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文檔簡介

1§3-3

Cauchy積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式一、解析函數(shù)的Cauchy積分公式二、解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)定理三、小結(jié)思考作業(yè)2若

f(z)在D內(nèi)解析，問題的提出一、Cauchy積分公式3Cauchy積分公式定理14作圓周K:|z-z0|=R在C的內(nèi)部,DCKzz0R[證]

由于f(z)在z0連續(xù),任給e>0,存在d(e)>0,當|z-z0|<d|f(z)-f(z0)|<e.5關(guān)于Cauchy積分公式的意義:

把函數(shù)在C內(nèi)部任一點的值用它在邊界上的值表示.（這是解析函數(shù)的一個重要特征）(2)公式給出了一種表示解析函數(shù)的方法,而且給出了解析函數(shù)的一個積分表達式.(這是研究解析函數(shù)各種局部性質(zhì)的有力工具)(3)公式提供了一種計算積分的方法.6注：

如果f(z)在簡單閉曲線C所圍成的區(qū)域內(nèi)解析，在C上連續(xù)，那么柯西積分公式仍然成立.7用柯西積分公式計算積分：(1)識別積分類型(是否具有（*）式左端特征).(2)所求積分是否滿足定理的條件.需注意：8例解由Cauchy積分公式9（根據(jù)柯西積分公式）10思考與練習(xí)求積分11觀察下列等式

問題：解析函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)一定為解析函數(shù)？12高階導(dǎo)數(shù)公式的作用:

不在于通過積分來求導(dǎo),而在于通過求導(dǎo)來求積分.二、解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)定理定理13例1解14根據(jù)復(fù)合閉路原理15于是16練習(xí)17摩勒拉(Morera)定理定理2若函數(shù)f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)連續(xù),且對D內(nèi)任一圍線C,有證明思路：用導(dǎo)數(shù)的定義可證F’(z)=f(z)(z∈D)，即在D內(nèi)解析,而解析函數(shù)F(z)的導(dǎo)數(shù)F’(z)還是解析的.故f(z)在D內(nèi)解析.則f(z)在D內(nèi)解析在假設(shè)條件下,可定義單值函數(shù)（注：充要條件）18小結(jié)1.柯西積分公式與高階導(dǎo)數(shù)公式;

難點：2.結(jié)合復(fù)合閉路定理進行復(fù)積分的計算.19思考題？

解：

2021作業(yè)P1007.(1)—(5),9.(1)—(5),10.221789.8.21生于法國、巴黎1857.5.23卒于法國、斯科A.L.Cauchy(柯西)簡介數(shù)學(xué)分析嚴格化的開拓者復(fù)變函數(shù)論的奠基人彈

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