人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)知識(shí)點(diǎn)第十八章《平行四邊形》

第十八章平行四邊形【思維導(dǎo)圖】【平行四邊形】(1)平行四邊形的定義與表示定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。表示：平行四邊形用□表示。如圖，在四邊形ABCD中，AB∥，AD∥BC，那么四邊形ABCD是平行四邊形。平行四邊形ABCD記作“ABCD”，讀作平行四邊形ABCD”。點(diǎn)撥：1)在用□表示平行四邊形時(shí)，應(yīng)把表示頂點(diǎn)的字母按順時(shí)針或逆時(shí)針的順序依次排列。2)符號(hào)□必須與表示頂點(diǎn)的字母同時(shí)使用，不能單獨(dú)使用。(2)平行四邊形的基本元素如圖，在ABCD中，鄰邊：和AB，和DC，和BC，和對(duì)邊：和，和鄰角：∠和∠∠和∠DCB∠DCB和∠ABC∠和∠對(duì)角：∠和∠BCD，∠和∠對(duì)角線：和【平行四邊形的性質(zhì)】性質(zhì)1：平行四邊形的對(duì)邊相等幾何語(yǔ)言：如圖1，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AD=BC性質(zhì)2幾何語(yǔ)言：如圖1，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠∠C，∠B=∠D下面證明性質(zhì)1和2證明：如圖2，連接AC?！摺蜝C，AB∥CD∴∠1=∠2，∠3=∠4.又∵AC=CA，∴△ABC≌△CDA∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠D∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠4=∠2+∠3，即∠BAD=∠BCD性質(zhì)3：平行四邊形的對(duì)角線互相平分幾何語(yǔ)言：如圖3，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=0C=1/2AC，OB=OD=1/2BD【典例】中考在□ABCD中，下列結(jié)論一定正確的是(）A.AC⊥B.∠∠B=1800C.AB=ADD.∠A≠∠C解析：平行四邊形的對(duì)角線互相平分但不一定垂直，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；@簡(jiǎn)單初中生平行四邊形的鄰角互補(bǔ)，所以選項(xiàng)B正確；平行四邊形的對(duì)邊相等但鄰邊不一定相等，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；平行四邊形的對(duì)角相等，所以∠∠C，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤。答案：B【兩條平行線之間的距離】距離?！酒叫兴倪呅蔚呐卸ā?1)方法1：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形(用定義判定。平行四邊形的定義是判斷平行四邊形的根本方法，也是其他判定方法的基礎(chǔ)。(2)方法2：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。如圖1AD=BCAB=CD△ABD≌△CDBAB∥CD，∥BC.由定義得到四邊形ABCD為平行四邊形。其推理形式為：如圖1，∵AB=DC，AD=BC∴四邊形ABCD是平行四邊形。(3)方法3：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。如圖1，由∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°，可得∠ABC+∠BCD=180°∠BAD+∠ABC=180°從而得到AB∥，AD∥BC.由定義得到四邊形ABCD為平行四邊形。其推理形式為：如圖1，∵∠∠C，∠ABC=∠∴四邊形ABCD是平行四邊形。(4)方法4：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。其推理形式為：如圖2.∵0A=OC.OB=OD∴四邊形ABCD是平行四邊形.(5)方法5：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。其推理形式為：如圖2，∵∥BC，AD=BC∴四邊形ABCD是平行四邊形該判定方法也由兩個(gè)要素決定：(1)AD∥位置關(guān)系)，(2)AD=BC(數(shù)量關(guān)系。ABCD是平行四邊形的是（）AB=DC，AD=BCC.AB∥DC，AD=BCAB∥DC，∥AB∥，AB=DC均可判定四邊形ABCD是平行四邊形，C不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故選C。答案：C【平行四邊形判定方法的選擇】已知條件選擇的判定方法一組對(duì)邊相等一組對(duì)邊平行一組對(duì)角相等方法2或方法5方法1或方法5方法3邊角對(duì)角線互相平分方法4【三角形的中位線】(1)三角形的中位線的定義連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。點(diǎn)不同：中位線是中點(diǎn)與中點(diǎn)的連線，中線是頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的連線。(2)三角形中位線定理三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半。如圖，，E分別是△ABC的邊，AC的中點(diǎn)。則DE∥BC，且DE=1/2BC證明線段的平行關(guān)系及線段的倍分關(guān)系?！镜淅恐锌技訄D，在AB中F分別是AB，AC的中點(diǎn)，若中位線EF=2cm，則邊的長(zhǎng)是（）1cm2cmC.3cm4cm解析：∵EF是△的中位線，∴BC=2EF=2×2=4(cm)答案：D【矩形的定義】ABCD中，如果∠A=90°，那么ABCD就是矩形。點(diǎn)撥：矩形有兩個(gè)要素：一是平行四邊形；二是有一個(gè)角是直角?！揪匦蔚男再|(zhì)】性質(zhì)1：矩形的四個(gè)角都是直角幾何語(yǔ)言：如圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°性質(zhì)2：矩形的對(duì)角線相等幾何語(yǔ)言：如圖，∵四邊形ABCD是矩形∴AC=BD點(diǎn)撥：(1)矩形首先是一個(gè)平行四邊形，因此它具有平行四邊形的所有性質(zhì)，上述兩條性質(zhì)是它所具有的特殊性質(zhì)。(2)矩形的性質(zhì)是證明線段相等或倍分、角相等以及線段平行、垂直的重要依據(jù)。(3)由于矩形的角都是直角，故常把其相關(guān)問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題來解決。(4)矩形的兩條對(duì)角線將矩形分割成4個(gè)等腰三角形，所以也常用等腰三角形的性質(zhì)解決問題?！局苯侨切蔚囊粭l重要性質(zhì)】直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。幾何語(yǔ)言：如圖，在△中，是斜邊上的中線，∴BD=1/2點(diǎn)撥：直角三角形的這條性質(zhì)常用來證明線段的倍分關(guān)系。(中考△AB=ACAD⊥BCE是的中點(diǎn).若DE=5，則的長(zhǎng)為。解析：在直角三角形中，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得AC=2DE=10，∴AB=AC=10答案：10【矩形的判定方法】(1)方法1：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形(用定義判定)幾何語(yǔ)言：如圖，∵∠BAD=90°，四邊形ABCD為平行四邊形，∴ABCD是矩形。(2)方法2：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形?！逜C=BDABCD為平行四邊形，∴□ABCD是矩形。(3)方法3：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形幾何語(yǔ)言：如圖，∠BAD=∠ABC=∠DCB=90°，四邊形ABCD是矩形。提醒在運(yùn)用判定方法2對(duì)角線相等的四邊形是矩形”，后者的判定是錯(cuò)誤的?！玖庑蔚亩x】有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。如圖，在中，若AB=AD那么就是菱形。點(diǎn)撥：(1)菱形是特殊的平行四邊形，對(duì)于它的定義要注意滿足兩個(gè)條件：一是平行四邊形；二是有一組鄰邊相等。(2)菱形的定義可以用來判定一個(gè)四邊形是不是菱形?！玖庑蔚男再|(zhì)】(1)菱形的四條邊都相等(2)菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角點(diǎn)撥：(1)裝形是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)角線所在的直線就是它的對(duì)稱軸。(2)茇形被它的兩條對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形，它們的底和高都分別是菱形的面積等于它的對(duì)角線之積的一半?！玖庑蔚呐卸ǚ椒ā?1)方法1：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形(用定義判定)1∵四邊形是平行四邊形，AB=AD∴□是菱形。(2)方法2：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形幾何語(yǔ)言：如圖2，∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥，∴□ABCD是菱形。(3)方法3：四條邊都相等的四邊形是菱形幾何語(yǔ)言：如圖2，∵AB=BC=CD=AD，∴四邊形ABCD是菱形。提醒：(1)用方法1和方法2判定一個(gè)四邊形是菱形時(shí)，一定要先說明其為平行四邊形。(2)在具體的題目中，需要根據(jù)題意選用合適的方法來判定一個(gè)四邊形是菱形?！镜淅恐锌既鐖D，ABCD是對(duì)角線互相垂直的四邊形，且OB=0D，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使ABCD成為菱形。只需添加一個(gè)即可)答案：OA=0C(或AD=BC或∥或AB=BC等)答案不唯一)【正方形的定義】ABCDAB=AD形ABCD就是正方形。正方形的定義滿足兩個(gè)條件：一是矩形，二是一組鄰邊相等?！菊叫蔚男再|(zhì)】性質(zhì)1：正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角幾何語(yǔ)言：如圖1，四邊形ABCD是正方形，AB=BC=CD=AD，∠∠B=∠C=∠D=90°性質(zhì)2：正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分組對(duì)角2，四邊形ABCD是正方形，AC=BD，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8.中考ABCD∠B=60°AB=4為邊長(zhǎng)的正方形ACEF的周長(zhǎng)為()A.1415C.16D.17解析：在菱形ABCD中，∵∠B=60°，AB=4，∴AB=AC=BC=4∴以為邊長(zhǎng)的正方形ACEF的周長(zhǎng)為4×4=16答案：C【正方形的判定方法】(1)方法1：有一組鄰邊相等的矩形是正方形(用定義判定)1∵四邊形ABCD是矩形，AB=AD∴矩形ABCD是正方形。(