2021屆人教a版（文科數(shù)學(xué)） 圓錐曲線(xiàn)與方程單元測(cè)試

2021屆人教A版（文科數(shù)學(xué)）圓錐曲線(xiàn)與方程單元測(cè)試

1、已知拋物線(xiàn)C：y2=4x的焦點(diǎn)為F,直線(xiàn)y=2x-4與C交于A,B兩點(diǎn)，則cosZAFB

等于（）

A.-B.-C.--D.--

5555

22

x__y_

2222

2、P是雙曲線(xiàn)916=1的右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓（x+5）+y=1和（x-5）+y=4上

的點(diǎn)，則IPMHPNI的最大值為（）

A.6B.7C.8D.9

3、拋物線(xiàn)d=2py（p>0）上的點(diǎn)到直線(xiàn)y=的最短距離為后，則正數(shù)"的值

為（）

A.3B.4C.5D.6

1

4、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1/2在X軸上，離心率為2,

點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，且"FJ2的周長(zhǎng)為18,則橢圓C的方程為（）

A.369B?3627c.14436D.144108

八2

5、橢圓1+子=1的一個(gè)焦點(diǎn)是（o,2）,那么實(shí)數(shù)%的值為（）

A.-25B.25C.-1D.1

X2V2JT

--=1（（1>0,b>0）

6、已知雙曲線(xiàn)b2,過(guò)原點(diǎn)作一條傾斜角為3直線(xiàn)分別交雙曲線(xiàn)

左、右兩支P,Q兩點(diǎn)，以線(xiàn)段PQ為直徑的圓過(guò)右焦點(diǎn)3則雙曲線(xiàn)離心率為（）

A.?+1B.由+1C.2D.而

7、點(diǎn)P（x,y）是橢圓2f+3y2=12上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則x+2y的最大值為（）.

A.272B.273C.TITD.722

22

8、已知對(duì)ZeR,直線(xiàn)y-履—1=0與橢圓L+±=l恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)加的取

5m

值范圍是

A.（0,1）B.（0,5）

C.[1,5)7(5,+8)D.[1,5)

9、已知點(diǎn)尸（％,y）是橢圓景+=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)-B是焦點(diǎn)，若/耳叫取

最大時(shí)，則AP￡鳥(niǎo)的面積是（）

A.B.12C.16（2+V3）D.16（2-@

10、在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)0（2夜，-&）,漸近線(xiàn)方程為y=±瓜的雙曲

線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

222222，2

%y1廠y1廠y1廠廠1

A.42B.714c.36D."7

2

%2y22

11、過(guò)雙曲線(xiàn)-15一的右支上一點(diǎn)P,分別向圓G：（無(wú)+句+y=4和圓

G：（x-4『+y2=i作切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為M,N,則即「一年「的最小值為（）

A.10B.13C.16D.19

x221

一）

12、已知橢圓G—3+y=1內(nèi)有一條以點(diǎn)P（l,3,為中點(diǎn)的弦力當(dāng)則直線(xiàn)43的方程

為（）

A.3%+3y—2=0B.3x+3y+2=0C.3%+3y—4=0

D.3%+3y+4=0

x22

13、設(shè)P是雙曲線(xiàn)彳-3v-=1上一點(diǎn)，該雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程是3x+4），=O,

不工分別是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，若|「￡|=10,則|尸閭等于

14、設(shè)拋物線(xiàn)>2=8x的焦點(diǎn)為產(chǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)為/,P為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，PALI,A為

27r

垂足，如果AF的傾斜角為-j-,則|PE|=

15、已知F是拋物線(xiàn)產(chǎn)一的焦點(diǎn)，M、N是該拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn)，|Mb|+|N丹=3,

則線(xiàn)段MN的中點(diǎn)到x軸的距離為.

16、設(shè)雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為2x±3y=0,則雙曲線(xiàn)的離心率為.

17、一個(gè)橢圓，其中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在同一坐標(biāo)軸上，焦距為2店.一雙曲線(xiàn)和

這橢圓有公共焦點(diǎn)，且雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)比橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)小4,雙曲線(xiàn)離心率與

橢圓離心率之比為7：3,求橢圓和雙曲線(xiàn)的方程.

18、已知命題夕：“存在xeR,2x2+（m_i）x+q<0”，命題q：“曲線(xiàn)

C,:J+」一=1表示焦點(diǎn)在X軸上的橢圓”，命題s:“曲線(xiàn)

m22m+8

22

C,:一匚+」一=1表示雙曲線(xiàn)”.

~m-tm-t-\

(1)若“〃且g”是真命題，求加的取值范圍；

(2)若9是s的必要不充分條件，求，的取值范圍.

22

19、已知圓心在x軸正半軸的圓C經(jīng)過(guò)A(2,0),且與雙曲線(xiàn)二-"=1的漸近線(xiàn)相

169

切，

求圓C的方程.

20、為了考察冰川的融化狀況，一支科考隊(duì)在某冰川山上相距8km的A、B兩點(diǎn)各

建一個(gè)考察基地，視冰川面為平面形，以過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線(xiàn)為x軸，線(xiàn)段AB的垂

直平分線(xiàn)為y軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖4).考察范圍到A、B兩點(diǎn)的距離之和不

超過(guò)10km的區(qū)域.

(I)求考察區(qū)域邊界曲線(xiàn)的方程：

(II)如圖4所示，設(shè)線(xiàn)段片鳥(niǎo)是冰川的部分邊界線(xiàn)(不考慮其他邊界)，當(dāng)冰川

融化時(shí)，邊界線(xiàn)沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動(dòng)，第一年移動(dòng)0.2km,以后

每年移動(dòng)的距離為前一年的2倍.問(wèn)：經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，點(diǎn)A恰好在冰川邊界線(xiàn)上？

21、過(guò)雙曲線(xiàn)a?b2(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)作一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足恰好落在

22

xy

一+—=1

曲線(xiàn)b?a2上，則雙曲線(xiàn)的離心率為.

22、已知。是圓E：(x+l)2+y2=8上任意一點(diǎn)，直線(xiàn)加分別與線(xiàn)段片尸、F2P交

于材、N兩點(diǎn)，且加=耳+M戶(hù))，|為0+可|=|刖0-￡利.

(1)求點(diǎn)材的軌跡C的方程；

(2)斜率為左的直線(xiàn)/與曲線(xiàn)C交于P、。兩點(diǎn)，若麗?麗=0(。為坐標(biāo)原點(diǎn)),

試求直線(xiàn)/在y軸上截距的取值范圍.

參考答案

1、答案D

y=2x-4x=lx=4

方法一：由｛得｛或｛

2

y=4xy二一2y=4

令B(l,-2),A(4,4),又F(1,O),

*,?由兩點(diǎn)間距離公式得BF|=2,|AF|=5,|AB=3V5.

\BFf+\AFf-\ABf_4+25-45

.".cosZAFB=

2\BF\-\AF\2X2X5

=_4

5,

方法二：由方法一得A(4,4),B(l,-2),F(1,O),

FA.=(3,4),而=(0,-2),

/.FA=A/32+42=5,FB\=2.

FAFB_3x0+4x(-2)4

.".cosZAFB=

|M|-|5X25

2、答案D

要求PM-|PN|的最大值，也即是求|PM|的最大值減去|PN|的最小值.根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)

系，求得|PM1的最大值和|PN|的最小值的表達(dá)式，由此求得|PM|-|PN|的最大值.

詳解

雙曲線(xiàn)a=3,b=4,c=5,故焦點(diǎn)為F1(-5,O)，F(xiàn)2(5,O),圓心分別為(-5,0),(5,0),半徑分別為1,2.

畫(huà)出圖像如下圖所示.要求1PM|-|PN|的最大值，也即是求|PM|的最大值減去|PN|的最小值.

由圖可知|PM|的最大值為嗚|+1,|PN|的最小值為匹卜2,故|PM|-|PN|的最大值為

|PFJ+l-(|PF2|-2)=肝上產(chǎn)』+3=6+3=9故選D.

本小題主要考查雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，考查點(diǎn)和圓上的點(diǎn)

的距離的最大值以及最小值.屬于中檔題.

3、答案D

設(shè)出拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，求得該點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，利用距離的最小值為

3,求得〃的值.

詳解

（m2\

2/八、//Z,-----

設(shè)拋物線(xiàn)廠上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為I2p）,由點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式得

m-^-5尤-加+515-4

.2P=@I=&

夜&，故當(dāng)機(jī)=〃時(shí)，距離取得最小值為O,解得

p=6

故選D.

名師點(diǎn)評(píng)

本小題主要考查拋物線(xiàn)上點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，考查二次型函數(shù)最值有關(guān)問(wèn)題的求解策，屬

于中檔題.

4、答案B

/2a+2c=18

c」

）-一1222

由題意可得Ia2，又因?yàn)閎=a-c,聯(lián)立解出即可得出橢圓c的方程.

詳解

z2a+2c=18

尸=6

由題意可得Ia2,解得[c=3,

222

又因?yàn)閎=a-c=36-9=27,

---卜--=1

所以橢圓的方程為：3627

故選B.

名師點(diǎn)評(píng)

該題考查的是有關(guān)橢圓的方程的求解問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有橢圓的定義，三角形的周

長(zhǎng)，橢圓的離心率以及橢圓中a，b,c間的關(guān)系，屬于簡(jiǎn)單題目.

5、答案D

6、答案B

求得直線(xiàn)PQ的方程，聯(lián)立直線(xiàn)的方程和雙曲線(xiàn)的方程，求得BQ兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，根據(jù)

FQ1FP列方程，化簡(jiǎn)后求得離心率.

詳解

設(shè)?（/必），＜?（々M），依題意直線(xiàn)PQ的方程為y=3,代入雙曲線(xiàn)方程并化簡(jiǎn)得

23a2b222

x2=_5!f_y=3x-ab

%]+%2=°，%1?~Qy

b2-3a2M-3a2故b2-3a2力.力=

-3a2b2

設(shè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（c，°）,由于以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)口，故西網(wǎng)=0,

即（41一71）.（“2一即4X/2+C2=。，即7一6（12b2-3a4=0,兩邊除以a,得

:c=p+2J3=-^3+1

解得加.故，故選B.

名師點(diǎn)評(píng)

本小題主要考查直線(xiàn)和雙曲線(xiàn)的交點(diǎn)，考查圓的直徑有關(guān)的幾何性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能

力，屬于中檔題.

7、答案D

由于橢圓2》2+3/=12。三+二=1,所以可設(shè)點(diǎn)P(x,y)的

64

x=V6cos^,y=2sin^(^eR)代入x+2y得：

x+2y=V^cos6+4sin。=V^(sin^cos^+cos^sin^)其中

cos0=qw，sin0=^^^)=V22sin(^+^),故知x+2y的最大值為J藥.

8、答案C

9、答案B

22

?.?橢圓方程為工+匕=1

2516

：.a=5/=4,c=125-16=3,因此，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為片（一3,0）、鳥(niǎo)（3,0）.

根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知當(dāng)點(diǎn)尸與短軸端點(diǎn)重合時(shí)，/EPF2取最大值，則此時(shí)的

面積S=2x,x3x4=12

2

故選B

10、答案B

根據(jù)所求雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=±0x,可設(shè)所求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為

2x?-y2=k.再把點(diǎn)倒拒'一血）代入，求得k的值，可得要求的雙曲線(xiàn)的方程.

詳解

???雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=士女X,.設(shè)所求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為2x2-y2=k.又

（272,-V2）在雙曲線(xiàn)上，則k=16.2=14；即雙曲線(xiàn)的方程為2x2?=14,...雙曲線(xiàn)的標(biāo)

x?y〔i

準(zhǔn)方程為714

故選：B

名師點(diǎn)評(píng)

本題主要考查用待定系數(shù)法求雙曲線(xiàn)的方程，雙曲線(xiàn)的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線(xiàn)的

簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

11、答案B

由題可知，回汩加=（陽(yáng)1）一（|股1）,

因此戰(zhàn)|2_|PN|2=|P(12Tpe2『_3=(|PGHPC2|)(|PCIH股I)-3

故選民

=2(|PC,|+|PC2|)-3>2|C1C2|-3=13>

考查目的：圓錐曲線(xiàn)綜合題.

12、答案C

設(shè)乙,%），則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求與+々，〃+、由在橢圓上可

4（B（%2,y2）,2,4,B

22

XX為一為

122

2=1AB

----Fy1=1----Fy2K=

得3”,372,兩式相減可得，結(jié)合工廠％2,代入可求直線(xiàn)48的

斜率，

進(jìn)而可求直線(xiàn)48的方程.

詳解

%1+%2為+丫2

------=1------=1

設(shè)做々，y。，磯上，丫2),則22

"2

X1x2

2=12=1

由48在橢圓上可得--3---V八i石+%

(X1-X2)(X1+X2)(為一為)3]+y-2)

------------------1--------------------0

兩式相減可得，31

x

yi-y2(巧+2)2

???KaA=---------=-------------=----=-1

xt-x23(yi+、2)Q2

3

1

y—=-1(x—1)

直線(xiàn)48的方程為'3'即3x+3y-4=0.

故答案為：c

名師點(diǎn)評(píng)

本題主要考查了幾何中的點(diǎn)差法和設(shè)而不求，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解能力掌握

水平和應(yīng)用能力.

13、答案2或18

14、答案8

???拋物線(xiàn)方程為y2=8x,.?.焦點(diǎn)網(wǎng)2,0),準(zhǔn)線(xiàn)/方程為％=-2,?.?直線(xiàn)A尸的傾斜角

2TCr-/\x=-2

為一，直線(xiàn)A尸的方程為y=-石(1-2),由1廠/、可得A點(diǎn)坐標(biāo)為

3[y=-V3(x-2)

(-2,4V3)VPA1/,A為垂足，???P點(diǎn)縱坐標(biāo)為4百，代入拋物線(xiàn)方程，得P點(diǎn)坐標(biāo)

為(6,4g),歸月=歸耳=6-(一2)=8,故答案為8.

考查目的：拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì).

方法名師點(diǎn)評(píng)本題主要考查拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)，定義的應(yīng)用，以及曲線(xiàn)交點(diǎn)的求法，屬

于綜合題.先根據(jù)拋物線(xiàn)方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程，根據(jù)直線(xiàn)AF的斜率得到AF

方程，與準(zhǔn)線(xiàn)方程聯(lián)立，解出A點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)镻A垂直準(zhǔn)線(xiàn)/,所以P點(diǎn)與A點(diǎn)縱坐標(biāo)

相同，再代入拋物線(xiàn)方程求P點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用拋物線(xiàn)的定義就可求出歸月長(zhǎng).

15、答案之

4

16、答案乎或等+

b_20tle2—〃_4g,,,2_13極#_V13

當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，辦一守訃三一一$'加以0一5‘斛付??；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),

￡=；,郎與史巖，所以成=竽，解得?=羋，即雙曲線(xiàn)的離心率為羋或華.

f222

17、答案解：①焦點(diǎn)在x軸上，橢圓為二+4v=1,且。=g，設(shè)雙曲線(xiàn)為二-==1,

a-bm~n

m=a-4,\?包=2,易得a=7,m=3.二?橢圓和雙曲線(xiàn)的焦距為2m，.?2=36,

e橢3

2222

/=4.?,?橢圓方程為—1,雙曲線(xiàn)方程為---―1.

493694

2222

②焦點(diǎn)在y軸上，橢圓方程為工+上>=1,雙曲線(xiàn)方程為匕-二=1.

364994

18、答案（1）一4<機(jī)〈一2或加〉4；（2）-4<r<-3sgr>4.

試題分析：（1）“0且/是真命題，則〃真q真，〃為真：△=（/n—l）2-4x2xgN0,

q為真：!"J>2小+8,從而求解；（2）s為真則f<w<f+l,q是s的必要不充分條

2m+8>0

件則滿(mǎn)足條件S的集合是滿(mǎn)足條件q的集合的真子集，即

｛m\t<m<t+\]5｛相|—4<m<—2或"2>4｝，從而求解.

試題（1）若〃為真：△=（6——4x2X；N0

解得/%W-1或23

m2>2m+8

若q為真:貝人

2m+8>0

解得一4v〃zV—2或〃?>4

m<-1或m>3

若“〃且g”是真命題，貝人

—4<m<—2或6>4

解得一4V機(jī)<一2或加〉4

（2）若s為真，則（利一力（加一「一1）v0,即，<加</+1

由q是s的必要不充分條件,

則可得｛m|，v相vr+1｝呈｛m|—4<m<-2或加>4｝

r>-4

即<或￡24

r+1<-2

解得-4-3或摩4

考查目的：1、復(fù)合命題的真假；2、充分條件與必要條件.

19、答案雙曲線(xiàn)二-乙=1的漸近線(xiàn)為y=±三x

1694

設(shè)圓心C(a,0)(a>0),則半徑r=|?-2|=M

解得。=5或a=*

4

5Q

圓C的方程為：(x-5)2+y2=9或(》一己)2+/=二

416

20、答案(I)二+匕=1；(II)5年

259

試題分析：詳解：解：(I)設(shè)邊界曲線(xiàn)上點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y),則由|24|+|「臼=10知,

點(diǎn)尸在以A,B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2。=10的橢圓上，此時(shí)短半軸長(zhǎng)為人=戶(hù)不=3,

r22

所以考察區(qū)域邊界曲線(xiàn)(如圖)的方程為為L(zhǎng)+匕v=1.

259

(II)易知過(guò)點(diǎn)6,6的直線(xiàn)方程為4x—3y+47=(),因此點(diǎn)A到直線(xiàn)68的距離為

,|-16+47|31

心再備二二

設(shè)經(jīng)過(guò)〃年，點(diǎn)A恰好在冰川邊界線(xiàn)上，則利用等比數(shù)列求和公式可得

0.2x(2"-1)31

-----------------------，

2-15

解得〃=5,即經(jīng)過(guò)5年，點(diǎn)A恰好在冰川邊界線(xiàn)上.

21、答案也

a

y-0=--(x-c)