第02講探索平行線的性質(zhì)（2大考點(diǎn)7種題型強(qiáng)化訓(xùn)練）

第02講探索平行線的性質(zhì)（2大考點(diǎn)+7種題型+強(qiáng)化訓(xùn)練）1.認(rèn)識(shí)并掌握平行線的性質(zhì)；2.運(yùn)用平行線的性質(zhì)進(jìn)行簡單的推理及有條理的表達(dá)；3．理解和掌握平行線的性質(zhì)定理并靈活運(yùn)用于求角的關(guān)系；4．能夠靈活運(yùn)用平行線的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行證明．知識(shí)點(diǎn)1：平行線的性質(zhì)1、性質(zhì)1：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等。簡稱為：兩直線平行，同位角相等。2、性質(zhì)2：兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等。簡稱為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。3、性質(zhì)3：兩條平行直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。簡稱為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。知識(shí)點(diǎn)2：平行線的性質(zhì)和判定的區(qū)別與聯(lián)系平行線的性質(zhì)和判定中的條件和結(jié)論恰好相反，在“兩條直線被第三條直線所截”的前提下，從同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)，推出兩直線平行，這是平行線的判定；而從兩直線平行推出同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，這是平行線的性質(zhì)。性質(zhì)判定二者的因果關(guān)系如下：性質(zhì)判定題型一：兩直線平行同位角相等【例1】．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·七年級?？计谀┱埌严铝凶C明過程補(bǔ)充完整．已知：如圖，平分，點(diǎn)D、E分別在、上，且．求證：．

證明：∵平分（已知），∴______（______）．∵（已知），∴______（______）．∴______（______）．【答案】；角平分線的定義；；兩直線平行，同位角相等；；等量代換【分析】根據(jù)角的平分線的定義，平行線的性質(zhì)，推理證明即可．【詳解】證明：∵平分（已知）∴（角平分線的定義）∵（已知），∴（兩直線平行，同位角相等）∴（等量代換），故答案為：；角平分線的定義；；兩直線平行，同位角相等；；等量代換．【點(diǎn)睛】本題考查了角的平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等量代換，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1】．（2023下·江蘇揚(yáng)州·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，平分，F(xiàn)在上，G在上，與相交于點(diǎn)H，，試說明．（請通過填空完善下列推理過程）解：∵（已知），（______)．∴______（______）．∴（______）．∴______（______）．∵平分（______），∴______（______）．∴（______）．【答案】對頂角相等，，等量代換，同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行，，兩直線平行同位角相等，已知，，角平分線的定義，等量代換【分析】根據(jù)題干的思路作答即可．【詳解】∵（已知），（對頂角相等)．∴（等量代換）．∴（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．∴（兩直線平行，同位角相等）．∵平分（已知），∴（角平分線的定義）．∴（等量代換）；故答案為：對頂角相等，，等量代換，同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行，，兩直線平行同位角相等，已知，，角平分線的定義，等量代換．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，對頂角相等等知識(shí)，掌握是平行線的判定與性質(zhì)解答本題的關(guān)鍵．【變式2】．（2023下·江蘇揚(yáng)州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線，且直線被直線所截．

(1)求證：；(2)若，試判斷直線與直線的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)（同位角相等，兩直線平行）【分析】（1）兩直線平行，同位角相等，得到，對頂角相等，得到，即可得證；（2）鄰補(bǔ)角，得到，推出，即可得到．【詳解】（1）解：，（兩直線平行，同位角相等）；

（2）結(jié)論：直線理由：，，，（同位角相等，兩直線平行）．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，對頂角，鄰補(bǔ)角．熟練掌握對頂角相等，鄰補(bǔ)角的定義，是解題的關(guān)鍵．【變式3】．（2023·江蘇·七年級假期作業(yè)）如圖，，），解答下列問題．(1)如圖①，當(dāng)，時(shí)，過點(diǎn)B在的內(nèi)部作則度；(2)如圖②，點(diǎn)G在上，過點(diǎn)G作．①當(dāng)，時(shí)，求的度數(shù)；②用含有和的式子表示；③當(dāng)，時(shí)，過點(diǎn)G作，直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)(2)①

②

③或【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，同位角相等得到結(jié)果；（2）①過點(diǎn)B作，根據(jù)平行公理得到，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等得到結(jié)果；②過點(diǎn)B作，根據(jù)平行公理得到，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等得到結(jié)果；③過點(diǎn)B作，根據(jù)平行公理得到，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等分兩種情況分別解題即可．【詳解】（1）解：∵，∴，又∵，∴，故答案為：．（2）①如圖，過點(diǎn)B作，∴，又∵，∴，∵，，∴，∴，②如上圖，過點(diǎn)B作，∴，又∵，∴，∵，，∴，∴，③如圖，過點(diǎn)B作，∴，又∵，∴，∵，，∴，∴，∵時(shí)，∴，若點(diǎn)H在的上方時(shí)，，若點(diǎn)H在的下方時(shí)，，綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題考查平行公理，平行線的性質(zhì)，垂直的定義，作輔助線轉(zhuǎn)化角是解題的關(guān)鍵．題型二：兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等【例2】．（2023下·江蘇泰州·七年級校考周測）如圖，已知，平分，＝，求的度數(shù)．

【答案】【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得，再根據(jù)角平分線定義得，然后根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得．【詳解】，，平分，，，【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)有：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．【變式1】．（2023下·江蘇鹽城·七年級?？计谀┤鐖D：在中，平分外角，且．求證：．

【分析】先由平行線得到，再利用角平分線證得，等量代換解題即可．【詳解】證明：∵，∴，∵平分外角，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，運(yùn)用以上性質(zhì)進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵．【變式2】．（2023下·江蘇南京·七年級校考期中）完成下面的推理說明：已知：如圖，，分別平分和．

求證：．證明：∵分別平分和（已知），∴，（①______）．∵（已知），∴（②______）．∴（等量代換）．∴（③______）．∴（④______）．【答案】①角平分線的定義；②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；③等式的性質(zhì)；④內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行【分析】根據(jù)題意按照步驟進(jìn)行求解作答即可．【詳解】證明：∵分別平分和（已知），∴，（①角平分線的定義）．∵（已知），∴（②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∴（等量代換）．∴（③等式的性質(zhì)）．∴（④內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），故答案為：①角平分線的定義；②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；③等式的性質(zhì)；④內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線，平行線的判定與性質(zhì)，等式的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．【變式3】．（2023下·江蘇無錫·七年級校聯(lián)考期中）如圖，，點(diǎn)E在上，點(diǎn)G在上．

(1)如圖1，在、上分別取點(diǎn)M、N，連接，點(diǎn)F在上，已知平分，平分，若，，求，的度數(shù)．(2)如圖2，平分，平分，反向延長交于K，設(shè)，請通過計(jì)算，用含x的代數(shù)式表示．(3)如圖3，已知，，平分，平分，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系_________________【答案】(1)；(2)(3)（或）【分析】（1）作，可得，再利用角平分線求出結(jié)果；（2）設(shè)，求出，再利用角平分線及平行的性質(zhì)求得，最后根據(jù)即可求解；（3）過點(diǎn)作，由角平分線求得、，最后利用整理式子即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖，作，，，，，，平分，，平分，，；

（2）如圖，設(shè)交于點(diǎn)M，平分，設(shè)，則，由（1）得，，，平分，，，，，在中，；

（3）如圖，過點(diǎn)作，，，，，，，，平分，平分，，，，，，．

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，平行線的拐角問題，角平分線的性質(zhì)，掌握輔助線的作法是解決本題的關(guān)鍵．題型三：兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)【例3】．（2023下·江蘇鹽城·七年級統(tǒng)考期中）如圖，，，．求和的度數(shù)．

【答案】，【分析】根據(jù)，可得，，再代入數(shù)據(jù)可得答案．【詳解】解：∵，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，熟記兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解本題的關(guān)鍵．【變式1】．（2023下·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，．與相等嗎？為什么？

【答案】相等，理由見解析．【分析】由平行線的性質(zhì)，，結(jié)合，知兩角相等．【詳解】解：相等，理由如下：∵，∴．∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)；掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．【變式2】．（2023下·江蘇連云港·七年級校考階段練習(xí)）為了美化夜景，在某段道路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)激光燈．如圖，燈A射線自開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線自順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是/秒，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是/秒，且a、b滿足．假定主道路是平行的，即，且．

(1)填空：_______，_______，_______；(2)若燈B射線先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射線到達(dá)之前，燈A射線轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行？(3)如圖，兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈A射線到達(dá)之前，若射出的光束交于點(diǎn)C，過C作交于點(diǎn)D，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，與的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請求出其取值范圍．【答案】(1)3

1

45(2)15秒或82.5秒(3)不發(fā)生改變

【分析】（1）根據(jù)絕對值與平方數(shù)的非負(fù)性即可求解；根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)并結(jié)合已知條件可求得的度數(shù)．（2）根據(jù)題意，當(dāng)兩燈的光束互相平行時(shí)，內(nèi)錯(cuò)角相等即可列出方程求解．（3）設(shè)燈B射線轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，則燈A射線轉(zhuǎn)動(dòng)的角度設(shè)法把與用含x的代數(shù)式表示出來即可獲得兩角的關(guān)系式．【詳解】（1）∵，∴∴．∵，∴．由得∴，∴．（2）如圖．

設(shè)在燈B射線趕到達(dá)BQ之前，燈A射線轉(zhuǎn)動(dòng)t秒，兩燈的光束平行，①在燈射線到達(dá)AN之前，由題意得，，解得：（秒）②在燈A射線到達(dá)AN之后，由題意得：（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）解得：（秒）∴燈轉(zhuǎn)動(dòng)15秒或82.5秒時(shí)，兩燈的光束互相平行．（3）與的數(shù)量關(guān)系不發(fā)生變化．理由如下：如圖．

由⑴知，∴．設(shè)燈B射線轉(zhuǎn)動(dòng)的角度，則燈A射線轉(zhuǎn)動(dòng)的角度∴，①，∴∵，∴②由①②得，∴【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值與平方數(shù)的非負(fù)性、平行線的判定、三角形內(nèi)角和、用含字母的代數(shù)式表示角度等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3】．（2023下·江蘇·七年級專題練習(xí)）如圖1，已知兩條直線被直線所截，分別交于點(diǎn)E，點(diǎn)F，平分交于點(diǎn)M，且．

(1)判斷直線與直線是否平行，并說明理由；(2)如圖2，點(diǎn)G是射線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M，F(xiàn)重合），平分交于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作于點(diǎn)N，設(shè)．①當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，若，求α的度數(shù)；②當(dāng)點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過程中，α和β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并加以證明．【答案】(1)平行，見解析(2)①25度；②當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的左側(cè)時(shí)，【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義的運(yùn)用：（1）依據(jù)角平分線，可得，根據(jù)，可得，進(jìn)而得出；（2）①依據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)平分，平分，即可得到，再根據(jù)，即可得到中，；②分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，．當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的左側(cè)時(shí)，．【詳解】（1）∵平分∴，又∵，∴，∴；（2）①如圖2，

∵∴，又∵平分，平分∴，，∴，又∵，∴中，，即；②點(diǎn)G是射線上一動(dòng)點(diǎn)，故分兩種情況討論：如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，．

證明：∵，∴，又∵平分，平分∴，∴，又∵，∴中，，即；如圖3，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的左側(cè)時(shí)，．

證明：∵，∴，又∵平分，平分，∴，∴，又∵，∴中，，即．題型四：根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系【例4】．（2023下·江蘇·七年級專題練習(xí)）如圖，已知的平分線交于點(diǎn)F．探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

【答案】，見解析【分析】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，過點(diǎn)C作直線，然后證明，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，進(jìn)而可得，同理可得，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，，等量代換可得答案．【詳解】解：過點(diǎn)C作直線，

∵，∴，∴，，∴，∴，同理，∵的平分線交于點(diǎn)F，∴，∴．【變式1】．（2023下·江蘇南通·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，．過點(diǎn)A作．

(1)判斷是否平分，并說明理由；(2)如圖2，點(diǎn)D是射線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），平分交射線于E，過點(diǎn)E作于F．①當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，若，求的度數(shù)；②點(diǎn)D在運(yùn)動(dòng)過程中，和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并說明理由．【答案】(1)平分，理由見解析(2)①；②或，理由見解析【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，即可解答；（2）①根據(jù)角平分線的定義可得，從而得到，再由平行線的性質(zhì)，即可解答；②分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)；當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，即可解答．【詳解】（1）解：平分，理由如下：∵，∴，∵，∴，∴平分；（2）解：①∵，∴，∵是角平分線，∴，∴，∴，∵，∴；②設(shè)，∵，∴，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，由（1）得：，∵平分，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴；如圖，當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，

∵分別平分，∴，，∵，∴，∵，∴，∴；綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行同旁內(nèi)角，利用角的和差關(guān)系進(jìn)行推理論證．【變式2】．（2023下·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期中）從特殊到一般是數(shù)學(xué)研究的常用方法，有助于我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律，探索問題的解．

(1)如圖1，，點(diǎn)E為、之間的一點(diǎn)．求證：．(2)如圖2，，點(diǎn)E、F、G、H為、之間的四點(diǎn)．則______．(3)如圖3，，則______．【答案】(1)證明見詳解；(2)；(3)；【分析】（1）過點(diǎn)作，可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，再計(jì)算角度和即可證明；（2）分別過點(diǎn)E、F、G、H作的平行線，在兩相鄰平行線間利用兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)求得兩角度和后，再將所有角度相加即可解答；（3）由（2）解答可知在、之間每有一條線段便可求得一個(gè)180°角度和，結(jié)合圖3找出n和線段條數(shù)的關(guān)系便可解答；【詳解】（1）證明：如下圖，過點(diǎn)作，

∵，，∴，根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得：，，∴，∴；（2）解：如下圖，分別過點(diǎn)E、F、G、H作，，，，

結(jié)合（1）解答在兩相鄰平行線間可得：，，，，，將所有角度相加可得：；（3）解：由（2）解答可知在、之間每有一條線段便可求得一個(gè)180°角度和，由圖3可知：當(dāng)、之間有2條線段時(shí)，，當(dāng)、之間有3條線段時(shí)，，當(dāng)、之間有4條線段時(shí)，，當(dāng)、之間有5條線段時(shí)，，…，當(dāng)、之間有條線段時(shí)，，∴；【點(diǎn)睛】本題考查了平行線公理的推論，平行線的性質(zhì)，歸納總結(jié)的解題思路，通過作輔助線將角度按組計(jì)算是解題關(guān)鍵．【變式3】．（2023下·江蘇南京·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖所示的格線彼此平行．小明在格線中作，并探究角之間的數(shù)量關(guān)系．

(1)如圖1，他先在一條格線上取一點(diǎn)，作出，當(dāng)時(shí)，________；（注：、是角的兩邊與格線所成的角）(2)如圖2，他又在兩條格線之間取一點(diǎn)，作出，請?zhí)骄?、與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（注：、是角的兩邊與格線所成的角）(3)如圖3，點(diǎn)、、、在格線上，點(diǎn)在格線之間，平分，平分，若，則________．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，同位角相等即可得出答案；（2）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等（即豬蹄模型）即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，得出豬蹄模型是解本題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖所示：

∵，∴，∵，，∴，故答案為：；（2）理由如下：過點(diǎn)作，如圖2，

，，且，，，，，，；（3）過點(diǎn)作，如圖3，

∴，∵，，∴，∴，∵平分，平分，∴，∴，根據(jù)豬蹄模型可得：，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出豬蹄模型是解本題的關(guān)鍵．題型五：根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)【例5】．（2023下·江蘇南通·七年級如東縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)C，D在直線上，，，的角平分線交于點(diǎn)G，過點(diǎn)F作交的延長線于點(diǎn)M，若，求的度數(shù)．

【答案】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，求出，根據(jù)垂線定義得出，求出，根據(jù)角平分線定義得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，求出即可．【詳解】解：∵，即，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵是的角平分線，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，垂線定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)．【變式1】．（2023下·江蘇鹽城·七年級校考階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)D，E分別在和上，平分，過點(diǎn)D作．已知，求的度數(shù)是多少？

【答案】80°【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)平分，得到，即可得解．【詳解】解：∵，∴，∵平分，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義．熟練掌握平行線的性質(zhì)和角平分線平分角是解題的關(guān)鍵．【變式2】．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，，直線EF分別交、于點(diǎn)E、F，平分，，求的度數(shù)．

【答案】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”，再利用角平分線的性質(zhì)推出，這樣就可求出的度數(shù)．【詳解】解：，．平分，，．又，．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，解答此類題關(guān)鍵是在復(fù)雜圖形之中辨認(rèn)出應(yīng)用性質(zhì)的基本圖形，從而利用性質(zhì)和已知條件計(jì)算．【變式3】．（2023下·江蘇淮安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線，一副三角板（，，，）按如圖①放置，其中點(diǎn)E在直線上，點(diǎn)B，C均在直線上，且平分．

(1)求的度數(shù)；(2)如圖②，若將繞B點(diǎn)以每秒的速度按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（A，C的對應(yīng)點(diǎn)分別為F，G）．設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒；①在旋轉(zhuǎn)過程中，若邊，求t的值；②若在繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的同時(shí)，繞E點(diǎn)以每秒的速度按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（C、D的對應(yīng)點(diǎn)分別為K、T），請直接寫出與平行時(shí)t的值．【答案】(1)(2)①3或21；②5或17或29【分析】（1）首先求出，根據(jù)角平分線的定義求出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，繼而可得結(jié)果；（2）①分兩種情況，畫出圖形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)速度以及平行線的性質(zhì)列出關(guān)于t的方程，解之即可；②表示出，，分三種情況，畫出圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)列出方程，再求解即可．【詳解】（1）解：，，平分，，，，，．（2）①如圖，，，，，，．

如圖，，，∵，∴，此時(shí)旋轉(zhuǎn)了，∴，．

在旋轉(zhuǎn)過程中，若邊，的值為3或21．②如圖，延長，與交于H，，，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得：；

如圖，過點(diǎn)C作，∵，∴，∴，，∴，，∴，解得：；

如圖，延長，與交于H，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得：；

綜上：t的值為5或17或29．【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換綜合題，考查了平行線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題．題型六：平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用【例6】．（2023下·七年級單元測試）光線照射到鏡面會(huì)產(chǎn)生反射現(xiàn)象，由光學(xué)知識(shí)，入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等，例如：在圖1中，有∠1＝∠2．(1)如圖2，已知鏡子MO與鏡子ON的夾角∠MON＝90°，請判斷入射光線AB與反射光線CD的位置關(guān)系，并說明理由；(2)如圖3，有一口井，已知入射光線AO與水平線OC的夾角為50°，當(dāng)平面鏡MN與水平線OC的夾角為°，能使反射光線OB正好垂直照射到井底；(3)如圖4，直線EF上有兩點(diǎn)A、C，分別引兩條射線AB、CD．∠BAF＝120°，∠DCF＝40°，射線AB、CD分別繞A點(diǎn)、C點(diǎn)以3度/秒和1度/秒的速度同時(shí)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)時(shí)間為t秒，在射線AB轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)，是否存在某時(shí)刻，使得CD與AB平行？若存在，求出所有滿足條件的時(shí)間t．【答案】(1)ABCD，理由見解析(2)70(3)在射線AB轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)，存在時(shí)間t，使得CD與AB平行，其t=10s或100s．【分析】（1）計(jì)算∠ABC+∠BCD的值便可得出結(jié)論；（2）先計(jì)算出∠AOB，進(jìn)而得∠AOM+∠BON的值，再根據(jù)入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等，得出結(jié)果；（3）分四種情況討論：當(dāng)0s≤t≤20s時(shí)，當(dāng)20s＜t≤40s時(shí)，當(dāng)40s＜t≤80s時(shí)，當(dāng)80s＜t≤120s時(shí)，根據(jù)角度大小變化關(guān)系鎖確ABCD時(shí)的t值．【詳解】（1）解：ABCD．理由如下：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠ABC=180°∠1∠2=180°2∠2，∠BCD=180°∠3∠4=180°2∠3，∴∠ABC+∠BCD=360°2（∠2+∠3），∵∠BOC=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴AB∥CD；（2）解：∵∠AOC=50°，∠BOC=90°，∴∠AOM+∠BON=180°90°50°=40°，∵∠AOM=∠BON，∴∠AOM=∠BON=20°，∴∠COM=20°+50°=70°，∠CON=20°+90°=110°，∴當(dāng)平面鏡MN與水平線OC的夾角為70°時(shí)，能使反射光線OB正好垂直照射到井底，故答案為：70；（3）解：①當(dāng)0s≤t≤20s時(shí)，如下圖，若ABCD，則∠BAC=∠ACD，即120+3t=140+t，解得t=10，∴當(dāng)t=10s時(shí)ABCD；②當(dāng)20s＜t≤40s時(shí)，如下圖，有∠BAE＜90°＜∠ACD，則AB與CD不平行；③當(dāng)40s＜t≤80s時(shí)，如下圖，有∠BAC＜∠ACD，AB與CD不平行；④當(dāng)80s＜t≤120s時(shí)，如下圖，若ABCD，則∠BAC=∠DCF，即3t240=t40，解得t=100，∴當(dāng)t=100s時(shí)，ABCD；綜上可知，在射線AB轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)，存在時(shí)間t，使得CD與AB平行，其t=10s或100s．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵是應(yīng)用分類討論思想解決問題．【變式1】．（2023下·江蘇·七年級期中）如圖1，某段道路，兩旁安裝了兩個(gè)探照燈M和N．燈M光束從開始旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈N光束從開始旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)．燈M轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒1度，燈N轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2度，燈M轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．(1)如圖2，燈M光束先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒后，燈N光束才開始轉(zhuǎn)動(dòng)．①直接寫出燈M光束和燈N光束，燈先回轉(zhuǎn)；(填M或N)②在燈M光束回轉(zhuǎn)之前，當(dāng)兩燈的光束平行時(shí)，求t的值；(2)如圖3，兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，且均不回轉(zhuǎn)．連接，且，若兩燈光束交于點(diǎn)E，在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，請?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？并說明理由．【答案】(1)①N；②當(dāng)t的值為60或140時(shí)，兩燈的光束互相平行(2)不變，．理由見解析【分析】（1）①分別計(jì)算M、N回轉(zhuǎn)時(shí)間，然后比較即可；②根據(jù)M、N均未回轉(zhuǎn)即和N回轉(zhuǎn)后即兩種情況，進(jìn)行求解即可；（2）由，可得，則，由，得，求得，則，進(jìn)而可得．【詳解】（1）①解：光束M回轉(zhuǎn)時(shí)間為（秒）；光束N回轉(zhuǎn)時(shí)間（秒）；∵，∴光束N先回轉(zhuǎn)，故答案為：N；②解：當(dāng)時(shí)，如圖1，∵，∴，∵，∴，∴，∴，解得；當(dāng)時(shí)，如圖2，∵，∴，∵，∴，∴，∴，解得，綜上所述，當(dāng)t的值為60或140時(shí)，兩燈的光束互相平行；（2）解：不變，．理由如下：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于明確角度之間的數(shù)量關(guān)系．【變式2】．（2023下·江蘇泰州·七年級統(tǒng)考期末）如圖1是一盞可折疊臺(tái)燈．圖2、圖3是其平面示意圖，支架、為固定支撐桿，支架可繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)調(diào)節(jié)．已知燈體頂角，頂角平分線始終與垂直．

(1)如圖2，當(dāng)支架旋轉(zhuǎn)至水平位置時(shí)，恰好與平行，求支架與水平方向的夾角的度數(shù)；(2)若將圖2中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置，求此時(shí)與水平方向的夾角的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用角平分線定義可得，由垂直定義可得，得出，再運(yùn)用平行線性質(zhì)即可得出答案；（2）過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：如圖2，，平分，，，，，，，，，即；（2）如圖3，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，

則，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線性質(zhì)等，適當(dāng)添加輔助線，構(gòu)造平行關(guān)系是解題關(guān)鍵．題型七：根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度【例7】．（2023下·江蘇·七年級專題練習(xí)）如圖，在中，，垂足為D，點(diǎn)E在上，，垂足為F．(1)與平行嗎？請說明理由．(2)已知，求的度數(shù)．【答案】(1)平行，理由見解析(2)【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，熟知平行線的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．（1）在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行，據(jù)此可得結(jié)論；（2）由平行線的性質(zhì)結(jié)合已知條件證明，則，由此即可得到．【詳解】（1）解：與平行，理由如下：∵，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴．【變式1】．（2023下·江蘇南通·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，于點(diǎn)，于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段延長線上一點(diǎn)，．

(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)，得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，進(jìn)而得出，根據(jù)平行線判定定理即可得結(jié)論；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，根據(jù)角平分線的定義即可得答案．【詳解】（1）證明：∵于點(diǎn)，于點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．（2）解：∵，∴，，∵平分，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；熟練掌握平行線的判定定理是解題關(guān)鍵．【變式2】．（2023下·江蘇·七年級專題練習(xí)）當(dāng)光線經(jīng)過鏡面反射時(shí)，入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對應(yīng)相等例如：在圖①、圖②中，都有．設(shè)鏡子與的夾角．(1)如圖①，若，判斷入射光線與反射光線的位置關(guān)系，并說明理由．(2)如圖②，若，入射光線與反射光線的夾角．探索α與β的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)如圖③，若，設(shè)鏡子與的夾角，入射光線與鏡面的夾角，已知入射光線從鏡面開始反射，經(jīng)過n（n為正整數(shù)，且）次反射，當(dāng)?shù)趎次反射光線與入射光線平行時(shí)，請直接寫出γ的度數(shù)．（可用含有m的代數(shù)式表示）【答案】(1)平行，見解析(2)，見解析(3)或【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、列代數(shù)式，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)，注意分類討論思想的利用．（1）在△BEG中，可得，根據(jù)入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對應(yīng)相等可得，，進(jìn)而可得；（2）在中，，可得，根據(jù)入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對應(yīng)相等可得，，在中，，可得α與β的數(shù)量關(guān)系；（3）分兩種情況畫圖討論：①當(dāng)時(shí)，根據(jù)入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對應(yīng)相等，及內(nèi)角和，可得．②當(dāng)時(shí)，如果在邊反射后與平行，則，與題意不符；則只能在邊反射后與平行，根據(jù)三角形外角定義，可得，由，且由（1）的結(jié)論可得，．【詳解】（1）解：，理由如下：在中，∴，∵，∴，∵，，∴，∴；（2）解：，理由如下：在中，，∴，∵，∴，∴，同理可得，，在中，，∴；（3）解：或．理由如下：①當(dāng)時(shí)，如下圖所示：

∵，∴，∴，，∵，∴，則，則，由內(nèi)角和，得②當(dāng)時(shí)，如果在邊反射后與平行，則，與題意不符；則只能在邊反射后與EF平行，如下圖所示：

根據(jù)三角形外角定義，得，由，且由（1）的結(jié)論可得，，則．綜上所述：γ的度數(shù)為：或150°．一、單選題1．（2023上·江蘇·七年級專題練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（

）A．過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行B．平行于同一條直線的兩直線平行C．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等D．不相交的兩條直線必平行【答案】B【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、定義、平行公理及推論，根據(jù)平行線的性質(zhì)、定義、平行公理及推論判斷即可．【詳解】解：A、過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、平行于同一條直線的兩直線平行，故此選項(xiàng)正確；C、兩條直線被第三條直線所截，只有被截線互相平行時(shí)，才同位角相等，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線必定平行，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．2．（2023下·江蘇泰州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，與互為補(bǔ)角，，則的度數(shù)是（

）

A．117° B．63° C．100° D．80°【答案】A【分析】根據(jù)互為補(bǔ)角的定義可得，從而可得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，即可解答．【詳解】∵與互為補(bǔ)角，∴，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件得到平行線是解題的關(guān)鍵．3．（2023下·江蘇揚(yáng)州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，將一副三角板按如圖方式擺放，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)三角板中角度的特點(diǎn)得到，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到．【詳解】解：由題意得，，∴，∵，∴，故選C．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角板中角度的計(jì)算，熟知兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．4．（2023下·江蘇南通·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是直線上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P在直線和之間，連接和的平分線交于點(diǎn)Q，下列等式正確的是（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】過點(diǎn)P作，過點(diǎn)Q作，可得，從而得到，，，進(jìn)而得到，再由角平分線的定義可得，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)P作，過點(diǎn)Q作，

∵，∴，∴，，，∴，∵和的平分線交于點(diǎn)Q，∴，∴，∵，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行公理的推論，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023下·江蘇揚(yáng)州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，是的高，若交于點(diǎn)，則與的數(shù)量關(guān)系是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，等量代換即可得解．【詳解】∵是的高，∴，∴，∵，∴，∴,故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”是解題的關(guān)鍵．6．（2023下·江蘇揚(yáng)州·七年級校聯(lián)考期中）如圖，給出條件：①；②；③且；④且，其中能推出的條件是（）

A．① B．② C．②③ D．③④【答案】D【分析】根據(jù)平行線的判定逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：①由，不能推出；②由，不能推出；③∵，∴，∵，∴，∴；④∵，∴，∵，∴，∴；∴能推出的條件為③④，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定定理，掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．7．（2023上·江蘇淮安·七年級淮安市徐楊中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，下列推理及所說理由正確的是（

）A．因?yàn)椋裕碛桑和唤窍嗟?，兩直線平行B．因?yàn)椋裕碛桑和唤窍嗟?，兩直線平行C．因?yàn)椋裕碛桑簝芍本€平行，內(nèi)錯(cuò)角相等D．因?yàn)椋裕碛桑簝芍本€平行，同位角相等【答案】C【分析】根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得．【詳解】解：A、因?yàn)椋裕碛桑簝芍本€平行，同位角相等；則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、因?yàn)?，所以．理由：?nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、因?yàn)椋裕碛桑簝芍本€平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；則此項(xiàng)正確，符合題意；D、因?yàn)?，所以．理由：同位角相等，兩直線平行；則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8．（2023下·江蘇無錫·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，給出下列條件：；；③且；④且，其中能推出的條件正確的有（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】利用平行線的判定方法判斷即可得到正確的選項(xiàng)．【詳解】解：①∵，∴，故①不符合題意；②∵，∴，故②符合題意；③∵，且，∴，∴，∴，故③符合題意；④∵，且，∴，∴，∴，故④符合題意；那么共有3個(gè)條件能推出鍵．故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．9．（2023下·江蘇淮安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線，把三角板的直角頂點(diǎn)放在直線上，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)兩直線平行同位角相等可得，即可求出答案．【詳解】解：

∵，∴，由題意可得：，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行同位角相等是解題的關(guān)鍵．10．（2023下·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線，平分，平分，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，，∴，，，∵平分，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，則，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)、角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．二、填空題11．（2023下·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，，記，則m的值為．

【答案】【分析】過點(diǎn)F作，則，依據(jù)平行線的性質(zhì)可證明，同理可證明，然后結(jié)合已知條件可得到問題的答案．【詳解】解：如圖所示：過點(diǎn)F作．∵，∴．∵，∴，∴．∴．同理：．∴∵，∴．故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是平行線的判定和性質(zhì)，掌握本題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．12．（2023下·江蘇泰州·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，有一塊含有角的直角三角板的兩個(gè)頂點(diǎn)放在直尺的對邊上，如果那么的度數(shù)=°．

【答案】14【分析】根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等和含角的直角三角板的特點(diǎn)即可求解．【詳解】如圖，根據(jù)題意可知，∴，∴．

故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)．掌握兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等是解題關(guān)鍵．13．（2023下·江蘇無錫·七年級校考階段練習(xí)）如圖a是長方形紙帶，，將紙帶沿EF折疊成圖b，再沿BF折疊成圖c，則圖c中的的度數(shù)是度．

【答案】111【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得，再根據(jù)翻折的性質(zhì)，圖中處重疊了3層，然后根據(jù)代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】解：，長方形的對邊，，由折疊，處重疊了3層，．故答案為：111．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，平行線的性質(zhì)，觀察圖形判斷出圖中處重疊了3層是解題的關(guān)鍵．14．（2023下·江蘇揚(yáng)州·七年級?？茧A段練習(xí)）已知，如圖，，則．

【答案】/180度【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求解．【詳解】解：，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．15．（2023下·江蘇揚(yáng)州·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，，，，則的度數(shù)等于．

【答案】【分析】先添加輔助線，則根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，則有，，再根據(jù)垂直的定義可得，然后求出，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義即可得．【詳解】如圖，過作，

∴,∴，，∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)、垂直，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2023下·江蘇南京·七年級?？计谥校┤鐖D，在四邊形中，過點(diǎn)A的直線，若，則．

【答案】145【分析】過點(diǎn)B作，交于點(diǎn)E．即可判定，得出，，，從而可求出，結(jié)合，可求出答案．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)B作，交于點(diǎn)E．

∵，∴，∴，，．∵，∴，∴．故答案為：145．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，角的和與差．正確作出輔助線并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．17．（2023下·江蘇連云港·七年級統(tǒng)考期中）一條古稱在稱物時(shí)的狀態(tài)如圖所示，已知，則．

【答案】100【分析】由平行線的性質(zhì)可得，從而可得答案．【詳解】解：如圖，

由題意可得：，，，．故答案為：100．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的含義，掌握“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”是解本題的關(guān)鍵．18．（2023下·江蘇連云港·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，將直角三角尺的兩個(gè)銳角頂點(diǎn)分別落在a、b上．若，則等于°．

【答案】25【分析】由平行線的性質(zhì)可得，由三角形的內(nèi)角和定理可求得，從而可求得，則可求的度數(shù)．【詳解】解：如圖，

∵，∴，在中，，∴，∴，∴，∵，∴．故答案為：25．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．三、解答題19．（2023下·江蘇揚(yáng)州·七年級統(tǒng)考期末）已知：如圖，平分，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，連接、，與相交于點(diǎn)，．

(1)證明：；(2)若，，求．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意和對頂角相等得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定即可證得．（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出，由（1），根據(jù)平角的定義即可求解．【詳解】（1）證明：，，，，．（2）解：平分，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)與判定，掌握角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．20．（2023下·江蘇揚(yáng)州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，F(xiàn)、G是、上的兩點(diǎn)，．

(1)求證：；(2)若，平分，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定證明即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的概念求解即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∵平分，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)和判定，角平分線的概念，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．21．（2023下·江蘇蘇州·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，分別與相交于點(diǎn)G、點(diǎn)H，，試說明．

【答案】見解析【分析】根據(jù)對頂角相等結(jié)合題意可求出，即說明，從而得出，進(jìn)而得出，即證明，得出．【詳解】證明：∵，，∴，∴，∴．∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查對頂角相等，平行線的判定和性質(zhì)．熟練掌握平行線的判定定理和性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．22．（2023下·江蘇泰州·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，分別與相交于點(diǎn)G、點(diǎn)H，，，則與平行嗎？請說明理由．

【答案】，見解析【分析】根據(jù)對頂角相等得出，再由平行線的判定定理可證明，進(jìn)而得出，再由即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴；【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，熟知平行線的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．23．（2023下·江蘇鹽城·七年級校考階段練習(xí)）如圖，，．求證：．

根據(jù)圖形和已知條件，請補(bǔ)全下面這道題的解答過程．證明：∵，∴．∴．又∵（已知），∴．∴．又∵，，∴（等量代換）．【答案】已知；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；；；；【分析】利用平行線的性質(zhì)