新北師大版初中數(shù)學(xué)九年級上冊第1章-特殊平行四邊形《第3課-正方形的性質(zhì)與判定》

北師大版九年級數(shù)學(xué)(上)

第一章特殊平行四邊形

第一課時(shí)正方形的性質(zhì)2002年世界數(shù)學(xué)大會(huì)會(huì)標(biāo)圖片欣賞

創(chuàng)設(shè)情景?情景一問題:

從這個(gè)圖形中你想到了什么？鄰邊相等的矩形想一想：正方形是怎樣的矩形？矩形正方形新知探究圖1-17中的四邊形都是特殊的平行四邊形．觀察這些特殊的平行四邊形，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么樣的共同特征？有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形（square）平行四邊形正方形矩形菱形一組鄰邊相等一組鄰邊相等一內(nèi)角是直角一內(nèi)角是直角平行四邊形正方形一組鄰邊相等一內(nèi)角是直角給正方形下個(gè)定義定義：一組鄰邊相等，且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形（1）正方形是矩形嗎？是菱形嗎？（2）你認(rèn)為正方形具有哪些性質(zhì)？與同伴交流．正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形與菱形的所有性質(zhì)．定理正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊相等．定理正方形的對角線相等且互相垂直平分．請你完成這兩個(gè)定理的證明．正方形的性質(zhì)定理:正方形的四個(gè)角都是直角,四條邊都相等.求證:(1)∠A=∠B=∠C=∠D=90°.(2)AB=BC=CD=DA.證明:∴四邊形ABCD是矩形,也是菱形.∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=DA.∵四邊形ABCD是正方形,ABCD已知:四邊形ABCD是正方形.正方形的性質(zhì)定理:正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角.證明:∴四邊形ABCD是平行四邊形,也是矩形,也是菱形.∴AO=CO,BO=DO;AC=BD;AC⊥BD;∵四邊形ABCD是正方形,AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.已知:四邊形ABCD是正方形,AC,BD是它的兩條對角線.ABCDO正方形有幾條對稱軸？圖形的對稱性：既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形.正方形有四條對稱軸。中心對稱中心在兩條對角線的交點(diǎn)處。對角線：相等互相垂直平分每條對角線平分一組對角。邊:對邊平行四邊相等角：四個(gè)角都是直角圖形的對稱性：既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形.=菱形性質(zhì)矩形性質(zhì)正方形的性質(zhì)例1.如圖1-18，在正方形ABCD中，E為CD邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為BC延長線上一點(diǎn)，且CE=CF．BE與DF之間有怎樣的關(guān)系？請說明理由．解：BE=DF，且BE⊥DF．理由如下：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCE=90°（正方形的四條邊相等，四個(gè)角都是直角）．∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°．∴∠BCE=∠DCF．又∵CE=CF，∴△BCE≌△DCF．∴BE=DF．例1.如圖1-18，在正方形ABCD中，E為CD邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為BC延長線上一點(diǎn)，且CE=CF．BE與DF之間有怎樣的關(guān)系？請說明理由．解：BE=DF，且BE⊥DF．理由如下：（2）延長BE交DF于點(diǎn)M．∵△BCE≌△DCF，∴∠CBE=∠CDF．∵∠DCF=90°，∴∠CDF+∠F=90°．∴∠CBE+∠F=90°．∴∠BMF=90°．∴BE⊥DF．M平行四邊形、菱形、矩形、正方形之間有什么關(guān)系？你能用一個(gè)圖直觀地表示它們之間的關(guān)系嗎？與同伴交流．菱形矩形平行四邊形正形方正方形是特殊的平行四邊形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。1．如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，圖中有多少個(gè)等腰三角形？2．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)F為對角線AC上一點(diǎn)，連接BF，DF．你能找出圖中的全等三角形嗎？選擇其中一對進(jìn)行證明．對角線：相等互相垂直平分每條對角線平分一組對角。邊:對邊平行四邊相等角：四個(gè)角都是直角圖形的對稱性：既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形.=菱形性質(zhì)矩形性質(zhì)正方形的性質(zhì)1．對角線長為2cm的正方形，邊長是多少？2．如圖，四邊形ABCD是正方形，△CBE是等邊三角形，求∠AEB的度數(shù)．3．如圖，A，B，C，D四家工廠分別坐落在正方形城鎮(zhèn)的四個(gè)角上．倉庫P和Q分別位于AD和DC上，且PD=QC．證明兩條直路BP=AQ且BP⊥AQ．4、如何設(shè)計(jì)花壇？在一塊正方形的花壇上，欲修建兩條直的小路，使得兩條直的小路將花壇平均分成面積相等的四部分（不考慮道路的寬度），你有幾種方法？（至少說出三種）

請你當(dāng)設(shè)計(jì)師北師大版九年級數(shù)學(xué)(上)

第一章特殊平行四邊形

第二課時(shí)正方形的判定對角線：相等互相垂直平分每條對角線平分一組對角。邊:對邊平行四邊相等角：四個(gè)角都是直角圖形的對稱性：既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形.=菱形性質(zhì)矩形性質(zhì)正方形的性質(zhì)如圖1-20，將一張長方形紙對折兩次，然后剪下一個(gè)角，打開．怎樣剪才能剪出一個(gè)正方形？滿足什么條件的平行四邊形是正方形？滿足什么條件的矩形是正方形？滿足什么條件的菱形是正方形？請證明你的結(jié)論，并與同伴交流．定理:有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.定理:有一組鄰邊相等的矩形是正方形.定理:有一個(gè)角是直角且一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形.正方形的判定（隨堂練習(xí)1）定理:有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.求證:四邊形ABCD是正方形.證明:∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.∴∠A=∠B=∠C=900.∴四邊形ABCD是矩形.∵四邊形ABCD是菱形,∠A=900,∵AB=BC,∴四邊形ABCD是正方形.已知:四邊形ABCD是菱形,∠A=900.ABCD定理對角線相等的菱形是正方形．從對角線的角度考慮：滿足什么條件的矩形是正方形？滿足什么條件的菱形是正方形？請證明你的結(jié)論，并與同伴交流．定理對角線垂直的矩形是正方形．正方形的判定（隨堂練習(xí)2）定理:對角線互相垂直的矩形是正方形.求證:四邊形ABCD是正方形.證明:∴∠ABC=90°,四邊形ABCD是平行四邊形.∵AC⊥BD,∴四邊形ABCD是菱形.∵∠ABC=90°.∵四邊形ABCD是矩形,∴四邊形ABCD是正方形.已知:四邊形ABCD是矩形,且AC⊥BD.ABCDO正方形的判定（知識技能1）定理:對角線相等的菱形是正方形.求證:四邊形ABCD是正方形.證明:∴AB=BC,四邊形ABCD是平行四邊形.∵AC=BD,∴四邊形ABCD是矩形.∵AB=BC,∵四邊形ABCD是菱形,∴四邊形ABCD是正方形.已知:四邊形ABCD是菱形,且對角線AC=BD.ABCDO平行四邊形正方形

一組鄰邊相等且一內(nèi)角是直角1、正方形菱形2、一內(nèi)角是直角或?qū)蔷€相等矩形3、一組鄰邊相等或?qū)蔷€垂直正方形正方形的判定方法：（可從平行四邊形、矩形、菱形為基礎(chǔ)）定義法菱形法矩形法①四條邊相等，四個(gè)角都是直角②對角線互相垂直、平分且相等四邊形正方形以四邊形為基礎(chǔ)：既是菱形又是矩形的四邊形是正方形。例2：如圖1-21，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE．求證：四邊形BECF是正方形．12我們知道，任意畫一個(gè)四邊形，以四邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)可以組成一個(gè)平行四邊形．任意畫一個(gè)正方形（如圖1-22），以四邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)可以組成一個(gè)怎樣的圖形呢？先猜一猜，再證明．123模型依次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)所成的四邊形是平行四邊形.ABCHDEFG證明：連接AC∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)∴EF∥AC，EF=AC，

HG∥AC，HG=AC∴EF∥HG，EF=HG∴四邊形EFGH是平行四邊形已知：在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)。求證：四邊形EFGH是平行四邊形依次連接正方形各邊中點(diǎn)所成的四邊形是一個(gè)怎樣的圖形呢？先猜一猜,再證明.已知：E、F、G、H分別是正方形ABCD四邊AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)求證：四邊形EFGH是正方形證明：∵四邊形ABCD是正方形∴AB=BC=CD=DA∠A=∠B=∠C=∠D∵AE=BE=AB，BF=CF=BC，CG=DG=CD，DH=AH=AC∴AE=BE=BF=CF=CG=DG=HG=AH∴△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG∴EF=FG=GH=HE∴四邊形EFGH是菱形∵∠1=∠2=45°∴∠3=90°∴四邊形EFGH是正方形123ABCHDEFG（1）以菱形或矩形各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)可以組成一個(gè)什么圖形？先猜一猜，再證明．如果以平行四邊形各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)呢？DBCADEFGABCHDEFGABCHDEFG（2）以四邊形各邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)所組成的新四邊形的形狀與哪些線段有關(guān)系？有怎樣的關(guān)系？依次連接菱形各邊中點(diǎn)所成的四邊形是一個(gè)怎樣的圖形呢？先猜一猜,再證明.DBCAEHGF已知：在菱形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)。求證：四邊形EFGH是矩形證明：連接AC、BD交于點(diǎn)O∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)∴HE∥BD，HE=BD，

GF∥BD，GF=BD∴HE∥GF，HE=GF∴四邊形EFGH是平行四邊形∵AC⊥BDBD∥HE∴∠1=∠2=90°∵G、H是CD、AD的中點(diǎn)∴HG∥AC∴∠1+∠3=180°∴∠3=90°∴四邊形EFGH是矩形O123圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系依次連接對角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)所成的四邊形是一個(gè)怎樣的圖形呢？先猜一猜,再證明.ABCHDEFG依次連接對角線垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所成的四邊形是一個(gè)怎樣的圖形呢？先猜一猜,再證明.ABCHDEFG圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系依次連接對角線相等且垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所成的四邊形是一個(gè)怎樣的圖形呢？