2021年新教材高一數(shù)學(xué)暑假作業(yè)二新人教A版

高一數(shù)學(xué)暑假作業(yè)

一、單選題

1.已知集合4={%|log2(4+%-%2)>1},集合8={y|y=(}{%>1},則4n

3)=()

A.[p2)B.(T*]

C.(-1,0]嗚2)D.(-00,-1)U(2,4-00)

2.已知復(fù)數(shù)2=二，則Z=()

3-l

71.

A.B.；+C.------IDpx.—7.—1i.

222210101010

3.已知三條不同的直線/,m,n和兩個(gè)不同的平面a,/7,下列四個(gè)命題中正確的為()

A.若m〃a,n//a,則m〃nB.若l“m,mua,則Z〃a

C.若〃/a,l//p,則?！ā闐.若〃/a,11。，則

4.已知在平行四邊形A8C。中，點(diǎn)M、N分別是8C、CD的中點(diǎn)，如果荏=%近=另,

那么向量麗=()

A-扣-.B.-頡+?C.a+^bD-

5.齊王與田忌賽馬,田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中

等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)

從雙方的馬匹中隨機(jī)各選一匹進(jìn)行一場(chǎng)比賽，則田忌獲勝的概率為()

B,c

A-5i

6.已知向量正方端足|五|=1，曰|=2，且蒼與方的夾角為120。，則|五一3石|=()

A.V11B.V37C.2V10D.V43

7.如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱

ABCD-A1B1C1D1<^,AA1=2AB=2,則異面直線與

所成角的余弦值為()

A-IB1

C1D-

、l-2sinl00cosl0°的值為(

8.sinl0°-Vl-sin2100')

A.1B.-1C.sin10°D.cos10°

9.“喊泉”是一種地下水的毛細(xì)現(xiàn)象，人們?cè)谌诤鸾谢虬l(fā)

出其他聲音時(shí)，聲波傳入泉洞內(nèi)的儲(chǔ)水池，進(jìn)而產(chǎn)生“共

鳴”等物理聲學(xué)作用，激起水波，形成涌泉.聲音越大，

涌起的泉水越高.已知聽到的聲強(qiáng)m與標(biāo)準(zhǔn)聲調(diào)mo(mo約

為10-12,單位：皿/皿2)之比的常用對(duì)數(shù)稱作聲強(qiáng)的聲強(qiáng)級(jí)，記作(貝爾)，即乙=

1g：,取貝爾的10倍作為響度的常用單位，簡(jiǎn)稱為分貝.已知某處“喊泉”的聲

7no

音響度y(分貝)與噴出的泉水高度x(米)滿足關(guān)系式y(tǒng)=2x,現(xiàn)知A同學(xué)大喝一聲激

起的涌泉最高高度為50米，若4同學(xué)大喝一聲的聲強(qiáng)大約相當(dāng)于10個(gè)B同學(xué)同時(shí)

大喝一聲的聲強(qiáng)，則8同學(xué)大喝一聲激起的涌泉最高高度約為()米.

A.5B.10C.45D.48

fx2-x+3,x<1,x

10.已知函數(shù)/(x)=。2設(shè)R,若關(guān)于X的不等式5+可在

R上恒成立，則。的取值范圍是()

A.[-總2]B.[-*第C.[-273,2]D.[-2V3;||]

二、多選題

11.已知函數(shù)/(x)=loga(x2-a%+l)(a>0且a力1),則下列為真命題的是()

A.當(dāng)a=2時(shí)，f(x)值域?yàn)镽

B.存在a,使得/(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)

C.當(dāng)a>2時(shí)，/(x)的定義域不可能為R

D.存在a,使得/(久)在區(qū)間(一8,2)上為減函數(shù)

12.下列命題正確的是()

A.已知基函數(shù)/(x)=(m+在(0,+8)上單調(diào)遞減，則爪=0或m=-2

B.函數(shù)/(x)=/-(2m+4)久+3m有兩個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)大于0,一個(gè)小于0的一個(gè)

充分不必要條件是m<-1.

C.已知函數(shù)/'(x)=/+sinx+5(三)，若f(2a-l)>0,則a的取值范圍為

C，+8)

D.已知函數(shù)/(x)滿足/(-x)+/(x)=2,g(x)=?，且f(x)與g(x)的圖象的交點(diǎn)

為(肛％)，(%2斤2)……(出48)，則—+%2+…+&+%+、2+…+了8的值為8

13.設(shè)函數(shù)/Q)=Sin(3x-§(3>0),已知/(%)在[0,兀]有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，對(duì)于下列

4個(gè)說(shuō)法正確的是()

A.在(0,兀)上存在X1，x2,滿足f(Xi)-/(&)=2

B.f(x)在(0,兀)有且僅有1個(gè)最大值點(diǎn)

C.f(x)在(0,今單調(diào)遞增

D.3的取值范圍是白，鄉(xiāng)

OO

三、單空題

14.復(fù)數(shù)z=i(l+i)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第象限.

15.已知向量,=(1,3),b=(一4,3)的夾角為。，則cos。=.

16.某大學(xué)為了解在校本科生對(duì)參加某項(xiàng)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的意向，擬采用分層隨機(jī)抽樣的

方向，從該校四個(gè)年級(jí)的本科生中抽取一個(gè)容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查，已知該校

一年級(jí)、二年級(jí)、三年級(jí)、四年級(jí)的本科生人數(shù)之比為4：5：5：6,則應(yīng)從一年

級(jí)本科生中抽取名學(xué)生.

17.在A4BC中，角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別是a,b,c,若(^+c?-爐=Uac,則

角B的值是.

18.已知三棱柱4BC-4津￡的6個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，若4B=3cm,AC=4cm,

AB1AC,44i=12cm,則球O的表面積為cm2.

19.已知x,y>0,且京+*=：,則x+y的最小值為.

20.將函數(shù)/(x)=2-4s譏2%的圖象向左平移9個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)

9。)在區(qū)間［0,3和［3a,?］上均單增，則實(shí)數(shù)a的范圍是_.

N6

四、解答題

21.在4A8C中，內(nèi)角A、8、C的對(duì)邊分別為a,b,c,\［2cosC{acosB+bcosA)+c=0.

(I)求角C的大??；

(口)若(1=迎，b=2.求：

(回)邊長(zhǎng)c；

(團(tuán))sin(2B-C)的值.

22.2020年開始，山東推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模

式，其中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三科為必考科目，滿分各150分，另外考生還需要依據(jù)

想考取的高校及專業(yè)要求，結(jié)合自己的興趣愛好等因素，在思想政治、歷史、地理、

物理、化學(xué)、生物6門科目中自選3門參加考試(6選3),每科滿分100分，2020年

初受疫情影響，全國(guó)各地推遲開學(xué)，開展線上教學(xué),為了了解高一學(xué)生的選科意向,

某學(xué)校對(duì)學(xué)生所選科目進(jìn)行線上檢測(cè)，下面是100名學(xué)生的物理、化學(xué)、生物三科

總分成績(jī),以組距20分成7組：[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),

[240,260),[260,280),[280,300],畫出頻率分布直方圖如圖所示.

(1)求頻率分布直方圖中a的值;

(2)由頻率分布直方圖;

(i)求物理、化學(xué)、生物三科總分成績(jī)的中位數(shù);

(苴)估計(jì)這100名學(xué)生的物理、化學(xué)、生物三科總分成績(jī)的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)

用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);

(3)為了進(jìn)一步了解選科情況，由頻率分布直方圖，在物理、化學(xué)、生物三科總分

23.如圖所示，在三棱錐4—BCD中，點(diǎn)用、N分別在棱8C、4c上，且MN〃4B.

(I)求證：MN〃平面ABQ：

(II)若MN1CD,BD1CD,求證：平面CBD_L平面A8D

24.函數(shù)9。)=。/+2%+1的圖象與函數(shù)/@)的圖象關(guān)于直線％=0對(duì)稱，方程

f(x)=0的兩根％i，力滿足0<<工2<2.

(1)求。的范圍；

(2)若募=t,求，的取值范圍；

2

(3)若|%1—x2\>m-2bm—2對(duì)be［一1,1］恒成立，求m的范圍.

25.已知函數(shù)/(x)=cosx.

(1)若a,夕為銳角，/(a+^)=-—，tana=^f求cos2a及tan(0—a)的值；

(2)函數(shù)g(x)=/(2x)-3,若對(duì)任意x都有g(shù)2(x)<(2+a)g(x)-2-a恒成立,

求實(shí)數(shù)a的最大值；

(3)己知/'(a)+f(/?)-/(a+/?)=|,a,PG(0,n),求a及0的值.

26.已知函數(shù)/(x)=lg^.

(1)求不等式/'(/(x))+/(lg2)>。的解集；

(2)函數(shù)g(x)=2-a?a>0,a41),若存在巧，x2G[0,1),使得f(與)=9(亞)成

立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

f(x}-1<X<1

{::—請(qǐng)，討論函數(shù)、=九(九(乃)一2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

(直接寫出答案，不要求寫出解題過(guò)程).

答案和解析

1.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查了集合的運(yùn)算與不等式的解法和應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

求函數(shù)的定義域和值域得出集合A、B,根據(jù)交集和補(bǔ)集的定義計(jì)算即可.

【解答】

22

解：集合4={x|log2(4+%—%)>1}={%|4+%—%>2}

={x\x2—x—2<0]={x|-1<%<2},

即4=(-1,2),

集合B=(y\y=[y\y=(|)x,x>1]={y\0<y<|)?即B=(0,1),

、1

**?CRB—(—8,0]U[-,4-co),

4n(CRB)=(-8,0]U?,2).

故選：c.

2.【答案】B

【解析】解一?復(fù)數(shù)2=宅=言=黑磊=?+加

故選：B.

利用復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可.

本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：三條不同的直線/,w,w和兩個(gè)不同的平面a,依

對(duì)于A,若zn〃a,n//a,則能與〃相交、平行或異面，故4錯(cuò)誤；

對(duì)于8,若l〃m,mua,則2〃a或，ua,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于G若，〃a,l〃B，則a與6平行或相交，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，若l〃a,116,則由面面垂直的判定定理得a_L故。正確.

故選：D.

對(duì)于A,“與枕相交、平行或異面；對(duì)于8,〃/仇或，(=仇；對(duì)于C,。與/?平行或相交;

對(duì)于。，由面面垂直的判定定理得al/?.

本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考

查推理能力，是中檔題.

4.【答案】B

【解析】解：如圖,

vAB=a，AD=b，且"、N分別是BC、8的中點(diǎn)，

W=MC+CW=-2AD--2AB=--2a+-2b.

故選：B.

由題意畫出圖形，利用向量加法的三角形法則得麗=祝+而，轉(zhuǎn)化為荏及而得答

案.

本題考查平面向量的基本定理，考查了向量加法的三角形法則，是中檔題.

5.【答案】A

【解析】解：齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，

田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.

現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)各選一匹進(jìn)行一場(chǎng)比賽，

基本事件總數(shù)n=3x3=9,

田忌獲勝包含的基本事件有：

田忌的上等馬對(duì)齊王的中等馬，田忌的上等馬對(duì)齊王的下等馬，田忌的中等馬對(duì)齊王的

下等馬，共3種，

???田忌獲勝的概率P=|=：.

故選：A.

基本事件總數(shù)n=3x3=9,利用列舉法求出田忌獲勝包含的基本事件有3種，由此能

求出田忌獲勝的概率.

本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)

題.

6.【答案】D

【解析】解：由題意可得：a-6=|a||K|cosl20°=lx2x(-i)=-l；

???(a-3b)2=a2-6a-K+9b2=1+6+36=43；

二則|為一3?|=V43.

故選：D.

根據(jù)題意，由向量五、B的模以及夾角計(jì)算可得之方的值，進(jìn)而由數(shù)量積的計(jì)算可得(方-

3bY=a2-6a-b+9b2＞代入數(shù)據(jù)計(jì)算，再開方可得答案?

本題考查向量模的計(jì)算，關(guān)鍵是掌握向量的數(shù)量積的計(jì)算公式.屬于簡(jiǎn)單題.

7.【答案】D

【解析】解：連結(jié)BQ,因?yàn)镚DJ/4B且GDi=2B,

所以四邊形是平行四邊形，故BCJ/4D1，

所以Z&BC1就是異面直線與4必所成的角或其補(bǔ)角,

連結(jié)為G，由AB=1,AAi=2,

則4G=a,A、B=8cl=V5,

所以COSZTIIBCI=-S?2產(chǎn)_i

112xV5xV55

故異面直線為B與AD1所成角的余弦值為g.

故選：D.

連結(jié)BG，利用棱柱的幾何性質(zhì)得到BCJ/4D1，從而得到乙4i8C］就是異面直線與

4%所成的角或其補(bǔ)角，三角形中利用余弦定理分析求解即可.

本題考查了空間角的求解，涉及了兩條異面直線所成角的求解，解題的關(guān)鍵是尋找平行

線，找到兩條異面直線所成的角，屬于中檔題.

8.【答案】B

【解析】解，，l-2sinl0°cosl00_7(CQ510°-stnl0o)^

sinl0<,-Vl-sin2100sin100-Vcos2100

|皿10。-517110。|_coslO—sElO。_

sinlO°-coslO°sinlO°-coslO°

故選:B.

由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式變形，開方后化簡(jiǎn)求值.

本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力,

是基礎(chǔ)題.

9.【答案】C

【解析】解：設(shè)B同學(xué)的聲強(qiáng)為〃?，噴出泉水高度為x,則A同學(xué)的聲強(qiáng)為10小，噴出

泉水高度為50,

由1。國(guó)合=2x,得(gm—/gm。=0.2%,①

=2x50,1+Igm—lgm0=10,(2)

(T)—①)得：—1=0.2%—10,

解得x=45,

...B同學(xué)大喝一聲激起的涌泉最高高度約為45米.

故選：C.

設(shè)B同學(xué)的聲強(qiáng)為m,噴出泉水高度為x,則A同學(xué)的聲強(qiáng)為10/M,噴出泉水高度為50,

根據(jù)題意可得［gm-Ignio=o.2x,1+Igm-lgm0=10,兩式相減即可求出x的值.

本題主要考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

10.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用分類討論和分離參數(shù)法,

以及轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)和基本不等式求最值是解題的關(guān)鍵，屬

于中檔題.

討論當(dāng)XW1時(shí)，運(yùn)用絕對(duì)值不等式的解法和分離參數(shù)，可得—％2+：x—3WaW/一

|x+3,再由二次函數(shù)的最值求法,可得a的范圍;討論當(dāng)x>1時(shí)，同樣可得—(|x+|)<

+再由基本不等式可得最值，可得。的范圍，求交集即可得到所求范圍.對(duì)f(x)

求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解.

另解：可由數(shù)形結(jié)合的思想，作出f(x)的圖象和折線y=吟+可，由圖象求解.

【解答】

解：當(dāng)XW1時(shí)，關(guān)于x的不等式/0)2弓+可在R上恒成立，

即為一/4-%-3<^+a<%2-%+3,

即有一x?-F-x—3工CLMx?——%+3,

由y=-x2+；x-3的對(duì)稱軸為％=；<1,可得X=:處取得最大值一￡；

24416

由y=/一|x+3的對(duì)稱軸為％=2<1,可得％=:處取得最小值工，

24416

則-24a<工①

當(dāng)x>1時(shí)，關(guān)于X的不等式/(X)2嗎+磯在R上恒成立,

即為-（X+|）<j+a<x+p

即有一（|x+^）<a<^+1,

由y=-（|x+|）<-2Jy=一2付當(dāng)且僅當(dāng)X=專>1）取得最大值一2%；

y=|x+^>2=2（當(dāng)且僅當(dāng)x=2>1）取得最小值2.

則一2百<a<2@

由①②可得，一葛WaW2.

另解：作出/(x)的圖象和折線y=||+a|

當(dāng)％<1時(shí)，y=x2-x4-3的導(dǎo)數(shù)為y，=2%-1,

由2%-1=一：，可得％=：,

24

切點(diǎn)為&5代入'=-Ra,解得a=-9

4lo/lo

當(dāng)x>1時(shí)，y=x+:的導(dǎo)數(shù)為y'=1-W，

由可得％=2(-2舍去),

切點(diǎn)為(2,3),代入y=；+a,解得a=2.

由圖象平移可得，一^WaW2.

16

故選：A.

11.【答案】AC

【解析】解：當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)/'(%)=log2(%2-2x+1),

22

令y=log2t,則t=x—2x+1=(x-l)>0,

因?yàn)閞能取遍大于0的一切實(shí)數(shù)，

所以/(%)的值域?yàn)镽，故選項(xiàng)A正確；

假設(shè)f(x)為奇函數(shù)，所以f(一%)+f(X)=0,

222

所以，。。/式2—ax4-1)4-loga(x+QX+1)=0,^Vloga[(x—ax4-l)(x+QX+

1)]=0,

所以(——ax4-1)(%24-ax+1)=1,

所以久2缶2+%2-2)=0不能恒成立，則。不是常數(shù)，所以f(x)不是奇函數(shù)；

假設(shè)/(%)是偶函數(shù)，所以/(一%)=/。)，

2

所以，。0式％2-ax+1)=loga(x+ax+1),

所以Q=o,又因?yàn)閍>0,所以/(%)不是偶函數(shù)，故選項(xiàng)8錯(cuò)誤；

2

令y=logat,t=%—ax4-1,

因?yàn)镃=%2—ax+1開口向上，且4=a2—4,

又a>2,所以△=Q2—4>0,

所以f(%)的定義域不可能是R,故選項(xiàng)C正確；

2

令y=logat,t=%—ax+1,

當(dāng)a>l時(shí)，貝ijy=k)gat在定義域上是增函數(shù)，t=/-a%+l在(一8段)上單調(diào)遞減，

(a>l

所以的工2無(wú)解，即不存在a可使得/(%)在區(qū)間(-8,2)上為減函數(shù)，故選項(xiàng)

D錯(cuò)誤.

故選：AC.

利用換元法，令y=log2t，分析，的取值范圍再結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)A,

假設(shè)函數(shù)/(x)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)，然后進(jìn)行分析推導(dǎo)，推出矛盾即可判斷選項(xiàng)3,利

用換元法研究t=/一a*+1的取值情況來(lái)判斷選項(xiàng)C,利用換元法結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性

即可判斷選項(xiàng)D.

本題考查了函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用、二次函數(shù)的圖象和

性質(zhì)、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，對(duì)學(xué)

生而言有一定的難度.

12.【答案】BD

【解析】解：對(duì)于A,由/(%)是基函數(shù)可知(m+1產(chǎn)=1,故7n=0或m=-2,

由/'(x)在(0,+9)上單調(diào)遞減可知-m-1<0,即巾>一1,故Tn=0,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若f(x)=x2-(2m+4)x+37n有兩個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)大于0,一個(gè)小于0,則37n<0,

即m<0,

若m<-1,則3nl<-3<0,/(%)=x2—(2m+4)x+3m有兩個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)大于0,

一個(gè)小于0,

二m<-1是函數(shù)f(x)=/-(2m+4)x+3m有兩個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)大于0,一個(gè)小于0的

充分不必要條件，故8正確；

對(duì)于C,f(x)的定義域?yàn)?一1,1),故/(2。-1)>0必須滿足條件：一1<2。一1<1,

即0<a<l,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,1.1/■(-%)+f(x)=2,g(x)=?=1+：，

/(x)和g(x)的圖象都關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱，

/(x)和g(x)的圖象的8個(gè)交點(diǎn)中，兩兩關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱，

二刈+%2?<---F%8=0,%+曠2---Py8=4x2=8,

［%+尤2+…+&+%+■!---Fy8=8,故D正確；

故選：BD.

根據(jù)基函數(shù)概念和單調(diào)性列不等式組得出m的值判斷A,根據(jù)f(0)<0和充分必要條件

定義判斷8,根據(jù)/(%)的定義域判斷C,根據(jù)f(x)和g(x)的對(duì)稱性判斷D

本題考查了幕函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)對(duì)稱性的判斷和應(yīng)用，屬于中檔題.

13.【答案】AD

函數(shù)在［0,可僅有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，貝阮的位置在C?。之間(包括C,不包括D),

令/(%)=sin3%—?)=0,則s—"/CTT得，x=(^+kn)?(kez),

y軸右側(cè)第一個(gè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為卷，周期7=今

27r13,19

所以工兀<白+；7=>9+生——=——W3V

6a)6a)26a)o)6a)2co66

所以。正確.

在［0,汨區(qū)間上，函數(shù)達(dá)到最大值和最小值,

所以存在打，x2,滿足/(修)一/(%2)=2,所以A正確,

由大致圖象得，可能有兩個(gè)最大值，8不一定正確;

因?yàn)?最小值為?，所以0VX<］時(shí)，一^<3%一2V若圖(-5譚)，

o4bb1ZzZ

所以xe(o(),函數(shù)/(%)不單調(diào)遞增，

所以C不正確.

故選：AD.

由題意根據(jù)在區(qū)間［0,捫有3個(gè)零點(diǎn)畫出大致圖象，可得區(qū)間長(zhǎng)度兀介于周期［7+

|04|,|T+|04|］,再用3表示周期，得3的范圍.

本題考查三角函數(shù)圖象及周期的計(jì)算，由有且僅有3個(gè)零點(diǎn)來(lái)得區(qū)間長(zhǎng)度兀的大致位置,

進(jìn)而解3的范圍，再判斷區(qū)間(0()單調(diào)性.此題屬于中難檔題.

14.【答案】二

【解析】解：丫z=i(l+i)=-1+i,

???復(fù)數(shù)z=i(l+i)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(一1,1),在第二象限.

故答案為：二.

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，求出z的坐標(biāo)得答案.

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.

15.【答案】包

10

【解析】解：由題意得cos。=暮=1與g詈=黑.

|a||b|V10X510

故答案為：叵.

10

由已知結(jié)合向量的夾角公式即可直接求解.

本題主要考查了向量夾角公式，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】60

【解析】

【分析】

本題主要考查分層隨機(jī)抽樣的方法，利用了總體中各層的個(gè)體數(shù)之比等于樣本中對(duì)應(yīng)各

層的樣本數(shù)之比，屬于基礎(chǔ)題.

先求出一年級(jí)本科生人數(shù)所占總本科生人數(shù)的比例，再用樣本容量乘以該比列，即為所

求.

【解答】

解：根據(jù)分層隨機(jī)抽樣的方法，一年級(jí)本科生人數(shù)所占的比例為1T三=3

4+54-5+65

故應(yīng)從一年級(jí)本科生中抽取學(xué)生為300x|=60（名），

故答案為：60.

17.【答案】巳

【解析】解：在△ABC中，角A,3,C所對(duì)應(yīng)的邊分別是a,b,c,若a?+c2-b2=Wac，

由余弦定理可知COSB=&ZQ=逅,因?yàn)锽是三角形內(nèi)角，所以B=?

2ac26

故答案為：=

O

直接利用余弦定理求出B的余弦值，推出8的值即可.

本題考查余弦定理的應(yīng)用，基本知識(shí)的考查.

18.【答案】169兀

【解析】解：由題意,三棱柱ABC-ASiG為直三棱柱ABC-（

&B1G，底面ABC為直角三角形，把直三棱柱ABC-&B1Q

補(bǔ)成四棱柱，

則四棱柱的體對(duì)角線是其外接球的直徑，[-"["""'[J

所以外接球半徑為:'32+42+122:13,

則三棱柱ABC-4B1G外接球的表面積是4兀R2=1697rcm2.

故答案為:1697r.

由于直三棱柱4BC-ABiG的底面ABC為直角三角形，我們可以把直三棱柱4BC-

4B】Ci補(bǔ)成四棱柱，則四棱柱的體對(duì)角線是其外接球的直徑，求出外接球的直徑后，代

入外接球的表面積公式，即可求出該三棱柱的外接球的表面積.

本題考查球的體積和表面積，球的內(nèi)接體問(wèn)題，考查學(xué)生空間想象能力，是基礎(chǔ)題.

19.【答案】5

【解析】解：x,y>0,且白+2=去

則x+y=x+3+y-3,

=2?+3）+y]—=2（2+%+季）-3,

“(2+2島.*)-3=5,

當(dāng)且僅當(dāng)上=巖且京+；=：,即y=4,%=1時(shí)取等號(hào),

則x+y的最小值為5.

故答案為：5.

利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出.

本題考查了“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，屬于中檔題.

20.【答案】住審

【解析】解：將函數(shù)/(X)=2-4sin2x=2cos2x的圖象向左平移：個(gè)單位后得到函數(shù)

O

g(x)=cos(2x+4)=-cos(2x+g)的圖象，

若函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,白和[3a,上均單調(diào)遞增，

則y=cos(2x+9在區(qū)間[0勺和[3a,勺上均單調(diào)遞減，

在區(qū)間[0勺上,2x+ye[y,a+y],

在[3a,r]上,2x+6[6a+~,37r],

a.+~&(0,TT],且6a+與€[2TT,3TT],

求得知<a<p

故答案為：仔,J

由題意利用函數(shù)y=Zsm(3x+0)的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的單調(diào)性，求得實(shí)數(shù)”的

范圍.

本題主要考查函數(shù)y=Asin^x+尹)的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.

21.【答案】解：(I)由已知及正弦定理得V^cosC(sbh4cosB+sinBcosA)+sinC=

0.........(2分)

:.y/2cosCsinC+sinC=0>cosC=—y,

■：0<C<TC................(4分)

=?............?分)

(II)(團(tuán))因?yàn)閍=魚,b=2,C=*，

由余弦定理得c?=a2+b2—2abcosC=2+4—2xV2x2x(—y-)=10>

c=Vio...............................（7分）

（團(tuán)）由號(hào)=&=s譏B=￡...............................（9分）

sinCsinB5

因?yàn)锽為銳角，所以cosB=等............（10分）

sin2B=2x立x速=匕cos2B=cos2B-sin2B=|..............................（12分）

5555，

sin（2F—C）=sin2BcosC-cos2BsinC=gx（一乎）一|x^=一黑...（14分）

【解析】（/）利用正弦定理、和差公式化簡(jiǎn)即可得出.

（〃）（回）因?yàn)閍=Mb=2,。=拳利用余弦定理即可得出.

（回）由上=_±_=s譏8=更，可得cos8再利用倍角公式、和差公式即可得出.

sinCsinB5

本題考查了正弦定理、余弦定理、倍角公式、和差公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，

屬于中檔題.

22.【答案】解:⑴由（0.0025+0.0095+0.011+0.0125+0.0075+a+0.0025）x20=

1,

解得a=0.005.

（2）（0???（0.002+0.0095+0.011）x20=0.45<0.5,

二三科總分成績(jī)的中位數(shù)在［220,240）內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x,

則（0.002+0.0095+0.011）x20+0.0125X（x-220）=0.5,

解得x=224,即中位數(shù)為224.

（ii）三科總分成績(jī)的平均數(shù)為：

170x0.04+190x0.19+210x0.22+230x0.25+250x0.15+270x0.1+290x

0.05=225.6.

（3）三科總分成績(jī)?cè)冢?20,240）,［260,280）兩組內(nèi)的學(xué)生分別為25人，10人，

工抽樣比為盛.

二三科總分成績(jī)?cè)冢?20,240）,［260,280）兩組內(nèi)抽取的學(xué)生數(shù)量分別為：25x1=5人,

10x：=2人，

設(shè)事件A表示“抽取的這2名學(xué)生來(lái)自不同組”，

從這7名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，

基本事件總數(shù)九=讖=21,

事件A包含的基本事件個(gè)數(shù)m=C5C2=10,

???抽取的這2名學(xué)生來(lái)自不同組的概率P。)=；=弟

【解析】(1)由頻率分布直方圖能求出G

(2)(i)由頻率分布直方圖能求出中位數(shù).

俗)由頻率分布直方圖能求出三科總分成績(jī)的平均數(shù).

(3)先求出抽樣比為也再求出三科總分成績(jī)?cè)赱220,240),[260,280)兩組內(nèi)抽取的學(xué)生

數(shù)量分別為5人，2人，設(shè)事件A表示“抽取的這2名學(xué)生來(lái)自不同組”，基本事件總

數(shù)71=第=21,事件4包含的基本事件個(gè)數(shù)巾=讖6=10,由此能求出抽取的這2

名學(xué)生來(lái)自不同組的概率.

本題考查頻率、中位數(shù)、平均數(shù)、概率的求法，考查頻率分布直方圖、分層抽樣、列舉

法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

23.【答案】證明：(1)???在三棱錐4一BCD中，點(diǎn)M、入、

N分別在棱BC、AC上，魚MN“AB./

???MN平面AB。，4Bu平面A3。，//\

MN〃平面ABD/V]1'

(2)vMNLCD,MN//AB,■■■AB1CD,\

BD1CD,DBdAB=B,C

：.CDL平面ABD,

???CDu平面BCD,

.??平面4BD1平面BCD.

【解析】(1)由MN〃/18,利用直線與平面平行的判斷定理，證明MN〃平面ABD.

(2)推導(dǎo)出B41DC,DC1BD,從而CD1平面ABD,由此能證明平面ABDL平面BCD.

本題考查線面平行、面面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基

礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

24.【答案】解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)g(x)與函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱，

所以g(x)的兩根為%%2'與％I，%2關(guān)于％=0對(duì)稱，

又0V與Vx2V2,

所以一2<%2'<%1'V0，

△=bz—4ac=4—4a>0

/(0)>0,解得:<a<l,

(2)>0

所以a的取值范圍為G，l).

(2)因?yàn)楹瘮?shù)g(x)與函數(shù)/'(x)的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱，

所以/(%)=a(—%)2+2(—x)+1=ax2—2x4-1,

21

所以％1+&=￡，=

所以詈=2,①

因?yàn)橥?葭，則％2=51，

代入①，得李廣=2,

則t=2X2-1,0<<x2<2,

所以翼>1,

xi

所以f的取值范圍為(1,3).

2

(3)%-x2\=V(Xi+x2)-4%IX2=J(>—：=|Vl-a=2

令m(a)=詈，

則M(a)=等，a6(^,1),

所以m(a)在?,I)上單調(diào)遞減，

所以m(a)<m(}=$m(a)>m(l)=0,

由l%i—xz\之僧2—2bm—2,對(duì)于V%6上恒成立，

所以zu?—2bm—2<0,

若m=0時(shí)，—2<0成立，

若m>0時(shí)，y=-2mb+m2-2在［-1,1］上單調(diào)遞減，

所以匕二一1時(shí)，即%nax<0，m2+2m-2<0,得0Vm<遮一1,

若m<0時(shí)，y=-2mb+m2-2在上單調(diào)遞增，

所以b=l時(shí)，ymax<0,即巾之—2巾—2<0,得1—gvmvO,

綜上所述，機(jī)的取值范圍為(1一次,百一1).

【解析】(1)根據(jù)題意設(shè)9(%)的兩根為%J%2'與之1，第2關(guān)于第=0對(duì)稱，又0〈石V%2<2,

△=b2-4ac=4—4a>0

則一2V%2'V%/〈0，可得則{/(。)>0，解得。的取值范圍.

/(2)>0

2

(2)根據(jù)題意可得f(x)=ax-2x+l,結(jié)合韋達(dá)定理可得xi+x2,與小，則普=2①,

由￡=最，得％2二及1，進(jìn)而可得1=2%2-1，0<<%2<2,即可得出答案.

(3)出一外1=J(%i+%2)2-4xi%2=令巾(。)=詈，求導(dǎo)，分析單調(diào)性，可

得m(a)<*m(a)>0,分三種情況：若m=0時(shí)，若m>0時(shí)，若m<0時(shí)，求出m

的取值范圍.

本題考查恒成立問(wèn)題，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

25.【答案】解：(l)???tcma=%

cos2a-sin2al-tan2a_7

???cos2a=cos2a—sin2a=

cos2a+sin2a1+tan2ai+—25,

9

va,￡為銳角，即a,/?€(0,5),.??2a￡(0,兀)，戊+￡€(0,兀).

s譏2a="-cos22a=||,tan2a=蟋=一§

,**/(%)=cosx>:.f(a+=cos(a+0)=——?

???sin(a+/?)=Jl-cos2(a+0)=等，：?tan(a+0)=:黑：[=-2,

tan(a+/?)-tan2a_~2^~_2

???tan(/?—a)=tan(a+S—2a)=

l+tan(a+/?)tan2ai+2Xy11

綜上，cos2,cc———,tan(夕一a)=—.

(2)gQ)=/(2x)-3=cos2x—3,

???對(duì)任意工都有g(shù)2(x)<(24-a)g(x)-2-。恒成立，

???(cos2x—3)2<(24-a)(cos2x—3)—2—a恒成立,即(cos2x—4)a>(cos2x—

3)2—2(cos2x-3)4-2恒成立，

1

22

設(shè)cos2x-4=3則t6[-5,-3],.*.at>(t+l)-2(t+1)4-2=t+1,則a<t+?

設(shè)丫=亡+!，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)y在區(qū)間［一5,-3］上為增函數(shù),

26

Ay=一t+-i、>-5u--i=-y,Aa,<-Y26

故ci的最大值為一

???cosa+cos夕—cos(a4-/?)=|,

3

???cosa+cosp=-4-cos(a+夕)

111

=-+-(sin2a+cos2a)+-(sin2s+cos2/?)4-cosacosp—sinasinp

=-4--(sin2a—2sinasin/3+siM夕)+-(cos2a+2cosacosp+cos2/7)

=11(sina-sin^y+1(cosa4-cosp}2,

11

???-(sina—s譏0)2+-[(cosa+cos/i)2—2(cosa4-cos/3)+1]=0

即Xs比a—sinp)2+g(cosa+cos/?-l)2=0,

???sina—sinp=0且cosa+cos0—1=0,

當(dāng)a=B時(shí).，cosa=cos0=3,1a，P(0,71),???a=0=g；

當(dāng)a=zr-S時(shí)，cosa