數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第二冊 5.22復(fù)數(shù)的乘法與除法523復(fù)數(shù)乘法幾何意義初探 課件

5.2.2

復(fù)數(shù)的乘法與除法

*5.2.3

復(fù)數(shù)乘法幾何意義初探課標闡釋

1.掌握復(fù)數(shù)的乘法與除法,能夠進行復(fù)數(shù)的乘、除運算.(數(shù)學(xué)運算)2.掌握虛數(shù)單位i冪值的周期性,能進行有關(guān)的運算.(數(shù)學(xué)運算)3.能在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解有關(guān)方程問題.(數(shù)學(xué)運算)思維脈絡(luò)

激趣誘思知識點撥我們知道,兩個實數(shù)的乘法對加法來說滿足分配律,即a,b,c∈R時,有(a+b)c=ac+bc,而且,實數(shù)的正整數(shù)次冪滿足am·an=am+n,(am)n=amn,(ab)n=an·bn,其中m,n均為正整數(shù),那么,復(fù)數(shù)的乘法應(yīng)該如何規(guī)定,才能使得類似的運算法則仍成立呢?激趣誘思知識點撥激趣誘思知識點撥名師點析1.對復(fù)數(shù)乘法的三點說明(1)類比多項式運算:復(fù)數(shù)的乘法運算與多項式乘法運算很類似,可仿多項式乘法進行,但結(jié)果要將實部、虛部分開(i2換成-1).(2)運算律:多項式乘法的運算律在復(fù)數(shù)乘法中仍然成立,乘法公式也適用.(3)常用結(jié)論:①(a±bi)2=a2±2abi-b2(a,b∈R);②(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R);③(1±i)2=±2i.激趣誘思知識點撥微練習(xí)1復(fù)數(shù)i(2-i)=(

)A.1+2i

B.1-2iC.-1+2i D.-1-2i解析i(2-i)=1+2i.答案A微練習(xí)2如果復(fù)數(shù)(m2+i)(1+mi)是實數(shù),則實數(shù)m等于(

)A.1 B.-1解析因為(m2+i)(1+mi)=(m2-m)+(m3+1)i是實數(shù),m∈R,所以得m3+1=0,即m=-1.答案B激趣誘思知識點撥激趣誘思知識點撥二、復(fù)數(shù)范圍內(nèi)一元二次方程的解法

一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R,且a≠0)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的根名師點析復(fù)數(shù)集內(nèi)一元二次方程的解法類型實系數(shù)一元二次方程復(fù)系數(shù)一元二次方程Δ的作用可以用來判斷根的情況不能用來判斷根的情況求根公式適用適用韋達定理適用適用激趣誘思知識點撥答案B激趣誘思知識點撥微練習(xí)2已知1+i是關(guān)于x的方程x2+bx+c=0的一個根(b,c為實數(shù)),則b,c的值分別為(

)A.-2,2 B.2,-2C.-1,1 D.1,-1解析因為1+i是關(guān)于x的方程x2+bx+c=0的一個根,所以(1+i)2+b(1+i)+c=0,即(b+c)+(2+b)i=0.答案A激趣誘思知識點撥三、復(fù)數(shù)的除法

激趣誘思知識點撥激趣誘思知識點撥答案B激趣誘思知識點撥答案D激趣誘思知識點撥四、in的周期性激趣誘思知識點撥微練習(xí)1i2020=

.

解析i2

020=i4×505=1.答案1激趣誘思知識點撥*五、復(fù)數(shù)乘法幾何意義初探

探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測復(fù)數(shù)的乘法與除法運算例1計算下列各題:探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測2.復(fù)數(shù)除法運算的技巧(1)根據(jù)復(fù)數(shù)的除法,通過分子、分母都乘分母的共軛復(fù)數(shù),使“分母實數(shù)化”,這個過程與“分母有理化”類似.(2)復(fù)數(shù)除法運算的結(jié)果要進行化簡,通常要寫成復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,即實部與虛部要完全分開的形式.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測i的乘方的周期性及應(yīng)用例2(1)i為虛數(shù)單位,i607的共軛復(fù)數(shù)為(

)A.i B.-i C.1 D.-1(2)計算i1+i2+i3+…+i2019+i2020=

.

解析(1)因為i607=i4×151+3=i3=-i,所以其共軛復(fù)數(shù)為i.故選A.(2)因為i1+i2+i3+i4=0,所以i1+i2+i3+…+i2

019+i2

020=(i1+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2

013+i2

014+i2

015+i2

016)+(i2

017+i2

018+i2

019+i2

020)=0.答案(1)A

(2)0反思感悟

虛數(shù)單位i的周期性(1)i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1(n∈N+),n也可以推廣到整數(shù)集.(2)in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N+).探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測與復(fù)數(shù)有關(guān)的方程問題例3設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2-(tanθ+i)x-(2+i)=0有實數(shù)根,則銳角θ以及實數(shù)根分別為(

)探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測答案C反思感悟

與復(fù)數(shù)有關(guān)的方程問題,一般是利用復(fù)數(shù)相等的充要條件,把復(fù)數(shù)問題實數(shù)化進行求解,此時根與系數(shù)的關(guān)系仍適用,但判別式“Δ”不再適用.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有實根b,求實數(shù)a,b的值.探究一探究二探究三探究四當(dāng)堂檢測復(fù)數(shù)乘法幾何意義初探

反思感悟

求解此類題目關(guān)鍵是要理解所求復(fù)數(shù)表示的向量是如何由已知復(fù)數(shù)所表示的向量旋轉(zhuǎn)得到的,可利用數(shù)形結(jié)合的方法,將已知或所求復(fù)數(shù)所表示的向量在