專題09特殊的平行四邊形中的最值模型之將軍飲馬模型（原卷版）

專題09特殊的平行四邊形中的最值模型之將軍飲馬模型“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩人李頎《古從軍行》里的一句詩，由此卻引申出一系列非常有趣的數(shù)學問題，通常稱為“將軍飲馬”。將軍飲馬問題從本質(zhì)上來看是由軸對稱衍生而來，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學思想。在各類考試中都以中高檔題為主，本專題就特殊的平行四邊形背景下的將軍飲馬問題進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。在解決將軍飲馬問題主要依據(jù)是：兩點之間，線段最短；垂線段最短；涉及的基本方法還有：利用軸對稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等。模型1.求兩條線段和的最小值（將軍飲馬模型）【模型解讀】在一條直線m上，求一點P，使PA+PB最小；（1）點A、B在直線m兩側(cè)：（2）點A、B在直線同側(cè)：【最值原理】兩點之間線段最短。上圖中A’是A關(guān)于直線m的對稱點。例1．（2023·山西運城·九年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形的對角線交于點O，點E是直線上一動點．若，則的最小值為（）A． B． C． D．例2．（2023·廣東廣州·八年級?？计谥校┤鐖D，正方形中，，連接，的平分線交于點E，在上截取，連接，分別交于點G，H，點P是線段上的動點，于點Q，連接，以下結(jié)論：①；②；③；④的最小值是，其中正確的結(jié)論有（

）．A．1 B．2 C．3 D．4例3．（2022·湖南婁底·中考真題）菱形的邊長為2，，點、分別是、上的動點，的最小值為______．例4．（2023下·江蘇·八年級專題練習）如圖，已知菱形的面積為20，邊長為5，點、分別是邊、上的動點，且，連接、，、和點不重合，則的最小值為（

）

A． B． C．10 D．例5．（2023上·福建漳州·九年級?？计谥校┤鐖D，矩形中，點為的中點．點為對角線上的一動點．則的最小值等于（）

A． B．6 C． D．8例6．（2022上·重慶大渡口·九年級校考期末）如圖，在矩形中，，點E在上，點F在上，且，連結(jié)，則的最小值為．

例7．（2023上·福建龍巖·九年級校考期中）如圖，在平行四邊形中，，，，點E是邊上且．F是邊上的一個動點，將線段繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接、，則的最小值．模型2.求多條線段和（周長）最小值【模型解讀】在直線m、n上分別找兩點P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）兩個點都在直線外側(cè)：（2）一個點在內(nèi)側(cè)，一個點在外側(cè)：（3）兩個點都在內(nèi)側(cè)：（4）臺球兩次碰壁模型1）已知點A、B位于直線m,n的內(nèi)側(cè)，在直線n、m分別上求點D、E點，使得圍成的四邊形ADEB周長最短.2）已知點A位于直線m,n的內(nèi)側(cè),在直線m、n分別上求點P、Q點PA+PQ+QA周長最短.【最值原理】兩點之間線段最短。例1．（2023·四川廣元·一模）如圖，已知正方形邊長為3，點E在邊上且，點P，Q分別是邊，的動點（均不與頂點重合），當四邊形的周長取最小值時，四邊形的面積是（

）A． B． C． D．例2．（2023.無錫市初三數(shù)學期中試卷）方法感悟：如圖①，在矩形中，，是否在邊上分別存在點G、H，使得四邊形的周長最?。咳舸嬖?，求出它周長的最小值；若不存在，請說明理由．問題解決：例3．（2023春·湖北黃石·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，，、分別是和上的兩個動點，為的中點，則的最小值是________；例4．（2022上·山東臨沂·八年級校考階段練習）如圖，在四邊形中，是邊的中點，，，，若，則線段長度的最大值是．模型3.求兩條線段差最大值【模型解讀】在一條直線m上，求一點P，使PA與PB的差最大；（1）點A、B在直線m同側(cè)：延長AB交直線m于點P，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，P’AP’B＜AB，而PAPB=AB此時最大，因此點P為所求的點。（2）點A、B在直線m異側(cè)：過B作關(guān)于直線m的對稱點B’,連接AB’交點直線m于P,此時PB=PB’，PAPB最大值為AB’【最值原理】三角形兩邊之差小于第三邊。例1．（2023·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）四邊形ABCD是軸對稱圖形，對稱軸為直線BD，AB＝AD＝4，∠ABD＝30°，點M、N分別為BD、BC的中點，點P、Q分別是線段AB、MN上的動點，則AP﹣PQ的最大值為．例2．（2023春·湖南永州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，O為對角線的中點，點P在邊上，且，點Q在邊上，連接與，則的最大值為____________，的最小值為__________．例3．（2023·福建福州·八年級?？计谥校┤鐖D，四邊形中，，，點為直線左側(cè)平面上一點，的面積為則的最大值為．課后專項訓練1．（2022·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD的邊長為2，點P是對角線AC上的一個動點，點E、F分別為邊AD、DC的中點，則PE+PF的最小值是（）A．2 B． C．1.5 D．2．（2022下·廣東廣州·八年級?？计谀┤鐖D，菱形中，P為對角線上一動點，E，F(xiàn)分別為中點，若，，則的最小值為（

）

A．3 B． C．5 D．3．（2023上·廣東佛山·九年級?？茧A段練習）如圖，已知正方形的邊長為4，點E是邊的中點，點P是對角線上的動點，則的最小值是（

）

A． B． C． D．4．（2023春·福建廈門·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在?ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，點P、Q分別是AC和BC上的動點，在點P和點Q運動的過程中，PB+PQ的最小值為（）A．4 B．3 C．2 D．45．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，，點在上，點在上，且，連結(jié)，，則的最小值為（

）A．26 B．25 C．24 D．226．（2023·陜西西安·?？寄M預測）如圖，在菱形中，，，點E為的中點，點F在上，且，點G為直線上一動點，的最大值是．

7．（2023春·成都市九年級期中）如圖，在矩形ABCD中，，，E、F分別是邊AB、BC上的動點，且，M為EF中點，P是邊AD上的一個動點，則的最小值是______．8．（2023下·四川達州·八年級?？计谀┤鐖D，，在的同側(cè)，，，，點為的中點，若，則的最大值是．

9．（2023·湖北孝感·九年級?？奸_學考試）如圖，四邊形是矩形紙片，，對折矩形紙片，使與重合，折痕為．展平后再過點B折疊矩形紙片，使點A落在上的點N，折痕與相交于點Q，再次展平，延長交與點G，P為線段上一動點，有如下結(jié)論①；②；③是等邊三角形；④若H是的中點，則的最小值是．其中正確結(jié)論是（填序號）10．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考二模）如圖，矩形中，，點E、F分別邊上的點，且，點G為的中點，點P為上一動點，則的最小值為．

12．（2023上·江蘇泰州·八年級校聯(lián)考階段練習）長方形中，，E為邊上的動點，F(xiàn)為的中點，連接，則的最小值為．

13．（2023·廣西梧州·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，菱形的頂點，點P是對角線上的一個動點，已知，則的最小值是_________________14．（2022·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，，，AH是的平分線，于點E，點P是直線AB上的一個動點，則的最小值是________．15．（遼寧省鐵嶺市20222023學年八年級下學期期中數(shù)學試題）如圖，在矩形中，，，點E，F(xiàn)，G，H分別在矩形的各邊上，且，，則四邊形周長的最小值為．16．（2023·廣東惠州·校考三模）如圖，正方形的邊長為，點，分別是對角線的三等分點，點是邊上一動點，則的最小值是________.

17．（2023·陜西銅川·統(tǒng)考三模）如圖，正方形的對角線相交于點，，點在上，且，點是上一動點，則的最小值為______．18．（2023·山東德州·?？家荒＃┤鐖D，在菱形中，，，，分別是邊和對角線上的動點，且，則的最小值為______．19．（2023·北京海淀·九年級人大附中?？奸_學考試）如圖，中，，過A點作的平行線與的平分線交于點，連接．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)過點作的平行線交直線于點，連接，，點是線段上的動點，若，請直接寫出的最小值．20．（2023上·廣東深圳·九年級?？茧A段練習）【問題情境】（1）我們曾經(jīng)研究過這樣的問題：已知正方形，點在的延長線上，以為一邊構(gòu)造正方形，連接和，如圖1所示，則和的數(shù)量關(guān)系為______，位置關(guān)系為______【繼續(xù)探究】（2）如圖2所示，若正方形的邊長為4，點是邊上的一個動點，以為一邊在的右側(cè)作正方形，連接、，連接，若，求線段的長度．【拓展提升】（3）在（2）的條件下，如圖3，當點在射線上運動時，求的最小值為______21．（2023·安徽宿州·八年級校聯(lián)考期中）小明同學在做作業(yè)時，遇到如下問題：如圖1，已知：等