1999年山東省初中數(shù)學(xué)競賽試題

1999年山東省初中數(shù)學(xué)競賽試題..............................................I

2000年山東省初中數(shù)學(xué)競賽試題.............................................5

2001年山東省初中數(shù)學(xué)競賽試題.............................................7

2002年山東省初中數(shù)學(xué)競賽試題............................................11

2003年山東數(shù)學(xué)競賽試題...................................................14

2004年山東省初中數(shù)學(xué)競賽試題............................................17

1999年山東省初中數(shù)學(xué)競賽試題

一、選擇題(每小題6分，共48分.下面各題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確

的，請將正確選項(xiàng)的代號填在題后的括號內(nèi).)

1.已知命題“有一組對邊平行，而另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形”，則

().

(A)這個命題和它的否命題都是真命題

(B)這個命題和它的否命題都是假命題

(C)這個命題是真命題，而它的否命題是假命題

(D)這個命題是假命題，而它的否命題是真命題

2.一項(xiàng)工程，甲建筑隊(duì)單獨(dú)承包需要a天完成，乙建筑隊(duì)單獨(dú)承包需要b天完成.現(xiàn)

兩隊(duì)聯(lián)合承包，那么完成這項(xiàng)工程需要().

(A)—!—天(B)('+!)天⑹上天(D),天

a+baba+bab

3.如圖，ZCGE=a,貝l」NA+NB+/C+ND+NE+NF=().

(A)360°-a(B)2700-a(C)1800+a(D)2a

4.如果|x|+||x|-l|=1,那么().

(A)(x+1)(x-l)>0(B)(x+1)(x-1)<0

(C)(x+1)(x-1)20(D)(x+1)(x-1)WO

5.與??最接近的整數(shù)是().

J17-12拒

(A)5(B)6(C)7(D)8

nrhri

6.已知a、b、c、d都是正實(shí)數(shù)，且2<上，且A=----J與0的大小關(guān)

bda+bc+d

系是().

(A)A>0(B)A2O(C)A<0(D)AWO

7.若方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)P的取值范圍是().

(A)pWO(B)p<-(C)O^P<-(D)P>-

444

8.如圖，SAArc=5a,SAACG=43,SABFC=73,則SAAEG=().

小27心28,、29小、30

(A)—a(B)—a(c)—a(D)—aA

iiiiiiii/K

二、填空題(每小題8分，共32分)

1.已知，|x+y-5|+，2x+y-4=0,貝！Jyx=

2.已知a、b、c為不等于零的實(shí)數(shù)，且a+b+c=O,則a(-+-)+

bc

b（—+—）+c（—+—）的值為_________?

caab

3.如圖，在四邊形ABCD中，ZA=ZC=90°,AB=AD,若這個四邊形的面積尸、、

為12,則BC+CD=/

AE3

4.如圖，在矩形ABCD的邊AB上有一點(diǎn)E,且一=—,DA邊上有一F

EB2]丫

點(diǎn)F,且EF=18,將矩形沿EF對折，A落在邊BC上的點(diǎn)G,貝ijAB=_

三、（本題滿分20分）J------

如圖，AD是ABC的斜邊BC上的高，P是AD的中點(diǎn)，連結(jié)BP并延長交AC于

E.已知AC:AB=k,求AE:EC.

四、（本題滿分20分）

2

已知方程x,aix+a2a3=0與方程x+a2x+aia3=0有且只有一個

公共根.求證：這兩個方程的另兩個根（除公共根外）是方程/

x2+a3x+aia2=0的根.

五、（本題滿分30分）右~D-----------------

現(xiàn)有質(zhì)量分別為9克和13克的祛碼若干只，在天平上要稱出質(zhì)量為3克的物

體，問至少要用多少只這樣的祛碼才能稱出？并證明你的結(jié)論.

1999年山東省初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案、

一1、1.D.2.C.3.D.4.D.5.B.6,A.7.C8.D.

二、1.x=-ly=6.yx=l/6

2.a+b+c=O,b+c=-a,c+a=-b,a+b=-c.

原式二-3

3.解法1：延長CB到E,使BE=DC,連結(jié)AE,AC

/\ABE^/\ADC

:.5^￡C=jEC-yEC=y￡C2.

SAA￡C=S兇邊jgABCZ>=12?

:.^-ECZ=12.

4

EC=4/3".

即3C+CD=4/T.

解法2：連結(jié)BD

VN4=NC=90°,AX=AQ,

2

???S^D=JBD,SABCD=JBC?CD.

由已知得:BO2++3C?CD=12.

(BC4-CD)2=BC2+CD:4-2BC?CD

4.解：設(shè)AE=3x,EB=2z.則FG=AF=/18*-9xJ=

3，36—B

EG=AE=3x,BG=VEGi-BEl=ZTr,

作FHVBC于H,則△FGHsZ\GEA

.FGFH3J36—。

??G￡=GB,BgPn

BC_DC+BD_14-F

BD=BD1+尸.（10分）

AFAF

延長到尸?使AF〃BC?則有△AEFs^CEB.即有償=費(fèi).

..................................................(15分)

在RtAAFP和RtADBP中.因AP=PD"APF=NDPB,

所以RtAXFP^RtADBZ\即有AF^BD.從而得

AEAF^BD1

￡C-BC=BC=mi，（20分）

四、證明：設(shè)方程工?+。戶+生為=0的兩根為明d方程工'+。/+

。.=0的兩根為。、八其中a為兩方程的公共根，則

/+。10+42&=0，

公+。2。+64=0，

①一②得（4-。?）。+。式生一ai）=0.

因?yàn)閮蓚€方程只有一個公共根，所以解得a

（10分）

由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，褥

&+，=-,a3f^a3y=aia3.

所以3=4,，=因，。1+%+。3=。?.................(15分)

因?yàn)閊+田^+9如

=星+。3a2+。】&=。2儲】+生+&)=0；

2

y+a37^-axa2

=吊+。3?！??！?

=。1儲】+生+%)=0.

所以8；是方程/2+。3l+。1。2=0的兩根.............(20分)

五、解：由題意知，相同質(zhì)量的祛碼不會同時出現(xiàn)在天平的兩個稱

盤之中.假定當(dāng)天平平衡時?用9克的祛碼|工|只，當(dāng)該硅碼出現(xiàn)在被

稱物體所在的稱盤中時,］取負(fù)整數(shù).同理，假定13克的祛碼用了

只.所以當(dāng)天平平衡稱出了3克的物體時，應(yīng)有

9z+l3y=3.

問題變?yōu)榍?21+31的最小值.

先可任取方程的一個整數(shù)解，例如，因y=與產(chǎn)，當(dāng)工=9時，得，

=—6.........................................................................................(10分)

利用該解得

(9X9-13X6=3,

19了+137=3.

兩式相減，得

9(1-9)+13。+6)=0,

9(1-9)=-13。+6),

因9和13互質(zhì),z—9必能被13整除，故設(shè)1-9=13大,這里A是

整數(shù),這時有

9X134=-136+6),一(y+6)=9瓦

=9+13A

:4=0,±1,±2,…......(20分)

y=-6-9心

(1)當(dāng)4=0時，N=9._y=-6,|工|+|)|=15?

(2)當(dāng)M時，|z|>22,3>0,從而|川+3>22.

(3)當(dāng)人《一1時，若無=-1,則z=-4,y=3,|z|+MI=7.

若-V一〈則|,|212,|工|>0,從而|?|+|,|>12.

由上可知，至少要用7只這樣的祛碼，其中9克的4只，13克的3

只...................................................(30分)

注:得到一整數(shù)解，即使恰好是最小解，只要沒有證明，只給1。分.

2000年山東省初中數(shù)學(xué)競賽試題

2222

A.10或一B.10或--c.T0或一D.T0或一一

5555

2.設(shè)直角三角形的三邊長分別為a、b、c,若c-b=b-a>0,則（）

A.1/2B.1/3C.1/4D.1/5

3.某工廠第二季度的產(chǎn)值比第一季度的產(chǎn)值增長了X%,第三季度的產(chǎn)值又比第

二季度的產(chǎn)值增長了x%,則第三季度的產(chǎn)值比第一季度的產(chǎn)值增長了（）

A.2x%B.l+2x%C（l+x%）x%D.（2+x%）x%

4.甲從一個魚攤上買了三條魚，平均每條a元，又從另一個魚攤上買了兩條魚，

平均每條b元，后來他又以每條元的價格把魚全部賣給了乙，結(jié)果發(fā)現(xiàn)賠了錢，原

因是（）

A.a>bb.a<bC.a=bD.與a和b的大小無關(guān)

5.若D是AABC的邊AB上的一點(diǎn)，么ADC=么BCA,AC=6,DB=5,ZkABC的面積是S,

則aBCD的面積是（）

A.-SB.-SC.-SD.—S

57911

6.如圖，AELAB且AE=AB,BCLCD且BC=CD,請按照圖中所標(biāo)注

的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積5是（）

A.50B.62C.65D.686[\

7.如圖，兩個標(biāo)有數(shù)字的輪子可以分別繞輪子的中心旋轉(zhuǎn)，旋聲務(wù)告

轉(zhuǎn)停止時，每個輪子上方的箭頭各指著輪子上的一個數(shù)字，若左

圖輪子上方的箭頭指著的數(shù)字為a,右圖輪子上方的箭頭指著的數(shù)[[

字為b,數(shù)對（a,b）所有可能的個數(shù)為n,其中a+b恰為偶數(shù)的不同

數(shù)對的參數(shù)為小則m/n等于（）（2i\\

8.如圖，甲、乙兩動點(diǎn)分別從正方形ABCD的頂點(diǎn)，A、C同時沿正方形A更_

的邊開始移動，甲點(diǎn)依順時針方向環(huán)行，乙點(diǎn)依逆時針方向環(huán)行，若乙的1―

速度是甲的速度的4倍，則它們第2000次相遇在邊（）

A.AB±B.BC±C.CD±D.DA上|_

ah4xR

9.已知一^與‘^和等于一^,則@=______,b=________

x+2x-2廠一4

10.如圖，AD是AABC的中線，E是AD上的一點(diǎn)，且AE=；AD,CE交AB

于點(diǎn)F.若AF=1.2cm,貝ljAB二cm/

11.在梯形ABCD中，AB〃CD,AC.BD相交于點(diǎn)0,若AC=5,BD=12,中位即

線長為AAOB的面積為S“的面積為S2,則何+厄=

12.己知矩形A的邊長分別為a和b,如果總有另一矩形B,使得矩形B與矩形A

的周長之比與面積之比都等于k,則k的最小值為.

13.如圖，AB〃EF〃CD,己知AC+BD=240,BC=1OO,EC+ED=192,求CF.

14.已知x、y均為實(shí)數(shù)，且滿足xy+x+y=17,x2y+xy2=66,求x'+x'y+xV+xy'+y'的

值.

15.將數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8分別填寫到八邊形ABCDEFGH的8個頂點(diǎn)上，

并且以S”S2,…，子分別表示(A,B,C),(B,C,D),(H,A,B)8組相鄰的

三個頂點(diǎn)上的數(shù)字之和.

(D試給出一個填法，使得S”S2,…，&都大于或等于12；

(2)請證明任何填法均不可能使得S2,…，品都大于或等于13.

2000年山東省初中數(shù)學(xué)競賽答案

1.A2.C3.D4.A5.C6.A7.C8.A9.2；210.611.V30

13.因?yàn)锳B〃EF〃CD,所以由平行線分線段成比例

定理，得：

CE=AF=AC①里=地=理②

CFBFBC3，CFBFBC勾

(D+②,得偌=嚕蚪=券?、?/p>

由③中取適合已知條件的比例式，得筆些=

C/f

將已知條件代入比例式中，得善=

鐳，所以CF=80.

14.由已知卬+了+、=17,工式1+,)=66,所以xy和

z+y是方程/-17t+66=0①的兩個實(shí)數(shù)根，解

方程①得4=6,&=11.

即xy=6>x+y=ll或工y=ll,j：+y=6.

當(dāng)xjr=6,x+y=ll時，工、y是方程u2—llu+6=

(X2)的兩個根，因?yàn)椤鱥=(Tl)2-4-6=121-

24>0,所以方程②有實(shí)數(shù)根，這時/+J=(工+

y)2-2xy=lls-2?6=121-12=109.

招+宗,+5/+工式+/

=x4+y+HyCz2+，)

=(/+y)2-+工江/+y)

=1092-62+6?109=12499.

當(dāng)Hy=n,x+y=6時,z、y是方程J-6u+ll=

0③的兩個根.因?yàn)?=(-6>—4?H=36-44

<0,所以方程③沒有實(shí)數(shù)根，所以H'+dy+

/爐+才+，的值為12499.

15.(1)不難驗(yàn)證，如圖所示填法滿足.si,s2,…s8都大于或等于12.

(2)顯然，每個頂點(diǎn)出現(xiàn)在全部8組3個相鄰頂點(diǎn)組的3個組中，所以有

S1+S2+…+S8=(1+2+3+-+8)?3=108.如果每組三數(shù)之和都大于或等于13,

13-8=104,所以至多有108-104=4個組的三數(shù)之和大于13.由

此我們可得如下結(jié)論：(1)相鄰兩組三數(shù)之和一定不相等.設(shè)前8(8/*，?

即)

一組為(i,j,k),后一組為(j,k,1).若有i+j+k=j+k+l,C(3乂

則l=i,這不符合填寫要求；(2)每組三數(shù)之和都小于或等于\心7)

14.因若有一組三數(shù)之和大于或等于15,則至多還有另外兩個'(2)

組，其三數(shù)之和大于13,余下5個組三數(shù)之和等于13,必有相數(shù)6)

鄰的兩組相等，這和上述結(jié)論(D不符.因此，相鄰兩組三數(shù)之和必然為13或14.不

妨假定1填在B點(diǎn)上，A點(diǎn)所填為i,C點(diǎn)所填為j.(1)若Sl=i+1+J=13,

則.s2=l+j+l=14,S3=j+l+k=13,因J>1,這是不可能的.(2)若sl=i+l+j=14,則

S2=l+j+(i-l)=13,S=j+(i-l)+2：14,s4=(i-l)+2+(j-l)=13,這時S5=14,只能

是S=2+(jT)+i,i重復(fù)出現(xiàn)：所以不可能有使得每組三數(shù)之和均大于或等于13的

填法.

2001年山東省初中數(shù)學(xué)競賽試題

一、選擇題(每小題6分，共48分)

下面各題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的

1.某商店經(jīng)銷一批襯衣，進(jìn)價為每件m元，零售價比進(jìn)價高a%,后因市場的變

化，該店把零售價調(diào)整為原來零售價的b%出售，那么，調(diào)價后每件襯衣的零售價

是()

A.m(l+a%)(1—b%)元B.m,a%(1—b%)元

C.m（l+a%）b%元D,m（l+a%?b%）元

2.如圖，已知AB=10,P是線段AB上任意一點(diǎn)，在AB的同側(cè)分別以

AP和PB為邊作等邊aAPC和等邊ABPD.則CD長度的最小值是（）/\A

A.4B.5C6D.5（jI5-—1）AP

3.在凸n邊形中，小于108°的角最多可以有（）

A.3個B4個C.5個D.6個

4.方程（x'x-D-Jl的所有整數(shù)解的個數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

5.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,分別以AC、AB為邊，在△ABC外作正

方形ACEF和正方形AGHB.作CKLAB,分別交AB和GH于D和K.則正方形

ACEF的面積Si與矩形AGKD的面積的大小關(guān)系是（）

ASi=SzBS〉SzC.S1<S2D.不能確定，與AC/AB的大小有關(guān)

6.甲、乙兩人同時從同一地點(diǎn)出發(fā)，相背而行，1小時后他們分別到達(dá)各

自的終點(diǎn)A與B.若仍從原地出發(fā)，互換彼此的目的地，則甲在乙到達(dá)A之后35

分鐘到達(dá)B.那么，甲的速度與乙的速度之比為（）

A3：5B.4：3C.4：5D.3：4

7.在全體實(shí)數(shù)中引進(jìn)一種新的運(yùn)算*,其規(guī)定如下:

（1）對任意實(shí)數(shù)a、b,有a*b=（a+l）?（b-1）；

（2）對任意實(shí)數(shù)a,有a”==a*a

當(dāng)x=2時，［3*（x*z）］-2*x+l的值為（）

A34B.16C.12D.6

8.若不等式|x+l|+|x-3Wa有解，則n的取值范圍是（）

A0<aW4Ba24CO〈aW2D.a22

二、填空題（每小題8分，共32分）

9.如圖，0ABCD的對角線相交于點(diǎn)0,在AB的延長線上任取一點(diǎn)E,連結(jié)D.c

OE交BC于點(diǎn)F.若AB=a,AD=c,BE=b,則BF=.

jARE

10.若5=麗+麗+…+痢，則S的整數(shù)部分是

11.若四邊形的一組對邊中點(diǎn)的連線的長為d,另一組對邊的長分別為a、b,則d

與3的大小關(guān)系是

2

12.如圖，0為某公園大門，園內(nèi)共有9處景點(diǎn)A”Az、……An.景

點(diǎn)間的道路如圖所示，游客只能按圖上所示的箭頭方向從一個景點(diǎn)

到達(dá)另一個景點(diǎn).游客進(jìn)入公園大門之后，可按上述行進(jìn)要求游覽

其中部分或全部景點(diǎn).一旦返回大門0處，游覽即告結(jié)束（每個景點(diǎn)

只能游覽一次）.那么，游客所能選擇的不同的游覽路線共有一條.

三、解答題（每小題20分，共60分）

13.關(guān)于x的方程kxJ（k-l）x+l=0有有理根，求整數(shù)k的值.

14.如圖，在UABCD中，Pi、Pz、…、i是BD的n等分點(diǎn)，連結(jié)AR并延長交BC

于點(diǎn)E,連結(jié)AP“2并延長交.CD于點(diǎn)F.

(1)求證：EF/7BD；

(2)設(shè)OABCD的面積是S.若S.H3s/8,求n的值.

15.有12位同學(xué)圍成一圈，其中有些同學(xué)手中持有鮮花，鮮花總數(shù)為13束，他們

進(jìn)行分花游戲，每次分花按如下規(guī)則進(jìn)行：其中一位手中至少持有兩束鮮花的同學(xué)

拿出兩束鮮花分給與其相鄰的左右兩位同學(xué)，每人一束.試證：在持續(xù)進(jìn)行這種分

花游戲的過程中，一定會出現(xiàn)至少有7位同學(xué)手中持有鮮花的情況.

2001年山東省初中數(shù)學(xué)競賽

一、1.C2.B3.B4.C5.A6.D7.D8.B

二、9.伙10.9011.12.89

三、13.(1)當(dāng)力=0時,1=一1,方程有有理根.

(2)當(dāng)時，因?yàn)榉匠逃杏欣砀?，所以若女是?/p>

數(shù)，則△=驍-1)2一缺="-64+1必為完全平

方數(shù)，即存在非負(fù)整數(shù)處使

/一64+1=病.

配方，得柒-3)2一病=8,

即(^―34-m)(^—3—m)=8.

由于及一3+m與k—3—m是奇偶性相同的整數(shù)，

其積為8,所以它們均是偶數(shù).

又4一3+m>A—3—從而有

/A-3+m=4,Jk-34-m=-2,

\k-3-m=2或卜_3_m=_4.

解得4=6或左=0(舍去).

綜合⑴、⑵知方程立一凌-1)I+1=0有有理

根時及=6或卜=0,

14.⑴因

△Pn_2AB,AP2BEs.DA.

從而可知：

APi=BPi=L2APZ_DP?=n-2即

P^F~P^b~^T'P2E~P2B~2，即

APn-2_AP2

PiF-P正

故EF//BD.

⑵由⑴可知差=十，苧』=（釜y.

zLLnOAAEF\/Lb/

所以，

S-PL2=（T）.SAAEF

/■—2\23a

=（-）.至s①

又因S/\A即uaSaAflCD=￡s,且Pl、Pz、…、Pn-

是BD的〃等分點(diǎn),所以，

Sf2PL2=（T）?SAABD

=（片）?會②

由①、②，得（寧）2.加=（寧）.十S，即

n2—4n—12=0.

解得〃=6,71=—2（舍去）.故m=6.

15.不妨假設(shè)開始時手中持有鮮花的同學(xué)不足7位.我們以A、A2、A、…、A2按

逆時針方向依次分別標(biāo)記這12位同學(xué).

（1）在分花游戲過程中，任何相鄰的兩位同學(xué)一旦其中一位手中持有鮮花，那么，

在此后的每次分花之后，他們兩人中始終至少有一人手中持有鮮花.事實(shí)上，每次

分花，如果分花的同學(xué)不是這兩位同學(xué)中的一位，那么，他們倆手中的鮮花只會增

加，不會減少.如果他們倆中的一位是分花者，那么，分花后另一位同學(xué)一定持有

鮮花.（2）任何一位同學(xué)不可能手中始終無花，可用反證法證明這一點(diǎn).不妨假

設(shè)A1手中始終無花，這意味著A2始終沒作為分花者，A2手中鮮花只能增加，不

會減少.因總共只有13束鮮花，所以經(jīng)過有限次分花之后，A2不再接受鮮花.這

又意味著經(jīng)過有限次分花之后，A3不再為分花者.同理可知，再經(jīng)過有限次分花

后，A4不再為分花者.依此類推，經(jīng)有限次分花之后，全部12位同學(xué)無一人為分

花者，活動終止.這就與13束鮮花分置于12位同學(xué)手中，無論何種情況總能找到

與可能分花的同學(xué)的事實(shí)相矛盾.由（1）、（2）可知，經(jīng)若干次分花之后，可使任

何相鄰的兩位同學(xué)中至少有一位同學(xué)手中有花，因此至少有6位同學(xué)手中有花.若

僅有6位同學(xué)手中有花，則手中有花的同學(xué)不可能相鄰，否則就會有兩位手中無花

的同學(xué)相鄰.因此，只要再進(jìn)行一次分花，至少增加一位手中持花的同學(xué)，即至少

有7位同學(xué)手中持有鮮花.

2002年山東省初中數(shù)學(xué)競賽試題

一、選擇題

i.磁懸浮列車是一種科技含量很高的新型交通工具.它有速度快、爬坡能力

強(qiáng)、能耗低的優(yōu)點(diǎn).它每個座位的平均能耗僅為飛機(jī)每個座位的平均能耗的三分之

一、汽車每個座位的平均能耗的70%.那么汽車每個座位的平均能耗是飛機(jī)每個座

位平均能耗的()

371021

(A)-⑻-(C)—(D)—

732110

2.已知a,b,c,d都是正實(shí)數(shù)，且3<±?給出下列四個不等式：①

bd

acacbdbd廿，p必a，口

----->-----②-----<-----；③------>-----④-----<-----其怔確的是

a+bc+da+bc+da+bc+da+bc+d

()

(A)(B)①④(C)②④(D)②③

3.如圖，在等腰RtaABC中，/C=90°,ZCBD=300,則AD：

DC=()

(A)(B)——(C)V2-1(D)V3-1

32

4.世界杯足球賽小組賽，每個小組4個隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，每場比賽勝隊(duì)得

3分，

敗隊(duì)得0分，平局時兩隊(duì)各得1分.小組賽完以后，總積分最高的兩個隊(duì)出線進(jìn)入

下輪比賽.如果總積分相同，還要按凈勝球數(shù)排序.一個隊(duì)要保證出線，這個隊(duì)至

少要積（）

（A）5分（B）6分（07分（D）8分

5.如圖，四邊形ABCD中，ZA=60°,ZB=ZD=90°,AD=8,AB

=7,則BC+CD等于（）

（A）6A/3（8）573（C）4A/3（D）3百

6.如圖，在梯形ABCD中，ADZZBC,AD=3,BC=9,AB=6,

CD=4.若EF〃BC,且梯形AEFD與梯形EBCF的周長相等，則EF的

長為（）

C

7.如圖，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,AC=b,AB=c,

ADBE

若D、E分別是AB和AB延長線上的兩點(diǎn)，BD=BC,CE1CD,則以AD和AE的長為

根的一元二次方程是()

(A)x*-2cx+b'=0(B)x2-cx+b'=0(C)x2-2cx+b=0(D)x2一cx+b=O

8.已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a〈a<c,ab+bc+ca=O,abc=l,則()

(A)|a+b|>|c|,(B)|a+b|<IcI,(C)|a+b|=|c|(D)[a+b|與|c|的大

小關(guān)系不能確定

二、填空題

9.M是個位數(shù)字不為零的兩位數(shù)，將M的個位數(shù)字與十位數(shù)字互換后得另一

個兩位數(shù)N.若M-N恰是某正整數(shù)的立方，則這樣的M共有個.

10.設(shè)X”xz是方程x2-2(k+l)x+k2+2=0的兩個實(shí)數(shù)根,且(xi+l)(xz+l)=8,

則k的值是.

11.已知實(shí)數(shù)x,y,z滿足x+y=5及z'=xy+y—9,則x+2y+3z=

12.如圖5,P是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，若PA=3,PB=4,PC=5,4p

則PD=__________

三、解答題

13.如圖，甲樓樓高16米，乙樓座落在甲樓的正北面，已知當(dāng)姓------41c

冬至中午12時太陽光線與水平面的夾角為30°,此時，求：工^^

(1)如果兩樓相距20米，那么甲樓的影子落在乙樓上有多高？璃''、、、.

(2)如果甲樓的影子剛好不落在乙樓上，那么兩樓的距離應(yīng)當(dāng)是(國

多少米?

14.如圖，4ABC是等腰直角三角形，ZC=90°,0是4ABCC

內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)0到4ABC各邊的距離都等于1,將4ABC繞點(diǎn)0順時

針旋轉(zhuǎn)45°得△ABC,兩三角形公共部分為多邊形KLMNPQ.。下

(1)證明：△AKL,ABMN,△CPQ都是等腰直角三角形；\,I

(2)求4ABC與△ABC公共部分的面積.\!1

15.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)小學(xué)到縣城參觀，規(guī)定汽車從縣城出發(fā)于上午7￡

時到達(dá)學(xué)校，接參觀的師生立即出發(fā)去縣城.由于汽車在赴校的途中發(fā)生了故障，

不得不停車修理.學(xué)校師生等到7時10分，仍未見汽車來接，就步行走向縣城.在

行進(jìn)途中遇到了已經(jīng)修理好的汽車，立即上車趕赴縣城，結(jié)果比原定到達(dá)縣城的時

間晚了半小時.如果汽車的速度是步行速度的6倍，問汽車在途中排除故障花了多

少時間.

參考答案

題123456789

號

答CDDBBCAA618「

案3也

13.(1)設(shè)冬天太陽最低時，甲樓最高處A點(diǎn)的影子落在乙樓的C處，那么圖

中CD的長度就是甲樓的影子在乙樓上的高度.

設(shè)CEJ_AB于點(diǎn)E,那么在aAEC中，ZAEC=90°,ZACE=30°,EC=20米,

所以AE=ECtanZACE=20tan30°^11.6(米).

CD=EB=AB-AE=4.4（米）.

（2）設(shè)點(diǎn)A的影子落到地面上某一點(diǎn)C,則在△ABC中，ZACB=30°,AB=16

米，所以BC=ABcotZACB=16cot30°*27.7（米），

所以，要使甲樓的影子不影響乙樓，那么乙樓距離甲樓至少要27.7米.

14.⑴連結(jié)OC,DC1,分別交PQ,NP于點(diǎn)D,E,根據(jù)題意得/C0G=45°.

因?yàn)辄c(diǎn)0到AC和BC的距離都等于1-,所以0C是NACB的平分線.

因?yàn)閆ACB=90°,所以Z0CE=Z0CQ=45°.

同理Z0C,D=Z0C,N=45o,所以NOEC=NOD3=90°,

NCQP=NCPQ=NGPN=NGNP=45°,所以△CPQ和4

CiNP都是等腰直角三角形，所以NBNM=NGNP=NAiQK=NCQP

=45°.

因?yàn)镹B=NAi=45°,所以△BMN和AAiKQ都是等腰直角

三角形，

ZB,ML=ZBMN=ZAKL=ZAlKQ=90°,所以ZB,=ZA=45",

所以△BiAmi和AAKL也都是等腰直角三角形.

(2)在RtAODCi和RtAOEC中，

因?yàn)镺D=OE=1,ZCOC1=45°，所以O(shè)C=CC尸后，CD=CE=J^-1,

所以PQ=NP=2(行-1)=2后-2,CQ=CP-GP=GN=&(行T)=2—

所以SACPO=-X(2-血)2=3-2行延長CO交AB于H.

2

因?yàn)棰倨椒?ACB,且AC=BC,所以CHLAB,所以CH=CO+OH=72+1,

所以AC=BC=AC=BC=拒(行+1)=2+行，所以S=—X(2+V2)2=

2

3+2萬

2

因?yàn)锳iQ=BN=(2+V2)-(2V2-2)-(2―叵)=2,所以KQ=MN=—^==V2，

V2

所以S^=-X(V2)2=1.因?yàn)锳K=(2+V2)-(2-V2)-V2=V2.

2

2=

所以SAAKL=—XV2)1,

2

所以S^ii?KLMNPO_SAABC+SACPQ_SABMN-SAAKI=(3+2>/2)-(3-2)-1~1=4y/2-2.

15.假定排除故障花時x分鐘.如圖9,設(shè)點(diǎn)A為縣城所在地，點(diǎn)C為學(xué)校所

在地，點(diǎn)B為師生途中與汽車相遇之處.在師生們晚到縣城的30分鐘中，有10分

鐘是因晚出發(fā)造成的，還有20分鐘是由于從C到B由步行代替乘車而耽誤的.

汽車所晚的30分鐘，一方面是由于排除故障耽誤了x分鐘，但另一方面由于

少跑了B到C之間的一個來回而省下了一些時間.已知汽車速度是步行速度的6倍,

而步行比汽車從C到B這段距離要多花20分鐘.由此知汽車由C到B應(yīng)花上20上=

5-1

4（分鐘）

一個來回省下8分鐘，所以有x—8=30,x=38,即汽車在途中排除故障

花了38分鐘.

2003年山東數(shù)學(xué)競賽試題

一、選擇題（本題共8小題.每小題6分，滿分48分）：下面各題給出的選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是正確的.請將正確選項(xiàng)的代號填在題后的括號內(nèi).

1.如果a,b,c是非零實(shí)數(shù)，且a+b+c=O,那么c一i巴+b上-+c」-+a」b竺c的所有可

1?1聞Id\abc\

能的值為（）.

A.0B.1或TC.2或-2D.0或-2

2.如果自然數(shù)a是一個完全平方數(shù)，那么與a之差最小且比a大的一個完全平方

數(shù)是（）.

A.a+1B.a"+lC.a"+2a+1D.a+2V2+1

3.甲、乙、丙三人比賽象棋，每局比賽后，若是和棋，則這兩人繼續(xù)比賽，直到

分出勝負(fù)，負(fù)者退下，由另一人與勝者比賽.比賽若干局后，甲勝4局、負(fù)2局；

乙勝3局、負(fù)3局.如果丙負(fù)3局，那么丙勝（）.

A.0局B,1局C.2局D.3局

21+3

>x-5

3

4.關(guān)于x的不等式組《只有5個整數(shù)解.則a的取值范圍是（).

x+3

<X+6Z

2

-6Wa<-Uc.-6<a<--D.-6WaW-〃

A.-6<a<--B.

2222

5.如圖，若將左邊正方形剪成四塊，恰能拼成右邊的矩形，設(shè)a=l,則這個正方

形的面積為（）.

6.某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個檔次.生產(chǎn)最低檔次產(chǎn)品，每件獲利潤8元.每提

高一個檔次，每件產(chǎn)品利潤增加2元.用同樣工時，最低檔次產(chǎn)品每天可生產(chǎn)60

件，提高一個檔次將減少3件.如果獲利潤最大的產(chǎn)品是第k檔次(最低檔次為第

一檔次，檔次依次隨質(zhì)量增加)，那么k等于().

A.5B.7C.9D.10

7.如圖，在RtaABC中，ZC=90°,NA=30°,NC的平分線與NB的

外角的平分線交于E點(diǎn)，連結(jié)AE,則/八￡13是().已1

A.50°B.45°C.40°1).35°

8.已知四邊形ABCD,從下列條件中：/

(DABZ/CD；⑵BC〃AD；(3)AB=CD；(4)BC=AD；(5)NA=NC；'R

(6)ZB=ZD.

任取其中兩個，可以得出“四邊形ABCD是平行四邊形”這一結(jié)論的情況有

().

A.4種B.9種C.13種D.15種

二、填空題(本題共4小題，每小題8分，滿分32分)：將答案直接填寫在對應(yīng)題

目的橫線上.

9.已知T<a<0,化簡

J(a+—)*234—4(a——)2+4得_________.

VaVa

10.如圖，已知AD=DB=BC.如果NC=a,那么NABC=

11.甲、乙兩廠生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，都計(jì)劃把全年的產(chǎn)品銷往濟(jì)南，這樣兩廠的產(chǎn)品

就能占有濟(jì)南市場同類產(chǎn)品的士3.然而實(shí)際情況并不理想.甲廠僅有乙1的產(chǎn)品、

42

乙廠僅有工的產(chǎn)品銷到了濟(jì)南，兩廠的產(chǎn)品僅占了濟(jì)南市場同類產(chǎn)品的1.則甲

33

廠該產(chǎn)品的年產(chǎn)量與乙廠該產(chǎn)品的年產(chǎn)量的比為

12.假期學(xué)校組織360名師生外出旅游，某客車出租公司有兩種大客車可供選擇：

甲種客車每輛車有40個座位，租金400元；乙種客車每輛有50個座位，租金480

元.則租用該公司客車最少需要租金________.

三、解答題(本題共3小題，每小題20分，滿分60分)：

13.如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°CD是角平分線,DE〃BC交AC于點(diǎn)E,DF〃AC

交BC于點(diǎn)F.

求證：（1）四邊形CEDF是正方形；

（2）CD=2AE?BE.

14.設(shè)方程2002x-2003?2001x-l=0的較大根是r,方程2001x-2002x+l=0

的較小根是s,求r-s的值.

15.在18X18的方格紙上的每個方格中均填入一個彼此不相等的正整數(shù).求證：

無論哪種填法，至少有兩對相鄰小方格（有一條公共邊的兩個小方格稱為一對相鄰

小方格），每對相鄰的兩小方格中所填之?dāng)?shù)的差均不小于10.

2003年山東省'KLT快靈通杯'初中數(shù)學(xué)競賽

一、選擇題

1.A2.D3.B4.C5.A6.C7.B8.B

二、填空題

3

9.一一10.180°一一a11.2：112.3520

a2

三、解答題

13.(1)VZACB=9O\

DE//BC,DF//AC,

，DE_LAC,DF_LBC.則①=1但=-康?

從而NECF=NDEC=NDFC=90*.

是角平分線，同理由后--方程得：

:.DE=DF,

0,

即知四邊形CEDF是正方形./（1+2001）/2001

(2)在RtAAED和RtADFB中.

VDE//HC,:./ADE-Z&設(shè)方程的兩根為Zl'、/，且與‘〉工2'，則x/=l,

:.RtzMEDooRtADFR

”/=痢，

嘴舞即

DE-DF=AE*BF.由上述分析知，「=l，s=磊.

?:CD=^DE=&DF,

.112000

：?8MDE?&DF??~=1-而=痢?

=2DE?DF=2AE?BF.

M.由前一方程得：15.設(shè)aS分別為這324個正整數(shù)中的最小者和最大

,200公一11____八

/20022*2002,0,者,由于這些數(shù)互不相等?所以有6-。2323.

即，('2002*)人200?=0-??.q—?b路車

設(shè)方程兩根為4、工2,且X|>X,

?線代；fal1*

由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系得：

力+年=1一薪？，。???勺一?路線甲

路線甲

Xl?八一(1)(2)

（1）當(dāng)a和b所在的方格既不同行又不同列時，從a所在的方格出發(fā)，可以通過一

系列向相鄰格（上下或左右）的移動而達(dá)到6所在的格.如圖⑴所示.由于a和b

既不同行又不同列，總存在兩條完全不同的路線（兩路線途徑的方格無一相同），由

a所在的方格到達(dá)b