，即可得出答案；（2）作AF⊥BC于F，則∠BAF＝90°﹣∠B＝30°，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出BF＝AB＝4，AF＝BF＝4，由梯形面積公式即可得出答案．【解答】解：（1）過(guò)A作AE∥CD交BC于E，∵AD∥BC，∴四邊形AECD是平行四邊形，∴AD＝EC，AE＝DC，∵AB＝DC，∴AB＝AE，∵∠B＝60°，∴△ABE是等邊三角形，∴BE＝AB＝8，∴AD＝EC＝BC﹣BE＝12﹣8＝4，∴梯形ABCD的中位線長(zhǎng)＝（AD+BC）＝（4+12）＝8；（2）作AF⊥BC于F，則∠BAF＝90°﹣∠B＝30°，∴BF＝AB＝4，AF＝BF＝4，∴梯形ABCD的面積＝（AD+BC）×AF＝（4+12）×4＝32．10．（2020春?徐匯區(qū)期末）如圖，已知在梯形ABCD中，AB∥CD．（1）若AD＝BC，且AC⊥BD，AC＝6，求梯形ABCD的面積；（2）若CD＝3，M、N分別是對(duì)角線AC、BD的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)MN，MN＝2，求AB的長(zhǎng)．【分析】（1）如圖1，過(guò)C作CE∥BD，交AB的延長(zhǎng)線于E，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到CE＝BD，CD＝BE，求得AC＝BD，推出△ACE是等腰直角三角形，得到AC＝CE＝6，求得CH＝AE＝3，根據(jù)梯形的面積公式即可得到結(jié)論；（2）如圖2，延長(zhǎng)NM交AD于G，連接DM并延長(zhǎng)交AB于H，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DCM＝∠HAM，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到AM＝CM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DM＝HM，求得DN＝BN，得到AG＝DG，根據(jù)三角形的中位線定理即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）如圖1，過(guò)C作CE∥BD，交AB的延長(zhǎng)線于E，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，∵AB∥CD，∴四邊形DBEC是平行四邊形，∴CE＝BD，CD＝BE，∵AC⊥BD，∴AC⊥CE，∵AD＝BC，AB∥CD，∴AC＝BD，∴AC＝CE，∴△ACE是等腰直角三角形，∴AC＝CE＝6，∴AE＝AC＝6，∴CH＝AE＝3，∴梯形ABCD的面積＝×6×3＝18；（2）如圖2，延長(zhǎng)NM交AD于G，連接DM并延長(zhǎng)交AB于H，∵CD∥AB，∴∠DCM＝∠HAM，∵M(jìn)是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，∴AM＝CM，∵∠CMD＝∠AMH，∴△AMH≌△CMD（ASA），∴DM＝HM，∵N是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，∴DN＝BN，∴MN∥AB∥CD，∴AG＝DG，∴GM＝CD＝，∵M(jìn)N＝2，∴GN＝，∴AB＝2GN＝7．11．（2019秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝8，AB＝6，BC＝10，現(xiàn)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從B、D兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位的速度沿BC向終點(diǎn)C移動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度沿DA向終點(diǎn)A移動(dòng)，線段PQ與BD相交于點(diǎn)E，過(guò)E作EF∥BC交CD于點(diǎn)F，射線QF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P、Q移動(dòng)時(shí)間為t（單位：秒0＜t＜5）（1）當(dāng)△BPE是等腰三角形時(shí)，求t的值；（2）在P、Q的移動(dòng)過(guò)程中，求PH的長(zhǎng)度．【分析】（1）分三種情形：PB＝PE，BP＝BE，EB＝EP，分別求解可得結(jié)論．（2）利用平行線分線段成比例定理，證明PH＝BC，可得結(jié)論．【解答】解：（1）如圖，∵AD∥BC，DQ＝t，BP＝2t，∴＝＝，∵AB＝6，AD＝8，∠A＝90°，∴BD＝＝＝10，∴BE＝BD＝，當(dāng)BP＝BE時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PJ⊥BE于J，則BJ＝JE＝，∴∠ADB＝∠PBJ，∴cos∠ADB＝cos∠PBJ，∴＝，∴BP＝，∴t＝．當(dāng)BP＝BE＝時(shí)，t＝，當(dāng)BE＝EP時(shí)，＝，∴BP＝，∴t＝（舍棄），綜上所述，滿足條件的t的值為或．（2）∵DQ∥BP，∴＝＝，∵EF∥BC，∴EC∥BC∥AD，∴＝＝，∴＝＝，＝＝，∴＝，∴PH＝BC＝10．12．（2019春?長(zhǎng)寧區(qū)期末）已知：如圖，AM是△ABC的中線，D是線段AM的中點(diǎn)，AM＝AC，AE∥BC．求證：四邊形EBCA是等腰梯形．【分析】先證明△ADE≌△MDC得出AE＝MC，證出AE＝MB，得出四邊形AEBM是平行四邊形，證出BE＝AC，而AE∥BC，BE與AC不平行，即可得出結(jié)論．【解答】證明：∵AE∥BC，∴∠AED＝∠MCD，∵D是線段AM的中點(diǎn)，∴AD＝MD，在△ADE和△MDC中，，∴△ADE≌△MDC（AAS），∴AE＝MC，∵AM是△ABC的中線，∴MB＝MC，∴AE＝MB，∵AE∥MB，∴四邊形AEBM是平行四邊形，∴BE＝AM，∵AM＝AC，∴BE＝AC，∵AE∥BC，BE與AC不平行，∴四邊形EBCA是梯形，∴梯形EBCA是等腰梯形．13．（2019春?徐匯區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，∠BAC的平分線AE交CD于F，EG⊥AB于G．（1）求證：①CF＝CE；②四邊形GECF是菱形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）當(dāng)四邊形GBCF是等腰梯形時(shí)，試判定△ABC的形狀，并說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)和菱形的判定解答即可；（2）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)和等腰直角三角形的判定解答即可．【解答】證明：（1）①∵CD是AB邊上的高∴∠ADC＝90°∴∠GAE+∠AFD＝90°∵∠ACB＝90°∴∠EAC+∠AEC＝90°，∵AE平分線∠BAC∴∠GAE＝∠EAC∴∠AFD＝∠AEC∵∠AFD＝∠EFC∴∠AEC＝∠EFC∴CF＝CE②∵AE是∠BAC的平分線EG⊥AB，∠ACB＝90°∴EG＝EC∵CF＝CE∴GE＝CF∵EG⊥AB∴∠AGE＝90°∴∠AGE＝∠ADC∴CD∥GE∴四邊形GECF是平行四邊形∵CF＝CE∴四邊形GECF是菱形（2）等腰直角三角形∵四邊形GBCF是等腰梯形，GF∥BC∴∠B＝∠FCB∵∠BDC＝90°∴∠B＝45°∵∠ACB＝90°∴∠B+∠BAC＝90°∴∠BAC＝45°∴∠B＝∠BAC∴BC＝AC∴△ABC等腰直角三角形．14．（2019春?浦東新區(qū)期末）在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝45°，AB＝8，BC＝14，點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上，EF∥AD，點(diǎn)P與AD在直線EF的兩側(cè)，∠EPF＝90°，PE＝PF，射線EP、FP與邊BC分別相交于點(diǎn)M、N，設(shè)AE＝x，MN＝y(tǒng)．（1）求邊AD的長(zhǎng)；（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在梯形ABCD內(nèi)部時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出定義域；（3）如果MN的長(zhǎng)為2，求梯形AEFD的面積．【分析】（1）過(guò)D作DH⊥BC，DH與EF、BC分別相交于點(diǎn)G、H，從而判定四邊形ABHD是矩形，在RT△DHC中求出CH的長(zhǎng)，利用AD＝BH＝BC﹣CH可得出AD的長(zhǎng)．（2）首先確定PM＝PN，過(guò)點(diǎn)P作QR⊥EF，QR與EF、MN分別相交于Q、R，根據(jù)∠MPN＝∠EPF＝90°，QR⊥MN，可表示出PQ、PR，繼而可得出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，也能得出定義域．（3）①當(dāng)點(diǎn)P在梯形ABCD內(nèi)部時(shí)，由MN＝2及（2）的結(jié)論得2＝﹣3x+10，AE＝，可求得梯形的面積，②當(dāng)點(diǎn)P在梯形ABCD外部時(shí)，由MN＝2及與（2）相同的方法得：，AE＝x＝4，可求得梯形的面積．【解答】解：（1）過(guò)D作DH⊥BC，DH與EF、BC分別相交于點(diǎn)G、H，∵梯形ABCD中，∠B＝90°，∴DH∥AB，又∵AD∥BC，∴四邊形ABHD是矩形，∵∠C＝45°，∴∠CDH＝45°，∴CH＝DH＝AB＝8，∴AD＝BH＝BC﹣CH＝6．（2）∵DH⊥EF，∠DFE＝∠C＝∠FDG＝45°，∴FG＝DG＝AE＝x，∵EG＝AD＝6，∴EF＝x+6，∵PE＝PF，EF∥BC，∴∠PFE＝∠PEF＝∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN，過(guò)點(diǎn)P作QR⊥EF，QR與EF、MN分別相交于Q、R，∵∠MPN＝∠EPF＝90°，QR⊥MN，∴PQ＝EF＝，PR＝MN＝，∵QR＝BE＝8﹣x，∴，∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝﹣3x+10．定義域?yàn)?≤x＜．（3）當(dāng)點(diǎn)P在梯形ABCD內(nèi)部時(shí)，由MN＝2及（2）的結(jié)論得2＝﹣3x+10，AE＝，∴（AD+EF）?AE＝，當(dāng)點(diǎn)P在梯形ABCD外部時(shí)，由MN＝2及與（2）相同的方法得：，AE＝x＝4，∴（AD+EF）?AE＝．15．（2019春?金山區(qū)期末）梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，E、F分別是腰AB、CD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作FG∥AB，交BC于點(diǎn)G．（1）求證：四邊形AEGF為平行四邊形；（2）聯(lián)結(jié)DG，如果∠DGE＝∠B，求證：四邊形AEGF是矩形．【分析】（1）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得到∠B＝∠C，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠FGC＝∠B，得到∠FGC＝∠C，推出AE＝FG，于是得到四邊形AEGF是平行四邊形；（2）由于FG＝DF＝CF，得到∠DGC＝90°，求得∠DGE+∠BGE＝90°，推出∠AEG＝∠BEG＝90°，于是得到四邊形AEGF是矩形．【解答】（1）證明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∴∠B＝∠C，∵AB∥FG，∴∠FGC＝∠B，∴∠FGC＝∠C，∴FG＝FC，∵AB＝CD，E、F分別是腰AB、CD的中點(diǎn)，∴AE＝CF，∴AE＝FG，∴四邊形AEGF是平行四邊形；（2）解：∵FG＝DF＝CF，∴∠DGC＝90°，∴∠DGE+∠BGE＝90°，∵∠DGE＝∠B，∴∠B+∠BGE＝90°，∴∠AEG＝∠BEG＝90°，∴四邊形AEGF是矩形．16．（2018秋?崇明區(qū)校級(jí)月考）已知：如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，DE⊥AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且AE＝AC．（1）求證：AB＝AF；（2）求證：BG＝FG；（3）若AD＝DC＝2，求AB的長(zhǎng)．【分析】（1）證明△ABC≌△AFE（AAS），可得結(jié)論；（2）證明Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），可得結(jié)論；（3）求得AF長(zhǎng)即可求得AB長(zhǎng)．利用等腰三角形的三線合一定理可得AF＝AC＝AE，進(jìn)而求得一些角是30°，主要利用AD長(zhǎng)，直角三角形勾股定理來(lái)求解．【解答】（1）證明：連接AG，∵∠ABC＝90°，DE⊥AC于點(diǎn)F，∴∠ABC＝∠AFE．在△ABC和△AFE中，，∴△ABC≌△AFE（AAS），∴AB＝AF．（2）證明：在Rt△ABG和Rt△AFG中，，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴BG＝FG；（3）解：∵AD＝DC，DF⊥AC，∴F為AC中點(diǎn)，∵AC＝AE，∴AF＝AC＝AE．∴∠E＝30°．∵∠EAD＝90°，∴∠ADE＝60°，∴∠FAD＝∠E＝30°，∴AF＝．∴AB＝AF＝．17．（2018春?金山區(qū)期末）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝4，∠C＝30°，點(diǎn)E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)，作DP∥AB交EF于點(diǎn)G，∠PDC＝90°，求線段GF的長(zhǎng)度．【分析】由AD∥BC，DP∥AB可得出四邊形ADPB是平行四邊形，由點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，CD的中點(diǎn)可得出EF∥BC∥AD，進(jìn)而可得出四邊形ADGE和四邊形EGPB都是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得出DG＝GP＝DP＝AB，在Rt△CDP中通過(guò)解含30°角的直角三角形可求出CP的長(zhǎng)度，再利用三角形的中位線定理即可求出GF的長(zhǎng)度．【解答】解：∵AD∥BC，DP∥AB，∴四邊形ADPB是平行四邊形．∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，CD的中點(diǎn)，∴EF∥BC∥AD，∴四邊形ADGE和四邊形EGPB都是平行四邊形，∴DG＝GP＝DP＝AB．∵AB＝4，∠C＝30°，∠PDC＝90°，∴PC＝2AB＝8＝2GF，∴線段GF的長(zhǎng)度是4．18．（2018春?金山區(qū)期末）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，并延長(zhǎng)DE至F，使EF＝DE，聯(lián)結(jié)BF、CF、AC．（1）求證：四邊形ABFC是平行四邊形．（2）聯(lián)結(jié)BD，如果AD＝AB，BD＝DF，求證：四邊形ABFC是矩形．【分析】（1）連接BD，利用等腰梯形的性質(zhì)得到AC＝BD，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到DB＝FB，從而得到AC＝BF，然后證得AC∥BF，利用一組對(duì)邊平行且相等判定平行四邊形；（2）利用等邊三角形的判定和性質(zhì)以及進(jìn)行的判定解答即可．【解答】證明：（1）聯(lián)結(jié)BD．∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∴AC＝BD，∵△ABC和△DCB中，AB＝DC，AC＝BD，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB．∴∠ACB＝∠DBC．又∵DE⊥BC，EF＝DE，∴BD＝BF，∠DBC＝∠FBC，∴AC＝BF，∠ACB＝∠CBF，∴AC∥BF，∴四邊形ABFC是平行四邊形；（2）∵BC垂直平分DF，BD＝BF，∠BED＝90°，∵BD＝DF，∴△BDF是等邊三角形，∴∠BDE＝60°，∠DBE＝30°，∵AD＝AB，AD∥BC，AB＝CD，∴∠ABF＝90°，∵四邊形ABFC是平行四邊形，∴四邊形ABFC是矩形19．（2018春?浦東新區(qū)期末）如圖，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，P是下底BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合），AB＝AD＝10，BC＝24，∠C＝45°，45°＜∠B＜90°，設(shè)BP＝x，四邊形APCD的面積為y．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出它的定義域；（2）聯(lián)結(jié)PD，當(dāng)△APD是以AD為腰的等腰三角形時(shí)，求四邊形APCD的面積．【分析】（1）作AH⊥BC于H．設(shè)AH＝h．構(gòu)建方程求出h即可解決問(wèn)題．（2）分兩種情形分別討論求解即可；【解答】（1）解：作AH⊥BC于H．設(shè)AH＝h．由題意：+10+h＝24，整理得：h2﹣14h+48＝0，解得h＝8或6（舍棄），∴y＝（10+24﹣x）×8，即y＝﹣4x+136（0＜x＜24）（2）解：①當(dāng)AP＝AD＝10時(shí)，∵AB＝AD＝10，∴AP＝AB＝10，∵BH＝6，∴BP＝2BH＝12，即x＝12，∴y＝88．②當(dāng)PD＝AD＝10時(shí)，四邊形ABPD是平行四邊形或等腰梯形，∴BP＝AD＝10或BP＝2BH+AD＝22，即x＝10或22，∴y＝96或48，綜上所述，四邊形APCD的面積為88或96或48．20．（2018春?青浦區(qū)期末）已知：如圖，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，BD平分∠ABC，∠CDB＝30°．求：（1）求∠A的度數(shù)；（2）當(dāng)AD＝4時(shí)，求梯形ABCD的面積．【分析】（1）首先根據(jù)DC∥AB，求出∠ABD的度數(shù)是多少；然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)，求出∠A的度數(shù)是多少即可．（2）首先判斷出△ABD是直角三角形，進(jìn)而利用三角形的面積公式和梯形的面積公式解答即可．【解答】解：（1）∵DC∥AB，∴∠ABD＝∠CDB＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠A＝2∠ABD＝60°．（2）∵∠ABD＝30°，∠A＝60°，∴∠ADB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴AB＝2AD＝2×4＝8，∴BD＝＝4，∴梯形的高＝，∵BD平分∠ABC，∠CDB＝30°．∴∠CBD＝30°＝∠CDB，∴DC＝BC＝AD＝4，∴S梯形ABCD＝．21．（2021秋?遵義期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，∠ABC的平分線BE交CD于點(diǎn)E，交對(duì)角線AC于點(diǎn)O，OA＝OC，連接AE．（1）求證：四邊形ABCE是菱形；（2）若BC＝5，CD＝8，求四邊形ABCE的面積．【分析】（1）利用AAS證明△ABO≌△CEO可得BO＝EO，即可證明四邊形ABCE是平行四邊形，由角平分線的定義可得∠CBE＝∠ABE＝∠CEB，即可得CB＝CE，進(jìn)而可證明結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)可求解CE＝AE＝5，DE＝3，利用勾股定理可求解AD的長(zhǎng)，再利用菱形的面積公式計(jì)算可求解．【解答】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CEO，∠BAO＝∠ECO，在△ABO和△CEO中，，∴△ABO≌△CEO（AAS），∴BO＝EO，∴四邊形ABCE是平行四邊形，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE＝∠CEB，∴CB＝CE，∴四邊形ABCE為菱形；（2）解：∵四邊形ABCE是菱形，BC＝5，∴AE＝CE＝BC＝5，∵CD＝8，∴DE＝CD﹣CE＝8﹣5＝3，∵∠ADE＝90°，∴AD＝，∴S四邊形ABCE＝CE?AD＝5×4＝20．22．（2021秋?晉中期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中線，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接BF．請(qǐng)判斷四邊形BFCD的形狀，并加以證明．【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CD＝AB＝AD＝BD，證明△AED≌△FEC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CF＝DB，根據(jù)菱形的判定定理證明即可．【解答】解：四邊形BFCD是菱形，理