專題01反比例函數(shù)(重難點(diǎn)突破)(原卷版+解析)

專題01反比例函數(shù)重點(diǎn)用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)難點(diǎn)反比例函數(shù)中比例系數(shù)k的幾何意義易錯(cuò)反比例函數(shù)解析式的條件忽略k≠0 一、反比例函數(shù)的概念識(shí)別一個(gè)函數(shù)是不是反比例函數(shù)，可對(duì)照反比例函數(shù)的基本形式或變形形式xy=k（k是常數(shù)，k≠0），（k是常數(shù)，k≠0）進(jìn)行篩選．【例1】下列函數(shù)中，是的反比例函數(shù)的有（

）個(gè)．①；②；③；④；⑤；⑥．A．2 B．3 C．4 D．5二、用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式確定反比例函數(shù)解析式的方法是待定系數(shù)法，由于在反比例函數(shù)中只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需要一對(duì)對(duì)應(yīng)的x，y值或圖象上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式．【例2】已知y與x成反比例函數(shù)，且時(shí)，，則該函數(shù)表達(dá)式是（

）A． B． C． D．三、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)（1）對(duì)于反比例函數(shù)，因?yàn)閤≠0，y≠0，所以它的圖象不經(jīng)過原點(diǎn)．反比例函數(shù)的圖象由兩個(gè)分支組成，分別位于第一、第三象限或第二、第四象限．（2）反比例函數(shù)的增減性不是連續(xù)的，因此在談反比例函數(shù)的增減性時(shí)，必須強(qiáng)調(diào)在“每一個(gè)象限內(nèi)”，不能籠統(tǒng)地說，“當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而減小”，這樣就會(huì)出現(xiàn)與事實(shí)不符的矛盾．（3）反比例函數(shù)圖象的位置和函數(shù)的增減性都是由比例系數(shù)太的符號(hào)決定的；反過來，由雙曲線所在位置和函數(shù)的增減性，也可以推斷出k的符號(hào)．【例3】函數(shù)與y＝ax2﹣bx+c的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝kx+b的大致圖象為（）A． B．C． D．四、反比例函數(shù)中比例系數(shù)k的幾何意義在一個(gè)反比例函數(shù)圖象上任取兩點(diǎn)P，Q，過點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為S1；過點(diǎn)Q分別作x軸、y軸的垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為S2，則S1=S2．【例4】如圖，矩形的中心為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，各邊分別與坐標(biāo)軸平行，其中一邊交x軸于點(diǎn)C，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)P．當(dāng)點(diǎn)P是的中點(diǎn)時(shí)，求得圖中陰影部分的面積為8，則該反比例函數(shù)的表達(dá)式是（

）A． B． C． D．一、單選題1．下列函數(shù)中，是的反比例函數(shù)的是（

）A． B． C． D．2．如果反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，那么的取值范圍是（）A． B． C． D．3．下列說法中不正確的是（

）A．函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn) B．函數(shù)的圖象位于第一、三象限C．函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限 D．函數(shù)的值隨x的值的增大而增大4．已知正比例函數(shù)，y的值隨x的值的增大而減小，那么它和反比例函數(shù)在同一直角坐標(biāo)平面內(nèi)的大致圖象是（）A． B．C． D．5．反比例函數(shù)上圖象上有三個(gè)點(diǎn)，其中，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．6．如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交于、B兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是（

）A．或 B．或C．或 D．或二、填空題7．若點(diǎn)，，都在反比例函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系是______．8．反比例函數(shù)的圖象如圖所示，點(diǎn)A在該函數(shù)圖象上，AB垂直于x軸，垂足為點(diǎn)B，如果，那么________．三、解答題9．已知，與x成正比例，與x成反比例，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)時(shí)，求y的值．10．如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交于，兩點(diǎn)．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式：(2)根據(jù)圖象直接寫出時(shí)，x的取值范圍：(3)求的面積．一、單選題1．已知反比例函數(shù)的圖象位于第一、三象限，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．點(diǎn)，，，在反比例函數(shù)圖象上，則，，，中最小的是（

）A． B． C． D．3．對(duì)于反比例函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．圖象經(jīng)過點(diǎn) B．圖象位于第一、三象限C．當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小 D．當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大4．函數(shù)與函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖像可能是（

）A．B．C． D．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，正方形的頂點(diǎn)A，B在第二象限內(nèi)，且點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)C在第三象限內(nèi)．其中，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為3，則的值為（）A． B． C． D．6．定義：一次函數(shù)的特征數(shù)為．一次函數(shù)的圖像向上平移3個(gè)單位長度后與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)A，B．若點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則一次函數(shù)的特征數(shù)是(

)A． B． C． D．7．如圖，點(diǎn)是反比例函數(shù)圖像上的一動(dòng)點(diǎn)，連接并延長交圖像的另一支于點(diǎn)．在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，若存在點(diǎn)，使得，，則，滿足（

）A． B． C． D．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，2），點(diǎn)B在x軸正半軸上，點(diǎn)D在第三象限的雙曲線上，過點(diǎn)C作CEx軸交雙曲線于點(diǎn)E，則CE的長為（）A． B． C． D．二、填空題9．如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C在x軸上，且，的面積為2，則m的值為______．10．在反比例函數(shù)中，已知四邊形與四邊形BOFE都是正方形，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_________．三、解答題11．已知反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)且時(shí)，求自變量x的取值范圍.12．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)設(shè)點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，若，試比較與的大??；(3)求的面積．13．如圖，直線經(jīng)過點(diǎn)，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)．(1)求k的值；(2)點(diǎn)D為第一象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)B下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作軸交線段AB于點(diǎn)C，連接AD，求的面積的最大值．14．如圖，函數(shù)y＝（x＞0）的圖像過點(diǎn)A（n，2）和B（，2n?3）兩點(diǎn)．(1)求n和k的值；(2)將直線OA沿x軸向左移動(dòng)得直線DE，交x軸于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E，交y＝（x＞0）于點(diǎn)C，若＝6，求直線DE解析式；(3)在（2）的條件下，第二象限內(nèi)是否存在點(diǎn)F，使得△DEF為等腰直角三角形，若存在，請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．專題01反比例函數(shù)重點(diǎn)用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)難點(diǎn)反比例函數(shù)中比例系數(shù)k的幾何意義易錯(cuò)反比例函數(shù)解析式的條件忽略k≠0 一、反比例函數(shù)的概念識(shí)別一個(gè)函數(shù)是不是反比例函數(shù)，可對(duì)照反比例函數(shù)的基本形式或變形形式xy=k（k是常數(shù)，k≠0），（k是常數(shù)，k≠0）進(jìn)行篩選．【例1】下列函數(shù)中，是的反比例函數(shù)的有（

）個(gè)．①；②；③；④；⑤；⑥．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【詳解】根據(jù)反比例函數(shù)的定義可得：①；②；③；是反比例函數(shù)，④；⑤；⑥不是反比例函數(shù)，故選：B．二、用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式確定反比例函數(shù)解析式的方法是待定系數(shù)法，由于在反比例函數(shù)中只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需要一對(duì)對(duì)應(yīng)的x，y值或圖象上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式．【例2】已知y與x成反比例函數(shù)，且時(shí)，，則該函數(shù)表達(dá)式是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：∵y與x成反比例函數(shù)，∴設(shè)，把代入得，所以該函數(shù)表達(dá)式是．故選：C．三、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)（1）對(duì)于反比例函數(shù)，因?yàn)閤≠0，y≠0，所以它的圖象不經(jīng)過原點(diǎn)．反比例函數(shù)的圖象由兩個(gè)分支組成，分別位于第一、第三象限或第二、第四象限．（2）反比例函數(shù)的增減性不是連續(xù)的，因此在談反比例函數(shù)的增減性時(shí)，必須強(qiáng)調(diào)在“每一個(gè)象限內(nèi)”，不能籠統(tǒng)地說，“當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而減小”，這樣就會(huì)出現(xiàn)與事實(shí)不符的矛盾．（3）反比例函數(shù)圖象的位置和函數(shù)的增減性都是由比例系數(shù)太的符號(hào)決定的；反過來，由雙曲線所在位置和函數(shù)的增減性，也可以推斷出k的符號(hào)．【例3】函數(shù)與y＝ax2﹣bx+c的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝kx+b的大致圖象為（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：根據(jù)反比例函數(shù)的圖象位于一、三象限知k＞0，根據(jù)二次函數(shù)的圖象可知a＜0，-b＜0，即b＞0，∴函數(shù)y＝kx+b的大致圖象經(jīng)過一、二、三象限，故選：D．四、反比例函數(shù)中比例系數(shù)k的幾何意義在一個(gè)反比例函數(shù)圖象上任取兩點(diǎn)P，Q，過點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為S1；過點(diǎn)Q分別作x軸、y軸的垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為S2，則S1=S2．【例4】如圖，矩形的中心為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，各邊分別與坐標(biāo)軸平行，其中一邊交x軸于點(diǎn)C，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)P．當(dāng)點(diǎn)P是的中點(diǎn)時(shí)，求得圖中陰影部分的面積為8，則該反比例函數(shù)的表達(dá)式是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：如下圖所示，設(shè)矩形與y軸交于點(diǎn)D，∵矩形的中心為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，反比例函數(shù)的圖象是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的中心對(duì)稱圖形，且圖中陰影部分的面積為8，∴矩形的面積是8，設(shè)，則，∵點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)，∴，設(shè)反比例函數(shù)的解析式為，∵反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)P，∴，∴反比例函數(shù)的解析式為．故選：B．一、單選題1．下列函數(shù)中，是的反比例函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】A、，不符合一般式，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．B、，符合一般式，故此選項(xiàng)正確．C、，不符合一般式，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．D、，不符合一般式，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．2．如果反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，那么的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，∴，∴，故選：A．3．下列說法中不正確的是（

）A．函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn) B．函數(shù)的圖象位于第一、三象限C．函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限 D．函數(shù)的值隨x的值的增大而增大【答案】D【詳解】解：A、函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；B、函數(shù)的圖象位于第一、三象限，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；C、函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；D、在每一象限內(nèi)，函數(shù)的值隨x的值的增大而增大，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；故選：D4．已知正比例函數(shù)，y的值隨x的值的增大而減小，那么它和反比例函數(shù)在同一直角坐標(biāo)平面內(nèi)的大致圖象是（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：∵函數(shù)中y隨x的增大而減小，∴，該函數(shù)圖象經(jīng)過第二，四象限；∴函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限，故C正確．故選：C．5．反比例函數(shù)上圖象上有三個(gè)點(diǎn)，其中，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象在二，四象限，在每一象限內(nèi)隨的增大而增大，而，∴∴故選B．6．如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交于、B兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】A【詳解】解析：正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交于、B兩點(diǎn)，，由圖像可知，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是或，故選：A．二、填空題7．若點(diǎn)，，都在反比例函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系是______．【答案】##【詳解】解：∵，∴反比例函數(shù)的圖象在一三象限，在在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，∵，∴．故答案為：．8．反比例函數(shù)的圖象如圖所示，點(diǎn)A在該函數(shù)圖象上，AB垂直于x軸，垂足為點(diǎn)B，如果，那么________．【答案】【詳解】設(shè)，由可知，所以而點(diǎn)A在第二象限，則，因?yàn)辄c(diǎn)A是函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，所以，則故答案為：．三、解答題9．已知，與x成正比例，與x成反比例，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)時(shí)，求y的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：（1）設(shè)，則，根據(jù)題意得，解得．所以y與x的函數(shù)表達(dá)式為．（2）把代入得，．10．如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交于，兩點(diǎn)．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式：(2)根據(jù)圖象直接寫出時(shí)，x的取值范圍：(3)求的面積．【答案】(1)，(2)或(3)8【詳解】（1），在的圖象上，，反比例函數(shù)的解析式是．．，在函數(shù)的圖象上，，解得：．則一次函數(shù)的解析式是．所以一次函數(shù)的解析式是，反比例函數(shù)的解析式是；（2）由圖象得：當(dāng)或時(shí)，；（3）直線與軸相交于點(diǎn)，的坐標(biāo)是．．一、單選題1．已知反比例函數(shù)的圖象位于第一、三象限，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象位于第一、三象限，∴，解得：，故選：C．2．點(diǎn)，，，在反比例函數(shù)圖象上，則，，，中最小的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：∵，∴在第一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，∵，，，在反比例函數(shù)圖象上，且1＜2＜3＜4，∴最?。蔬x：D．3．對(duì)于反比例函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．圖象經(jīng)過點(diǎn) B．圖象位于第一、三象限C．當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小 D．當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大【答案】D【詳解】解：A、，點(diǎn)不滿足關(guān)系式，因此A選項(xiàng)不符合題意；B、；它的圖象在第二、四象限，因此選項(xiàng)不符合題意；C、；它的圖象在第二、四象限，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，因此C選項(xiàng)不符合題意；D、；它的圖象在第二、四象限，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，因此D選項(xiàng)符合題意．故選：D．4．函數(shù)與函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖像可能是（

）A．B．C． D．【答案】A【詳解】解：函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，選項(xiàng)B、選項(xiàng)D不符合題意；由A、C選項(xiàng)可知：，反比例函數(shù)的圖像在第一、三象限，故選項(xiàng)A符合題意，選項(xiàng)C不符合題意；故選：A．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，正方形的頂點(diǎn)A，B在第二象限內(nèi)，且點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)C在第三象限內(nèi)．其中，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為3，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：過點(diǎn)A作軸于E，過點(diǎn)B作軸，交于F，∵，∴，在和中∴，∴，∵點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為3，∴，∴，∴，∴，∴解得（正數(shù)舍去），∴故選B．6．定義：一次函數(shù)的特征數(shù)為．一次函數(shù)的圖像向上平移3個(gè)單位長度后與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)A，B．若點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則一次函數(shù)的特征數(shù)是(

)A． B． C． D．【答案】C【詳解】將一次函數(shù)向上平移3個(gè)單位長度后得到，設(shè)聯(lián)立，是方程的兩根，，又，兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，根據(jù)定義，一次函數(shù)的特征數(shù)是故選：C．7．如圖，點(diǎn)是反比例函數(shù)圖像上的一動(dòng)點(diǎn)，連接并延長交圖像的另一支于點(diǎn)．在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，若存在點(diǎn)，使得，，則，滿足（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：連接，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如圖所示：由直線與反比例函數(shù)的對(duì)稱性可知、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，又，，，，，，，又，，，，，點(diǎn)，，，，，，點(diǎn)是反比例函數(shù)圖像上，，即，故選：B．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，2），點(diǎn)B在x軸正半軸上，點(diǎn)D在第三象限的雙曲線上，過點(diǎn)C作CEx軸交雙曲線于點(diǎn)E，則CE的長為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：設(shè)點(diǎn)，如圖所示，過點(diǎn)D作x軸的垂線交CE于點(diǎn)G，過點(diǎn)A過x軸的平行線交DG于點(diǎn)H，過點(diǎn)A作AN⊥x軸于點(diǎn)N，∵∠GDC+∠DCG=90°，∠GDC+∠HDA=90°，∴∠HDA=∠GCD，在△DHA和△CGD中，，∴△DHA≌△CGD(AAS)，∴HA=GD，DH=CG，同理可證得△ANB≌△DGC(AAS)，∴AN=DG=2=AH，則點(diǎn)G，CG=DH，AH=?1?m=2，解得：m=?3，故點(diǎn)G(?3,?7)，D(?3,?5)，H(?3,2)，則點(diǎn)，，DH=5+2=7，，故選：C．二、填空題9．如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C在x軸上，且，的面積為2，則m的值為______．【答案】【詳解】解：設(shè)，則，∵的面積為2，∴，∵解得：．故答案為：．10．在反比例函數(shù)中，已知四邊形與四邊形BOFE都是正方形，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_________．【答案】【詳解】解：設(shè)，則點(diǎn)，點(diǎn)，∵反比例函數(shù)的圖像過點(diǎn)，∴，解得：或（舍去）或（舍去）或（舍去）∴，，故點(diǎn)C的坐標(biāo)為．故答案為：．三、解答題11．已知反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)且時(shí)，求自變量x的取值范圍.【答案】(1)(2)或【詳解】（1）解：∵反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.∴∴,（2）當(dāng)時(shí)，，∵的圖象在第二、四象限，∴當(dāng)且時(shí)，或．12．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；(2)設(shè)點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，若，試比較與的大小；(3)求的面積．【答案】(1)，(2)見解析(3)6【詳解】（1）解：（1）將點(diǎn)代入反比例函數(shù)，得，∴反比例函數(shù)解析式：，將點(diǎn)代入，得，解得，∴，將A，B點(diǎn)坐標(biāo)代入一次函數(shù)，得，解得，∴一次函數(shù)解析式：；（2）∵，，∴圖象過二，四象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大，若，分三種情況：①，②，③；（3）設(shè)一次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)為D，則D點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，∵，